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线性代数(高教出版社)第二版(卢刚)答案汇合版(共五章)
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证明A B中有一个可逆矩阵,若A可逆,则R(AB)=R(B)=R(BA)
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R(AB)<=min{R(A),R(B)}.证明: 一方面有 R(AB)<=R(B)另一方面, 由于A可逆, 有R(B) = R(A^-1(AB)) <= R(AB)综上, R(AB)=R(B).同理可证 R(BA)=R(B).
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《线性代数》总复习
线性代数总复习《线性代数》总复习2011.10首页 上页 返回 下页 结束 铃线性代数总复习第一章 矩阵第一章 矩阵矩阵概念 矩阵运算m×n个数构成的m行n列的数表加法：A+B=(aij+bij), A、B是同型矩阵 A + B = B + A, (A + B) + C = A + (B + C), A + O = A, A + (?A) = O, 数乘：kA=k(aij) k(lA) = (kl)A, (k + l)A = kA + lA, k(A + B) = kA + kB s 矩阵乘法：AB=C，其中 cij = ? aikbkj. C是m×n矩阵. (AB)C = A(BC), A(B+C) = AB + AC, (A+B)C = AC+BC, (kA)B = k(AB).返回 下页 结束 k=1矩 阵伴随矩阵逆矩阵 特殊矩阵 初等变换 矩阵的秩首页 上页铃线性代数总复习第一章 矩阵矩阵概念 矩阵运算矩 阵伴随矩阵 逆矩阵转置： A=(aij), AT=(aji) 方阵的行列式：(AT)T = A, (kA)T = kAT, (A+B)T = AT + BT, (AB)T = BTAT. 设A = [aij]n?n为方阵, 元素aij的代 数余子式为Aij, 则称如下矩阵特殊矩阵初等变换 矩阵的秩首页 上页为方阵A的伴随矩阵.返回下页结束铃线性代数总复习第一章 矩阵矩阵概念 矩阵运算矩 阵伴随矩阵 逆矩阵特殊矩阵初等变换 矩阵的秩定义: 设A为方阵, 若存在方阵B, 使得 AB = BA = E. 则称A可逆, 并称B为A的逆矩阵. 注意：A可逆?detA≠0 运算性质 (A?1)?1 = A. (AT)?1 = (A?1)T. (kA)?1 = k?1A?1. (AB)?1 = B?1A?1. 逆阵的求法: 定义法 用伴随矩阵用初等行变换(A?E) → (E?A-1) 逆阵的证法: ?A?≠0，R(A)=n, 反证法返回 下页 结束 铃首页上页线性代数总复习第一章 矩阵矩阵概念矩阵运算矩 阵伴随矩阵 逆矩阵 特殊矩阵 初等变换 矩阵的秩单位矩阵 对角矩阵 初等矩阵 对称矩阵几种常用的初等变换及对应的初等矩阵 行阶梯矩阵、行最简型、标准型定义：非0子式的最高阶数求法：初等变换或定义法 性质：经初等变换矩阵的秩不变首页上页返回下页结束铃线性代数总复习第一章 矩阵其它几个重要定理及结论：定理. 对m?n矩阵A进行一次初等行变换相当于在A的左 边乘以相应的初等矩阵; 对A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘以 相应的初等矩阵.矩阵等价：若矩阵A经过有限次初等变换化为B, 则称A与B等价.记为A ~ B. （注意与相似、 合同、正交相似的区别）与等价有关的重要定理A与B等价?R(A)= R(B) 定理. 