不知有无人见过arctanx的n阶导【数学吧】_百度贴吧
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不知有无人见过arctanx的n阶导收藏
谢绝级数展开 结果很漂亮,不过不容易想得到
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楼主指的是隐式求导吧？
如果是零点的n阶导，用Leibniz公式+递推可以轻易做出来，一般情形下没考虑
我比较喜欢这样1/(1+x^2)=[1/(x-i)-1/(x+i)]/2i然后什么都好办了:)
尝试过，但面对超出我运算能力的式子……晕了
y=Arctanx y的n阶导=(n-1)!(Cosy)^n *Sin[n(y+π/2)] 书曰,证明用归纳法第一位归出这个式子的人观察力实在惊人
重要的是看出这个对解决什么有特别的意义或简便之处吧
挖坟了 顺便 其实很多归纳都很偶然的
好吧现在还没背清几个反三角和tan的路过…对我这种很少想数学的人套用（1＋x）”m已经觉得很强大了…
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收藏了，是不是应该有什么复变的含义在里面哦，。，
写成对数函数----From Nokia Lumia 928
做笔记了。。
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高阶导数F(x)=arctanx 求F^(n)(O) 请详细解答如何运用莱布尼茨公式.非常感谢!
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y = arctanx ,y ' = 1/(1+x^2),y '' = -2x / (1+x^2)^2=> (1+x^2) * y '' + 2x* y ' = 0上式求 n-2 阶导数：(1+x^2)* y^(n) + C(n-2,1)* 2x * y^(n-1) + C(n-2,2) * 2 * y^(n-2)+ 2x * y^(n-1) + C(n-2,1) * 2 * y^(n-2) = 0当x = 0 时,得到：y^(n) (0) = - (n-1)(n-2) * y^(n-2) (0)y'(0) = 1,y ''(0) =0于是,当n为偶数时,y^(n) (0) = 0当n为偶数时,y^(n) (0) = (-1)^ [(n-1)/2] (2n-1)!
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扫描下载二维码An error occurred on the server when processing the URL. Please contact the system administrator.
If you are the system administrator please click
to find out more about this error.2.3 化归法的原则
1. 化归的方向与一般模式 问题是数学的心脏，数学问题的解决是数学教学中一个重要的组成部分，几乎所有数学问题的解决均离不开化归，只是运用的化归形式不同而已。化归的方向就是把未知的化为已知的、困难的化为容易的、繁琐的化为简洁的、暗处的化为明处的。 尽管化归的方法有很多，但是所有利用化归方法解决问题的过程，都可以简单的概括为：将所要解决的问题先通过某种方式转化为一个已经解决或较容易解决的问题1，然后通过对问题1的解决来得到原问题的解答，这就是化归的一般模式，其模式的图形如下：
化归 问题1 问题
2. 化归法的原则 为了有效的实施化归与转化，就必须遵循相应的原则，不能随心所欲，盲目的进行。一般来说，化归过程应该遵循以下一些基本原则： 1）熟悉化原则：将原问题中的陌生的内容和形式转化为较熟悉的内容和形式，使之符合人们的思维习惯，以便于用已有的知识和经验使原问题获得解决。 2）简单化原则：将复杂的问题化归为相对简单的问题，把复杂的形式转化为较简单的形式，从而让问题变得更加容易解决，使问题的空间形式和数量关系更加明朗和具体。以便于更加容易的找到问题的突破口。 3）和谐化原则：和谐化是数学的内在美的重要内容之一。因此，我们在解题的过程中，可以根据数学问题的条件、结论以及表现形式将其变成更加符合数学内部结构固有的和谐统一的特点，这5
样有利于使推演运用某种符合人们思维规律的数学方法。 4）直观化原则：在解决问题的过程中，把抽象的、含糊的、深奥的的问题转化为比较直观的、具体的、浅显的问题,以便于使题中的数量关系更容易把握，问题更容易解决。 5)正难则反的原则：在研究问题的过程中，当问题从正面不知从何着手，可以从问题的反面考虑，探究问题的反面；当问题直接解决遇到困难可以考虑间接解决；当问题顺着推导觉得困难可以考虑逆着推导。不能前进时则考虑后退，也就是转变思维的角度从问题的对立面来进行思考、探求，从而使问题得到解决。
3 数学分析中的化归
数学的发展过程是在社会实践中不断的提出问题和不断的解决问题的过程，数学解题是数学研究以及数学教学的重要的组成部分，化归法是数学问题解决中的一种重要的方法，它渗透到数学的各个领域中，具有极其广泛的应用，用化归的思想来解决数学问题具有重要的价值。
3.1化归思想在数学分析中的显化
