王顺安　湖南省祁东县黄土铺镇中学　421600
摘　要：数学教学要引导学生&猜想&&试验&&分析&&归纳&，激发学生自主探究，改变传统课堂过分注重演绎、推理，强调形式、逻辑的弊端。从正面论证、构造反例解决问题、动手实验操作、创设问题情境，激发学生从猜想入手，从而培养逆向思维能力、观察分析能力、归纳推理能力、从实验中揭示规律的能力，全面培养学生数学创新思维能力。
关键词：数学猜想　创新思维　培养
&&&&&&& 猜想是对研究的对象或问题进行观察、实验、分析、比较、联想、类比、归纳等，依据已有的材料知识做出符合一定的经验与事实的推测性想象的思维方法。数学猜想就是指依据某些已知事实和数学知识，对未知量及其关系所作出的一种似真推断。是学生在探索数学规律和本质时的一种行之有效的好方法。教学生猜想比教学生证明更为重要。学生在猜想过程中，新旧知识的碰撞会激发智慧的火花，思维会有很大的跳跃性。知识经济时代要求人们具有创新精神、创新思维、创新技能。这要求我们培养学生的创新能力。很多著名的数学结论都是从猜想开始的，所以在数学教学中，要鼓励学生大胆提出猜想，发表独特见解，探索创新地学习数学。
&&&&&&& 数学新课程标准指出，学生通过义务教育阶段的学习，要求教师组织学生对数学现象开展观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动，引导学生进行猜想、归纳，从而发现规律，主动获取新知，使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展，培养合情推理能力和初步的演绎推理能力。 为了适应当今社会发展的需要，数学教育要提高学生的创新能力，教学中就必须要有猜想教学，让学生学会由特殊到一般的数学思考的方法，由此培养学生归纳能力，通过直观的实验与归纳，自主探索。我在初中数学教学中，从以下方面来引导学生进行数学猜想，培养学生的数学创新思维能力。
&&&&&&& 一、验证正确猜想，说出正确猜想理由
&&&&&&& 例如，在教三角形时，教师不能直接教书本中已给出现成的结论，而是先提出：&三角形的三个内角会不会存在某种关系呢？&三个内角的和是否有一定的规律？请同学们猜想，在同学们猜想之后引导他们自己寻找方法来验证。&请同学们画一些三角形(包括锐角、直角、钝角三角形)，再用量角器量出三个角，观察一下各三角形的三个内角有什么联系。&经测量、计算，学生发现三个内角的和都在180&左右。再进一步提出:&由于具体测量会有误差，但三个内角的和数都在180&左右，三角形的三个内角之和是否为180&呢？请同学们把三个角拼在一起，看一看，构成了一个怎样的角？&学生在完成这一实验后发现，三个内角拼在一起构成一个平角。经过上述两步实验，提出&三角形的三个内角之和为180&&的猜想就水到渠成了。接着，我指出了实验操作的局限性，并要求学生给出严格的逻辑证明。在寻找证明方法时，提出:&观察拼接图形，从中能得到什么启示？&学生可凭借实践操作时的感性经验，找到证明方法。
&&&&&&& 学生在老师的层层设问下，由猜想入手，参与了问题探究的全过程。不仅对知识理解更透彻，掌握更牢固，而且从中受到观察、猜想、分析与转换等思维方法的启迪， 创造性思维和创新意识等思维品质获得了培养。
&&&&&&& 二、构造反例解决问题， 否定一种猜想，培养逆向思维能力
&&&&&&& 例：过在同一条直线上的三点，能作一个圆吗？提出问题，让同学们猜想。然后论证。
&&&&&&& 已知：如图点A、B、C在同一条直线l上。
&&&&&&& 求证：过A、B、C三点不能作圆。
