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& 高二北师大数学选修2-2：第三课时
3.2.1实际问题中导数的意义课件
高二北师大数学选修2-2：第三课时
3.2.1实际问题中导数的意义课件
资料类别: /
所属版本: 北师大版
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资料类型：
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资料概述与简介
3.2.1实际问题中导数的意义 教学目的：
1．理解用函数思想解决优化问题的基本思路；
⒉初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题
教学重点：解有关函数最大值、最小值的实际问题．
教学难点：解有关函数最大值、最小值的实际问题．
授课类型：新授课
课时安排：1课时
具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1.极大值： 一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点
2.极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点
3.极大值与极小值统称为极值
4. 判别f(x0)是极大、极小值的方法:
若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值
5. 求可导函数f(x)的极值的步骤:
(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x) (2)求方程f′(x)=0的根
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.
检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f(x)在这个根处无极值
6.函数的最大值和最小值:在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值．⑴在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值． ⑵
函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
7.利用导数求函数的最值步骤:⑴求在内的极值；⑵将的各极值与、比较得出函数在上的最值
二、讲解范例：
例1 某机车拖运货物时对货物所做的功W（单位：J）是时间t（单位：s）的函数，设这个函数可以表示为：。
(1) 求t从1s变到3s 时，功W关于时间t 的平均变化率，并解释它的实际意义；
(2) 求在t=1s 和t=3s时,该机车每秒做的功。
分析：在处的导数为机车在时，每秒所做的功即功率。
例1：解：（1）t从1s变到3s 时，功W关于时间t 的平均变化率为：，其实际意义是：t从1s变到3s时间内机车对货物所做的功的平均值，即平均功率。
（2）根据导数的意义，在t=1s 和t=3s时，机车对货物每秒所做的功即瞬时功率分别为和，
，所以：，。
变式：一辆加速行使的汽车，其速度关于时间的函数表达式为求，并解释它的实际意义。
答案：，实际意义是：t=1s时的瞬时加速度。
例2在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？
解法一：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积．
x=0（舍去），x=40，
并求得 V(40)=16 000
由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值
答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm3
解法二：设箱高为xcm，则箱底长为(60-2x)cm，则得箱子容积．（后面同解法一，略）由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．
事实上，可导函数、在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值
例3圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？
解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积
S=2πRh+2πR2
由V=πR2h，得，则
S(R)= 2πR+ 2πR2=+2πR2令 +4πR=0
解得，R=，从而h====2
即h=2R因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值 答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省
变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？
提示：S=2+h=
例4已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关
系式为．求产量q为何值时，利润L最大？
分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格．由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．
解：收入，
令，即，求得唯一的极值点 答：产量为84时，利润L最大
三、课堂练习：
1.函数y=2x3－3x2－12x+5在［0，3］上的最小值是－15.
2.函数f(x)=sin2x－x在［－,］上的最大值为；最小值为－.
3.将正数a分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成和.
4.使内接椭圆=1的矩形面积最大，矩形的长为a，宽为b.
5.在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为___时，它的面积最大
四、小结 ：
⑴解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义．
⑵根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较．
⑶相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单
五、课后作业：
1.有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形的边长应为多少？
解：（1）正方形边长为x,则V=（8－2x)·(5－2x)x=2(2x3－13x2+20x)(0<x<)
V′=4(3x2－13x+10)(0<x<),V′=0得x=1
根据实际情况，小盒容积最大是存在的，
∴当x=1时，容积V取最大值为18.
2.一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD的面积为定值S时，使得湿周l=AB+BC+CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长b.
解：由梯形面积公式，得S= (AD+BC)h,其中AD=2DE+BC，DE=h,BC=b
∴AD=h+b, ∴S=
∵CD=,AB=CD.∴l=×2+b
由①得b=h,代入②,∴l=
l′==0,∴h=, 当h<时，l′时，l′>0.
∴h=时，l取最小值，此时b=?
