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【标题】《函数的奇偶性、周期性及对称性的关系探究》课例分析【署名】上海市松江一中数学王瑾联系电话:电子信箱:houwang13@【正文】一、教材分析函数是高中数学的核心内容,贯穿着整个高中数学学习过程。函数的奇偶性、周期性及对称性是函数的基本性质,不仅体现函数图象的对称美、周期变化美,而且还广泛应用于数学问题之中。利用函数奇偶性、周期性及对称性解题往往使问题更简捷。高三学生在此之前已经对函数的奇偶性、周期性和对称性(简称“三性”)有了基本的了解,但对于这“三性”之间的内在联系,认识还比较肤浅,缺乏全面、深入的探究,更谈不上灵活的运用。为了适应学生的认知需求,更是为了培养学生的探究能力和创新意识,故设计了这节函数复习课。二、设计思路这节课从一道高考题出发,引导学生经历创设问题情景、认真反思、猜想、积极探索、论证、大胆类比、发散等环节,让学生亲自尝试从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的研究过程,再组织学生合作交流,扩大研究成果,并及时纠正学生的研究偏差,让学生从感性体验过渡到理性证明。三、学情分析本节课的授课对象是我校高三物理A层班的学生,他们有扎实的数学基础,良好的数学学习习惯,更难得的是对数学问题的探究精神和创新精神。在完成了第一轮复习后,他们对函数性质的掌握程度提高,对函数性质的内在联系有进一步探究的需求,故本节课对于他们而言难度适中,有利于培养物理班学生的数学思维、数学能力。四、教学目标知识与技能:在学生理解函数的奇偶性、周期性及图象的对称性的基础上,进一步探究它们间的内在联系,提高融会贯通的能力,从而实现知识结构的系统化、网络化。过程与方法:通过体验研究问题的过程,转变学生的学习方式.培养学生探究问题的能力和创新意识。情感、态度与价值观:通过体验研究问题的过程,让学生体验自己猜想、探究、发现知识规律的快乐,激发学生学习数学的兴趣。五、教学重点函数“三性”的内在联系的探究,培养探究能力与创新意识。教学难点运用类比的思想方法自主探究函数“三性”的内在联系。六、教学策略与手段探究式教学,按函数“三性”中***的给出探究规律性的结论。七、教学过程(一)创设问题情景例:设函数)(xf在R上满足),7()7(),2()2(xfxfxfxf??????且在闭区间??7,0上,只有0)3()1(??ff.试判断函数)(xfy?的奇偶性;本题是考查函数的奇偶性、周期性和对称性的相互关系,解题关键是利用函数)(xf具有周期性。那么,如何启发学生呢?(二)认真反思、猜想师:让我们先以比较熟悉的三角函数为例。高一教材《正弦函数、余弦函数的图象和性质》一节,有这样一句话:“正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数,所以,正弦曲线关于原点对称,余弦曲线关于y轴对称。”那么正弦曲线有无对称轴?还有其它对称点吗?余弦曲线有无对称点?还有其它对称轴吗?【利用多媒体显示两函数的图象,如图⑴、⑵,学生积极思考,得到结论】图⑴图⑵生:正弦曲线有无数条对称轴,方程为)(2Zkkx?????,有无数个对称中心))(0,(Zkk??;余弦曲线有无数条对称轴,方程为)(Zkkx???,有无数个对称中心))(0,2(Zkk????。师:好!正弦曲线的周期为?2?T,选取两条相邻的对称轴,发现它的周期与对称轴之间有什么隐含关系?学生们纷纷回答:两倍关系.师:具体地说?生:相邻对称轴的间距是?,周期是?2,后者是前者的两倍.师:很好!那么是否任何具有两条对称轴的函数,都具有周期性呢?若是,周期又是多少呢?【在教师的引导下,由类比的思想方法,逐步进入探索阶段,探究函数三性的内在关系】(三)积极探索、论证设)(xf是定义在R上的函数,探究1:若(1)图象关于直线ax?对称;(2)图象关于直线bx?对称;)(ba?,能否推出)(xf是否为周期函数?若是,请写出它的一个周期。生:因为两条对称轴的间距是ab?,类比于正弦函数的图象,猜测)(xf是以))((2baabT???为周期的周期函数.师:你的类比是有根据的,那么是否正确呢?