&&&&&&& 证明：假设过A、B、C三点可以作圆，设这个圆的圆心为O。
&&&&&&& 由点的轨迹可知，点O在线段AB的垂直平分线l&上，并且在线段BC的垂直平分线l&上，即点O为l&与l&的交点，这与&过一点只有一条直线与已知直线垂直&相矛盾。
&&&&&&& 所以，过同一条直线上的三点不能作圆。
&&&&&&& 加强逆向思维的训练，可改变其思维结构，培养思维灵活性、深刻性和双向能力，提高分析问题和解决问题的能力。迅速而自然地从正面思维转到逆向思维的能力，这是数学能力增强的一种标志。因此，我们在课堂教学中通过猜想，列出反例论证，加强学生逆向思维能力的培养与塑造。
&&&&&&& 三、引导学生大胆猜想，指导学生探究论证，培养观察分析能力
&&&&&&& 例：任意画出两条平行线（a∥b），画一条截线c与这两条平行线相交，标出8个角（如图）。&
&&&&&&& 问题：指出图中的同位角，并度量这些角，把结果填入下表：
&&&&&&& 学生活动：画图&&度量&&填表&&猜想。
&&&&&&& 结论： 两直线平行，同位角相等。
&&&&&&& 学生对问题进行猜想，通过自己对数学现象仔细观察，认真分析，找出规律，从而培养数学观察能力。
&&&&&&& 四、动手实验操作，归纳推理，验证猜想，培养学生揭示实验规律的能力
&&&&&&& 让学生自己提出猜想，这样，他就会有追求证明的欲望，此时的数学教学也就最富有吸引力。教师只有在学生受阻的时候才给些方向性的点拨，而不要硬把他们赶上事先预设好的道路。只有这样，学生才能体验到猜想和发现的乐趣，才能真正提高思考问题和解决问题的能力。对于有一些问题，可以通过学生动手实验操作，从实验中观察的现象来归纳推理，从而验证猜想，培养学生揭示实验规律的能力。
&&&&&&& 例：n条直线相交， 最多有几个交点。&
&&&&&&& 让学生看题目，进行猜想。一开始学生们有些茫然，于是教师可启发学生：碰到这样的难题，不妨可采用数学家华罗庚&先退后进&的思想，通过特例来研究考察事物的本质，从而归纳问题的规律和性质。于是引导学生动手画一画，用心数一数，学生在画的过程中发现：当画第二条直线时，我们发现已有直线一条，因此最多可有一个交点；当画第三条直线时，最多可与原有的两条直线相交并有两个交点，因此一共有三个交点；&&渐渐地发现，直线的条数与交点的个数是两组很有规律的数据： 于是根据高斯定理，就可得：n条直线相交，最多可有 n(n-1)/2 个交点。
&&&&&&& 对于一些凭分析看不出规律的数学实例，我们只有通过亲手做实验的办法来解决，从猜想开始，亲自实验，分析归纳，从而培养学生揭示数学规律的能力。
&&&&&&& 五、创设问题情境，激发学生猜想，发展创新思维
&&&&&&& 数学教学就是学生在教师的指导下，学生的学习思维过程与数学家的思维过程同步，并逐步使其思维结构与数学家相似，需要教师引导学生模拟数学家的思维过程带领学生去发现，让学生体会到寻求真理的喜悦。教师要创设问题的情境，激发学生大胆猜想。
&&&&&&& 例：多边形内角和公式发现的问题情境创设。
&&&&&&& 教师提出问题创设情境：我们知道三角形内角和是180&，边数是3，如果我们以三角形的一边再画一个三角形，就得到一个四边形ABCD，请问这四边形的内角和是多少度？ 为什么？ 引导学生去猜想。
&&&&&&& 原来是把四边形的内角和转化为三角形的内角和，如果给你一个五边形，你能求出它的内角和？请同学们试一试。说说想法。当学生将多边形的内角和化成多个三角形来求时，引导学生：添一条辅助线，将五边形变为一个三角形和一个四边形，那么五边形内角和是360&+180&=540&&
