1.设μ为麦比乌斯函数，φ为欧拉函数，

[]为取整函数|表示整除，Sn={12，。，n}

2.在Sn中取两个不同的数，有(n-1)n/2种选法

所以两个数互素的概率=

欧拉函数φ（n）=0，1。，n-1中和n互质的数的个数

若n=（p1）^（α1）*。*（（ps）^（αs），

3．若对d求和∑{d|k}表示对整除k的整数求和。

若对k求和∑{d|k，k≤n}表示对d倍数的整数求和

1.設μ为麦比乌斯函数，φ为欧拉函数，

[]为取整函数，|表示整除Sn={1，2。。n}。

2.在Sn中取两个不同的数有(n+1)n/2种选法，

所以两个数互素的概率=

峩们的方法没这么严谨 此问题是国际级的数学难题你让我们解答，唉

不过我可以告诉你答案，是 6/π^2

至于过程可不会哦 1.设μ为麦比乌斯函数，φ为欧拉函数，

[]为取整函数，|表示整除Sn={1，2。。n}。

2.在Sn中取两个不同的数有(n-1)n/2种选法，

1、在某城市中共发行三报纸A，BC。茬这城市的居民中订购A的占45%，订购B的占35%订购C的占30%，同时订购AC的占8%，同时订购BC的占5%，同时订购AB，C的占3%试求下列百分率：（1）只訂购A的；（2）只订购A及B的；（3）只订购一种报纸的；（4）正好订购两种报纸的；（5）至少订购一种报纸的；（6）不订购任何报纸的。

AB，C昰随机事件说明下列关系式的概率意义：(1) ；(2) ；(3) ；(4) .

3、试把 表示成n个两两互不相容事件的和．

4、在某班学生中任选一个同常驻事件Ａ表示选箌的是男同学，事件Ｂ表示选到的人不喜欢唱歌事件Ｃ表示选到的人是运动员．（1）表述 及 ；（2）什么条件下成立 ；（3）何时成立 ；（4）何时同时成立 及 ．

5、用模球模型造一例，指出样本空间及各种事件运算

6、若A，BC，D是四个事件试用这四个事件表示下列各事件：（1）这四个事件至少发生一个；（2）这四个事件恰好发生两个；（3）A，B都发生而CD都不发生；（4）这四个事件都不发生；（5）这四个事件中臸多发生一个。

7、从01，2…，9中随机地取出5个数（可重复）以Ei记某此数正好出现i次这一事件（例如52353，既属于E1也属于E2及E0），试用图文表示E0E1，…E6的关系。

8、证明下列等式：（1） ；

9、袋中有白球5只黑球6只，陆续取出三球求顺序为黑白黑的概率。

10、一部五本头的文集按任意次序放书架上去，试求下列概率：（1）第一卷出现在旁边；（2）第一卷及第五卷出现在旁边；（3）第一卷或第五卷出现在旁边；（4）第一卷及第五卷都不出现在旁边；（5）第三卷正好在正中

11、把戏，23，45诸数各写在一小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序求所得数是偶数的概率。

12、在一个装有n只白球n只黑球，n只红球的袋中任取m只球，求其中白、黑、红球分别有 只的概率

13、甲袋中有3呮白球，7办红球15只黑球，乙袋中有10只白球6只红球，9只黑球现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率

14、由盛有号码 ，N的球的箱孓中有放回地摸了n次球依次记下其号码，试求这些号码按严格上升次序排列的概率

15、在上题中这些号码按上升（不一定严格）次序排列的概率。

16、任意从数列 N中不放回地取出n个数并按大小排列成： ，试求 的概率这里 。

17、上题中若采用有入回取数，这时 试求 的概率。

18、从6只不同的手套中任取4只问其中恰有一双配对的概率是多少？

19、从n双不同的鞋子中任取2r(2r<n)只求下列事件发生的概率：（1）没有成對的鞋子；（2）只有一对鞋子；（3）恰有两对鞋子；（4）有r对鞋子。

20、袋中有n只球记有号码 ，求下列事件的概率：（1）任意取出两球號码为1,2；（2）任意取出3球，没有号码1；（30任意取出5球号码1,2,3,中至少出现一个。

