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定义在区间（-1，1）上的函数f（x）满足：①对任意x，y∈（-1，1），都有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy)；②当x∈（-1，0）时，f（x）＞0．求证：（1）f（0）=0；（2）f（x）在（-1，1）上是减函数；（3）f(15)+f(111)+f(119)+…+f(1n2+3n+1)＞f(12)．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）令x=y=0，有2f（0）=f（0），∴f（0）=0；（2）令-1＜x1＜x2＜1，则f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=f(x1-x21-x1ox2)，∵-1＜x1＜x2＜1，∴x1-x2＜0，1-x1ox2＞0，∴-1＜x1-x21-x1ox2＜0，∴f(x1-x21-x1ox2)＞0，即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（-1，1）上是减函数；（3）令y=-x，则f（x）+f（-x）=f（0）=0，∴f（-x）=-f（x），∴f（x）为奇函数；∴-f（15）=f(-15)=f(3-21+3×(-2))&=f(3)+f(-2)=f(3)-f(2)，①-f(111)=f(-111)=&=f(4-31+4×(-3))&=f(4)+f(-3)=f(4)-f(3)，②…-f(1n2+3n+1)=f(-(n+2)-(n-1)1+(n+2)o[-(n+1))])=f(n+2)+f[-(n+1)]=f(n+2)-f(n+1)& ③将上式①②…③n个式子累加有-[f(15)+f(111)+f(119)+…+f(1n2+3n+1)]=f(-15)+f(-111)+f(-119)+…+f(-1n2+3n+1)=f（n+2）-f（2）=f(n1-2(n+2))，又f（x）在（-1，1）上是减函数；∴f(n1-2(n+2))=f(-n2n+3))＜f(-n2n)&=-f(12)＜f(-n2n)&=-f(12)，∴f(15)+f(111)+f(119)+…+f(1n2+3n+1)＞f(12)
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据魔方格专家权威分析，试题“定义在区间（-1，1）上的函数f（x）满足：①对任意x，y∈（-1，1），都有f..”主要考查你对&&分段函数与抽象函数&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
现在没空？点击收藏，以后再看。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
分段函数与抽象函数
分段函数：1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的； 分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。&抽象函数：
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数； 一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。 知识点拨：
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。 2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。 3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。
发现相似题
与“定义在区间（-1，1）上的函数f（x）满足：①对任意x，y∈（-1，1），都有f..”考查相似的试题有：
255064402764858161776673860857406090从发散级数1-1+1-1+...谈趋近与等于 | 死理性派小组 | 果壳网 科技有意思
