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设α1，α2，α3，α4，β均为4×1列矩阵（或4维列向量)．四阶方阵A=（α1α2α3α4)，B=（α1α2α3β)，且|A|=2,|B|=3，则|2A－5B|=_
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设α1，α2，α3，α4，β均为4×1列矩阵(或4维列向量)．四阶方阵A=(α1α2α3α4)，B=(α1α2α3β)，且|A|=2,|B|=3，则|2A-5B|=______.
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1已知，E为二阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E，则|B|=______．2设A是三阶方阵，A*为A的伴随矩阵，，则|(3A)-1-2A*|=______．3已知A，B为三阶方阵，且|A|=3，|B|=2，|A-1+B|=2，则|A+B-1|=______．4设，计算AAT，从而求|A|
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已知向量组B：β1，β2，β3由向量组A：α1，α2，α3线性表示的表示式为
β1=α1－α2－α3，β2=α1＋α2－α3，β3=－α1＋α2＋α3，试将
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已知向量组B：β1，β2，β3由向量组A：α1，α2，α3线性表示的表示式为&&β1=α1-α2-α3，β2=α1+α2-α3，β3=-α1+α2+α3，试将向量组A的向量用向量组B的向量线性表示。
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1已知向量组&&A：α1，α2；B：β1，β2，β3，证明向量组A与向量组B等价．2设有向量&&，，，试问当a，b为何值时，3判断α1=(1，0，2，3)T，α2=(1，1，3，5)T，α3=(1，-1，a+2，1)T，α4=(1，2，4，a+9)T的线性相关性，4设α1，α2，…，αs是齐次线性方程组Ax=0的线性无关的解向量，β是非齐次线性方程组Ax=b的解向量，证明向量组α1，α2，…，αs，β线性无关．
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考研数学一真题及答案
2006 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷一、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分.把答案填在题中横线上)x ln(1 ? x) . ? 1 ? cos x y (1 ? x) (2)微分方程 y? ? 的通解是 x(1) limx ?0. ((3)设?是锥面z ? x2 ? y 2.0 ? z ?1)的下侧,则?? xdydz ? 2 ydzdx ? 3( z ?1)dxdy ??(4)点 (2, 1, 0) 到平面 3x ? 4 y ? 5z ? 0 的距离 z = (5) 设 矩 阵 A ? ? = ..? 2 1? ? , E 为 2 阶 单 位 矩 阵 , 矩 阵 B 满 足 BA ? B ? 2E , 则 B ? ?1 2 ?(6) 设 随 机 变 量 X 与 Y 相 互 独 立 , 且 均 服 从 区 间 [0,3] 上 的 均 匀 分 布 , 则P ?max{ X , Y } ? 1? =.二、选择题(本题共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分. 每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (7)设函数 y ? f ( x) 具有二阶导数,且 f ?( x) ? 0, f ??( x) ? 0 , ?x 为自变量 x 在 x0 处的 增量, ?y 与 dy 分别为 f ( x) 在点 x0 处对应的增量与微分,若 ?x ? 0 ,则 (A) 0 ? dx ? ?y (C) ?y ? dy ? 0 (B) 0 ? ?y ? dy (D) dy ? ?y ? 