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(lnx)'=1/x
(lnx)''=(1/x)'=-1/x^2
(lnx)'''=(1/x)''=(-1/x^2)'=2/x^3
大家还关注《导数的概念》教学设计
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课型：新授课
一、教学内容解析
导数是微积分学的核心概念之一，导数是导函数的简称，本质仍是函数，其实也就是微商．导数不仅是数学知识，也是一种数学思想，也蕴含着函数思想和极限的思想方法，本节内容的核心是用平均变化率的极限来刻划瞬时变化率，从课标要求与教材的编写看，淡化了极限的形式化定义，不把导数作为一种特殊的极限来处理，而是直接通过实例来反映导数的思想和本质，因此，让学生充分体验“极限的过程及研究的思想方法”为本节课的重点．
导数属于事实型知识――函数的瞬时变化率是客观存在的，用平均变化率的极限来刻划，并用形式化的极限符号表示只是我们研究导数的方法．导数为研究变量和函数提供了重要的方法和手段，具有将复杂问题归纳为简单规则和步骤的非凡能力，不仅是研究初等函数最有效的工具，还是研究微积分学的必备基础，也是研究各种科学的工具，黎曼曾说过“只有在微积分发明之后，物理学才成为一门科学”， 天地通用微积分．
变量和函数在自然界和社会中有着几乎地处不在的实际背景，所以高中学生不论他将来是否进入高校学习，都应学习导数及其应用的内容，并应用它考察和理解实际现象中的变化．毫不夸张地说，不学或未学懂微积分，学生思维难以达到较高的水平，从某种意义上看，对导数所蕴含的数学思想方法的研究价值，远高于对其知识的学习．通过本课导数概念的形成过程，让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法；领悟“逼近”思想、数形结合思想和函数思想，进一步体会数学的本质．
二、教学目标设置
知识与技能：
（1）知道平均变化率与瞬时变化率的关系；能正确区分平均变化率与瞬时变化率；会描述导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，知道函数在某点的导数与在某个区间内的导函数的关系，体会导数的思想及其内涵．
（2）会依据定义求简单函数在某点处的导数，能初步按定义归纳求函数在某点处导数的基本步骤．
过程与方法：
（1）通过用几何画板的动态演示，让学生观察、经历由平均变化率到瞬时变化率的“逼近”过程，体会极限的思想方法．
（2）通过自主与合作交流的系列探究活动，感知用平均变化率刻划瞬时变化率研究方法――无限地接近．
（3）通过从实例――速度――变化率的抽象过程，培养学生观察、分析、比较、归纳与类比能力，体验从特殊到一般的研究问题方法．
情感、态度与价值观：
（1）感受导数在解决实际问题中的作用，体会导数思想的作用与价值．
（2）通过导数概念形成的系列探究活动，进一步认识合作学习的意义，增强学生的合作交流意识与能力．
（3）通过引入奥运会跳水夺金实例，渗透爱国教育，激发学生的爱国热情．
三、学生学情分析
学生已较好地掌握了函数的平均变化率及高一物理学中的平均速度、瞬时速度，并积累了大量的关于函数变化率的经验；另外，高二年级的学生思维较活跃，并具有一定归纳、概括、类比、抽象思维能力；对导数这一新鲜的概念，具有强烈求知欲和渴望探究的积极情感态度，这为本课的学习奠定了基础．
由于瞬时变化率就是导数，又是用平均变化率“无限接近”进行研究，而“无限”是非常抽象的，是学生首次接触，要求学生既要具备一定的直观感悟能力，又要具有较高的抽象思维能力，这是本节学习必备的认知基础．
从平均速度、瞬时速度到平均变化率、瞬时变化率，是将实例抽象为数学模型，是本节认识的第一次飞跃；由平均变化率用极限的思想方法刻划瞬时变化率是本节思维与认识的第二次飞跃．第一次飞跃学生可完成，第二次飞跃借助几何画板的动态演示学生能初步感悟，但是对“是无限趋近于0，但始终不能为0”，学生不能自主或合作顺利完成，需要教师在此充分发挥主导作用进行点拨．
综上分析确定本节的难点是：对极限思想的感悟及用平均变化率的极限刻划瞬时变化率的科学性．突破策略为：用几何画板动态直观演示以降低思维难度；多利用实例以降低抽象程度，强化对过程的感悟；给足时间让学生充分合作交流；教师恰当精讲点拨，用“动”来看“静”．
四、教学策略分析
教学中遵循“学生为主体，教师为主导，训练为主线，发展思维为主旨”的“四主”原则．以恰当的系列活动为纽带，给学生创设自主探究、合作交流的时间与空间，引导学生经历数学知识再发现的过程，让学生在参与中获取知识，发展思维，感悟数学．
强化对平均变化率的认识，夯实认知基础．增加实例，多模型、多角度感悟让学生用平均变化率的无限逼近刻划瞬时变化率的的思想方法．
在知识内容的处理方面，淡化了较难理解的极限思想，不追求严格形式化，突出以直观的方式让学生体验无限逼近的思想方法．