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源于这里提到的对级数逐项求导的合理性证明中间会有很多废话，但是是必要的
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发散级数的讨论最早兴起于第二次数学危机期间，由数学家格兰弟所引发当时曾经有人他向请教＝？格兰弟没有多想，他以为据，令x=1，得出为1/2．但是，那个请教他的人说：（1-1）+（1-1）+...=0+0+...=0，1+（1-1）+（1-1）+...=1+0+0+...=1，难道它不会是“０”？或者１？而莱布尼兹得知以后则做出了如下比喻一块宝石两个人轮流保存一年，等价于各自保存半年，认同格兰弟的答案，欧拉则以1-=也认同=1/2当然，在那个年代，上述的讨论十分不严谨直到极限的理论建立以后，人们才认为这个级数是一个发散级数，不收敛于常数不过上述讨论即使不够严谨，但是也有参考的价值和导向作用，依据我的观点确实应当等于1/2，但是这个结果并不与现代级数理论相冲突
关于趋近不是等于，最直观的例子就是符号函数sgn(x)在x-&0+时，而这个级数的讨论，也与他是趋近无穷大还是等于无穷大有着十分密切的联系毕竟在实际上，如果要保证无穷大的阶不变，他就代表无穷小的倒数，无穷小不是0这个讨论是十分必要的，比如这代表讨论与研究让1/x=0成立的x，确实是一件有意义的事情，至少可能会是，因为他与趋近无穷大还是有本质上的区别的，第一个就是无穷小不是0这个地方，第二就是他不是变量或函数不过，这里注意，实际上，我们所熟知的无穷大的定义，就是在自变量的某个变化过程中绝对值无限增大的变量或函数，与我所说的1/x=0成立的x并不是同一个意思，这里用∞符号代表这里的这个x，来区分无穷大要研究无穷大，首先必须给出能满足公理的相容性，独立性，完备性这三个条件的关于无穷大的一组公理
在这里，现在暂时抛开对无穷大的讨论，对导数的无穷小进行讨论，因为在求导过程中对无穷小的处理方式，今后会在对无穷大的处理上经常用到导数的定义为。当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限这个定义是合理的但是实际上，这个定义应当在此基础上理解为：确定一个逼近方式，以寻找在可导的点x=x0处，无穷小邻域上，经过点(x0,f(x0))的无数条直线中，在此无穷小邻域的无穷小增量与f(x)的无穷小增量，为等价无穷小，的直线的斜率，为f(x)在x=x0处的导数换句话说，导函数中的分子分母均为零，这确定的是一个不定式也就是无数条直线的斜率，而这里的趋近，便是引入无穷小，作为辅助，确定这不定式中的一个需要的值，这也就是说在将无穷小代入之后，无穷小需要再次为零如：今后我们会多次利用无穷大量作为辅助，得到x=∞时的结果，不过往往，这是不适用的
在这里我们并不选用1/0=∞作为公理之一因为实际上注意，若1/0=∞则1/0=-∞亦必然成立，但是实际上∞≠-∞，否则会得出一系列与现有公理体系相矛盾的命题，应当理解是所有的∞量，均满足1/0=x的x公理一：每半个数轴上存在唯一的一个∞量（记为该半数轴基本单位与∞的乘积，如-∞，i∞，-j∞）公理二：满足|x|=|x|+1的x组成∞量集合（该集合记为INF）公理三：INF中每一个元素的绝对值为+∞（由所有的∞量，均满足1/0=x的x得到）值得注意的是在连续统中，∞被分为了阿列夫0,1,2,3...但是这与此处的对于无穷大的处理并不冲突，所有阶数的阿列夫无穷大在计算中都是等价的
明天再打吧，我睡了，交换求和的那个我有一个证明，给出了何时是合理的条件，关于陶泽轩在复分析的开头提到的那几个例子我也会逐一说明是，最后我会严谨的给出三种关于的合理性证明的，嗯，目前为止我打的内容欢迎批评
我建议那个……不是建议lz而是建议其他人……干脆放置play好了…………
的话：我建议那个……不是建议lz而是建议其他人……干脆好了…………不嘛，在果壳找一个笑料你以为像贴吧那么容易吗
Mathematica玩家
你是想修改“=”这个符号的定义么？
Mathematica玩家
如果真是想修改“=”这个符号的定义，我觉得没有什么讨论的必要了，你自己玩好了。
的话：如果真是想修改“=”这个符号的定义，我觉得没有什么讨论的必要了，你自己玩好了。他不是在讨论极限么？哪有修改“=”了....