0(8)设 f ( x, y ) 为连续函数,则??4 0d? ? f (r cos ? , r sin ? )rdr 等于01(A)? ?2 2 0dx ? dy ?1? x 2 xf ( x, y )dy(B)? ?2 2 0dx ? dy ?1? x 2 0f ( x, y )dy(C)2 2 01? y 2 yf ( x, y )dx(C)2 2 01? y 2 0f ( x, y )dx(9)若级数??an ?1?n收敛,则级数?(A)?an ?1? n ?1n收敛(B)? (?1)n ?1nan 收敛(C)? an an?1 收敛1(D)?an ? an ?1 收敛 2 n ?1?(10)设 f ( x, y ) 与 ? ( x, y ) 均为可微函数,且 ? y ( x, y ) ? 0 .已知 ( x0 , y0 ) 是 f ( x, y ) 在约 束条件 ? ( x, y) ? 0 下的一个极值点,下列选项正确的是 (A)若 f x?( x0 , y0 ) ? 0 ,则 f y?( x0 , y0 ) ? 0 (B) 若f x?( x0 , y0 ) ? 0,则f y?( x0 , y0 ) ? 0(C)若 f x?( x0 , y0 ) ? 0 ,则 f y?( x0 , y0 ) ? 0 (D) 若f x?( x0 , y0 ) ? 0,则f y?( x0 , y0 ) ? 0(11)设 α1 , α 2 , ? , α s , 均为 n 维列向量, A 是 m ? n 矩阵,下列选项正确的是 (A)若 α1 , α 2 , ? , α s , 线性相关,则 Aα1 , Aα 2 ,?, Aα s , 线性相关 (B)若 α1 , α 2 , ? , α s , 线性相关,则 Aα1 , Aα 2 ,?, Aα s , 线性无关 (C)若 α1 , α 2 , ? , α s , 线性无关,则 Aα1 , Aα 2 ,?, Aα s , 线性相关 (D)若 α1 , α 2 , ? , α s , 线性无关,则 Aα1 , Aα 2 ,?, Aα s , 线性无关. (12)设 A 为 3 阶矩阵,将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B ,再将 B 的第 1 列的-1 倍加到第 2?1 1 0? ? ? 列得 C ,记 P ? ? 0 1 0 ? ,则 ?0 0 1? ? ?(A) C ? P ?1AP (C) C ? PT AP (B) C ? PAP ?1 (D) C ? PAPT(13)设 A, B 为随机事件,且 P( B) ? 0, P( A | B) ? 1 ,则必有 (A) P( A ? B) ? P( A) (B) P( A ? B) ? P( B)(C) P( A ?B ) ?P A ( )(D) P( A ?B ) ?P B ( )2 (14)设随机变量 X 服从正态分布 N ( ?1 , ? 12 ) , Y 服从正态分布 N ( ? 2 , ? 2 ) ,且 P{| X ? ?1 |? 1} ? P{| Y ? ?2 |? 1}, 则 (A) ? 1 ? ? 2 (C) (B) ? 1 ? ? 2 (D)?1 ? ? 2?1 ? ? 2三、解答题(本题共 9 小题,满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分 10 分) 设区域 D=?? x, y ? x2? y 2 ? 1, x ? 0 ,计算二重积分 I ? ??D?1 ? xy dxdy . 1 ? x2 ? y 2(16)(本题满分 12 分) 设数列 ? xn ? 满足 0 ? x1 ? ? , x? ?1 ? sin xn ? n ? 1, 2,...? .xn 求:(1)证明 l i m 存在,并求之.x ??? x ? xn2 (2)计算 l i ? n ?1 ? . m x ?? ? xn ?(17)(本题满分 12 分) 将函数 f ? x ? ?1x 展开成 x 的幂级数. 2 ? x ? x2(18)(本题满分 12 分) 设 函 数f ? u ? 在 ? 0 ?? ?内具有二阶导数 且 z ? f , ,?x2 ? y 2?满 足 等 式?2 z ?2 z ? ? 0. ?x 2 ?y 2(1)验证 f ?? ? u ? ?f ? ?u ? u? 0.(2)若 f ?1? ? 0 f ,? ?? ?11, 求函数 f (u ) 的表达式. x ?y , 是有连续偏导数,且对任意的 t ? 0 都有(19)(本题满分 12 分) 设在上半平面 D ??? x, y ? y ? 