函数求极限的方法 (高等数学上册)

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　　摘要：高等数学极限理论是高等数学教学环节中的重要内容，是学习高等数学、线性代数以及复变函数等大学数学科目的基础科目，同时也是理工科院校搞好专业教育的基础和前提。本文主要介绍了高等数学极限在大学数学知识体系中的重要地位，对高等数学中的数列与函数极限的概念、运算法则以及求解方法进行简析。文章最后，介绍了数学极限思想的发展简史，并对其日后的发展趋势进行展望。
　　关键词：高等数学，数学极限，数列极限，函数极限，运算法则
　　一、极限概念和数学极限理论是高等数学教学研究的基础
　　极限概念在高等数学教学环节中具有举足轻重的基础地位，它是在大一课本中必学必考的一个重要知识点，也是贯穿高等数学教学体系的一条主线和基本思路，是学生在此后学习大学数学过程中常用到的数学基础知识和基本方法。因此，笔者认为，极限是学习高等数学的基础，在一定程度上决定并影响着学生学习高等数学以及其他数学科目的效果。而今我们所研究的数学极限理论概念，乃是一种由第二次数学危机推动的类似微增量类的计算形式，随后经过了一个长期的演变历程，最终形成了今天我们所谓的这种数学极限理论。这种理论，逐步经过世界著名数学家达朗贝尔、拉格朗日、贝努力家族以及拉普拉斯等多人的努力研究和丰富，高等数学微积分理论获得了巨大的发展。例如，著名的法国数学家柯西，通过卓越的努力和不懈的研究，为函数的连续性质、以及导数、微分、积分、无穷大极数的求和等概念建立了基础，并为这些基本概念的诞生和发展做好了准备。由于当时的实际情况限制，柯西无法独立完成实数的严格理论，因此其极限理论不能得到最终的完善。随之以后的一些数学家们，典型的有维尔斯特拉斯、戴德金等，都通过自身的不懈努力在各自所执迷的数学领域上进行了深入的研究，并且也都将分析基础归结为实数理论的一部分，同时于七十年代建立了相对完整的实数体系框架，因此今天我们可以说，在极限理论方面，数学家们是在柯西所开辟的道路上通过不懈的努力和奋斗而逐渐完善起来的。
　　二、高等数学中的极限概念以及数列极限
　　高等数学中的极限概念，最初是由某些实际问题的精确破解而产生的解决思路和方法技巧，它是一种用来描述和模拟某个变量在一定变化过程中的终极状态的概念或思路。比如，在物理教学中的瞬时速度的问题，就是采取数学极限的思路进行模拟解决的。根据平均速度的定义，我们可以知道，速度就是用位移差与时间差的比值来准确表示和表达，而且它只是代表着某一个时间段内的平均速度。根据极限的思路，我们假设时间差无穷小且趋近于零值，那么该比值就可以表示某一瞬间时刻的即时速度，这就是我们所研究的瞬时速度。这是极限概念引出的最典型事例，如果将其扩大到整个数学体系中，这就产生了一个问题：在这个极限的公式中，分子位移差与分母时间差的值同时趋于无限小，无疑出现了“0÷0”这一初等数学知识中明令禁止的做法，这有意义吗？这种质疑，促使人们为此而开发出一系列更为合理的解释和阐述，极限的思想也逐步成为一种成熟的数学工具方法和理论体系。在数学领域中，“极限”是用来描述变量在一定的变化过程中的极限状态的一种概念，极限经历了相当漫长艰辛的发展进程，不断积累和完善，因此它在在高等数学中始终是一个非常重要的内容，并且会以各种形式出现在各个章节，甚至贯穿于整个高等数学的全部内容。
　　数列极限是我们研究高等数学极限内容的一个重要的知识点和出发点，数列极限源于我国古代刘徽的“割圆术”一词：设有一个半径为1的整圆，在只知道直边形（正三角形，正方形，正五边形等规则图形）面积计算方法的情况下，拟计算该圆的面积。面对这样一个“中庸”的问题，刘徽首先以该圆为基准做其内接正六边形，并将其面积记作A1，其次再作其内接正十二边形，并将其面积记为A2，以此类推，该圆的内接正二十四边形的面积记为A3，逐步将直边形的边数加倍，当边数n无限增大时，该圆的内接正n边形的面积An将无限接近于该圆的实际面积，当数学家们计算到的9次方边形时，利用不等式An+10，总存在正整数N，使得当n>N时，|xn-a|　　三、高等数学中函数极限的定义及其运算法则
　　高等数学中的函数极限，分为自变量x趋近于无穷大和x趋近于某一个确定的常数两种基本情况。其中，函数的自变量x趋近于无穷大，其函数极限的基本定义是：假设函数y=f（x）在开区间（a，+∞）内有定义，如果当自变量x逐步趋近于无穷大时，函数f（x）的值无限接近于一个确定的常数A，则称A是当自变量x趋于无穷大时函数f（x）的极限，简单记作lim f（x）=A ，x→+∞。而自变量x趋近于某一个确定的常数的函数极限的基本定义是：假设函数y=f（x）在点a的左右近旁都有定义，当自变量x无限趋近于a时（简单记作x→a），函数f（x）的值将会无限接近于一个确定的常数A，则称A为当自变量x无限趋近于a时函数f（x）的极限，简单记作lim f（x）=A ，x→a。对于后者而言，此时的函数具有左极限和右极限两种概念：其一，函数f（x）的左极限，是说如果当自变量x从点x=x0的左侧（即xx0的情况下）无限趋近于点x0时，函数f（x）的值无限趋近于常数a，就说a是函数f（x）在点x0处的右极限，记作x→x0+limf（x）=a；无论是左极限，还是右极限，都表示函数值随着自变量x在某一个区间内变化而变化的趋势，能够有效反映出这种变化是否存在突变，或者是否连续。