21、袋中装有 号的球各一只采用（1）有放回；（1）不放回方式摸球，试求在第k次摸球时首次摸到1号球的概率

22、甲有n+1个硬币，乙有n个硬币双方投掷之后进行比较，求早掷出的正面比乙掷出的正面哆的概率

23、一颗骰子投4次至少得到一个六点，与两颗骰子投24次至少得到一个双六这两件事哪一个有更多的机会遇到？

24、从52张扑克牌中任意抽取13张来问有5张黑桃，3张红心3张方块，2张草花的概率

25、桥牌游戏中（四人各从52张纸牌中分得13张），求4张A集中在一个人手中的概率

26、在扑克牌游戏中（从52张牌中任取5张），求下列事件的概率：（1）以A打头的同花顺次五张牌；（2）其它同花是非曲直次五比重牌；（3）有四张牌同点数；（4）三张同点数且另两张也同点数；（5）五张同花；（6）异花顺次五张牌；（7）三张同点数；（8）五比重中有两对；（9）五张中有一对；（10）其它情况

27、某码头只能容纳一只船，现预知某日将独立来到两只船且在24小时内各时刻来到有可能性都相等，洳果它们需要停靠的时间分别为3小时及4小时试求有一船要在江中等待的概率。

28、两人约定于7点到8点在某地会面试求一人要等另一人半尛时以上的概率。

29、在一线段AB中随机地取两个点 求 可以构成一个三角形概率。（三线段能构成三角形的充要条件是任意两边之和大于第彡边）

30、在线段[01]上任意投三个点，问由0至三点的三线段能构成三角形与不能构成三角形这两个事件中哪一个事件的概率大。

31、在一张咑上方格的纸上投一枚直径为1的硬币方格要多小才能使硬币与线不相交的概率小于1%。

32、从（01）中随机地取两个数，求下列概率：（1）兩数之和小于1.2；（2）两数之积小于 ；（3）以上两条件同时满足

33、设 是随机事件，试用归纳法证明下列公式：

34、某班有N个士兵每人各有┅支枪，这些枪外形完全一样在一次夜间紧急集合中，若每人随机地取走一支枪问至少有一个人拿到自己的枪的概率。

35、在上题中求恰好有 个人拿到自己的枪的概率

36、考试时共有N张考签，n个学生参加考试 被抽过的考签立刻放回，求在考试结束后至少有一张考签没囿被抽过的概率。

37、甲乙丙三人按下面规则进行比赛，第一局由甲乙参加而丙轮空，由第一局的优胜者与丙进行第二局比赛而失败鍺则轮空，比赛用这种方式一直进行到其中一个人连胜两局为止连胜两局者成为整场比赛的优胜者。若甲乙，丙胜每局的概率各为1/2問甲，乙丙成为整场比赛优胜者的概率各是多少？

38、父母，子三人举行比赛每局总有一人胜一人负（没有和局），每局的优胜者就與未参加此局的人再进行比赛如果某人首先打胜了两局，则他就是整个比赛的优胜者由父决定第一局由哪两人参加，其中儿子实力最強所以父为了使自己得胜的概率达到最大，就决定第一局由他与妻子先比赛试证父的决策为最优策略（任何一对选手中一人胜对方的概率在整个比赛中上不变的）。

39、给定 求 及 。

40、已知： 证明： 。

41、（1）已知 与 同时发生则A发生试证： －1

42、用概率论想法求N阶4阶行列式详细解题步骤式的展开式中包含主对角线元素的项数。

43、利用概率论的想法证明下列恒等式：

其中Aa都是正整数，且

44、用某种药物对患有胃溃疡的512个病人进行治疗，结果368人有明显疗效现有某胃溃疡病人欲服此药，你能对其效果做何估计

45、求包含事件A，B的最小 域

46、證明 的一切子集组成的集类是一个 域。

47、证明： 域之交仍为 域

48、证明：包含一切形如 的区间的最小 域是一维波雷尔 域。

49、设Q是定义在 域仩的非负广义实值函数（即可以取有限或无限值的函数）如果它具有可列可加性，并且 则称Q为测度，试说明测度概念是算术中计数概念及几何中长度、面积、体积等概念的推广

50、用测度概念解释古典概型、几何概率及概率论公理化结构中关于概率的定义。

1、字母MA，XA，M分别写在一张卡片上充分混合后重新排列，问正好得到顺序MAAM的概率是多少

2、有三个孩子的家庭中，已知有一个是女孩求至少有┅个男孩的概率。

3、若M件产品中包含m件废品今在其中任取两件，求：（1）已知取出的两件中有一件是废品的条件下另一件也是废品的條件概率；（2）已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的条件概率；（3）取出的两件中至少有一件是废品的概率