&&&&&&& 还有不同的思考方法？引导学生：也可以添两条辅助线，将五边形分割为3个三角形。&
&&&&&&& 教师进一步引导：通过添辅助线，将五边形分割为一个四边形和一个三角形或分割为三个三角形，从而将五边形的内角和转化为已知的四边形或三角形的内角和，这是数学中常用的数学思想&&化归思想，（教师一边讲，一边有意识地列表，见下表）&
&&&&&&& 教师提问：不同的多边形，它的内角和也不同，你知道多边形内角和是随着哪个量变化而变化的吗？&
&&&&&&& 学生猜测：多边形的边数。&
&&&&&&& 教师总结：对！下面请同学们猜想n边形的内角的（画出n边形A1A2&&A n见上表）&
&&&&&&& 经过学生思考，讨论，得出猜想：n边形的内角和是（n-2）180&，经过学生自己发现的公式，无论在思想感情上，还是在学习兴趣上，都要比直接给出公式再加以证明更富有吸引力。 有了猜想的结论，证明猜想的正确性就成了学生自发的需要。于是教师趁热打铁，先请学生画一个七边形验证，在验证的基础上，又请学生对猜想的公式进行合理的说明（用不同的分割方法；从n边形的一个顶点或内一点或边上一点出发，连结各个顶点）。&
&&&&&&& 由于公式严格的证明要用到数学归纳法，此处只能用说明的方法，体现了对教材处理的&淡化形式，注重实质&。&
&&&&&&& 在试验&&猜想&&论证的过程中，教师将培养学生的思维和渗透数学思想方法融为一体，学生也经历了一次象数学家一样的&发明创造&的历程，这使他们促进了创新能力的发展和思维能力的提高。
&&&&&&& 数学方法理论的倡导者波亚利曾说：&在数学的领域中，猜想是合理的、值得尊重的、是负责任的态度。数学上讲&大胆推理，小心求证。&
&&&&&&& 由于歌德巴赫猜想、费儿马猜想的提出，数学科学才发展为今天壮观的现代数学。猜想是立足于学生已有知识经验和数学思考下的合理推测，老师鼓励学生大胆进行猜想，是让学生经历探索数学的过程，因此学生学会怎样去猜想，形成良好的猜想意识十分重要。如引导他们怎样整合材料、提出疑问，如何猜想结果或问题解决的途径。使学生在不断的猜想和验证过程中，掌握和丰富数学知识，从而培养学生的创新思维能力。
参考文献&&
[1]喻平《教学设计中教师应具备的几种意识》。
[2]霍益萍 研究性学习：实验与探索.南宁：广西教育出版社，2001。
[3]周微微 初中数学研究性学习的设计与实施.中学教研（数学），2001，5。
[4]亚历山大洛夫《数学&&它的内容方法和意义》。
[5]《数学杂志》。
[6]《数学教学研究》。
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小学数学教学中如何培养学生的抽象思维能力
上传: 王慧娇 &&&&更新时间： 20:42:54
& 小学数学教学论文 &&&小学数学教学中如何培养学生的抽象思维能力 江西省&& 东乡县&& 小璜小学&& &王慧娇 &&&&&& 数学的抽象决定了数学可以培养学习者的抽象能力，也决定了学习者必须具有一定的抽象能力。在小学数学教学大纲中对小学生思维能力培养的要求是:结合有关内容的教学,培养学生进行初步的分析、综合、比较、抽象、概括,对简单的问题进行判断推理,逐步形成有条理、有根据地思考问题的习惯，同时注意思维的敏捷性和灵活性。由于小学生年龄小，数的概念非常的模糊,抽象思维能力通常有点差，而数学教学的内容本身又具有抽象性,如何培养学生在数学教学中增强抽象思维的意识，加强抽象思维能力的培养,成为教学中不可忽视的重点之一。