【此命题的证明学生是有基础的,课堂上只见学们奋笔疾书,不一会就有学生举手示意回答】生:因)(xf图象关于直线ax?对称,则对任意Rx?,)2()(xafxf??,又)(xf图象关于直线bx?对称,则对任意Rx?,)22()2(baxfxaf????,于是)22()(baxfxf???,即)(xf是以))((2baabT???为周期的周期函数师:很好!刚才我们由命题(1)、(2)能确定函数是以))((2baabT???为周期的周期函数,将它作为命题(3),那么能否由任意两个命题作为条件得到第三个命题的正确性?【学生类比刚才证明过程,积极论证,在确认都是正确之后,共同归纳得出以下结论】结论1:设)(xf是定义在R上的函数,(1)图象关于直线ax?对称;(2)图象关于直线bx?对称;(3)))((2baabT???的周期函数,则已知任意两个命题成立可以推出第三个命题是真命题.师:有了以上结论,能否解决这节课的例题?生:由),7()7(),2()2(xfxfxfxf??????得)(xf图象关于直线2?x和直线7?x对称,则10)27(2???T是)(xf的一个周期.又在闭区间??7,0上,0)3()1(??ff,所以,0)7()3(???ff所以),3()3(ff???故)(xfy?是非奇非偶函数.师:非常好!我们应用探究得到的结论轻松解决了上课时提出的问题。让我们继续开动脑筋,挖掘更多有价值的有关函数“三性”的结论!探究2:若将探究1中的条件特殊化,又能得到什么结论?生:不妨假设b=0,则此时函数是偶函数,且图象关于直线ax?对称,可以得到函数具有周期性,其中一个周期是a2。于是由结论1直接推导得结论2.结论2:设)(xf是定义在R上的函数,(1))(xf是偶函数;(2)图象关于直线ax?对称;(3))0(2??aaT的周期函数,则已知任意两个命题成立可以推出第三个命题是真命题.(四)大胆类比、发散师:事实上,由结论1到结论2是一般到特殊的收敛式的思维方法,我们能否进一步将思维发散些,将结论2的条件或结论大胆联想、类比,探究出新的结论呢?【学生探究的积极性被激发,他们积极尝试,课堂气氛活跃】生:如果把条件“图象关于直线ax?对称”改为“图象关于点)0,(a对称”,则函数)(xf可能也是周期函数.师:你是怎么想到的?生:这里)(xf是偶函数,又有对称点,很容易使人联想到上课时复习到的余弦函数图像和性质,它具备了余弦函数的这些性质,那么也应该像余弦函数那样具有周期性.师:这真是个大胆的类比,非常好!他说得对吗?周期也是a2吗?生:周期应该是a4,因为余弦函数的一个对称点是)0,2(?,而它是以?2为周期,周期与对称点横坐标是4倍的数量关系,所以我猜测)(xf的周期是a4.师:有道理!但猜测能作为结论吗?【不等老师质疑,学生们良好的数学习惯早已促使他们小心求证,课堂内一阵沙沙的写字声和小声的讨论声】生:由题意,)(xf是偶函数,且有对称点)0,(a,则对任意Rx?,????)1
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高中数学必修4教A1.4.2正弦函数余弦函数的性质(教、学案).doc10页
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高中数学必修4教A1.4.2正弦函数余弦函数的性质(教、学案)
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§1.4.2正弦函数余弦函数的性质
【教材分析】 《正弦函数和余弦函数的性质》是普通高中课程标准实验教材必修４中的内容，是正弦函数和余弦函数图像的继续，本课是根据正弦曲线余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦函数和余弦函数的性质。
【教学目标】
1. 会根据图象观察得出正弦函数、余弦函数的性质；会求含有的三角式的性质；会应用正、余弦的值域来求函数和函数
【教学重点难点】
教学重点：。
　　难点：的函数的值域
【学情分析】
知识结构：学生已经具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力。心理特征：。但在处理问题时学生考虑问题不深入，往往会造成错误的结果。
复?习 或 .