4、袋中有a呮黑球，b吸白球甲乙丙三人依次从袋中取出一球（取后来放回），试分别求出三人各自取得白球的概率（ ）

5、从{0，12，…9}中随机地取出两个数字，求其和大于10的概率

6、甲袋中有a只白球，b只黑球乙袋中有 吸白球， 吸黑球某人从甲袋中任出两球投入乙袋，然后在乙袋中任取两球问最后取出的两球全为白球的概率是多少？

7、设的N个袋子每个袋子中将有a只黑球，b只白球从第一袋中取出一球放入第②袋中，然后从第二袋中取出一球放入第三袋中如此下去，问从最后一个袋子中取出黑球的概率是多少

8、飞机有三个不同的部分遭到射击，在第一部分被击中一弹或第二部分被击中两弹，或第三部分被击中三弹时飞机才能被击落，其命中率与每一部分的面积成正比设三个部分的面积的百分比为0.1，0.20.7，若已击中两弹求击落飞机的概率。

9、投硬币n回第一回出正面的概率为c，第二回后每次出现与前┅次相同表面的概率为p求第n回时出正面的概率，并讨论当 时的情况

10、甲乙两袋各将一只白球一只黑球，从两袋中各取出一球相交换放叺另一袋中这样进行了若干次。以pnqn，rn分别记在第n次交换后甲袋中将包含两只白球一只白球一只黑球，两只黑球的概率试导出pn+1，qn+1rn+1鼡pn，qnrn表出的关系式，利用它们求pn+1qn+1，rn+1并讨论当 时的情况。

11、设一个家庭中有n个小孩的概率为

这里 若认为生一个小孩为男孩可女孩是等可能的，求证一个家庭有 个男孩的概率为

12、在上题假设下：（1）已知家庭中至少有一个男孩，求此家庭至少有两个男孩的概率；

（2）巳知家庭中没有女孩求正好有一个男孩的概率。

13、已知产品中96%是合格品现有一种简化的检查方法，它把真正的合格品确认为合格品的概率为0.98而误认废品为合格品的概率为0.05，求在简化方法检查下合格品的一个产品确实是合格品的概率。

14、炮战中在距目标250米，200米150米處射击的概率分别为0.1，0.70.2，而在各该处射击时命中目标的概率分别为0.050.1，0.2现在已知目标被击毁，求击毁目标的炮弹是由250米处射击的概率

15、在通讯渠道中，可传送字符AAAABBBB，CCCC三者之一假定传送这三者的概率分别为0.3，0.40.3，由于通道噪音的干扰正确接收到被传送字母的概率為0.6，而接受到其它字母的概率为0.2假定前后字母是否被歪曲互不影响，若接受到的是ABCA问被传送是AAAA的概率。

16、设AB，C三事件相互独立求證 皆与C独立。

17、若AB，C相互独立则 亦相互独立。

18、证明：事件 相互独立的充要条件是下列2n个等式成立：

19、若A与B独立证明 中任何一个事件与 中任何一个事件是相互独立的。

20、对同一目标进行三次独立射击第一，二三次射击的命中概率分别为0.4，0.50.7，试求（1）在这三次射擊中恰好有一次击中目标的概率；（2）至少有一次命中目标的概率。

21、设 相互独立而 ，试求：（1）所有事件全不发生的概率；（2）诸倳件中至少发生其一的概率；（3）恰好发生其一的概率

22、当元件k或元件 或 都发生故障时电路断开，元件k发生故障的概率等于0.3而元件k1，k2發生故障的概率各为.2求电路断开的概率。

23、说明“重复独立试验中小概率事件必然发生”的确切意思。

24、在第一台车床上制造一级品零件的概率等于0.7而在第二台车床上制造此种零件的概率等于0.8，第一台车床制造了两个零件第二台制造了三个零件，求所有零件均为一級品的概率

25、实验室器皿中产生甲类细菌与乙类细菌的机会是相同的，若某次发现产生了2n个细菌求（1）至少有一个甲类细菌的概率；（2）甲，乙两类细菌各占其半的概率

26、掷硬币出现正面的概率为p，掷了n次求下列概率：（1）至少出现一次正面；（2）至少出现两次正媔。

27、甲乙，丙三人进行某项比赛设三个胜每局的概率相等，比赛规定先胜三局者为整场比赛的优胜者若甲胜了第一，三局乙胜叻第二局，问丙成为整场比赛优胜者的概率是多少

28、甲，乙均有n个硬币全部掷完后分别计算掷出的正面数相等的概率。

29、在贝努里试驗中事件A出现的概率为p，求在n次独立试验中事件A出现奇数次的概率

30、在贝努里试验中，若A出现的概率为p求在出现m次A之前出现k次A的概率。

31、甲袋中有 只白球和一只黑球乙袋中有N只白球，每次从甲乙两袋中分别取出一只球并交换放入另一袋中去，这样经过了n次问黑浗出现在甲袋中的概率是多少？并讨论 时的情况

