§３ 函数求极限lim的典型例题存在嘚条件 作业 P45 1(6),(7),3 * 教学目的：理解并运用海涅定理与柯西准则判定 某些函数求极限lim的典型例题的存在性 教学要求：掌握海涅定理与柯西准则，其实质以 及证明的基本思路 定理1 注： 本定理有如下几点注释： 1 本定理建立了函数求极限lim的典型例题与数列求极限lim的典型例题的关系，将 函数求极限lim的典型例题的存在性转化为数列求极限lim的典型例题的存在性 2 本定理通常用来证明函数求极限lim的典型例题的不存在性。 一、归結原则 (函数求极限lim的典型例题与数列求极限lim的典型例题的关系(海涅定理)) 1 海涅(Heine)定理 证明:(必要性) 例如, 注１ 这个定理把函数 的求极限lim的典型例题歸结为数列 的求极限lim的典型例题问题来讨论所以称之为“归结原则”。由此 可由数列求极限lim的典型例题的性质来推断函数求极限lim的典型例题性质。 不存在 注２．从Heine定理可以得到一个说明 的方法即(1)“若可找到一个数列　 ， 使得 不存在；”或(2)“找到两个都以 为求极限lim的典型例题的数列 使 都存在但不相等，则 不存在 ， 例1 二者不相等, 证 2其它类型求极限lim的典型例题的归结原则(单调有界准则)： 以上4种求极限lim的典型例题有相互对应的单调有界准则 二 Cauchy收敛准则： 设函数 在 内有定义。 存在的充要条件为： 收敛函数的函数值在 几乎“挤”在了一起 通常用 Cauchy收敛准则证明函数的求极限lim的典型例题不存在。 定理4 注：按照Cauchy准则可以写出 不存在的充要条件：存在 ，对任意 存在 使得 . 综上所述：Heine定理和Cauchy准则是说明 求极限lim的典型例题不存在的很方便的工具。 *