因为正弦线、余弦线的长度不大于单位圆的半径的长度,
也就是说,正弦函数、余弦函数的值域都是.
①当且仅当时,取得最大值
②当且仅当时,取得最小值
①当且仅当时,取得最大值
②当且仅当时,取得最小值
正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的.
定义：对于函数,如果存在一个非零常数,使得当取定义域内的每一个值时,
都有,那么函数就叫做周期函数,非零常数叫做这个函数的周期.
由此可知,都是这两个函数的周期.
对于一个周期函数,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期.
根据上述定义,可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数,都是它的周期,最小正周期是.
为奇函数,其图象关于原点对称
为偶函数,其图象关于轴对称
正弦函数的对称中心是,
对称轴是直线;
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1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质教案3
1.4.2　正弦函数、余弦函… 高中数学 & & & 人教A版2003课标版
1.知识与技能
（1）理解正弦函数、余弦函数的奇偶性、单调性、最大值和最小值的概念；
（2）会判断三角函数的奇偶性，会求三角函数的单调区间，会求三角函数的最值；
（3）经历三角函数性质的探究过程，感受研究函数性质的一般思路与方法，体会数形结合、特殊到一般、类比等数学思想方法，形成知识的迁移能力.
2．过程与方法
“问题是数学的核心”，是学生学习的出发点，学生总是带着“以问题为中心”心理参与课堂探究，本节课将继续实践“问题串”呈现和“紧凑型例题”设置的教学模式，以问题和变式的方式，引导学生主动学习、合作探究、展示交流.
3.情感、态度与价值观
通过学习，体会数学的变化规律，提高学习数学的兴趣，通过问题合作探究，培养学生的探索精神和探究创新能力.
1.教材分析
本节为《普通高中课程标准实验教科书.数学必修4(人教社A版)》第一章《三角函数》的“1.4.2正弦函数、余弦函数的性质”的第二课时的内容（第1节是主要任务是学习三角函数的图像，第2节课的第一课时主要研究三角函数的周期性），是正弦函数、余弦函数图像与性质从数到形，从形到数的完美结合，是实现从定量分析到定性认识的升华过程，更是函数性质在三角函数中的深入研究，同时为后续研究正切函数的图像性质做准备，承前启后的作用不言而喻.
2．学情分析
该课堂的教学是在学生已经学习了三角函数的性质（一）即函数周期性的基础上展开的.学生已经具备了一定的探究经验和分析、解决问题的思维方式方法，可以借助已有的知识与能力储备，充分运用数形结合的思想来完成本节课的学习任务.
3．课标解读
与研究周期性的方法一样，根据正弦函数、余弦函数图像及函数解析式，同样可以直观地看出这两个函数的奇偶性、单调性、最大（小）值等性质. 值得注意的是，对周期函数的讨论，只要认识清楚它在这个周期内的性质，就可以得到它在整个定义域内的性质.
正弦函数、余弦函数的奇偶性，无论是由图像观察，还是由诱导公式进行证明，都较容易，所以这一性质的研究可以交给学生完成.
正弦函数、余弦函数的单调性，只要求由图像观察，不要求证明.
4.《考试说明》与《学科教学指导意见》的诠释
《2015年浙江省普通高考考试说明》(下简称《考试说明》)的本节内容的考试要求叙述为“理解正弦函数、余弦函数的图像与性质（如单调性、最大最小值以及与 轴交点等）”.
《2012版浙江省普通高中学科数学教学指导意见》（下简称《学科教学指导意见》）对本节内容的教学重点是：正弦、余弦函数的图像及其主要性质（包括周期性、单调性、奇偶性、最值和值域），难点是：正弦函数和余弦函数图像间的变换.