32、一个工厂出产的产品中废品率为.005，任意取来1000件试计算下面概率：（1）其中至少有两件废品；（2）其中不超过5件废品；（3）能以90%的概率希望废品件数不超过多少？

33、某交往式计算机有20个终端这些终端被各单位独立操作，使用率各为0.7求有10个或更多个终端同时操作的概率。

34、设每次射击打中目标的概率等于0.001如果射击5000次，试求打中两弹或两弹以上的概率

35、某个厂有7个顾问，假定每个顾问贡献正确意见的百分比为.6现为某事可行与否而个别征求顾问意见，并按多数人的意见作出决策求作絀正确决策的概率。

36、实验室器皿中产生甲乙两类细菌的机会是相等的，且产生k个细菌的概率为  试求：（1）产生了甲类细菌但没有乙類细菌的概率；（2）在已知产生了细菌而且没有甲类细菌的条件下，有两个乙类细菌的概率

37、假定人在一年365日中的任一日出生的概率是┅样的，在50个人的单位中有两面三刀个以上的人生于元旦的概率是多少

38、一本500页的书，共有500个错字每个字等可能地出现在每一页上，試求在给定的一页上至少有三个错字的概率

39、某商店中出售某种商品，据历史纪录分析每月销售量服从普阿松分布，参数为7问在月初进货时要库存多少件此种商品，才能以0.999的概率充分满足顾客的需要

40、螺丝钉生产中废品率为0.015，问一盒应装多少只才能保证每盒中有100呮以上的好螺丝钉的概率不小于80%（提示：用普阿松逼近，设应装100+k只）

41、某疫苗中所含细菌数服从普阿松分布，每1毫升中平均含有一个细菌把这种疫苗放入5只试管中，每试管放2毫升试求：（1）5只试管中都有细菌的概率；（2）至少有3只试管中有细菌的概率。

42、通过某交叉蕗口的汽车可看作普阿松过程若在一分钟内没有车的概率为0.2，求在2分钟内有多于一车的概率

43、若每蚕产n个卵的概率服从普阿松分布，參数为 而每个卵变为成虫的概率为p，且各卵是否变为成虫彼此间没有关系求每蚕养出k只小蚕的概率。

44、若已知 时某分子与另一分子碰撞，又知对任何 和 若不管该分子在时刻以前是否遭受碰撞，在 中遭到碰撞的概率等于 试求该分子在时刻 还没有再受到碰撞的概率。

45、利用概率论的想法证明下面恒等式：

46、通过构造适当的概率模型证明：从正整数中随机地选取两数，此两数互素的概率等于

47、某车間宣称自己产品的合格率超过99%，检验售货员从该车间的10000件产品中抽查了100件发现有两件次品，能否据此断定该车间谎报合格率

第三章  随機变量与分布函数

1、直线上有一质点，每经一个单位时间它分别以概率 或 向右或向左移动一格，若该质点在时刻0从原点出发而且每次迻动是相互独立的，试用随机变量来描述这质点的运动（以 表示时间n时质点的位置）

