全增量和全微分我不知道该怎么求！谢谢全过程_百度知道高数全微分问题z=!xy!的全微分怎么解 指的是绝对值
温柔_奐棢稻66
楼主你好：z=|xy|z=xy,z=-xyxy>0dz=ydx+xdy xy
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扫描下载二维码求解，全微分_百度知道在我看来，全微分是针对不规则图形像曲面和曲线上一点对于原点的方向的度量，对吗？还有什么其他的意义，好理解一点的
哎呀~~看来都没人答。。。我来答吧~~如果题主还需要的话。。。现在上课等会再写。。。
&a class=&member_mention& href=&///people/79ee265a4ef6ccaea567da& data-hash=&79ee265a4ef6ccaea567da& data-hovercard=&p$b$79ee265a4ef6ccaea567da&&@邹益健&/a&&a class=&member_mention& href=&///people/5c05c9c0be702a0c3966f3def70e3faf& data-hash=&5c05c9c0be702a0c3966f3def70e3faf& data-hovercard=&p$b$5c05c9c0be702a0c3966f3def70e3faf&&@Yuhang Liu&/a& 感谢二位大仙的指正，dz可以作为实数。下面这种映射有个专有名词叫：1-form&br&&br&是时候上这张图了：&br&&img data-rawheight=&810& data-rawwidth=&1080& src=&/ee8ed3b1b84d_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&/ee8ed3b1b84d_r.jpg&&&br&如图所示，dz就是个增量，这在维数升高的时候非常好理解。我们对每个方向都求出一个微小的单位元（线性代数里叫基）{dx,dy,du,……}在保证他们都非常小且单位统一的时候，乘以各自的偏导就得到了在各自方向上的变化量，最后组成了一个微小的dz增量。
感谢二位大仙的指正，dz可以作为实数。下面这种映射有个专有名词叫：1-form 是时候上这张图了： 如图所示，dz就是个增量，这在维数升高的时候非常好理解。我们对每个方向都求出一个微小的单位元（线性代数里叫基）{dx,dy,du,……}在保证…
强答一发，来谈谈关于微分以及全微分之类的概念的理解。比较naive，大神轻拍。&br&&br&先说结论：&br&一个&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D%5E3+%5Crightarrow+%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}& eeimg=&1&&的可微函数&img src=&///equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&在某点&img src=&///equation?tex=%5Cmathbf%7Bx%7D%3D%28x_1%2Cx_2%2Cx_3%29& alt=&\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)& eeimg=&1&&处的微分&img src=&///equation?tex=%5Ctext%7Bd%7Df_%7B%5Cmathbf%7Bx%7D%7D& alt=&\text{d}f_{\mathbf{x}}& eeimg=&1&&应该理解成一个&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D%5E3& alt=&\mathbb{R}^3& eeimg=&1&&上的&b&线性函数&/b&。而全微分式&img src=&///equation?tex=%5Ctext%7Bd%7Df_%7B%5Cmathbf%7Bx%7D%7D%0A%3D%0A%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+x_1%7D%28%5Cmathbf%7Bx%7D%29+%5Ctext%7Bd%7D+x_1%0A%2B%0A%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+x_2%7D%28%5Cmathbf%7Bx%7D%29+%5Ctext%7Bd%7D+x_2%0A%2B%0A%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+x_3%7D%28%5Cmathbf%7Bx%7D%29+%5Ctext%7Bd%7D+x_3& alt=&\text{d}f_{\mathbf{x}}
\frac{\partial f}{\partial x_1}(\mathbf{x}) \text{d} x_1
\frac{\partial f}{\partial x_2}(\mathbf{x}) \text{d} x_2
\frac{\partial f}{\partial x_3}(\mathbf{x}) \text{d} x_3& eeimg=&1&&表示的是这个线性函数在&img src=&///equation?tex=%5C%7B+%5Ctext%7Bd%7Dx_1%2C%5Ctext%7Bd%7Dx_2%2C%5Ctext%7Bd%7Dx_3%5C%7D& alt=&\{ \text{d}x_1,\text{d}x_2,\text{d}x_3\}& eeimg=&1&&这组基下的分解。其中&img src=&///equation?tex=%5Ctext%7Bd%7Dx_i& alt=&\text{d}x_i& eeimg=&1&&表示的是一个特殊的线性函数，他做的事情是把&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D%5E3& alt=&\mathbb{R}^3& eeimg=&1&&中一个元素的第&img src=&///equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&&个分量取出来。&br&&br&目测非数学专业的同学看完这段话之后已经完全懵逼了，所以我打算从一元函数的情况开始，解释一下这种说法的意义。