方阵A可逆的充要条件是A可写成有限个初等矩阵的乘积. 推论1. 方阵A可逆的充要条件是A与单位矩阵行等价。 推论2. m×n阶矩阵A与B等价的充要条件是存在m阶 可逆矩阵P 和n阶可逆矩阵Q，使得 PAQ=B。首页 上页 返回 下页 结束 铃线性代数总复习第一章 矩阵概念应用数学归纳法 按第一行展开方式定义行 列 式性质展开式 计算a11 a21 … a n1a12 a22 … a n2… a1n … a2n … … … ann= a11A11+a12A12+…+a1nA1n应用首页上页返回下页结束铃线性代数总复习第一章 矩阵性质1 行列式与它的转置行列式相等。概念行 列 式性质展开式计算 应用性质2 行列式互换两行(列)，行列式变号。 推论: 行列式有两行(列)相同，则此行列式 为零。 性质3 行列式的某一行(列)的所有元素乘以 数k，等于用数k乘以该行列式。 推论: 行列式的某一行(列)所有元素的公因 子可以提到行列式符号外。性质4 行列式中有两行(列)的元素对应成比 例，则此行列式为零。首页上页返回下页结束铃线性代数总复习第一章 矩阵性质5 若行列式中某一行(列)的元素都是 两数之和，即若a11 ? a1i ? b1i ? a1n ??概念D?a21 ? a2i ? b2i ? a2 n ? ? ? an1 ? ani ? bni ? ann行 列 式性质 展开式则此行列式等于两个行列式之和，即a11 ? a1i D? ? a1n ? a11 ? b1i ? a1n a21 ? a2i ? a2 n ? ? ? ?? an1 ? ani ? ann a21 ? b2i ? a2 n ? ? ? ?? an1 ? bni ? ann计算应用性质6 行列式某一行(列)的k倍加到另一 行(列)上，行列式值不变。返回 下页 结束 铃首页上页线性代数总复习第一章 矩阵可按任意一行(列)展开a11 a12 ? a1n概念代数余 子式a D ? 21 ? an1n n a22 ? a2 n ? ? aij Aij ?? ? aij Aij ? ? j ?1 i ?1an 2 ? ann行 列 式性质 展开式 计算 应用一般地, 在n阶行列式中, 把元素 aij所在的第i行和第j列划去, 留下 来的n?1阶行列式叫做元素aij的 余子式, 记作Mij, 令Aij = (?1)i+jMij, 并称之为aij的代数余子式.首页上页返回下页结束铃线性代数总复习第一章 矩阵概念行 列 式性质展开式计算 应用? ? ? ? ?化三角法 递推法 数学归纳法 降阶展开法 拆项法…? 克拉默法则(求解线性方程组有唯一 解的一种方法) ? 齐次线性方程组有非零解的充分条件首页上页返回下页结束铃线性代数总复习第一章 矩阵其它几个重要定理及结论：定理 n阶行列式的某一行(列)元素与另一行(列)的对应的 代数余子式乘积之和为零. 即 ai1Aj1 + ai2Aj2 + … + ainAjn = 0 (i ? j) a1iA1j + a2iA2j + … + aniAnj = 0 (i ? j). 上(下)三角行列式的值等于主对角线元素的乘积首页上页返回下页结束铃线性代数总复习第一章 矩阵例1 求矩阵 X , 使 AX ? B ? 2 X ，其中? 3 2 3? ?2 5? ? ? ? ? A ? ? 2 4 1 ? , B ? ? 3 1 ?. ?3 4 5? ?4 3? ? ? ? ?解? A ? 2 E ? X ? B，则 X ? ? A ? 2 E ??1 2 3? ? ? ? A ? 2E ? ? 2 2 1 ? ? 3 4 3? ? ? ?1 2 3 2 5? ? ? ??? A ? 2E ? B ? ? ? 2 2 1 3 1 ? ? 