n次根号下n 用夹逼准则怎么证明极限存在?
分类：数学
令 t = n^(1/n) - 1 ,由 n^(1/n) > 1 ,可得：t > 0 ；则有：n = (1+t)^n = 1+nt+n(n+1)t^2/2+...+t^n > n(n+1)t^2/2 ,可得：t^2 所以,0 即有：0 已知,lim(n->∞) √[2/(n+1)] = 0 ,由夹逼定理可得：lim(n->∞) [ n^(1/n) - 1 ] = 0 ,所以,lim(n->∞) n^(1/n) = 1 .
错了,对称轴不是x=0而是x=-1分析：因为y=f(2x-1)是偶函数所以f(2x-1)=f(-2x-1)则对称轴为x=(2x-1-2x-1)/2=-1
几何画板中sin的反函数怎么打就是arcsinx或者arccosx 这种反三角函数 怎么打
先确定下列抛物线的开口方向 对称轴及顶点再描点画图 ）（2）y=4x?-24x+26 （3）y=2x?+8x-6 （4）y=二分之一x?-2x-1 描点画图只要告诉我秒那几个点就可以了 速度（有分）
（2）y=4x?-24x+26 ＝4(x-3)?-10 开口向上,对称轴是直线X＝3,　顶点坐标是（3,　-10）描点（1,　6）、（2,-6）、（3,　-10）、（4,　-6）、（5,　6）.（3）y=2x?+8x-6 ＝2（x+2)?-14开口向上,对称轴是直线X＝-2,　顶点坐标是（-2,　-14）描点（-4,　-6）、（-3,　4）、（-2,　-14）、（-1,　4）、（0,　-6）.（4）y=二分之一x?-2x-1 ＝ 1/2 （x-2)?-3开口向上,对称轴是直线X＝2,　顶点坐标是（2,　-3）描点（0,　-1）、（1,　-2.5）、（2,　-3）、（3,　-2.5）、（4,　-1）.
因为正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC所以 sin(A-B)/sinC=(sinAcosB-cosAsinB)/sinC=(acosB-bcosA)/c=[a*(a?+c?-b?)/2ac-b(b?+c?-a?)/2bc]/c=[(a?+c?-b?)-(b?+c?-a?)]/2c?=(2a?-2b?)/2c?=(a?-b?)/c?
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函数极限定义证明习题解析
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函数极限定义证明习题解析
关注微信公众号(3)xxxx2)1(lim+∞→;；解[]222)11(lim)1(limexxxx；(4)kxxx)11(lim?∞→(k为正整数)；解kkxxkxxexx???∞→∞→=?+=?)；3.根据函数极限的定义,证明极限存在的准则I′.；4.利用极限存在准则证明:(1)111lim=+；证明因为nn11111+；而且11lim=∞→n1)11(lim=+∞→
(3)xxxx2)1(lim+∞→;
解[]222)11(lim)1(limexxxxxxx=+=+∞→∞→.
(4)kxxx)11(lim?∞→(k为正整数).
解kkxxkxxexx???∞→∞→=?+=?))(()11(lim)11(lim.
3. 根据函数极限的定义, 证明极限存在的准则I′.
4. 利用极限存在准则证明:
(1)111lim=+∞→
证明因为nn11111+<+<,
而 且11lim=∞→n1)11(lim=+∞→nn,
由极限存在准则I, 111lim=+∞→nn.
(2)()11 211lim222=++???++++∞→πππ
()πππππ+<++???++++<+nnnnnnnnnn,
而 1lim22=+∞→πnnnn, 1lim22=+∞→πnnn,
所以 ()11 211lim222=++???++++∞→πππnnnnnn.
(3)数列2, 22+, 222++, ? ? ? 的极限存在;
证明21=x, nnxx+=+21(n=1, 2, 3, ? ? ?).
先证明数列{x}有界. 当n=1时221<=x, 假定n=k时x<2, 当n=k+1时,
nk22221=+<+=+kkxx,
所以x<2(n=1, 2, 3, ? ? ?), 即数列{x}有界.
再证明数列单调增.
nnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxx+++??=++?+=?+=?+2)1)(2(22221,
而x?20, 所以xnnn+1?x>0, 即数列{x}单调增.
nn因为数列{x}单调增加有上界, 所以此数列是有极限的.
n(4)11lim0=+→
证明当|x|≤1时, 则有
1+x≤1+|x|≤(1+|x|),
1+x≥1?|x|≥(1?|x|),
从而有||11||1xxxn+≤+≤?.
因为 , 1|)|1(lim|)|1(lim00=+=?→→xxxx 根据夹逼准则, 有
11lim0=+→nxx.