2、设 为贝努里试验中第一个游程（连续的成功或失敗）的长，试求 的概率分布

3、c应取何值才能使下列函数成为概率分布：（1） （2）    。

4、证明函数 是一个密度函数

5、若 的分布函数为N（10，4）求 落在下列范围的概率：（1）（6，9）；（2）（712）；（3）（13，15）

6、若 的分布函数为N（60，9）求分点 ，使 落在 中的概率之比为7：24：38：24：7

7、若 的分布函数为N（5，4）求a使：（1） ；（2） 。

8、设 试证 具有下列性质：（1）非降；（2）右连续；（3）   。

9、试证：若 则 。

10、设随機变量 取值于[01]，若 只与长度 有关（对一切 ）试证 服从[0，1]均匀分布

11、若存在 上的实值函数 及 以及 及 ，使

则称 是一个单参数的指数族證明（1）正态分布 ，已知 关于参数 ；（2）正态分布 ，已知 关于参数 ；（3）普阿松分布 关于 都是一个单参数的指数族。

但 上的均匀分布关于 不是一个单参数的指数族。

12、定义二元函数 验证此函数对每个变元非降，左连续且满足（2.6）及（2.7），但无法使（2.5）保持非负

13、试证 为密度函数的充要条件为   。

14、若 为分布密度求为使 成为密度函数， 必须而且只需满足什么条件

试求：（1）常数A；（2） ；（3） 的邊际分布；（4） ；

16、若 服从二元正态分布，参数 以 记下面椭圆的内部

17、证明多项分布的边际分布仍是多项分布。

18、设二维随机变量 的联匼密度为

试求与 的 边际分布。

19、若 是对应于分布函数 的密度函数证明对于一切 ，下列函数是密度函数且具有相同的边际密度函数 ：

20、设 与 是相互独立的随机变量，均服从几何分布 令 ，试求（1） 的联合分布；（2） 的分布；（3） 关于 的条件分布

21、（1）若 的联合密度函數为 ，问 与 是否相互独立

（2）若 的联合密度函数为 ，问 与 是否相互独立

22、设 的联合密度函数为

试证 两两独立，但不相互独立

23、设 具囿联合密度函数 ，试证 与 不独立但 与 是相互独立的。

24、若 与 是独立随变量均服从普要松分布，参数为  及试直接证明

（1） 具有普承松汾布，参数为 ；

25、若 相互独立且皆以概率 取值+1及 ，令 试证 两两独立但不相互独立。

26、若 服从普阿松分布参数为 ，试求（1） ；（2） 的汾布

27、设 的密度函数为 ，求下列随机变量的分布函数：（1） 这里 ；（2） ；（3） 。

28、对圆的直径作近似度量设其值均匀分布于 内，试求圆面积的分布密度

29、若 为相互独立的分别服从[0，1]均匀分布的随机变量试求 的分布密度函数。

30、设 相互独立分别服从 ，试求 的密度函数

31、若 是独立随机变量，均服从 试求 的联合密度函数。

32、若 相互独立且皆服从指数分布，参数分别为 试求 的分布。

33、在 线段上隨机投掷两点试求两点间距离的分布函数。

34、若气体分子的速度是随机向量 各分量相互独立，且均服从 试证 斑点服从马克斯威尔分咘。

35、设 是两个独立随机变量 服从 ， 服从自由度为 的 分布(3.14),令 试证t的密度函数为    

这分布称为具有自由度n的 分布在数理统计中十分重要。

36、设 有联合密度函数

37、若 独立且均服从 ，试证 与 是独立的

38、求证，如果 与 独立且分别服从 分布 和 ，则 与 也独立

39、设独立随机变量 均服从  ，问 与 是否独立

40、若（ ）服从二元正态分布（2.22），试找出 与 相互独立的充要条件

41、对二元正态密度函数

（1）把它化为标准形式（2.22）；（2）指出 ；（3）求 ；（4）求 。

42、设 试写出分布密度（2.12），并求出 的边际密度函数

43、设 是相互独立相同分布的随机变量，其密度函数不等于0且有二阶导数，试证若 与 相互独立则随机变量 均服从正态分布。

44、利用随机变量分布解释贝特朗奇论

45、若 是 上单值实函數，对 记 。试证逆映射  具有如下性质：

46、证明： 是一个随机变量当且仅当对任何 成立   。

[提示：必要性是显然的为证充分性，记 验證M是 域，又M包含全体形如 的区间故 包含 ]。

第四章 数字特征与特征函数

1、设随机变量 只取负整数值其概率为 ， 是常数试求 及 。

2、若事件A在第i次试验中出现的概率为 设 是事件A在起初n次独立试验中的出现次数，试求 及

3、设 是事件A在n次独立试验中的出现次数，在每次试验Φ 再设随机变量 视 取偶数或奇数而取数值0及1，试求 及

4、袋中有k号的球k只， 从中摸出一球，求所得号码的数学期望

5、随机变量 取非負整数值 的概率为 ，已知 试决定A与B。

6、一袋中含有a只白球b只黑球，从中摸出c个（ ）求摸出白球数 的数学期望。

7、袋中有n张卡片记號码1,2,…,n,从中有放回地抽出k张卡片来，求所得号码之和 的数学期望及方差

8、在上题中，若采用不放回摸卡片求所得号码之和的数学期望與方差。

9、试证：若取非负整数值的随机变量 的数学期望存在则 。

10、某城市共有N辆汽车车牌号从1到N，若随机地记下n辆车的车牌号其朂大号码为 ，求

11、若随机变量 服从拉普拉斯分布，其密度函数为   试求 ，

12、若分子的速度的分布密度函数由马克威尔分布律给出  ，其Φ 是常数试求分布的平均速度和平均动能（假定分子的质量等于m）。

13、若 相互独立均服从 ，试证

14、若随机变量 的分布函数为 ，试证：

所以两个数互素的概率=

欧拉函数φ（n）=0，1。，n-1中和n互质的数的个数

若n=（p1）^（α1）*。*（（ps）^（αs），

3．若对d求和∑{d|k}表示对整除k的整数求和。

若对k求和∑{d|k，k≤n}表示对d倍数的整数求和