下面，我就多年的教学实践 ，浅谈在数学教学中如何培养学生的抽象思维能力。 　　 一、提高对思维能力的认识 　　首先在教学中有许多的教师对培养学生思维能力的认识不够，尽管教学大纲中有要求，但实际上我们大多数教师并没有从真正意义上去思考，去解决在教学中出现的关于思维能力方面的问题，没有引起足够的重视。即使小学高年级学生有一定的逻辑思维能力，能进行一些简单的推理判断，但他们不能自觉调节检查、验证自己的思维过程，不能说出自己是怎样想的。在实际教学中如何解决，这对引导学生向深远的思维空间发展很有必要。在如今从应试教育向素质教育转变的今天,学生思维能力的培养显得尤为突出和重要。 &&&&& 二、引导学生学会逐步的抽象 &&&&& 内容高度抽象，语言的精确是数学的特点。因此，学生在学习数学时，容易产生语言上的障碍和思维上的空白。为使学生能够较顺利地学习并掌握数学，在教学中注重培养学生的抽象思维能力。抽象只有摆脱具体形象，才能使思维用算法化的方式得出行的结果。例如：在教学两位数加一位数，整十数的教学中，不能反复告诉学生要把几个十和几个十相加，几个一和几个一相加，因为这样学生很难理解。我首先让学生在计数器的拨珠上计算两种加法，借助动作进行思维是最容易，最低级的。第二步，只拨一个加数想加第二个加数的拨珠动作，再说出得数。这两步既有具体的动手操作，又有表象思维的成分，比前者要求略高。第三步计数器拿走想象两数相加拨珠的动作，再说出得数。想象两珠相加拨珠的动作，关键是想若加4的话4应该加在哪位，若加40的话4应该加在哪位，有前两步的基础，学生这一步的想象应该不会出错，答案基本正确。第四步看算式直接说出得数。这四步可以是小步子前进，思维由动作到半动作半表象再到表象思维最后到抽象思维，由易到难，循序渐进，拾级而上。在教学事例中，我们都用到了表象思维，它促进了形象思维向抽象思维的跨越与提升。如六年级有这样一类题：&一批布，做上衣可做20件，做裤子可做30条，这批布可做多少套衣服？&这种题可以抽象成工程问题，通过抽象的方式解决问题。 &&&&&& 三、抽象思维的好途径&&形式运算 &&&&&& 在数学解题中有意识的培养学生的抽象思维是很重要的。学生在解题中学会总结、概括，从大量的具体习题中得到一般的解题方法，对提高学生的解题能力具有事半功倍的作用。例如：在教学用字母表示数时，我启发学生用数字代替字母，作具体计算得出，加以推广，然后用数学归纳法证明，完成了用字母代替数字的抽象概括。因此，学生在学习数学时，容易产生语言上的障碍和思维上的空白。为使学生能够较顺利地学习并掌握数学，我曾有计划地帮助学生培养抽象和概括的能力，使他们提高数学思维品质，同时，也发展了他们自身的创造能力。由具体到抽象的过程是多样的。 &&&&&&& 总之，在不增加学生课外负担的前提下，在数学教学中注重培养学生的抽象思维能力，有助于学生掌握数学的概念、规则和提高学生的解题能力。帮助学生克服学习数学中的障碍，提高学生学习数学的兴趣，使学生的素质得到全面提高. & &
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如何提高小学生数学思维能力的几种方法