0? 内,数 f ?f ? tx, ty ? ? t 2 f ? x, y ? .证 明 : 对 L 内 的 任 意 分 段 光 滑 的 有 向 简 单 闭 曲 线 L , 都 有? yf ( x, y)dx ? xf ( x, y)dy ? 0 . ?L(20)(本题满分 9 分) 已知非齐次线性方程组? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? ?1 ? ?4 x1 ? 3 x2 ? 5 x3 ? x4 ? ?1 ?ax ? x ? 3 x ? bx ? 1 3 4 ? 1 2有 3 个线性无关的解, (1)证明方程组系数矩阵 A 的秩 r ? A ? ? 2 . (2)求 a, b 的值及方程组的通解. (21)(本题满分 9 分) 设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3,向量 α1 ? ? ?1, 2, ?1? , α 2 ? ? 0, ?1,1? 是T T线性方程组 Ax ? 0 的两个解. (1)求 A 的特征值与特征向量. (2)求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A ,使得 Q AQ ? A .T(22)(本题满分 9 分)?1 ? 2 , ?1 ? x ? 0 ? ?1 2 随机变量 x 的概率密度为 f x ? x ? ? ? , 0 ? x ? 2 令y ? x , F ? x, y ? 为二维随机变量 ?4 ?0, 其它 ? ?( X , Y ) 的分布函数.(1)求 Y 的概率密度 fY ? y ? . (2) F ? ?? 1 ? ,4? . ? 2 ?(23)(本题满分 9 分) 设总体 X 的概率密度为 F ( X ,0) ?? 0 ? x ?1 1 ? ? 1 ? x ? 2 ,其中 ? 是未知参数 (0 ? ? ? 1) , 0 其它X1 , X 2 ..., X n 为来自总体 X 的简单随机样本,记 N 为样本值 x1 , x2 ..., xn 中小于 1 的个数,求? 的最大似然估计.2007 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷一、选择题(本题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分,在每小题给的四个选项中,只有一项 符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内) (1)当 x ? 0? 时,与 x 等价的无穷小量是 (A) 1 ? ex(B) ln1? x 1? x(C) 1 ?x ?1(D) 1 ? cos x(2)曲线 y ? (A)0 (C)21 ? ln(1 ? e x ) ,渐近线的条数为 x(B)1 (D)3(3)如图,连续函数 y ? f ( x) 在区间 [?3, ?2],[2,3] 上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周,在区间[?2,0],[0, 2] 的图形分别是直径为 2 的上、下半圆周,设F ( x) ? ? f (t )dt .则下列结论正确的是0x(A) F (3) ? ? (C) F (3) ?3 F (?2) 43 F (2) 45 F (2) 4 5 (D) F (3) ? ? F (?2) 4(B) F (3) ?(4)设函数 f ( x) 在 x ? 0 处连续,下列命题错误的是 (A)若 limx ?0f ( x) 存在,则 f (0) ? 0 x(B) 若 limx ?0f ( x) ? f ( ? x) 存在,则 xf (0) ? 0(C)若 limx ?0f ( x) 存在,则 f ?(0) ? 0 x(D) 若 limx ?0f ( x) ? f (? x) 存在,则 xf ?(0) ? 0(5)设函数 f ( x) 在(0, + ? )上具有二阶导数,且 f &( x) ? 0 , 令 un ? f (n) ? 1, 2,?, n, 则下列结论正确的是 (A)若 u1 ? u2 ,则{ u n }必收敛 (B)若 u1 ? u2 ,则{ u n }必发散(C)若 u1 ? u2 ,则{ u n }必收敛(D)若 u1 ? u2 ,则{ u n }必发散(6)设曲线 L : f ( x, y) ? 