3 4 3 4 3? ? ?首页 上页 返回 下页?1B.结束铃线性代数总复习第一章 矩阵r2 ? 2r1r3 ? 3r1r1 ? r23 2 5 ? ?1 2 ? ? ?0 ? 2 ? 5 ?1 ? 9 ? ? 0 ? 2 ? 6 ? 2 ? 12 ? ? ? ? 1 0 ? 2 1 ? 4? ? ? ? 0 ? 2 ? 5 ? 1 ? 9? ? 0 0 ? 1 ? 1 ? 3? ? ? 0 3 2 ? ?1 0 ? ? 4 6 ? ?0 ? 2 0 ? 0 0 ? 1 ? 1 ? 3? ? ?返回 下页 结束 铃r3 ? r2r1 ? 2r3r2 ? 5r3首页上页线性代数总复习第一章 矩阵r1 ? 2r3r2 ? 5r30 3 2 ? ?1 0 ? ? 4 6 ? ?0 ? 2 0 ? 0 0 ? 1 ? 1 ? 3? ? ?2? r2 ? （ ? 2） ? 1 0 0 3 ? 0 1 0 ?2 ?3 ?， ? r3 ? （ ? 1） ? ?0 0 1 1 ? 3 ? ?? 2 ? ? 3 ? ? X ? ? ? 2 ? 3 ?. ? 1 ? 3 ? ?上页 返回 下页 结束 铃首页线性代数总复习第一章 矩阵例2 ：求四阶行列式1 1 ?1 2 ?1 ?1 ? 4 1 D? 2 4 ?6 1 1 2 2 21 1 ?1 2 r2 ? r1 0 0 ? 5 3 r3 ? 2r1 0 2 ? 4 ? 3 3 0 r4 ? r1 0 1 1 1 ?1 2 1 1 ?1 2 r2 ? r4 0 1 5 0 3 0 r3 ? 2r2 0 1 ? ? 0 0 ? 10 ? 3 0 2 ?4 ?3 0 0 ?5 3 0 0 ?5 3首页上页返回下页结束铃线性代数总复习第一章 矩阵1 1?121 1 ?12r3 ? r4 0 1 5 0 r4 ? 2r3 0 1 5 0 ? 45 0 0 ?5 3 0 0 ?5 3 0 0 ? 10 ? 3 0 0 0 ?91 例3 设A是3阶方阵，且 A ? 求 2? 3 A??1? 2 A? .?1解:? 3 A??1? ? A?? 2A??1? 3 A ?2 A A3?1?1?1A? ? A A?1?A ?116 2 ? 1 ? 2 ? ?1 ? ? A ? ?? ? A ? ? 27 3 ? 3?首页 上页 返回 下页?A ? ?n A结束铃线性代数总复习第二章 n维向量第二章 n维向量 n 维 向 量运算k1?1+k2?2+…+kn?n= 0 ? ki均为0，则?1, ?2, …, ?n线性无关线性表示线性相关性? 只要有一个ki不为0，?1, ?2, …, ?n 线性相关极大线性无关组：向量组A中，能 找到r个向量线性无关，任意r+1个 线性相关，则这r个向量构成的向量 组是A的一个最大线性无关组。 求法：非零子式法、初等变换法极大无关组向量组的秩极大无关组包含的向量的个数首页 上页 返回 下页 结束 铃线性代数总复习第二章 n维向量?向量组与矩阵的关系矩阵A = (?1, ?2, …, ?s)列向量组: ?1, ?2, …, ?s矩阵A的秩R(A)向量组的秩RT 最大线性无关组最高阶非零子式注：行向量的问题与列向量相同首页 上页 返回 下页 结束 铃线性代数总复习第二章 n维向量?向量内积定义：性质： (1) 对称性: [?, ?] = [?, ?];(2) 线性性: [k1?1+k2?2,?]= k1[?1, ?]+k2[?2,?];(3) [?, ?] ? 0; 且[?, ?] = 0 ?? = 0 . (4) |[?, ?]| ? [?, ?] [?, ?]. 正交：若[?, ?] = 0, 则称?与?正交. 施密特(Schmidt)正交化方法?