数学分析是一门内容复杂、具有严谨而系统的理论体系的课程，主要研究的是极限、导数、积分、级数等内容。当我们仔细分析这门课程的知识结构和内容的相互关系时，容易发现，数学分析课程中蕴含着丰富的化归思想，在数学分析中有很多的具体的问题都渗透着化归这思想，下面做一些简单的总结： 一、在变元个数上的化归 极限最先是在一元函数和数列上定义的（数列也一样是只有一个变量），然后在多元函数中定义，而多元函数求极限是可以通过坐标变换的形式转化为一元函数求极限的，把多重的极限化为累次极限的过程也就是将多元函数求极限化归为一元函数求极限的过程。导数的概念首先也是在一元函数中定义的，然后再定义多元函数求偏导、求微分，在解决问题的过程中多元函数求偏导就是将其中一个变元看成变量，而其它的变元暂时先看成常量，再对变量求导数，可以看出多元函数求导的所有问题都可以化归为一元函数的求导问题。在积分中，首先是在一元函数上定义了不定积分和定积分，而后在多元函数中定义了重积分、累次积分、曲线积分、曲面积分，在解决积分问题的时候，在求累次积分的题时，是先求一个变量的定积分，再依次下去求剩余变量的定积分，其实就是把累6
次积分转化为求定积分，就是把多元函数求积分转化为求一元函数定积分的过程，而求重积分、曲线积分、曲面积分则是通过变量替换等方式化成累次积分，实际上就是转化成了求一元函数定积分的过程。 二、导数在阶数上的化归 导数概念首先是定义一阶导数，然后在一阶导数的基础上定义了高阶导数，求高阶导数的过程就是一阶一阶的求一阶导数的过程，也就是把求高阶导数的计算问题化归为求一阶导数的计算问题。公式f(n)(x)?(f(n?1)(x))?充分体现了化高阶为低阶的化归思想。许多高阶导数的应用中都能在一阶阶导数中找到其“影子”，例如泰勒公式： f''?x0?f???x0?2nf?x??f?x0??f??x0??x?x0??x?x?????x?x?0??o??余项，泰勒公式就2!n!n是高阶导数的一个应用，而将泰勒公式化归为一阶导数就是微分中值定理，微分中值定理是帮我们讨论怎么由导数f?(x)的已知性质来推断出函数f(x)具有的性质，把高阶导数中的泰勒公式化归为微分中值定理，理解起来就容易多了；函数的增减性和凸凹性也包含了高阶导数化归为一阶导数的应用。 三、微分和积分观点之间的互相化归 微分和积分都是数学分析中的主要内容，积分可以看成是微分的逆运算则上来说，微分中的计算在积分中都有着相应的逆运算，例如 ?f?(x)dx?f(x)。原d?kf?x??lg?x???kdf?x??ldg?x?与??kf?x??lg?x??dx?k?f?x?dx?l?g?x?dx d?f?x?g?x???f?x?dg?x??g?x?df?x?与f?x?g?x???f?x?dg?x???g?x?df?x? f?b??f?a??f?????b?a?与?f?x?dx?f????b?a? ab等公式都是成对的出现的，由于在数学分析中的这一性质，使得对积分中公式定理的证明都可以转化为基于微分中相应的公式的证明，如积分中分部积分法的公式就是通过两个函数的乘积的导数的公式来证明的，因此只要掌握微分中的公式及证明就能记住相应的积分中的公式，并可以证明其正确性。 四、在讨论对象上的化归 在数学分析中我们首先讨论了六种基本的初等函数，这六种函数分别是： 常量函数
y?c(c是常数)； 7
y?x?(?为实数); 指数函数
y?ax(a?0,a?1)； x(a?0,a?1)； 对数函数
y?loga三角函数
y?sinx，y?cosx，y?tanx，y?cotx； 反三角函数
y?arcsinx，y?arccosx，y?arctanx，y?arccotx. 以上的六种基本初等函数都具有非常好的分析性质，数学分析中的一般理论讨论的都是一般函数，但是具体的问题都是以上六种基本初等函数或者是它们的复合函数，也就是说， 数学分析中的一般函数都是可以化归为基本初等函数的，如: ①泰勒公式是用幂函数来逼近或表示一般函数，也就是说一般函数可以通过泰勒公式用恒等变形的方法化归为幂函数，例如: 1?1?x?x2?......xn?o?xn? 1?x1, 证明如下：设f?x??1?x证明则f'?x??1?1?x?,f''?x??21?2?1?x?,f'''?x??31?2?3?1?x??n?,...,f?x??4n!?1?x?n?1 代入泰勒公式： f''?x0?f???x0?2nf?x??f?x0??f??x0??x?x0???x?x0???????x?xo??o?xn?， 2!n!n在x0?0时的形式，即带有皮亚诺余项的麦克劳林公式 f''?0?f???0?nf?x??f?0??f'?0?x??...?x?o?xn?从而 2!n!n1112!n!2??x?x?...?xn?o?xn??1?x?x2?...?xn?o?xn? 23n?11?x1?0?1?0??1?0??1?0?证毕。 ②傅里叶级数是用三角函数来逼近或表示一般函数的，也就是一般函数可以通过傅里叶级数用恒等变形的方法化归为三角函数，例如： ?t,求函数f?t????0,0?t??,的傅里叶级数展开式. ???t?0.解:函数f?t?及其周期延拓之后的图像如下图所示： 8
显然f?t?是可以展开成为傅里叶级数的，其中 -3? O f?t? ? -2? -? O 0 ? O 2? O 3? t a0?1?????f?t?dt?11?????0tdt??2. 当n?1时，an????f?t?cosntdt????01?0tcosntdt
1tsinntn??1n???0sinntdt?1cosnt2n??2,当n为奇数时,1???2?cosn??1???n2?n??当n为偶数时;?0, bn?????1?f?t?sinntdt??0??1?0tsinntdt ??1tcosntn?n?1?1n???0cosntdt ??1?
?nn?n?11n2???0cosntdt??1??.因此在开区间???,??上 f?t????21?1?2???cost?sint??sin2t??cos3t?sin3t?..., 4??3?2?9??在x???时，上式右边收敛于 f???0??f????0???0??? 222于是，在???,??上f的傅里叶级数的图像如下图所示：}