1 ( f ( x, y ) 具有一阶连续偏导数),过第 2 象限内的点 M 和第Ⅳ 象限内的点 N , ? 为 L 上从点 M 到 N 的一段弧,则下列小于零的是 (A) (C)? ( x, y)dx?(B) (D)??f ( x, y )dy f 'x ( x, y )dx ? f ' y ( x, y )dy??f ( x, y ) ds??(7)设向量组 α1 , α 2 , α 3 线性无关,则下列向量组线形相关的是 (A) α1 ? α 2 , α 2 ? α3 , α3 ? α1 (C) α1 ? 2α 2 , α 2 ? 2α3 , α3 ? 2α1 (B) α1 ? α 2 , α 2 ? α3 , α3 ? α1 (D) α1 ? 2α 2 , α 2 ? 2α3 , α3 ? 2α1? 2 ?1 ?1 ? ?1 0 0? ? ? ? ? (8)设矩阵 A ? ? ?1 2 ?1 ? , B ? ? 0 1 0 ? ,则 A 与 B ? ? 1 ?1 2 ? ?0 0 0? ? ? ? ?(A)合同,且相似 (C)不合同,但相似 (B)合同,但不相似 (D)既不合同,也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为 p ? 0 ? p ? 1? ,则此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为 (A) 3 p(1 ? p)2 2(B) 6 p(1 ? p)2 22(C) 3 p (1 ? p)(D) 6 p (1 ? p)2(10)设随即变量 ( X , Y ) 服从二维正态分布,且 X 与 Y 不相关, fX ( x) , fY ( y ) 分别表示X , Y 的概率密度,则在 Y ? y 的条件下, X 的条件概率密度 fX(A) fX ( x)|Y( x | y) 为(B) fY ( y )(C) fX ( x) fY ( y )(D)fX ( x ) fY ( y )二、填空题(11－16 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题纸指定位置上) (11)?211 1 e x dx =_______. x3(12)设 f (u, v) 为二元可微函数, z ? f ( x , y ) ,则y x?z =______. ?x2x(13)二阶常系数非齐次线性方程 y ''? 4 y '? 3 y ? 2e 的通解为 y =____________. (14)设曲面? :| x | ? | y | ? | z |? 1 ,则 ? ???( x ? | y |)ds =_____________.?0 ? 0 (15)设矩阵 A ? ? ?0 ? ?01 0 0? ? 0 1 0? 3 ,则 A 的秩为________. ? 0 0 1 ? 0 0 0?1 的概率为 2(16) 在 区 间 (0,1) 中 随 机 地 取 两 个 数 , 则 这 两 个 数 之 差 的 绝 对 值 小 于 ________.三、 解答题(17－24 小题,共 86 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤) (17)(本题满分 11 分) 求函数f ( x, y) ? x 2 ? 2 y 2 ? x 2 y 2 在区域 D ? {( x, y ) | x 2 ? y 2 ? 4, y ? 0} 上的最大值和最小值. (18)(本题满分 10 分) 计 算 曲 面 积 分I ? ?? xzdydz ? 2 zydzdx ? 3xydxdy, 其 中?? 为 曲 面z ? 1 ? x2 ?y2 (0 ? z ? 1) 的上侧. 4(19)(本题满分 11 分) 设函数 f ( x), g ( x) 在 [a, b] 上连续,在 (a, b) 内具有二阶导数且存在相等的最大值 ,f (a) ? g (a), f (b) ? g (b) ,证明:存在 ? ? (a, b) ,使得 f ??(? ) ? g ??(? ) .(20)(本题满分 10 分) 设幂级数?a xn?0 n?n在 (??, ??) 内收敛,其和函数 y ( x ) 满足y?? ? 2 xy? ? 4 y ? 0, y(0) ? 0, y?(0) ? 1.(1)证明: an ? 2 ?2 an , n ? 1, 2,?. n ?1(2)求 y ( x ) 的表达式. (21)(本题满分 11 分)设线性方程组? x1 ? x2 ? x3 ? 