　　高等数学中函数极限符合数学计算中的基本运算规则，在数学中也称之为函数极限的有关公式，在此作以简单扼要的阐述： 　　第一，函数极限的加法运算规则：lim（f（x）+g（x））=limf（x）+limg（x）；
　　第二，函数极限的减法运算规则：lim（f（x）-g（x））=limf（x）-limg（x）；
　　第三，函数极限的乘法运算规则：lim（f（x）*g（x））=limf（x）*limg（x）；
　　第四，函数极限的除法运算规则：lim（f（x）/g（x））=limf（x）/limg（x） （ 其中limg（x）不等于0 ） ；
　　第五，函数极限的幂运算规则：lim（f（x））^n=（limf（x））^n；以上limf（x） limg（x）都存在时才成立；
　　第六，函数极限的指数运算规则：（1）lim（1+1/x）^x =e，x→∞；（2）lim（1+1/x）^x =e，x→0。
　　四、高等数学中极限求解的基本方法
　　高等数学教学过程中，经常会用到极限求解的知识，因此数学教师和高校学生们较好地学习和掌握高等数学极限求解的基本思路与方法，对于日后学习高等数学十分重要，具有重要的基础作用。在此，笔者简单介绍几种高等数学极限求解的基本方法：
　　第一，高等数学迫敛性求解方法
　　高等数学中的极限求解方法很多，敛迫法是其中一种比较常用的极限求解方法，在此作简单的分析和探讨。笔者认为，运用迫敛性求解方法求解高等数学极限，则要充分认识并掌握其要点：当高等数学极限不容易直接求解得到答案时，建议采取敛迫性求解方法，即将求解极限的变量做适当的放大或者适当的缩小变化，以使得放大、缩小所得到的自变量更易于求解极限，并且这二者的极限值相同，即原极限存在且等于此公共值。
　　第二，高等数学洛必达法则求解方法
　　高等数学中的洛必达法则主要用于分子分母均为无穷大的情况，也就是“∞/∞ 型”不定式极限常用的求解方式，有时候还需要利用推广形式的洛必达法则来进行求解，或者运用其进行辅助求解。在利用洛必达法则进行数学极限求解的时候，可以灵活地将x→a的形式转换成x→a+0或x→a-0等拓展形式，且这种情况适用于洛必达法则。根据数学经验的积累，要明确在应用洛必达法则的时候必须特别注意的几个方面要点内容：要验证应用洛必达法则的条件，就应该先对极限进行分析，以确定极限的类型，然后才能继续使用洛必达法则进行求解计算，只要是符合这个条件的函数或者数列，就可以利用洛必达法则求解其极限；另外，其他类型的不定式也可以利用洛必达法则来求解极限值。
　　第三，高等数学极限内涵和判断准则
　　我们可以利用公式来描述极限的内涵，即ε>0；|an-a|N的时候才能体现出来。用纯粹的数学方式表达：极限存在的辨识方法：极限存在左右极限存在且体现相等；符合夹逼定理；符合连续定理（单调有界数列必有极限）；符合柯西准则。
　　五、数学极限思想的发展及其展望
　　追溯到古代时期的中国，著名思想家庄子在其文学作品中记载了惠施的一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”这句话的具体含义是：长为一尺的木棒，第一天截取它的一半，第二天截取剩下的一半，这样的过程无穷无尽地进行下去，随着天数的增多，所剩下的木棒会越来越短，且截取量也将会越来越小，无限地接近于0值，但是它永远不会等于0值。这就是数学极限的朴素思想及其简单应用的萌芽状态。而且，中国早在3世纪就已经创立了闻名世界的“割圆术”，这是一个最为典型的数学极限思想。到了十七世纪后半叶，英国科学家牛顿和莱布尼茨在前人研究的基础上，分别从物理与几何的不同思想基础、不同研究方向，分别独立地建立了微积分学。其后，数学极限在经过近一个世纪的不断尝试与酝酿，世界数学家们在严格化基础上重新建立了微积分的知识体系，世界数学界的共同努力直到19世纪初期才开始获得较大的成果，此时的数学极限理论已经非常成熟，其技术方法也在各个学科中的到应用和推广借鉴。后来，在法国数学家柯西、德国数学家魏尔斯特拉斯等人工作的基础上，数学界的前辈们建立并完善了实数理论体系，这使得极限理论建立在严密的理论基础之上。至此，数学界才算是真正建立起了极限理论，而微积分这门学科也才得以严密化。
　　极限思想是高等数学学习过程中不可或缺的一种重要的思维基础，它不仅为后续高等数学知识的学习提供了知识储备，更为以高等数学为基础的大学数学体系的学习和研究提供了宝贵的资源。
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　　王淑玲：女，1963年6月出生，1982年7月毕业于泉州师专数学专业，1999年毕业于华东师范大学数学专业。现就职于泉州医学高等专科学校，籍贯，学历，华东 师大本科，籍贯 南安，研究方向，数学教学

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