对三角函数的图像与性质的教学，建议通过给出一定的实例，展现正弦函数图像，使学生对这类函数图像有一个直观的了解.
教学重点：
正弦函数、余弦函数的奇偶性，单调性，最值，研究函数性质的方法.
教学难点：
利用正弦函数、余弦函数的周期性来研究它们的单调性与最值.
4.1 第一学时
&&&&教学活动
活动1【导入】正弦、余弦函数图像性质
1、课题引入
【思考1】如何求函数 与直线 围成的封闭图形的面积？
师：你希望通过什么办法来求该封闭图形的面积？
师：很好！余弦函数有什么样的对称性呢？
【思考2】不求值，怎样比较 与 的大小？
师：在不求值的前提下，比较不同角的正弦值，你觉得应当如何考虑？
生：研究正弦函数的单调性，再利用单调性比较.
师：好极了！正弦函数有怎样的对称性和单调性呢？让我们一起来探究一下，这两个函数的重要性质吧！
设计意图：给出2个思考题，显然是为了激发学生的求知欲望.思考1是希望同学在掌握余弦函数奇偶性的基础上，进一步探究归纳出它的对称性，从而不难求得封闭图形的面积；思考2是根据教材上的例题改编的，目的是通过诱导将两个要比较的正弦值，看作是在某个单调区间上的函数值比较，为本节课研究正弦函数单调性做好铺垫.
活动2【讲授】新知探究
【问题1】观察已学的正弦函数、余弦函数的图像，你是否发现它们具有的某种对称性？请给出你的证明？
设计意图：让学生利用直观图像发现对称，进而反映到代数性质上，得到正弦函数、余弦函数的奇偶性，使学生能从“以形助数”和“以数辅形”的数形结合思想来理解这两个函数的奇偶性.
【问题2】任取正弦函数的一个周期的图像，如何探究它的单调性？你能写出它在 上的增区间、减区间吗？
设计意图：提出问题，让他们自主探究，并获得正弦函数的增减区间，但必须注意给学生充足的思考时间，培养学生自主探究能力，同时对进一步理解周期函数也有较好的促进作用.
活动3【活动】新知理解
3、新知理解
（1）练习：P40& 1，2，4
设计意图：通过学生自主解答，进一步理解正弦函数、余弦函数的单调性与最值.
学生活动：略
教师活动：巡视或参与个别同学的交流，既要肯定他们的研究成果，也应当纠正存在的问题，使多数同学得到及时点拨和指导.
（2）例1 &求下列函数的最大（小）值及相应 的集合.
设计意图：通过从特殊到一般研究方法及换元法的思想，让同学在理解新知的基础上，归纳出形如 或 的函数最值情况.
教师活动：教师板书解答过程，强调书写要求.
变式1：函数改为 ？
变式2：试比较： 的大小，并说明理由.
变式3：求函数 的值域？
变式4：求函数 的单调增区间？
变式5：求函数 的单调增区间？
设计意图：通过一系列的变式，使学生能正确利用正弦函数、余弦函数的单调性解答有关最值及比较大小问题，使对知识的考查更为紧凑，在激发学生的求知欲望的同时，实现自我挑战.
活动4【活动】合作探究
【问题5】容易知道，正弦函数 是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心.除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？若有，对称中心的坐标是什么？另外，正弦曲线是轴对称图形吗？若是，对称轴的方程又是什么？
设计意图：对称性是函数奇偶性的推广，给出问题5比较自然贴切.本节课在充分运用数学思想的前提下，研究正弦函数、余弦函数的两个重要性质——奇偶性和单调性，而对称性是从整体角度研究的函数性质，利用数形结合的思想和由特殊到一般的方法，归纳出 对称中心坐标和对称轴方程的一般形式，目的是培养学生的探究能力与创新意识，为今后学习其他函数知识提供重要的理论与实践经验.
结论5：正弦函数 的对称中心为 ，对称轴方程是 .