的话：明天再打吧，我睡了，交换求和的那个我有一个证明，给出了何时是合理的条件，关于陶泽轩在复分析的开头提到的那几个例子我也会逐一说明是，最后我会严谨的给出三种关于的合理性证明的，嗯，目前为止我打的内容欢迎批评x=0不就完了，=。=
数学/化学爱好者
呵呵 lz慢走不送
我这里是在叙述，趋近无穷大和等于∞的这两个概念有加以区分的必要，因为1/∞=0,1/（趋于无穷大）=无穷小=趋于0≠0好吧，我继续打，先前我有提出过三条公理，第一条公理我的叙述是它在数轴上，这也代表在x≥0时，无穷大和一般的数字一样，都满足基本的四则运算法则，这里为了方便叙述，如实数集合R，有R∩{+∞，-∞}=?，同时R∪{+∞，-∞}=不难推出，利用四则运算和其三条公理的反复运用，可以得到如下推论注意，这里不能理解为由∞-∞=0=1得到0=1仅能理解为0,1为合符∞+x=∞的x的解之二有了上述讨论与准备工作，我们便能对开始讨论了
首先，我们要给出关于∞的显式表达在此运用与在求导过程中处理0/0不定式所引入无穷小量的相同处理方式处理∞首先讨论的取值问题，注意到1^∞为不定式，从而猜测（-1）^∞亦为不定式，故将（-1）^∞进行如下等价变形
我们能利用定积分很容易的知道当n-&无穷大 时，在任意区间[a,b](a&b;a,b∈R)上的定积分S-&0
把部分和当成数列，这个数列有两个聚点，然后LZ想通过一些方法把它合为一个。。。
没有！聚点就是两个啊，一个是1，一个是0，这里我说的很明确！这是在趋近无穷大的情况，上面那坨∞改成趋近无穷大的n的时候就是一个发散级数，有两个聚点，1和0我说了，我讨论的是等于∞的时候！！！等于∞不是趋近无穷大！！！1/∞=0！1/（趋近无穷大）=无穷小！！无穷小不等于0！！！等于∞不是趋近无穷大！！求和上限趋近无穷大的时候发散！，可能取值是1或者0！！我在讨论等于，也就是像这样上限是∞的情况￥#@@好，我们继续看到f1(nx)在n-&∞的情况，我们都知道在任意区间[a,b](a&b;a,b∈R)上的定积分S-&0，然而正是这定积分S-&0而非等于0，决定了在求和上限趋近无穷大时的发散而运用求导时的类似思想，f1(nx)的n等于∞时，在任意区间[a,b](a&b;a,b∈R)上的定积分绝对值|S|小于任何一个无穷小从而，n等于∞时，S=0，又对于所有的x∈R+，∞x=∞。得到对于所有的x∈R+,f1(∞)=0，同理有，f2(∞)=0得到(-1)^∞=0
于是在此基础上，我们观察数列和由于（-1）^∞=0，故与-1相乘之后再加上一，得到“更大一项”的数列和，由于“末项”是0，故两式相等或记为=故，莱布尼兹，欧拉，格兰弟所得到的结果是正确的，为1/2关于对=1或0也有另外一个直观的解释那就是等于一是针对于求和上限为奇数，等于零是针对于求和上限为偶数趋近于无穷大是一个变量，变量判断奇偶无意义，故发散而等于∞是一个常量，但是此常量非奇非偶，故不能断言其取何值，而应当如上述单独讨论
下面选取《复分析》中开头的所有例子在此基础上加以讨论，以为证明的三种方式各自做下理论基础
注意，加以讨论显然并非声明讨论命题的错误，而是为了加深对∞的理解关于0/0，实际上我们不难得出，对于所有的正实数n，0=n*0，也就是说0/0=1与0/0=2均是成立的好比方程x^2-3x+2=0,有解1,2，这并不能说明1=2，等号的定义未被修改
实际上对于2S=S-1，他的其中一个解也可为+∞，而要判断S是仅取+∞，仅取-1或是均可取，需要更加细致的讨论，这里不再加以叙述
这个例子与1.2.2可以采取同样的理解方式，其中使xL=L（x∈R）成立的L可取0，+∞，-∞，实际情况应该选取的L的值必然是{0，+∞，-∞}中的一个或者多个值
科学松鼠会成员，信息学硕士生
的话：我们能利用定积分很容易的知道当n-&无穷大 时，在任意区间\[a,b\](a&b;a,b∈R)上的定积分S-&0定积分在任意区间上趋向于0，这样可以推出原函数在任意点上趋向于0？这是什么逻辑？
