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设函数f（x）=ex-1x，x≠0．（1）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式|f（x）-1|＜a成立．
题型：解答题难度：中档来源：佛山一模
（1）f′（x）=xex-(ex-1)x2=(x-1)ex+1x2，-----------------（2分）令h（x）=（x-1）ex+1，则h′（x）=ex+ex（x-1）=xex，当x＞0时，h′（x）=xex＞0，∴h（x）是上的增函数，∴h（x）＞h（0）=0故f′（x）=h(x)x2＞0，即函数f（x）是（0，+∞）上的增函数．-----------------（6分）（2）|f（x）-1|=|ex-x-1x|，当x＞0时，令g（x）=ex-x-1，则g′（x）=ex-1＞0-----------------（8分）故g（x）＞g（0）=0，∴|f（x）-1|=ex-x-1x，原不等式化为ex-x-1x＜a，即ex-（1+a）x-1＜0，-----------------（10分）令?（x）=ex-（1+a）x-1，则?′（x）=ex-（1+a），由?（x）=0得：ex=1+a，解得x=ln（1+a），当0＜x＜ln（1+a）时，?′（x）＜0；当x＞ln（1+a）时，?′（x）＞0．故当x=ln（1+a）时，?（x）取最小值?[ln（1+a）]=a-（1+a）ln（1+a），-----------------（12分）令s（a）=a1+a-ln（1+a），a＞0则s′（a）=1(1+a)2-11+a=-a(1+a)2＜0．故s（a）＜a（0）=0，即?[ln（1+a）]=a-（1+a）ln（1+a）＜0．因此，存在正数x=ln（1+a），使原不等式成立．----------------（14分）
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据魔方格专家权威分析，试题“设函数f（x）=ex-1x，x≠0．（1）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2..”主要考查你对&&函数的单调性与导数的关系，函数的最值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数的单调性与导数的关系函数的最值与导数的关系
导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
&利用导数求函数的最值步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。&生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
&(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．&&(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．
发现相似题
与“设函数f（x）=ex-1x，x≠0．（1）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2..”考查相似的试题有：
275219469994816726773467469989475697F(x)=[1+2/(2^x-1)]*f(x)(x≠0)是偶函数,且f(x)不恒等于0,则f(x)是什么函数
互撸娃1284
F(-x)=[1+2/(2^-x-1)]f(-x)=F(x)=[1+2/(2^x-1)]*f(x)1+2/(2^-x-1)上下乘2^x,且2^-x*2^x=2^0=1所以1+2/(2^-x-1)=1+2*2^x/(1-2^x)=(1-2^x+2*2^x)/(1-2^x)=(2^x+1)/(1-2^x)1+2/(2^x-1)=(2^x-1+2)/(2^x-1)=(2^x+1)/(2^x-1)=-(2^x+1)/(1-2^x)所以f(-x)=-f(x)所以是奇函数
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下面分母那个是？用枚举法也行，利用偶函数对称原理，代几个值进去，对应的变量奇偶性质就出来了…
扫描下载二维码已知函数f(x)=x^2;+a/x(x≠0,a为常数)（1）当a=16时,①试利用函数的单调定义域f（x）的单调区间.②若对任意的x1,x2∈[1,5],恒有|f（x1）-f（x2）|≤m,求m的取值范围.（2）若函数f（x）在[2,+∞﹚上为增函数,求a的取值范围
(1) f(x)=x² +16/x,f'(x)=2x- 16/x²,令f'(x)=0,解得x=2,所以原函数在（－∞,0）（0,2）上是减函数,在（2,+∞）上是增函数 求极值f(1)=17,f(5)=25+ 5/16,f(2)=12,要恒有|f（x1）-f（x2）|≤m,只需让绝对值最大,即f(5)-f(2)≤m(2)f'(x)=2x- a/x,[2,+∞﹚,令它大于0,得a
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扫描下载二维码知识点梳理
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数； 一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。抽象函数形式幂函数：f(xy)=f(x)f(y)正比例函数：f(x+y)=f(x)+f(y)对数函数：f(x)+f(y)=f(xy)：f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) f(x)=cosx指数函数：f(x+y)=f(x)f(y)周期为n的周期函数：f(x)=f(x+n)方法：特殊值法是处理抽象函数选择题的有力方法。根据抽象函数具有的性质，选择一个熟悉的函数作为特殊值代入验证，可以解决大部分选择题。赋值法：根据所要证明的或求解的问题使自变量取某些特殊值，从而解决问题。图像性质解法：抽象函数虽然没有给出具体的解析式，但可利用它的性质图象直接来解题。
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“已知函数f（x）=kx（k≠0），且满足f（x+1）of（x...”，相似的试题还有：
设函数y=f(x)(x∈R，且x≠0)，对任意非零实数x1、x2满足f(x1+x2)=f(x1x2)，(1)求f(1)+f(-1)的值；
(2)判断函数y=f(x)的奇偶性；(3)已知y=f(x)在(0，+∞)上为增函数且f(4)=1，解不等式f(3x+1)+f(2x-6)≤3．
函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，且满足对于定义域内任意的x1，x2都有等式f(x1ox2)=f(x1)+f(x2)(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明；(3)若f(4)=1，且f(x)在(0，+∞)上是增函数，解关于x的不等式f(3x+1)+f(2x-6)≤3．
已知二次函数f(x)满足f(0)=1，及f(x+1)-f(x)=2x．(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)=f(logax)(a＞0且a≠1)，x∈[a，&&\frac{1}{a}]，试求g(x)的值域．f(x)+f((x-1)/x) = 2x 其中x≠0,x≠1 求f(x)
清纯de哥哥谓
我们已知（1）f(x) + f(1-1/x) = 2x,接下来,用1-1/x代替x写入（1）式,可知（2）f(1-1/x) + f(1/(1-x)) = 2(1-1/x),然后,用1/(1-x)代替x写入（1）式,我们有（3）f(1/(1-x)) + f(x) = 2(1/(1-x)),通过观察,我们知道（1）（2）（3）等式左边的f(x)、f(1-1/x)、f(1/(1-x))各出现了2次,所以,把这三个等式左右各自叠加起来我们有2*[f(x) + f(1-1/x) + f(1/(1-x))] = 2*[x + (1-1/x) + (1/(1-x))]所以有,（4）f(x) + f(1-1/x) + f(1/(1-x)) = x + (1-1/x) + (1/(1-x))利用（4）减去（2）,我们立即可以得到f(x) = x - (1-1/x) + (1/(1-x)) = x-1 + 1/x + 1/(1-x)
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