拉格朗日乘数法求出的极值怎么说明是最大值还是最小值？【高等数学吧】_百度贴吧
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不要用经验判断的，比如在证明不等式，该怎么说明呢？
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高数7.8 多元函数的极值及其求法
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多元函数求极值(拉格朗日乘数法)日期：
第八节多元函数的极值及其求法教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定方法、求极值方法，并能够解决实际问题。熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。 教学重点：多元函数极值的求法。教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。 教学内容：一、 多元函数的极值及最大值、最小值定义设函数z =f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于(x 0, y 0) 的点，如果都适合不等式f (x , y ) <f (x 0, y 0) ，则称函数f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 有极大值f (x 0, y 0) 。如果都适合不等式f (x , y ) >f (x 0, y 0) ，则称函数f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 有极小值f (x 0, y 0) ．极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。22例1 函数z =3x +4y 在点（0，0）处有极小值。因为对于点（0，0）的任一邻域内异于(0，0) 的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。从22z =3x +4y 几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面的顶点。22z =-x +y 例２函数在点（0，0）处有极大值。因为在点（0，0）处函数值为零，而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负，22z =-x +y xOy 点（0，0，0）是位于平面下方的锥面的顶点。例３ 函数z =xy 在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。因为在点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。定理1（必要条件）设函数z =f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 具有偏导数，且在点(x 0, y 0) 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：f x (x 0, y 0) =0, f y (x 0, y 0) =0 证不妨设z =f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 处有极大值。依极大值的定义，在点(x 0, y 0) 的某邻域内异于(x 0, y 0) 的点都适合不等式f (x , y ) <f (x 0, y 0)特殊地，在该邻域内取y =y 0，而x ≠x 0的点，也应适合不等式f (x , y 0) <f (x 0, y 0)这表明一元函数f (x , y 0) 在x =x 0处取得极大值，因此必有f x (x 0, y 0) =0类似地可证f y (x 0, y 0) =0 从几何上看，这时如果曲面z =f (x , y ) 在点(x 0, y 0, z 0) 处有切平面，则切平面z -z 0=f x (x 0, y 0)(x -x 0) +f y (x 0, y 0)(y -y 0) 成为平行于xOy 坐标面的平面z -z 0=0。仿照一元函数，凡是能使f x (x , y ) =0, f y (x , y ) =0同时成立的点(x 0, y 0) 称为函数z =f (x , y ) 的驻点，从定理1可知，具有偏导数的函数的极值点必定是驻点。但是函数的驻点不一定是极值点，例如，点（0，0）是函数z =xy 的驻点，但是函数在该点并无极值。怎样判定一个驻点是否是极值点呢？下面的定理回答了这个问题。定理2（充分条件）设函数z =f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又f x (x 0, y 0) =0, f y (x 0, y 0) =0，令f xx (x 0, y 0) =A , f xy (x 0, y 0) =B , f yy (x 0, y 0) =C 则f (x , y ) 在(x 0, y 0) 处是否取得极值的条件如下：2(1)AC -B >0时具有极值，且当A 0时有极小值；2(2)AC -B <0时没有极值；2(3)AC -B =0时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。这个定理现在不证。利用定理1、2，我们把具有二阶连续偏导数的函数z =f (x , y ) 的极值的求法叙述如下：第一步解方程组f x (x , y ) =0, f y (x , y ) =0 求得一切实数解，即可以得到一切驻点。第二步对于每一个驻点(x 0, y 0) ，求出二阶偏导数的值A ，B 和C 。2第三步定出AC -B 的符号，按定理2的结论判定f (x 0, y 0) 是否是极值、是极大值还是极小值。3322f (x , y ) =x -y +3x +3y -9x 的极值。 例1 求函数解先解方程组2??f x (x , y ) =3x +6x -9=0, ?2??f y (x , y ) =-3y +6y =0,求得驻点为（1,0）、（1,2）、（-3,0）、（-3,2）。再求出二阶偏导数f xx (x , y ) =6x +6, f xy (x , y ) =0, f yy (x , y ) =-6y +6 2在点(1,0) 处，AC -B =12?6>0又A >0，所以函数在(1,0)处有极小值f (1,0)=-5；2在点(1,2) 处，AC -B =12?(-6) <0，所以f (1,2)不是极值；2在点(-3,0) 处，AC -B =-12?6<0，所以f (-3,0)不是极值；AC -B 2=-12?(-6) >0又A <0所以函数在(-3,2)处有极大在点(-3,2) 处，值f (-3,2)=31。例2 某厂要用铁板作成一个体积为2m 3的有盖长方体水箱。问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省。2m解设水箱的长为xm ，宽为ym ，则其高应为xy ，此水箱所用材料的面积22+x ?) xy xy ，22+)x y （x >0，y >0）A =2(xy +y ?A =2(xy +即可见材料面积A 是x 和y 的二元函数，这就是目标函数，下面求使这函数取得最小值的点(x , y ) 。令A x =2(y -2) =0x 2，A y =2(x -2) =0y 2 解这方程组，得：x =32，y =2 从这个例子还可看出，在体积一定的长方体中，以立方体的表面积为最小。 二、条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法要找函数z =f (x , y ) 在附加条件φ(x , y ) =0下的可能极值点，可以先构成辅助函数F (x , y ) =f (x , y ) +λφ(x , y )其中λ为某一常数求其对x 与y 的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程(2)联立?f x (x , y ) +λφx (x , y ) =0, ???f y (x , y ) +λφy (x , y ) =0, ???φ(x , y ) =0.（1）由这方程组解出x ，y 及λ，则其中x ，y 就是函数f (x , y ) 在附加条件下φ(x , y ) =0的可能极值点的坐标。这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。例如，要求函数u =f (x , y , z , t )在附加条件φ(x , y , z , t ) =0，ψ(x , y , z , t ) =0下的极值，可以先构成辅助函数(2)F (x , y , z , t ) =f (x , y , z , t ) +λ1φ(x , y , z , t ) +λ2ψ(x , y , z , t )其中λ1，λ2均为常数，求其一阶偏导数，并使之为零，然后与(2)中的两个方程联立起来求解，这样得出的x 、y 、z 、t 就是函数f (x , y , z , t ) 在附加条件(2)下的可能极值点的坐标。至于如何确定所求得的点是否极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定。例3 求表面积为a 而体积为最大的长方体的体积。 解设长方体的三棱长为x , y , z ，则问题就是在条件2ψ(x , y , z , t ) =2xy +2yz +2xz -a 2=0（3）下，求函数V =xyz (x >0，y >0，z >0)的最大值。构成辅助函数F (x , y , z ) =xyz +λ(2xy +2yz +2xz -a 2)求其对x 、y 、z 的偏导数，并使之为零，得到?yz +2(y +z ) =0???xz +2(x +z ) =0???xy +2(y +z ) =0（4）再与(10)联立求解。因x 、y 、z 都不等于零，所以由(11)可得 x x +zy ＝y +z ，x +y yz ＝x +z ．由以上两式解得x =y =z将此代入式(10)，便得6ax =y =z =6这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就在这个可能的极值点处取得。也就是说，表面积为a 的长方体中，/6的正方体的体积为最大，最大体积V =3/36。 小结：本节以一元函数极值为基础，研究多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值问题。在介绍多元函数极值的定义后，介绍了二元极值的性质以及利用偏导数求极值的步骤，讨论了二元函数的最值问题和实际问题的最值问题。最后介绍了利用拉格朗日乘数法求条件极值的方法及应用。 2本文由(www.wenku1.com)首发，转载请保留网址和出处！
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