正交矩阵 A为正交矩阵首页 上页 返回ATA=E下页 结束 铃线性代数总复习第二章 n维向量? 2 ?1 ?1 1 ? 1 1 ?2 1 例4 设矩阵 A ? ? ? 4 ?6 2 ?2 ? ? 3 6 ?9 72? ? 4? 4? ? 9?求矩阵A的秩和列向量组的一个极大无关组，并把不 属于极大无关组的列向量用最大无关组线性表示。首页上页返回下页结束铃线性代数总复习第二章 n维向量解 对A施行初等行变换变为 行阶梯形矩阵?1 ? ?0 ?0 ? ?0 ? 1 ?2 1 4 ? ? 1 ?1 1 0 ? ， 0 0 1 ? 3? ? 0 0 0 0 ? ?A初等行变换~知R( A) ? 3，故列向量组的最大无关 组含3个向量.而三个非零行的非零首元在1、、三列， 2 4 故 a1 , a2 , a4为列向量组的一个最大无关组。首页 上页 返回 下页 结束 铃线性代数总复习第二章 n维向量要把a3 , a5用a1 , a2 , a4线性表示，必须将A再变 成行最简形矩阵A初等行变换~?1 ? ?0 ?0 ? ?0 ?4 ? ? 1 ?1 0 3 ? 0 0 1 ? 3? ? ? 0 0 0 0 ?0 ?1 0即得? a3 ? ?a1 ? a2 , ? ? a5 ? 4a1 ? 3a2 ? 3a4上页 返回 下页 结束 铃首页线性代数总复习第三章 线性方程组第三章 线性方程组齐次方 程组 是 R(A)?n有无非零解 初等行 变换基础解系线性方程组 Ax=bb=0?行阶梯 形矩阵有解判定否非齐次 方程组R(A)＝ R(A b)解的结构首页上页返回下页结束铃线性代数总复习第三章 线性方程组?向量组的线性相关性与非齐次方程组解的关系向量b能由?1, ?2, …, ?n 线性表示？ 是? 有解Ax=(?1, ?2, …, ?n)x=b否? 无解是无 Ax=b有矛 盾方程?? 方程组有解 ?R(A)＝R(A b)? 有? 方程组无解 ? 否是R(A)＝R(A b)?n ? 否首页 上页? 有无穷多 ? 是 组解 ? 有唯一解 ? 否返回 下页有效方程数 少于未知数 个数？结束 铃线性代数总复习第三章 线性方程组?向量组的线性相关性与齐次方程组解的关系是 ? R(A)?n ? 有非零解 否 ? R(A)=n ? 只有零解 Ax=(?1, ?2, …, ?n)x=0向量组?1, ?2, …, ?n线 性相关？是 R(A)＝n?否? 只有零解 ? 否 ? 有无穷多组 ? 是 非零解有效方程数 少于未知数 个数？注意：齐次线性方程组不会出现矛盾方程。首页 上页 返回 下页 结束 铃线性代数总复习第三章 线性方程组? x1 ? x2 ? x 3 ? x4 ? 0 ? 例5. 求 ? 2 x1 ? 5 x2 ? 3 x3 ? 2 x4 ? 0 的基础解系与通解. ? ?7 x1 ? 7 x 2 ? 3 x3 ? x4 ? 0?1 0 ? 2 / 7 ? 3 / 7 ? ?1 1 ? 1 ? 1 ? 初等行变换 ?0 1 ? 5 / 7 ? 4 / 7 ? ? ? 2 ? 5 3 2 解: ?0 0 ? ?7 ? 7 3 1 ? 0 0 ? ? ? ?? 2 / 7? ? 3 / 7? ?5 / 7 ? ? 4/ 7? 该方程组的基础解系可取为 ?1 ? ? ? , ? 2 ? ? , ? 1 0 ? ? ? ? ? x1 ? ? 1 ? ?2 / 7? ? 3 / 7? ? 0 ? ? x2 ? ?5 / 7 ? ? 4/ 7? 通解为 ? ? ? c1 ? ? ? c2 ? , (c1 ,c1 ? R ). ? 1 0 ? x3 ? ? ? ? ? ? ? 0 ? ? 1 ? ? x4 ? ?首页 上页 返回 下页 结束 铃线性代数总复习第三章 线性方程组? x1 ? x 2 ? x 3 ? x4 ? 