&br&&br&我们都很清楚，一元函数&img src=&///equation?tex=f%3A%5Cmathbb%7BR%7D+%5Crightarrow+%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}& eeimg=&1&&在&img src=&///equation?tex=x%3Dx_0& alt=&x=x_0& eeimg=&1&&处的导数定义为&img src=&///equation?tex=f%27%28x_0%29%3D%5Clim_%7Bh+%5Crightarrow+0%7D+%5Cfrac%7Bf%28x_0%2Bh%29-f%28x_0%29%7D%7Bh%7D& alt=&f'(x_0)=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}& eeimg=&1&&&br&当然，严格地意思是右端极限存在的时候称函数在这一点可导，导数记作&img src=&///equation?tex=f%27%28x_0%29& alt=&f'(x_0)& eeimg=&1&&，如果右端极限不存在就称其在这一点处不可导。我们的课本一般还会提到“可微”的概念，这个概念是这么定义的：如果存在一个实数&img src=&///equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&&，使得式子&img src=&///equation?tex=f%28x_0%2Bh%29-f%28x_0%29%3DAh%2Bo%28h%29& alt=&f(x_0+h)-f(x_0)=Ah+o(h)& eeimg=&1&&成立（当&img src=&///equation?tex=h+%5Crightarrow+0& alt=&h \rightarrow 0& eeimg=&1&&时），那么就说&img src=&///equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&在&img src=&///equation?tex=x_0& alt=&x_0& eeimg=&1&&处可微。&img src=&///equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&在这一点的&b&微分&/b&记作&img src=&///equation?tex=%5Ctext%7Bd%7Df_%7Bx_0%7D%3DA+%5Ctext%7Bd%7Dx& alt=&\text{d}f_{x_0}=A \text{d}x& eeimg=&1&&。&br&我们还有可导和可微等价的结论，也就是说，如果&img src=&///equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&在&img src=&///equation?tex=x_0& alt=&x_0& eeimg=&1&&处可导，那么必然可微——取&img src=&///equation?tex=A%3Df%27%28x_0%29& alt=&A=f'(x_0)& eeimg=&1&&即可。反之亦然——容易证明此时导数&img src=&///equation?tex=f%27%28x_0%29& alt=&f'(x_0)& eeimg=&1&&就是可微定义里面的&img src=&///equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&&。&br&&br&一般初学者在看到可微的定义的时候都会大呼坑爹（至少我当时是这样的）：明明有可导这么清晰明白可以直接写成一个极限式子的定义，为啥还要定义可微这种既不容易验证，看上去还古怪的概念呢？最重要的是它还和可导的概念没有区别，可导和可微是等价的嘛。&br&&br&事实上，可微这个概念的好处在一元函数的时候是不容易察觉的。但是到了二元函数的时候，我们发现上面导数的定义就失效了——因为这时候自变量的增量&img src=&///equation?tex=h& alt=&h& eeimg=&1&&在&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D%5E2& alt=&\mathbb{R}^2& eeimg=&1&&中，而我们没有办法进行“除以&img src=&///equation?tex=h& alt=&h& eeimg=&1&&”这个操作。但是可微的定义依旧是可以保留的：&br&称&img src=&///equation?tex=f%3A%5Cmathbb%7BR%7D%5E2+%5Crightarrow+%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}& eeimg=&1&&在&img src=&///equation?tex=%5Cmathbf%7Bx%7D%3D%28x_1%2Cx_2%29& alt=&\mathbf{x}=(x_1,x_2)& eeimg=&1&&处可微，如果存在一个&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D%5E2+%5Crightarrow+%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}& eeimg=&1&&的线性函数&img src=&///equation?tex=T& alt=&T& eeimg=&1&&，使得式子&br&&img src=&///equation?tex=f%28%5Cmathbf%7Bx%7D%2B%5Cmathbf%7Bh%7D%29-f%28%5Cmathbf%7Bx%7D%29%3DT%5Cmathbf%7Bh%7D%2Bo%28%7C%5Cmathbf%7Bh%7D%7C%29& alt=&f(\mathbf{x}+\mathbf{h})-f(\mathbf{x})=T\mathbf{h}+o(|\mathbf{h}|)& eeimg=&1&&成立（当&img src=&///equation?tex=%5Cmathbf%7Bh%7D%3D%28h_1%2Ch_2%29+%5Crightarrow+%280%2C0%29& alt=&\mathbf{h}=(h_1,h_2) \rightarrow (0,0)& eeimg=&1&&时）。此时定义&img src=&///equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&在这一点处的&b&微分&/b&为&img src=&///equation?tex=%5Ctext%7Bd%7Df_%7B%5Cmathbf%7Bx%7D%7D+%3D+T& alt=&\text{d}f_{\mathbf{x}} = T& eeimg=&1&&。&br&&br&对比一元函数微分的定义，你会发现这是自然的推广（需要注意到，&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&\mathbb{R}& eeimg=&1&&上的线性函数就是数乘，所以&img src=&///equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&&可以看成进行“数乘&img src=&///equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&&”这个运算的线性函数）。