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如何培养小学生的数学归纳能力数学是一门基础性的学科，在数学学习过程中能培养学生的创新能力和思维能力。但是在真正的教学活动中，由于缺乏对学生实践能力及创新能力的培养，学生处于被动学习状态，不利于学生全面发展，本文提出了培养学生归纳推理能力的教学策略，让学生在教学活动中实施研究式学习，增强学生的思维意识，提高数学成绩。一、高中数学归纳推理教学现状分析当前在数学教学中，由于学生对基础知识掌握比较熟练，并且在学习过程中计算、推理及逻辑演绎的技能也在逐渐增强，这就使得现阶段的高中教学质量不断提高，但是受到传统教学方式的影响，教学策略的局限性直接限制了学生的个性及创造性思维的发展。这种传统的教学方式忽视个体的差异，教师的教学方式比较单一，缺乏针对性，这就造成学生的学习积极性及主动性受到限制，严重影响学生的创造意识及能力的增强；另外，在教学过程中师生之间缺乏互动、交流，应用应试教育下的教学模式，并没有让学生形成创新学习意识。二、归纳推理能力的培养归纳推理教学策略，是一种探究式的教学模式，主要是指：在教学活动中以学生为主体，在教学活动中最大限度地发挥积极性和主动性。在教学过程中，在教师的引导下，学生进行自主探究和合作，这个就需要以一定的数学问题及相关内容作为教学的出发点，通过学生自由思考、分析、讨论最终获得知识及技能的过程。在归纳推理教学中，教师需要为学生创造良好的探究氛围，引导和帮助学生，最终取得良好的教学成果，同时需要学生积极配合，在学习过程中最大限度地发挥主动性和创造性，在归纳推理中不断总结经验，通过学习方式的转变提高高中数学学习质量。在归纳推理教学方式的研究中，由于数学学科揭示的是事物基本的规律，其中包含一定的辩证唯物思想，因此在具体的实施过程中需要结合教学内容，通过演绎、类比及证明的步骤培养学生的归纳推理能力。在归纳推理的教学中，重要的是在不断学习积累的过程中，对知识进行整理和归纳，这样就能够不断深化、提高。因此在归纳推理教学中，重要的是根据问题的本质进行研究，其中主要分为：题型变式及解题变式两种。这两种教学方式的进行能够帮助学生进行发散思维的训练，具体的是，在一题多变的变式中，主要是揭示了问题的根本属性，掌握解决问题的方法，在学习中通常是对局部进行调整，培养学生的理解和掌握能力。三、结语在教学中通过创设具体的情境，让学生在不断探索中，结合已有数学知识，在相对宽松的学习氛围中，提高学生的学习兴趣，完善知识结构，在主动参与的过程中，促进学生不断增强自主性。另外，归纳推理能力的培养，在教学活动中促进了学生自学能力的增强，培养了多动手、多思考的学习能力，提高了分析解决问题的能力，在培养创新意识的同时，增强了思维意识，通过自身的归纳总结，改变了学生对数学学习的态度，有效提高了教学质量，有助于学生在学习中发扬个性，在提高数学成绩的同时完善学习策略。今天，有幸听了徐长青老师执教的《广角的认识――重复》一课，让我深刻的意识到：在小学数学教学中，培养小学生的数学思维能力是小学数学的必要，也是小学数学教学的重要任务之一。在徐老师的课中，我们随处可以看到孩子们思维的火花。在教学中，我们可以清楚的感受到学生的数学思维对其在数学道路上的发展特别重要。所以，作为教师我们可以根据每节课、每个教学环节的不同内容来选择恰当的教学方法，通过学生自发的探索，把思维解放出来，用说、想、做等来训练和培养学生的数学思维能力。一、留出空间，让学生在自我探讨中培养解决问题的能力，从而提升数学思维。在学习新知阶段，教师重视加强操作感和知识迁移的指导，从整体到局部设计有坡度、有层次、有启发性、符合学生认识规律的系列问题和操作要求，让学生经历探索新知识的思维过程，引导学生自己想问题、寻方法、作结论，发现新知识的规律，从而培养学生学习能力，发展学生智力。例如:在徐长青老师所执教的《广角的认识――重复》这课，我们亲眼见识了学生用两个呼啦圈探讨并解决了集合这一问题的能力。那一刻是孩子思维火花的迸发，是徐老师放手让学生自我探讨的大智慧的结果。