0 ? 例6. 求方程组 ? x1 ? x 2 ? x 3 ? 3 x4 ? 1 的通解. ? ? x1 ? x 2 ? 2 x 3 ? 3 x4 ? ?1/ 2 0 ? ?1 ?1 ?1 1 1 ? 初等行变换 解: ?1 ?1 1 ? 3 ?1 ?1 ? 2 3 ?1/ 2? ? ? ?1 ? 1 0 ? 1 1/ 2? ? 0 0 1 ? 2 1/ 2 ? ?0 0 0 0 0 ? ? x ? x ? x ? 1/ 2 1 2 4 ? ? ? ? x2 ? x2 可见原方程组有解, 且 ? x ? 2 x ? 1/ 2 4 ? 3 ? x4 ? x4 ?首页 上页 返回 下页 结束 铃线性代数总复习第三章 线性方程组? x1 ? x 2 ? x 4 ? 1 / 2 ? ? x2 ? x2 可见原方程组有解, 且 ? x ? 2 x 4 ? 1/ 2 ? 3 ? x4 ? x4 ?由此可得原方程组的通解? x1 ? ? 1? ? 1? ?1/ 2? ? x2 ? ? 1? ?0 ? ? 0 ? ? x ? ? c1 ?0 ? ? c2 ?2? ? ?1/ 2? , (c1 ,c2 ?R ). ? 3? ? ? ? ? ? ? ? ?0 ? ? 1? ? 0 ? ? x4 ? ?首页上页返回下页结束铃线性代数总复习第四章 方阵的特征值和特征向量第四章 方阵的特征值和特征向量定义A?=??，?≠0定义法特 征 值 与 特 征 向 量特征值特征方程 |?ECA| = 0求法定义法性质 相似矩阵 实对称阵首页 上页特征向量(?ECA)? = 0基础解系法?1 + … + ?n = tr(A). ?1?…??n = |A|. A 可逆??1, …, ?n全不为零. |?ECA| = |?ECAT|.返回 下页 结束 铃线性代数总复习第四章 方阵的特征值和特征向量?矩阵相似，则其特征值相同。概念?不同特征值的特征向量线性无关。 ?k重特征值至多有k个线性无关的 特征向量。特 征 值 与 特 征 向 量求法定义 矩 阵 可 对 角 化 的 条 件P-1AP=B A有n个线性无关的特征向量性质相似矩阵 实对称阵?R(?iE-A)=n-r，?i是r重特征值A有n个不同的特征值?A是实对称阵 An=P-1?nP 下页 结束 铃应用 首页 上页 返回线性代数总复习第四章 方阵的特征值和特征向量概念特 征 值 与 特 征 向 量必可相似对角化求法 性质 相似矩阵 实对称阵 的特性首页 上页不同特征值的特征向量互相 正交 k重特征值必有k个线性无关 的特征向量 特征值全是实数 与对角阵合同返回下页结束铃线性代数总复习第四章 方阵的特征值和特征向量?矩阵等价、相似、合同、正交相似的联系与区别?A,B∈Mn, A与B相似 ? 存在可逆矩阵P，使P-1AP=B A与B合同 ? 存在可逆矩阵C，使CTAC=BA与B正交相似 ? 存在正交阵Q，使QTAQ=Q-1AQ=B?A,B∈Mm×n, 存在m阶可逆矩阵P，n阶可 ? A与B等价 逆矩阵Q，使PAQ=B 共同的性质：自反性、对称性、传递性首页 上页 返回 下页 结束 铃线性代数总复习第四章 方阵的特征值和特征向量?等价、相似、合同、正交相似的关系 A与B正交相似 A与B合同 A与B相似方阵A与B等价?等价、相似、合同、正交相似的不变量等价: 秩，即R(A)=R(B) 相似: 秩，即R(A)=R(B) 特征多项式，特征值 |?ECA|=|?ECB| 合同: 秩，即R(A)=R(B) 对称性，即若A对称，则B也对称 对称阵A、B对应的二次型的正(负)惯性指数 对称阵A、B对应的二次型的规范型 正交相似: 相似+合同首页 上页 返回 下页 结束 铃线性代数总复习第四章 方阵的特征值和特征向量?