根据平均变化率的直观意义和学生的思维水平，首先充分利用几何画板的直观展示，强化引导学生发现学习；其次是在一定的自主探究基础上，让学生们充分的进行合作学习，以发现导数的内涵，领会其中的数学思想方法，体验成功的快乐；再次是对于个别难点，教师精讲点拨，以提高课堂效率．
以“奇怪的平均速度”为问题情境，创设认知冲突，激发学生的求知欲；从感受平均速度的直观变化开始，共设计了四个系列的探究活动，逐层递进，分层设问，引导学生在充分直观感知的基础上，逐步抽象达到对导数概念的形成．让学生在导数概念形成的过程中充分体验“极限”的思想与方法．
针对学生中存在的客观差异及本节内容的抽象程度，主要以各数学课堂学习小组中思维水平较好的同学帮助对本节学习有一定困难的学生为主，让“学困生”在组内有较好的展示与交流机会；尽可能给水平较好的学生在班级充分展示的机会；教师加强对学生自主学习与合作学习过程的反馈，对各小组存在的共性问题进行精讲点拨，努力使全体学生在学习过程中，分析问题、解决问题的能力都能得到不同程度的提升．
由于本节为概念类新授课，重点是让学生体验“极限的过程及研究的思想方法”，所以用学生最为熟悉的二次函数为模型，反馈学生对导数概念及研究思想方法的感悟；以按定义归纳求导数的方法步骤反馈学生的思维能力发展水平．
五、教学过程
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师生活动及设计意图
对平均变化率的认识（画板导入）
播出2012伦敦奥运女子双人10米台视频片段．（多媒体）
奇怪的平均速度：在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系：．计算运动员在这段时间里的平均速度．
学生回答，教师画板演示；激活已有认知
引导学生观看跳水的轨迹及速度变化．体验实际背景，为数学建模铺垫，渗透爱国教育．
平均速度为“0”？通过数值与认识产生的矛盾，激发学生求知欲，引入新课．
活动一：感受平均速度的变化．
（1）对于函数，当时，取不同值时平均变化率的变化．
（2）对于函数，当和都取不同值时平均变化率的变化．
（画板跳水）
教师几何画板展示，学生观察图象的变化，并发表其看法；
借助直观的图像和数据，感悟在某一时刻的速度――瞬时速度是客观存在的，并与平均变化率存在必然的联系，及“以已知探求未知”的数学思想方法，让学生初步感受“无限”、“ 逼近”的思想．
活动二：对“趋近于0”的认识．
探究教材P8内容
学生阅读教材相关内容，在独立思考后开展合作探究，教师巡视点拨．
感悟数学研究方法，体验极限思想，认同函数极限的客观存在
活动三：初步认识函数平均变化率与瞬时变化率的关系．
以任意函数为模型，感悟函数平均变化率与瞬时变化率的关系．
（画板案例）
教师几何画板展示，学生合作学习．
以平均速度与瞬时速度的关系为基础，让学生感悟函数平均变化率与瞬时变化率的关系，为认识导数概念奠定基础，并为导数的几何意义学习做铺垫
活动四：导数概念的形成．
函数在处的瞬时变化率就是在处的导数．记作
(也可记为)．并给出导函数概念
学生思考后合作探究，教师展示课件，讲解要点．
在引导学生充分发挥主体作用的基础，恰当体现教师的主导作用，努力体现课标教材直观导数的编写意图．
例1求函数y= x2在x=1处的导数
提问：你能说说求函数y=f(x)在x= x0处的导数的步骤吗？
变式训练1：
求y=2x2+4x在x=2和x=a处的导数．
例2& 火箭竖直向上发射，熄火时向上的速度达到100m/s，（g≈10m/s2）试问:
1)熄火后多长时间火箭向上的速度为0？
2)火箭在熄火后第5秒和第12秒的瞬时速度是多少？ 并说明它们的意义
全体学生动笔演练，一名学生板演，教师适当总结．
加深学生对导数内涵的理解，熟练应用导数的概念进行运算，提炼求导步骤由特殊到一般，完成思维的飞跃．
变1：两学生板演各一题．其余两组各笔练一题． 教师讲评．
巩固求导的三个基本步骤，加深对导数概念的理解，为后面推到导数公式做铺垫．
例2：学生计算
通过具体例题的分析，加深学生对导数内涵的理解，体验数学在实际生活中的应用．
已知一个物体运动的位移（）与时间（）满足关系（）＝
（1）求物体第5秒的瞬时速度．
（2）求物体在t时刻的瞬时速度．
学生自主完成，选派学生上台板
演，老师进行分析点评．
让学生学会用数学的眼光去看待物理模型，建立各学科之间的联系，更深刻地把握事物变化的规律
1．瞬时速度的概念
2．导数的概念
3．求导数的步骤：
4．思想方法：“以已知探求未知”、逼近、类比、从特殊到一般．
学生小结，再由其他人补充，完善，教师调控，并用幻灯片给出
引导学生自行构建知识体系，理清知识脉络，养成良好的自主学习习惯．
（必做）第10页习题A组第3、4 题
（选做）：思考第10页习题B组第1题及
通过分层作业，做到因材施教，使不同的学生在数学上得到不同的发展，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣，促进学生自主发展．
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