这里关于lim(x-&+∞)sinx=0的推论似乎是正确的，但是实际上lim(x-&+∞)sinx这个极限是发散的，它是在区间[-1,1]之上的一个不定式，故，lim(x-&+∞)sinx=-lim(x-&+∞)sinx的推论并无误，这两个不定式是相等的，而此处得到的0，只是不定式取值中所允许的一个合理的值为了更加贴切的理解，举如下错误例子（0/0）=-（0/0）=&2(0/0)=0=&0/0=0实际上在处理∞时，此类类似谬误经常会常常容易在不经意间出现，得到不当的结果，所以处理∞需要格外谨慎
的话：定积分在任意区间上趋向于0，这样可以推出原函数在任意点上趋向于0？这是什么逻辑？不，是定积分在n等于无穷大的时候为0，后面我有说明在任意区间[a,b](a&b;a,b∈R)上的定积分S-&0，然而正是这定积分S-&0而非等于0，决定了在求和上限趋近无穷大时的发散等于∞的时候这个积分就是0
这个时候我们可以把在任意区间上积分为0的函数作为f(x)=y=0函数处理
如果需要更加严谨的证明这个会稍微严谨一点
科学松鼠会成员，信息学硕士生
的话：这个时候我们可以把在任意区间上积分为0的函数作为f(x)=y=0函数处理不能，函数空间不是完备的，它不收敛到一个函数，不能这样做。考虑函数列cos(nx)，按照你的说法，这个函数列在"n=+infty"处可以当作0。然而，考虑它平方的函数列cos(nx)cos(nx)=(1+cos(2nx))/2，按照你的说法，这个函数列在"n=+infty"处应该当成1/2，所以你的描述推出了0^2=1/2。你还是觉得没有问题么？
的话：不能，函数空间不是完备的，它不收敛到一个函数，不能这样做。考虑函数列cos(nx)，按照你的说法，这个函数列在"n=+infty"处可以当作0。然而，考虑它平方的函数列cos(nx)cos(nx)=(1+cos(2nx))/2，按照你的说法，这个函数列在"n=+infty"处应该当成1/2，所以你的描述推出了0^2=1/2。你还是觉得没有问题么？这里的x=无穷大是f（x）在x等于无穷大的值，随着f(x)的变化也会变化，如果f（∞）=k，g（k）却不一定等于g（f（∞））
是的，看上去不很和逻辑，但是确实如此，实际上对于所有的f（x），g（x）都是这样的。只是大多数时候如果f（∞）=k，则g（k）=g（f（∞））
或者观察一下这个函数
科学松鼠会成员，信息学硕士生
的话：这里的x=无穷大是f（x）在x等于无穷大的值，随着f(x)的变化也会变化，如果f（∞）=k，g（k）却不一定等于g（f（∞））引用
的话：是的，看上去不很和逻辑，但是确实如此，实际上对于所有的f（x），g（x）都是这样的。只是大多数时候如果f（∞）=k，则g（k）=g（f（∞））你的意思是，在你的扩充数域中，x=y不能推出f(x)=f(y)？如果是这样的话，你的确重新定义了等于号，一个不能同时具备自反、反身、传递的等于号。
的话：你的意思是，在你的扩充数域中，x=y不能推出f(x)=f(y)？如果是这样的话，你的确重新定义了等于号，一个不能同时具备自反、反身、传递的等于号。如果说对f（x）求出x=+inf的值这种操作记为g（f（x）），那么我的含义是g（f（x））*g（f（x））不一定等于g（f（x）*f（x））传递性质在不定式处不具备，因为那是众多解之一
科学松鼠会成员，信息学硕士生
的话：如果说对f（x）求出x=+inf的值这种操作记为g（f（x）），那么我的含义是g（f（x））*g（f（x））不一定等于g（f（x）*f（x））传递性质在不定式处不具备，因为那是众多解之一所以你是在说，你写f(+infty)=c的时候，这个等号不是一般的等号，不能参与任何运算？那么你的大部分论证都是无效的，因为你用的都是这种你自己定义的，不是等号的等号。
的话：所以你是在说，你写f(+infty)=c的时候，这个等号不是一般的等号，不能参与任何运算？那么你的大部分论证都是无效的，因为你用的都是这种你自己定义的，不是等号的等号。这个等号就是一般的等号，不等式上无传递性不影响这个等号的存在的一般意义而且如果必须要更改我的论证，仅仅需要把我所说的f(x)=sinx,f(inf)=sininf改成g(sinx)即可