活动5【讲授】课堂小结
5、课堂小结
1、本堂课我们学习了正弦函数、余弦函数的哪些重要性质？
2、探究正弦函数、余弦函数的性质的基本思路是什么？
活动6【作业】课后作业
三、课后作业
1、必修四 P41 练习& 6&&&& P46& 习题 1.4& A组& 2，4，5
2、类比问题5，研究余弦曲线的对称中心坐标和对称轴方程？
活动7【测试】课后反思
1、发展思维是数学教学的核心
本堂课笔者主要通过2个问题引入新课，激发学生求解欲望.之后，通过4个问题串，将主要的新知以进行循序渐进、层层深入的自然方式，逐个解答，形成概念.每个问题都是通过学生自主探究，归纳总结得到，远比教师强硬灌输的效果要好.
教学中要注意引导学生根据函数图像以及《必修1》中给出的增减函数定义进行描述，具体的可以先选择一个恰当的区间（该区间长为一个周期，且含有一个单增区间和一个单减区间），对于正弦函数在这个区间上的单调性进行描述；然后利用正弦函数的周期性说明在其他区间上的单调性.
正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论，由于问题比较简单，所以可以由学生自己去研究.同样的，对于最大（小）值时的自变量的一般形式，也要注意引导学生利用周期性进行正确归纳.
2、渗透思想是数学教学的灵魂
本堂课通过例题和一系列的变式研究，形成了知识体系，渗透了“类比”和“数形结合”的重要思想，并在问题的探究、解决过程中揭示了数学思想方法的本质内涵.使学生深刻体会解决这类问题的基本规律是——特殊到一般.
对于余弦函数的单调性，可以让学生类比正弦函数的单调性自己描述，另外，从一个周期区间推广到整个定义域上去，学生会有些不习惯，教学值要留给学生一定的思考时间，由他们自己归纳出正弦函数、余弦函数单调区间的一般形式.
3、培养能力是数学教学的宗旨
本堂课，无论从学生探究新知，还是归纳结论，都体现培养能力的根本宗旨.尤其是一个例题的5个变式，步步紧逼，层层深入，让学生深刻领会到：变是一种创新，是一种智慧，更是一种能力.
1.4.2　正弦函数、余弦函数的性质
课时设计 课堂实录
1.4.2　正弦函数、余弦函数的性质
&&&&教学活动
活动1【导入】正弦、余弦函数图像性质
1、课题引入
【思考1】如何求函数 与直线 围成的封闭图形的面积？
师：你希望通过什么办法来求该封闭图形的面积？
师：很好！余弦函数有什么样的对称性呢？
【思考2】不求值，怎样比较 与 的大小？
师：在不求值的前提下，比较不同角的正弦值，你觉得应当如何考虑？
生：研究正弦函数的单调性，再利用单调性比较.
师：好极了！正弦函数有怎样的对称性和单调性呢？让我们一起来探究一下，这两个函数的重要性质吧！
设计意图：给出2个思考题，显然是为了激发学生的求知欲望.思考1是希望同学在掌握余弦函数奇偶性的基础上，进一步探究归纳出它的对称性，从而不难求得封闭图形的面积；思考2是根据教材上的例题改编的，目的是通过诱导将两个要比较的正弦值，看作是在某个单调区间上的函数值比较，为本节课研究正弦函数单调性做好铺垫.
活动2【讲授】新知探究
【问题1】观察已学的正弦函数、余弦函数的图像，你是否发现它们具有的某种对称性？请给出你的证明？
设计意图：让学生利用直观图像发现对称，进而反映到代数性质上，得到正弦函数、余弦函数的奇偶性，使学生能从“以形助数”和“以数辅形”的数形结合思想来理解这两个函数的奇偶性.
【问题2】任取正弦函数的一个周期的图像，如何探究它的单调性？你能写出它在 上的增区间、减区间吗？
设计意图：提出问题，让他们自主探究，并获得正弦函数的增减区间，但必须注意给学生充足的思考时间，培养学生自主探究能力，同时对进一步理解周期函数也有较好的促进作用.