0 ? ? x1 ? 2 x2 ? ax3 ? 0 , ?x ? 4x ? a2 x ? 0 2 3 ? 1与方程x1 ? 2 x2 ? x3 ? a ? 1,有公共解,求 a 的值及所有公共解. (22)(本题满分 11 分) 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征向量值 ?1 ? 1, ?2 ? 2, ?3 ? ?2.α1 ? (1, ?1,1)T 是 A 的属于 特征值 ?1 的一个特征向量,记 B ? A ? 4A ? E, 其中 E 为 3 阶单位矩阵.5 3(1)验证 α1 是矩阵 B 的特征向量,并求 B 的全部特征值与特征向量. (2)求矩阵 B . (23)(本题满分 11 分) 设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为?2 ? x ? y, 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1 f ( x, y ) ? ? 0, 其他 ?(1)求 P{ X ? 2Y }. (2)求 Z ? X ? Y 的概率密度. (24)(本题满分 11 分) 设总体 X 的概率密度为? 1 ? 2? , 0 ? x ? ? ? ? 1 f (? ) ? ? ,? ? x ? 1 ? 2(1 ? ? ) ? 0, 其他 ? ?X1 , X 2 ?, X n 是来自总体 x 的简单随机样本, X 是样本均值(1)求参数 ? 的矩估计量 ?? . (2)判断 4X 是否为 ? 2 的无偏估计量,并说明理由.22008 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷一、选择题(1-8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合 题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)设函数 f ( x) ? (A)0 (C)2 (2)函数 f ( x, y ) ? arctan (A) i (C) j?x20ln(2 ? t )dt 则 f ?( x) 的零点个数(B)1 (D)3x 在点 (0,1) 处的梯度等于 y(B)- i (D) ? j(3)在下列微分方程中,以 y ? C1e x ? C2 cos 2 x ? C3 sin 2 x ( C1 , C2 , C3 为任意常数)为通 解的是 (A) y??? ? y?? ? 4 y? ? 4 y ? 0 (C) y??? ? y?? ? 4 y? ? 4 y ? 0 (B) y??? ? y?? ? 4 y? ? 4 y ? 0 (D) y??? ? y?? ? 4 y? ? 4 y ? 0(4)设函数 f ( x) 在 (??, ??) 内单调有界, ? xn ? 为数列,下列命题正确的是 (A)若 ? xn ? 收敛,则 ? f ( xn )? 收敛 (C)若 ? f ( xn )? 收敛,则 ? xn ? 收敛 (B)若 ? xn ? 单调,则 ? f ( xn )? 收敛 (D)若 ? f ( xn )? 单调,则 ? xn ? 收敛(5)设 A 为 n 阶非零矩阵, E 为 n 阶单位矩阵. 若 A3 ? 0 ,则 (A) E ? A 不可逆, E ? A 不可逆 (B) E ? A 不可逆, E ? A 可逆 (C) E ? A 可逆, E ? A 可逆 (D) E ? A 可逆, E ? A 不可逆 (6)设 A 为 3 阶实对称矩阵,如果二次曲面方程?x? ? ? ( x, y , z ) A ? y ? ? 1 在正交变换下的标准方程的图形如 ?z ? ? ?图,则 A 的正特征值个数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3(7)设随机变量 X , Y 独立同分布且 X 分布函数为 F ? x ? ,则 Z ? max ? X , Y ? 分布函数 为 (A) F2? x?2(B) F ? x ? F ? y ? (D) ?1 ? F ? x ? ? ?1 ? F ? y ? ? ? ?? ?(C) 1 ? ?1 ? F ? x ? ? ? ?(8)设随机变量 X ~ N ? 0,1? , Y ~ N ?1, 4 ? 且相关系数 (A) P ?Y ? ?2 X ? 1? ? 