比如方程x^2-3x+2=0那么x的值可以说是x=1或者x=2
需要我继续打下去直到打完吗
科学松鼠会成员，信息学硕士生
的话：这个等号就是一般的等号，不等式上无传递性不影响这个等号的存在的一般意义而且如果必须要更改我的论证，仅仅需要把我所说的f(x)=sinx,f(inf)=sininf改成g(sinx)即可不好意思，我不知道你所说的“不等式”是什么意思。等号的定义就是自反、反身、传递，没有传递性的等号不是等号。另外，按照你的意思，你的变换f \mapsto f(+\infty)貌似并不是单值的，又或者这个变换不是一个代数的同态（也就是说跟加法和乘法不能交换顺序）？如果是前者的话，你需要指出什么时候取什么值；如果是后者的话，我可以保证，你将要施行的绝大部分论证都是不能行的。
科学松鼠会成员，信息学硕士生
的话：我建议那个……不是建议lz而是建议其他人……干脆好了…………惩前毖后……治病救人……尤其是数学中二……
的话：不好意思，我不知道你所说的“不等式”是什么意思。等号的定义就是自反、反身、传递，没有传递性的等号不是等号。另外，按照你的意思，你的变换f mapsto f(+infty)貌似并不是单值的，又或者这个变换不是一个代数的同态（也就是说跟加法和乘法不能交换顺序）？如果是前者的话，你需要指出什么时候取什么值；如果是后者的话，我可以保证，你将要施行的绝大部分论证都是不能行的。我打错了，是不定式，比如方程x^2-3x+2=0那么x的值可以说是x=1或者x=2，这时候如果说等号具有传递性，就是说1=x=2，这是谬误我说的不定式就是这个意思，比如0/0=1,0/0=2我的变换是把一个函数f(x)映射到f(+inf)的值，这种映射是不一定满足加法与乘法结合率的，比如(x+1)(x+1)不一定等于（x^2+1）
的话：我打错了，是不定式，比如方程x^2-3x+2=0那么x的值可以说是x=1或者x=2，这时候如果说等号具有传递性，就是说1=x=2，这是谬误先容我放下鼠标，穿好鞋，走下楼，在广场上大笑三分钟原来 x=1或者x=2 可以推出 1=2，真是失敬失敬
的话：先容我放下鼠标，穿好鞋，走下楼，在广场上大笑三分钟原来 x=1或者x=2 可以推出 1=2，真是失敬失敬我不想再往下打了=_=
对于所有的正实数n，0=n*0，也就是说0/0=1与0/0=2均是成立的希望你的这句话，是打错了。。。。。。或者为了反讽某些实数运算的合理性。。。。
的话：对于所有的正实数n，0=n*0，也就是说0/0=1与0/0=2均是成立的希望你的这句话，是打错了。。。。。。或者为了反讽某些实数运算的合理性。。。。我举过一个例子！！！x^2-3x+2=0x=1或者x=2都是成立的但是你不能说1=x=2就像你不能说1=0/0=2一样！
科学松鼠会成员，信息学硕士生
的话：我打错了，是不定式，比如方程x^2-3x+2=0那么x的值可以说是x=1或者x=2，这时候如果说等号具有传递性，就是说1=x=2，这是谬误我说的不定式就是这个意思，比如0/0=1,0/0=2我的变换是把一个函数f(x)映射到f(+inf)的值，这种映射是不一定满足加法与乘法结合率的，比如(x+1)(x+1)不一定等于（x^2+1）也就是说，你这个映射与加法和乘法不“兼容”，不能随意互换，是这个意思吧？也就是说对于f=g+h，不一定有f(+\infty)=g(+\infty)+h(+\infty)，是这个意思吧？考虑你在16楼的式子(-1)^{+\infty}，实际上是函数(-1)^x在你的“+\infty映射”下的像。虽然对于任意x，我们的确有(-1)^x=exp(ix\pi)=cos(ix\pi)+isin(ix\pi)，但是因为你自己说你的“+\infty映射”跟加法和乘法不兼容，如果记你的映射为eval_INF的话，你只能得出eval_INF(x \mapsto (-1)^x) = eval_INF(x \mapsto cos(ix\pi)+isin(ix\pi))，却不能说eval_INF(x \mapsto cos(ix\pi)+isin(ix\pi)) = eval_INF(x \mapsto cos(ix\pi)) + eval_INF(x \mapsto isin(ix\pi))。也就是说，你关于(-1)^{+\infty}的等式是无效的。