活动3【活动】新知理解
3、新知理解
（1）练习：P40& 1，2，4
设计意图：通过学生自主解答，进一步理解正弦函数、余弦函数的单调性与最值.
学生活动：略
教师活动：巡视或参与个别同学的交流，既要肯定他们的研究成果，也应当纠正存在的问题，使多数同学得到及时点拨和指导.
（2）例1 &求下列函数的最大（小）值及相应 的集合.
设计意图：通过从特殊到一般研究方法及换元法的思想，让同学在理解新知的基础上，归纳出形如 或 的函数最值情况.
教师活动：教师板书解答过程，强调书写要求.
变式1：函数改为 ？
变式2：试比较： 的大小，并说明理由.
变式3：求函数 的值域？
变式4：求函数 的单调增区间？
变式5：求函数 的单调增区间？
设计意图：通过一系列的变式，使学生能正确利用正弦函数、余弦函数的单调性解答有关最值及比较大小问题，使对知识的考查更为紧凑，在激发学生的求知欲望的同时，实现自我挑战.
活动4【活动】合作探究
【问题5】容易知道，正弦函数 是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心.除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？若有，对称中心的坐标是什么？另外，正弦曲线是轴对称图形吗？若是，对称轴的方程又是什么？
设计意图：对称性是函数奇偶性的推广，给出问题5比较自然贴切.本节课在充分运用数学思想的前提下，研究正弦函数、余弦函数的两个重要性质——奇偶性和单调性，而对称性是从整体角度研究的函数性质，利用数形结合的思想和由特殊到一般的方法，归纳出 对称中心坐标和对称轴方程的一般形式，目的是培养学生的探究能力与创新意识，为今后学习其他函数知识提供重要的理论与实践经验.
结论5：正弦函数 的对称中心为 ，对称轴方程是 .
活动5【讲授】课堂小结
5、课堂小结
1、本堂课我们学习了正弦函数、余弦函数的哪些重要性质？
2、探究正弦函数、余弦函数的性质的基本思路是什么？
活动6【作业】课后作业
三、课后作业
1、必修四 P41 练习& 6&&&& P46& 习题 1.4& A组& 2，4，5
2、类比问题5，研究余弦曲线的对称中心坐标和对称轴方程？
活动7【测试】课后反思
1、发展思维是数学教学的核心
本堂课笔者主要通过2个问题引入新课，激发学生求解欲望.之后，通过4个问题串，将主要的新知以进行循序渐进、层层深入的自然方式，逐个解答，形成概念.每个问题都是通过学生自主探究，归纳总结得到，远比教师强硬灌输的效果要好.
教学中要注意引导学生根据函数图像以及《必修1》中给出的增减函数定义进行描述，具体的可以先选择一个恰当的区间（该区间长为一个周期，且含有一个单增区间和一个单减区间），对于正弦函数在这个区间上的单调性进行描述；然后利用正弦函数的周期性说明在其他区间上的单调性.
正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论，由于问题比较简单，所以可以由学生自己去研究.同样的，对于最大（小）值时的自变量的一般形式，也要注意引导学生利用周期性进行正确归纳.
2、渗透思想是数学教学的灵魂
本堂课通过例题和一系列的变式研究，形成了知识体系，渗透了“类比”和“数形结合”的重要思想，并在问题的探究、解决过程中揭示了数学思想方法的本质内涵.使学生深刻体会解决这类问题的基本规律是——特殊到一般.
对于余弦函数的单调性，可以让学生类比正弦函数的单调性自己描述，另外，从一个周期区间推广到整个定义域上去，学生会有些不习惯，教学值要留给学生一定的思考时间，由他们自己归纳出正弦函数、余弦函数单调区间的一般形式.
3、培养能力是数学教学的宗旨
本堂课，无论从学生探究新知，还是归纳结论，都体现培养能力的根本宗旨.尤其是一个例题的5个变式，步步紧逼，层层深入，让学生深刻领会到：变是一种创新，是一种智慧，更是一种能力.
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