求方阵特征值和特征向量的步骤计算|?ECA| 求|?ECA| = 0的根求(?ECA)x = 0的基础解系?实对称阵对角化的步骤? 求A全部特征值根据（所有特征值的重根次数之和等于n）? 对每个ki重特征值?i求方程(A- ?iE)x=0的基础解系 ? 得出对应于特征值?i的ki个线性无关的特征向量? 将对应于特征值?i的ki个线性无关的特征向量正交、单位 化（总共可以得到n个两两正交的单位特征向量）? 将n个两两正交的单位特征向量构成正交阵P，即可满足 P-1AP=?(注意顺序)。首页 上页 返回 下页 结束 铃线性代数总复习第四章 方阵的特征值和特征向量? ? 1 1 0? ? ? . 例7 求矩阵A ? ? ? 4 3 0 ?的特征值和特征向量 ? 1 0 2? ? ?解A的特征多项式为 ?1? ? 1 3?? 0 0 ? ( 2 ? ? ) (1? ? ) ,2A ? ?E ??41 0 2?? 所以A的特征值为? 1 ? 2, ? 2 ? ? 3 ? 1.当? 1 ? 2时, 解方程( A ? 2 E ) x ? 0.由首页 上页 返回 下页 结束 铃线性代数总复习第四章 方阵的特征值和特征向量? ? 3 1 0? ? ? A ? 2E ? ? ? 4 1 0? ? 1 0 0? ? ?所以kp1 (k ? 0)是对应于?1 ? 2的全部特征向量.?0? ? 1 0 0? ? ? ~ ? 0 1 0 ?, 得基础解系 p1 ? ? 0 ?, ? ? ? 0 0 0? ?1? ? ? ? ?当? 2 ? ? 3 ? 1时, 解方程( A ? E ) x ? 0.由? ? 2 1 0? ? 1 0 1? ? ? ? ? A ? E ? ? ? 4 2 0 ? ~ ? 0 1 2 ?, ? 1 0 1? ? 0 0 0? ? ? ? ? ? ? 1? ? ? 得基础解系 p2 ? ? ? 2 ? , ? 1 ? ? ? 所以kp2 (k ? 0)是对于?2 ? ?3 ? 1 的全部特征向量.首页 上页 返回 下页 结束 铃线性代数总复习第四章 方阵的特征值和特征向量6 0? ? 4 ? ? 例8 设A ? ? ? 3 ? 5 0 ? A能否对角化？ ? ? 3 ? 6 1? ? ? 若能对角化，求出可逆矩阵P，使P-1AP为对角阵。解4??A ? ?E ? ? 3 ?3?5?? 0 ? ??? ? 1? ?? ? 2? ?6 1? ?260所以A的全部特征值为?1 ? ?2 ? 1, ?3 ? ?2.首页 上页 返回 下页 结束 铃线性代数总复习第四章 方阵的特征值和特征向量将?1 ? ?2 ? 1代入? A ? ?E ? x ? 0得方程组? 3 x1 ? 6 x2 ? 0 ? ? ? 3 x1 ? 6 x2 ? 0 ?? 3 x ? 6 x ? 0 ? 1 2解之得基础解系? ? 2? ? ? ?1 ? ? 1 ? , ? 0 ? ? ?? 0? ? ? ?2 ? ? 0 ? . ? 1? ? ?首页上页返回下页结束铃线性代数总复习第四章 方阵的特征值和特征向量将?3 ? ?2代入? A ? ?E ? x ? 0, 得方程组的基础 解系? 3 ? ??1,1,1?T .所以 A 可对角化. 0 ? 1? ? 0 1? 1 1? ? ?1 0 0 ? ? ? ?1 P AP ? ? 0 1 0 ? . ? 0 0 ? 2? ? ?上页 返回 下页 结束 铃由于 ?1 ,? 2 ,? 3 线性无关. ?? 2 ? 令 P ? ??1 , ? 2 , ? 3 ? ? ? 1 ? 0 ?则有首页线性代数总复习第五章 二次型第五章 二次型基本概念定义：含有n个变量x1, x2, …, xn的二次齐次函数二 次 型矩阵表示：f = xTAx――A对称，称A 为f的矩阵，称f 为A的二次 型，且f与A一一对应。