而且这种定义有十分直观的含义：&br&&img src=&///equation?tex=f%28%5Cmathbf%7Bx%7D%2B%5Cmathbf%7Bh%7D%29-f%28%5Cmathbf%7Bx%7D%29%3DT%5Cmathbf%7Bh%7D%2Bo%28%7C%5Cmathbf%7Bh%7D%7C%29& alt=&f(\mathbf{x}+\mathbf{h})-f(\mathbf{x})=T\mathbf{h}+o(|\mathbf{h}|)& eeimg=&1&&&br&这个式子左边就是因变量在&img src=&///equation?tex=%5Cmathbf%7Bx%7D& alt=&\mathbf{x}& eeimg=&1&&附近的变化量，而右边&img src=&///equation?tex=T%5Cmathbf%7Bh%7D& alt=&T\mathbf{h}& eeimg=&1&&是自变量的变化量在线性函数作用下的结果。这个式子说明，我们可以用自变量的线性变化来逼近函数的变化，而且相对误差随着&img src=&///equation?tex=%5Cmathbf%7Bh%7D& alt=&\mathbf{h}& eeimg=&1&&趋于零是趋于零的。正如 &a data-hash=&b117b8b4ad1f92713dad8cfd0b77c8e4& href=&///people/b117b8b4ad1f92713dad8cfd0b77c8e4& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@lailahcxf& data-tip=&p$b$b117b8b4ad1f92713dad8cfd0b77c8e4& data-hovercard=&p$b$b117b8b4ad1f92713dad8cfd0b77c8e4&&@lailahcxf&/a& 所言，此时在三维坐标（记号上的问题，我们现在的三维坐标只能用&img src=&///equation?tex=%28h_1%2Ch_2%2Cz%29%3D%28%5Cmathbf%7Bh%7D%2Cz%29& alt=&(h_1,h_2,z)=(\mathbf{h},z)& eeimg=&1&&来表示了，而&img src=&///equation?tex=%5Cmathbf%7Bx%7D& alt=&\mathbf{x}& eeimg=&1&&现在表示的是和一元时候那个定点&img src=&///equation?tex=x_0& alt=&x_0& eeimg=&1&&同等地位的东西，希望不要引发误会）下&img src=&///equation?tex=z%3Df%28%5Cmathbf%7Bx%7D%29%2BT%5Cmathbf%7Bh%7D& alt=&z=f(\mathbf{x})+T\mathbf{h}& eeimg=&1&&表示的就是和&img src=&///equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&的图像所表示的曲面&img src=&///equation?tex=z%3Df%28%5Cmathbf%7Bh%7D%29& alt=&z=f(\mathbf{h})& eeimg=&1&&相切的一个平面，而且用这个平面来逼近&img src=&///equation?tex=z%3Df%28%5Cmathbf%7Bh%7D%29& alt=&z=f(\mathbf{h})& eeimg=&1&&的话，在&img src=&///equation?tex=%5Cmathbf%7Bh%7D%3D%5Cmathbf%7Bx%7D& alt=&\mathbf{h}=\mathbf{x}& eeimg=&1&&附近误差是足够小的。（实际上，你会感觉到这才是最符合“以直代曲”思想的做法。一元的时候因为&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&\mathbb{R}& eeimg=&1&&既有自然序，又有域的结构，我们可以自然地定义导数，所以可以“偷懒”不谈微分，但是过分依赖一元时候的看法在多元的时候就会付出代价。）&br&&br&最后我们再来解释二元的全微分式&br&&img src=&///equation?tex=%5Ctext%7Bd%7Df_%7B%5Cmathbf%7Bx%7D%7D%3D%0A%5Cfrac%7B%5Cpartial+f+%7D%7B%5Cpartial+x_1%7D+%28%5Cmathbf%7Bx%7D%29+%5Ctext%7Bd%7Dx_1%0A%2B%0A%5Cfrac%7B%5Cpartial+f+%7D%7B%5Cpartial+x_2%7D+%28%5Cmathbf%7Bx%7D%29+%5Ctext%7Bd%7Dx_2& alt=&\text{d}f_{\mathbf{x}}=
\frac{\partial f }{\partial x_1} (\mathbf{x}) \text{d}x_1
\frac{\partial f }{\partial x_2} (\mathbf{x}) \text{d}x_2& eeimg=&1&&&br&的含义。我们知道，n维线性空间上全体线性函数在常规的数乘和加法之下也构成一个n维线性空间，称为原空间的对偶空间，而且&img src=&///equation?tex=%5C%7B+%5Ctext%7Bd%7Dx_1%2C%5Ctext%7Bd%7Dx_2%5C%7D& alt=&\{ \text{d}x_1,\text{d}x_2\}& eeimg=&1&&就是对偶空间的一组基。所以可微函数的全微分式实际上就是说&img src=&///equation?tex=%5Ctext%7Bd%7Df_%7B%5Cmathbf%7Bx%7D%7D+& alt=&\text{d}f_{\mathbf{x}} & eeimg=&1&&在这组标准的对偶基&img src=&///equation?tex=%5C%7B+%5Ctext%7Bd%7Dx_1%2C%5Ctext%7Bd%7Dx_2%5C%7D& alt=&\{ \text{d}x_1,\text{d}x_2\}& eeimg=&1&&下的系数就是对两个坐标的偏导数。
强答一发，来谈谈关于微分以及全微分之类的概念的理解。比较naive，大神轻拍。 先说结论： 一个\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}的可微函数f在某点\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)处的微分\text{d}f_{\mathbf{x}}应该理解成一个\mathbb{R}^3上的线性函数。而…
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