1 (C) P ?Y ? ?2 X ? 1? ? 1? XY ? 1 ,则(B) P ?Y ? 2 X ? 1? ? 1 (D) P ?Y ? 2 X ? 1? ? 1二、填空题(9-14 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题纸指定位置上.) (9)微分方程 xy? ? y ? 0 满足条件 y ?1? ? 1 的解是 y ? ????????????????? . (10)曲线 sin ? xy ? ? ln ? y ? x ? ? x 在点 ? 0,1? 处的切线方程为 ????????????????? . (11) 已 知 幂 级 数?? a ? x ? 2?n ?0 n?n在 x ? 0 处 收 敛 , 在 x ? ?4 处 发 散 , 则 幂 级 数? a ? x ? 3?n ?0 nn的收敛域为 ????????????????? .(12) 设 曲 面 ? 是 z ?4 ? x2 ? y 2 的 上 侧 , 则?? xydydz ? xdzdx ? x dxdy ?2 ?????????????????? .(13)设 A 为 2 阶矩阵, α1 , α 2 为线性无关的 2 维列向量, Aα1 ? 0, Aα 2 ? 2α1 ? α 2 ,则 A 的非零特征值为 ????????????????? .2 (14)设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布,则 P X ? EX ? ????????????????? .??三、 解答题(15－23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分 10 分) 求极限 lim?sin x ? sin ? sin x ? ? sin x ? ? . 4 x ?0 x(16)(本题满分 10 分)计算曲线积分? sin 2xdx ? 2? xL2? 1? ydy ,其中 L 是曲线 y ? sin x 上从点 ? 0, 0? 到点?? , 0 ? 的一段.(17)(本题满分 10 分)? x2 ? y 2 ? 2z 2 ? 0 已知曲线 C : ? ,求曲线 C 距离 XOY 面最远的点和最近的点. ? x ? y ? 3z ? 5(18)(本题满分 10 分) 设 f ? x ? 是连续函数, (1)利用定义证明函数 F ? x? ?? f ? t? dt 可导,且 F ? ? x ? ? f ? x? .x 0(2)当 f ? x ? 是以 2 为周期的周期函数时,证明函数 G ? x ? ? 2 以 2 为周期的周期函数. (19)(本题满分 10 分)?x0f (t )dt ? x ? f (t )dt 也是02f ? x ? ? 1 ? x (0 ? x ? ? ) ,用余弦级数展开,并求 ?2n ?1?? ?1?n2n ?1的和.(20)(本题满分 11 分)A ? ααT ? ββT , αT 为 α 的转置, βT 为 β 的转置.证明:(1) r ( A ) ? 2 . (2)若 α, β 线性相关,则 r ( A ) ? 2 . (21)(本题满分 11 分)? 2a 1 ? ? 2 ? ? a 2a ? ? 设 矩 阵 A? , 现 矩 阵 A 满 足 方 程 AX ? B , 其 中 ? ? ? 1 ? ? ? a 2 2 a ? n? n ?X ? ? x1 ,? , xn ? , B ? ?1, 0,? , 0? ,T(1)求证 A ? ? n ? 1? a .n(2) a 为何值,方程组有唯一解,求 x1 . (3) a 为何值,方程组有无穷多解,求通解. (22)(本题满分 11 分) 设随机变量 X 与 Y 相互独立, X 的概率分布为 P ? X ? i? ?1 ? i ? ?1, 0,1? , Y 的概率 3密度为 fY ? y ? ? ??1 0 ? y ? 1 ,记 Z ? X ? Y , ?0 其它1 ? X ? 0? . 2 ?(1)求 P ? Z ?? ?(2)求 Z 的概率密度. (23)(本题满分 11 分) 设 X 1 , X 2 ,? , X n 是总体为 N ( ? , ? ) 的简单随机样本.2记X ?1 n 1 n 1 Xi , S 2 ? ? ( X i ? X )2 , T ? X 2 ? n S 2 ? n ? 1 i ?1 n i ?1(1)证明 T 是? 2 的无偏估计量.(2)当 ? ? 0, ? ? 