标准型化标准形：只含平方项 规范型：ki在-1,0,1,中取值 二次型的秩：R(f) = R(A) 惯性定理正定二次型首页上页返回下页结束铃线性代数总复习第五章 二次型?写出二次型矩阵A基本概念?将A相似对角化，同 时得正交变换矩阵Q配方法 ?令x=Qy，即得标准型二 次 型标准型化正交变化法正定二 次型定义? x ? 0 ? f(x) & 0充要条件?特征值全大于0正惯性指数等于n 顺序主子式全大于0 A与E合同 有可逆阵Q, 使A = QTQ首页上页返回下页结束铃线性代数总复习第五章 二次型例9 将二次型2 2 2 f ? 17 x1 ? 14 x2 ? 14 x3 ? 4 x1 x2 ? 4 x1 x3 ? 8 x2 x3通过正交变换 x ? Py , 化成标准形.解 1)写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 ? 17 ? 2 ? 2 ? ? ? A ? ? ? 2 14 ? 4 ? ? ? 2 ? 4 14 ? ? ? ?2 ?2 ? ? 17 ? ? ? ? 2 A ? ?E ? ? ? 2 14 ? ? ? 4 ?? ?? ? 18? ?? ? 9? ? ?2 ? ? 4 14 ? ? ? ?首页 上页 返回 下页 结束 铃线性代数总复习第五章 二次型从而得特征值 ?1 ? 9, ? 2 ? ? 3 ? 18. 2)求特征向量 将 ? 1 ? 9代入? A ? ?E ? x ? 0, 得基础解系 ? 1 ? (1 2,1,1)T . 将?2 ? ?3 ? 18代入? A ? ?E ? x ? 0, 得基础解系 ? 2 ? ( ?2,1,0)T , ? 3 ? ( ?2,0,1)T . 3)将特征向量正交化 取 ? 1 ? ? 1 , ?2 ? ?2 ,得正交向量组 T T ? , ? ? ( ?2,1,0) , ? 1 (1 2,1,1) 2 T ? . ( ? 2 5 , ? 4 5 , 1 ) ?3首页 上页 返回 下页?? 2 ,? 3 ? ?3 ? ?3 ? ?2, ?? 2 ,? 2 ?结束铃线性代数总复习第五章 二次型4)将正交向量组单位化，得正交矩阵P?i 令 ?i ? , ?i ? 1,2,3?, ?i得?1 ? ?1 ? ? 2 ?2 ??? 2 5? ? ? 2 45 ? 3? ? ? ? ? ? 3 ? , ? 2 ? ? 1 5 ? , ? 3 ? ? ? 4 45 ? . ? 0 ? ? 5 45 ? 3? ? ? ? ? ??2 45 ? ? ? 4 45 ? . 5 45 ? ?结束 铃所以?1 3 ? 2 5 ? P ? ?2 3 1 5 ?2 3 0 ?首页 上页 返回下页线性代数总复习第五章 二次型于是所求正交变换为? x1 ? ? 1 3 ? 2 5 ? 2 45 ?? y1 ? ?? ? ? ? ? ? x2 ? ? ? 2 3 1 5 ? 4 45 ?? y2 ? , ? x ? ?2 3 ?? y ? 0 5 45 ? 3? ? ?? 3 ?且有2 2 2 f ? 9 y1 ? 18 y2 ? 18 y3 .首页上页返回下页结束铃
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线性代数中R（A）=R（B）是什么意思
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是表示两矩阵的秩相等。R是Rank的首字母
矩阵 A 的秩 等于 矩阵 B 的秩
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