因此，我们看到了学生解决问题过程中体现的魅力和精彩。二、只要学生敢说，就应该赞美。从说理中解放学生的思维，培养学生的思维能力。培养学生逻辑思维能力和训练学生的数学语言是分不开的。语言是思维的工具，思维过程要靠语言表达，而语言的发展又能促进学生思维的发展。因此，徐老师主张在教学中应创造条件让学生更多地说理，表达自己的想法。老师在提问的过程中，应尽量地忘记答案。老师总觉得孩子回答错了就是笨蛋，那是因为老师知道答案。其实只要孩子们敢说，就应该赞美，因为这正是孩子们思维的解放，从说理中训练和培养学生的语言表达能力，从而达到发展学生数学思维的目的。因此在徐长青老师的课上，我们常常听到他说这样的话：“孩子们，勇敢的说出自己的想法，只要敢说的孩子都是最棒的；孩子们你们说的都是对的，因为你们能自圆其说；孩子们给刚才回答过问题的所有孩子最热烈的掌声……”正是刘老师的这一句句话让本不是很活跃的孩子变的敢于说出自己的想法，使语言能力得到训练。这让我想起我在三年级上册上《花边有多长》这课时，就通过量黑板的长和宽，让学生自己想办法算出黑板边的总长。然后让学生把自己的方法用语言表达出来，就有了长方形周长=两条长+两条宽。经过进一部引导，学生就表达出了长方形的周长=（长+宽）×2，这样不仅可以训练学生的语言表达能力，加深学生对知识的理解，也培养了学生思维的逻辑性。三、巧设练习，练习可以是贴近生活的，也可以是训练发散性思维的等等，从练习中培养灵活思维能力。练习是数学教学的重要组成部分，是使学生掌握知识、形成技能、发展智力的重要手段，这是沟通知识与能力的桥梁。教师有目的、有计划、有步骤的精心巧设、有指导性的课堂练习是培养学生思维灵活性和发展学生逻辑思维能的重要途径。徐长青老师在这课中就设计了这样一个专项练习：给爸爸找位置。调查并统计出只抽烟的爸爸，只喝酒的爸爸和既抽烟又喝酒的爸爸。这样的练习不仅紧紧的围绕教学目标，还贴近生活，一下就激发了孩子的兴趣和思维。因此，在小学数学教学过程中，当学生学习过一个新知识后，教师可根据教学内容和要求巧设练习。练习可以是贴近生活的；可以是训练发散性思维的等等。我仔细地想了想，可以从这几个方面精心设计练习：①围绕教学重、难点设计专项练习②针对易混易错知识设计对比性练习；③根据学生的思维特点设计变式练习；④根据不同程度的学生设计不同层次的练习。通过训练，巩固基础知识，克服思维定势，提高学生的应变能力和综合解决问题的能力。四、从愉悦的课堂小结中培养学生归纳概括的能力，可以是对知识的小结，也可以是思想上的认知和富有创造性的语言，从而达到思维的飞跃。一般来说，在课堂上，对所教学的新知识，教师都要引导学生进行归纳小结，配合小结应充分发挥学生的主体作用，让他们自己通过归纳、综合和概括来反映概念的本质和数学的原理。例如：我在讲授三年级下册的《轴对称图形》这课时就通过折一折的活动让学生发现并归纳出什么叫轴对称图形。我觉得这样就有效地培养了学生的观察、归纳和概括能力。现在我知道了，其实课堂小结不光是知识的概括，还有很多学生思想上的认知和创造性的语言。在徐长青老师的课上，我们就听到了这样的声音：“我们爱老师，但是更爱真理；只要能说出正确理由的答案都是对的；把自己的想法跟别人分享是一种美德……”这一声声稚嫩的声音不正是他们思想的认知和思维的飞跃吗？以上就是我听了徐长青老师的课的一些看法和观点。对学生进行思维能力的培养，要相信孩子，认可孩子。只有我们适度的放手相信他们能做到，他们才能解放思维，让思维的火花跳跃。这样才能收到良好的教学效果。
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