(5)[]11lim0=+→xxx.
证明因为[]xxx1111≤<?, 所以[]111≤<?xxx.
又因为, 根据夹逼准则, 有11lim)1(lim00==?++→→xxx[]11lim0=+→xxx.
1. 当x→0时, 2x?x与x?x相比, 哪一个是高阶无穷小？
解因为02lim2lim202320=??=??→→xxxxxxxxx,
所以当x→0时, x?x是高阶无穷小, 即x?x=o(2x?x).
2. 当x→1时, 无穷小1?x和(1)1?x, (2))1(212x?是否同阶？是否等价？
解 (1)因为3)1(lim1)1)(1(lim11lim212131=++=?++?=??→→→xxxxxxxxxxx,
所以当x→1时, 1?x和1?x是同阶的无穷小, 但不是等价无穷小.
(2)因为1)1(lim211)1(21lim121=+=??→→xxxxx,
所以当x→1时, 1?x和)1(212x?是同阶的无穷小, 而且是等价无穷小.
3. 证明: 当x→0时, 有:
(1) arctanx~x;
(2)2~1sec2xx?.
证明 (1)因为1tanlimarctanlim00==→→yyxxyx(提示: 令y=arctan x, 则当x→0时, y →0),
所以当x→0时, arctanx~x.
(2)因为33232322 23()122sin2lim22sin2limcoscos1lim2211seclim===?=?→→→→xxxxxxxxxxxxx,
所以当x→0时, 2~1sec2xx?.
4. 利用等价无穷小的性质, 求下列极限:
(1)xxx23tanlim0→;
(2)mnxxx)(sin)sin(lim0→(n, m为正整数);
(3)xxxx30sinsintanlim?→;
(4))1sin1)(11(tansinlim320?+?+?→xxxxx.
解 (1)2323lim23tanlim00==→→xxxxxx.
(2) ?????===→→mnmnmnxxxxmnxmnx 0 1lim)(sin)sin(lim00.
(3)21cos21limsincoscos1limsin)1cos1(sinlimsinsintanlim==?=?=?→→→→xxxxxxxxxxxxxxxx.
~2sintan2)1(costantansinxxxxxxxxx?=???=?=?(x→0),
~11)1(11xxxxx++++=?+(x→0),
xxxxx~sin~1sin1sin1sin1++=?+(x→0),
所以 33121lim)1sin1)(11(tansinlim230320?=??=?+?+?→→xxxxxxxxx.
5. 证明无穷小的等价关系具有下列性质:
(1) α ~α (自反性);
(2) 若α ~β, 则β~α(对称性);
(3)若α ~β, β~γ, 则α~γ(传递性).
证明 (1)1lim=αα, 所以α ~α ;
(2) 若α ~β, 则1lim=βα, 从而1lim=αβ. 因此β~α ;
(3) 若α ~β, β~γ, 1limlimlim=?=βαγβγα. 因此α~γ.
1. 研究下列函数的连续性, 并画出函数的图形:
(1); ???≤≤≤?=1|| 111 )(xxxxf
解 (1)已知多项式函数是连续函数, 所以函数f(x)在[0, 1)和(1, 2]内是连续的.
在x=1处, 因为f(1)=1, , ? 1lim)(lim211==??→→xxfxx1)2(lim)(lim11=?=++→→xxfxx 所以, 从而函数f(x)在x=1处是连续的. 1)(lim1=→xfx
综上所述，函数f(x)在[0, 2]上是连续函数.
(2)只需考察函数在x=?1和x=1处的连续性.
在x=?1处, 因为f(?1)=?1, , , 所以函数在x=?1处间断, 但右连续. )1(11lim)(lim11?≠==???→?→fxfxx)1(1lim)(lim11?=?==++?→?→fxxfxx
在x=1处, 因为f(1)=1, =f(1), =f(1), 所以函数在x=1处连续. 1lim)(lim11==??→→xxfxx11lim)(lim11==++→→xxxf
综合上述讨论, 函数在(?∞, ?1)和(?1, +∞)内连续, 在x=?1处间断, 但右连续.
2. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续:
(1)23122+??=xxxy, x=1, x=2;
(2)xxytan=, x=k, 2ππ+=kx (k=0, ±1, ±2, ? ? ?);
(3),1cos2xy= x=0;
(4), x =1. ???>?≤?=1 31 1xxxxy
解 (1))1)(2()1)(1(23122???+=+??=xxxxxxxy. 因为函数在x=2和x=1处无定义, 所以x=2和x=1是函数的间断点.
因为∞=+??=→→231limlim2222xxxyxx, 所以x=2是函数的第二类间断点;
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