的话：我这里是在叙述，趋近无穷大和等于∞的这两个概念有加以区分的必要，因为1/∞=0,1/（趋于无穷大）=无穷小=趋于0≠0好吧，我继续打，先前我有提出过三条公理，第一条公理我的叙述是它在数轴上，这也代表在x≥0时，无穷大和一般的数字一样，都满足基本的四则运算法则，这里为了方便叙述，如实数集合R，有R∩{+∞，-∞}=?，同时R∪{+∞，-∞}=不难推出，利用四则运算和其三条公理的反复运用，可以得到如下推论注意，这里不能理解为由∞-∞=0=1得到0=1仅能理解为0,1为合符∞+x=∞的x的解之二有了上述讨论与准备工作，我们便能对开始讨论了希望LZ 先告诉我 你的三条公理与四则运算法则是 兼容 的，然后咱们再慢慢讨论你后面的证明。话说有个轶事，某教授总是收到关于巴德赫猜想的初等证明，最后教授怒了，复印了很多张纸用于回复各种爱好者的来信，格式为：亲爱的_____您好，感谢您的来信。 您的证明在第___页第____行出现矛盾，这导致证明无效。祝好
的话：也就是说，你这个映射与加法和乘法不“兼容”，不能随意互换，是这个意思吧？也就是说对于f=g+h，不一定有f(+infty)=g(+infty)+h(+infty)，是这个意思吧？考虑你在16楼的式子(-1)^{+infty}，实际上是函数(-1)^x在你的“+infty映射”下的像。虽然对于任意x，我们的确有(-1)^x=exp(ixpi)=cos(ixpi)+isin(ixpi)，但是因为你自己说你的“+infty映射”跟加法和乘法不兼容，如果记你的映射为eval_INF的话，你只能得出eval_INF(x mapsto (-1)^x) = eval_INF(x mapsto cos(ixpi)+isin(ixpi))，却不能说eval_INF(x mapsto cos(ixpi)+isin(ixpi)) = eval_INF(x mapsto cos(ixpi)) + eval_INF(x mapsto isin(ixpi))。也就是说，你关于(-1)^{+infty}的等式是无效的。用同样的积分方法能够证明f=g+h，有f(+infty)=g(+infty)+h(+infty)，所以这里没有矛盾，而乘法却不一定行引用
的话：希望LZ 先告诉我 你的三条公理与四则运算法则是的，然后咱们再慢慢讨论你后面的证明。话说有个轶事，某教授总是收到关于巴德赫猜想的初等证明，最后教授怒了，复印了很多张纸用于回复各种爱好者的来信，格式为：亲爱的_____您好，感谢您的来信。 您的证明在第___页第____行出现矛盾，这导致证明无效。祝好是的，这是满足四则运算的，但是会涉及到与变量具有类似性质的不定式，导致等号往往不具备传递性
科学松鼠会成员，信息学硕士生
的话：用同样的积分方法能够证明f=g+h，有f(+infty)=g(+infty)+h(+infty)，所以这里没有矛盾，而乘法却不一定行你的意思是，你的这个映射与加法可以互换，但是与乘法不能互换，是这样吧？这样，显然你的映射在函数空间上是连续的。那么，按照你的说法，对sum(cos(kx),k=1..\infty)=1/2两边施行你的这个映射（关于x），得到：对于任意整数N，eval_INF(sum(cos(kx),k=1..N))=sum(eval_INF(cos(kx)), k=1..N)=sum(0,k=1..N)=0因为按照你的说法，sum(cos(kx),k=1..\infty)收敛于某个函数g(x)，所以必然有eval_INF(g(x))=0。按照你的说法，我们就得到eval_INF(1/2)=0。同理，按照可加性，可以得到对于任意的整数N，eval_INF(N)=0。你真的希望看到这样的结果？
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