1 时 ,求 DT .2009 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷一、选择题(1-8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合 题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)当 x ? 0 时, f ? x ? ? x ? sin ax 与 g ? x ? ? x ln ?1 ? bx ? 等价无穷小,则2(A) a ? 1, b ? ?1 61 6x ? 1, y ? 1 被其对角线域(B) a ? 1, b ?1 6(C) a ? ?1, b ? ? (2)如图,正方形 划 分 为 四(D) a ? ?1, b ?1 6?? x, y ?区1? k ? 4?个Dk ? k ? 1, 2,3, 4 ?,I k ? ?? y cos xdxdy ,则 max ? I k ? ?Dk(A) I1 (B) I 2 (C) I 3 (D) I 4(3)设函数 y ? f ? x ? 在区间 ? ?1,3? 上的图形为f ( x)O 0 -1-2 则函数 F ? x ? ?123x? f ?t ? dt 的图形为x 0f ( x)1 0 -1-2 (A)123x(B)f ( x)1 0 -1-2123xf ( x)1 0-1 (C)123xf ( x)1 0 -1-2 (D)123x(4)设有两个数列 ?an ? , ?bn ? ,若 lim an ? 0 ,则n ??(A)当? bn 收敛时, ? anbn 收敛.n ?1 ? n ?1??(B)当? bn 发散时, ? anbn 发散.n ?1 ? n ?1??(C)当?bn ?1n收敛时,?a bn ?1?2 2 n n收敛.(D)当?bn ?1n发散时,?a bn ?1?2 2 n n发散.(5) 设 α1 , α 2 , α 3 是 3 维 向 量 空 间 R 3 的 一 组 基 , 则 由 基 α1 , α 2 , α 3 到 基1 21 3α1 ? α 2 , α 2 ? α3 , α3 ? α1 的过渡矩阵为?1 0 1? ? ? (A) ? 2 2 0 ? ? 0 3 3? ? ? ?1 2 0? ? ? (B) ? 0 2 3 ? ?1 0 3? ? ?? 1 ? 2 ? 1 (C) ? ? ? 2 ? ? 1 ? ? 21 4 1 4 1 ? 41? ? ? 6 ? 1 ? 6 ? ? 1 ? ? 6 ?* *? 1 ? 2 ? 1 (D) ? ? 4 ? ?? 1 ? ? 6?1 2 1 4 1 61 ? 2 ? ? 1? ? 4? ? 1 ? ? 6 ?(6)设 A, B 均为 2 阶矩阵, A , B 分别为 A, B 的伴随矩阵,若 A ? 2, B ? 3 ,则分块矩阵??O A? ? 的伴随矩阵为 ? B O?? O (A) ? * ? 2A(C) ?3B* ? ? O ? 3 A* ? ? O ?? O (B) ? * ? 3A(D) ?2 B* ? ? O ? 2 A* ? ? O ?? O ? 2B*? O ? 3B*(7)设随机变量 X 的分布函数为 F ? x ? ? 0.3? ? x ? ? 0.7? ? 态分布函数,则 EX ? (A)0 (C)0.7? x ?1 ? ? ,其中 ? ? x ? 为标准正 ? 2 ?(B)0.3 (D)1(8)设随机变量 X 与 Y 相互独立,且 X 服从标准正态分布 N ? 0,1? , Y 的概率分布为P ?Y ? 0? ? P ?Y ? 1? ?断点个数为 (A)01 ,记 FZ ? z ? 为随机变量 Z ? XY 的分布函数,则函数 FZ ? z ? 的间 2(B)1(C)2(D)3二、填空题(9-14 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题纸指定位置上.) (9)设函数 f ? u , v ? 具有二阶连续偏导数, z ? f ? x, xy ? ,则?2 z ? ?x?y.x (10)若二阶常系数线性齐次微分方程 y?? ? ay? ? by ? 0 的通解为 y ? ? C1 ? C2 x ? e ,则非齐次方程 y?? ? ay? ? by ? x 满足条件 y ? 0 ? ? 2, y? ? 0 ? ? 0 的解为 y ?2 (11)已知曲线 L : y ? x 0 ? x ?. . .T?2 ,则 ? xds ?L?(12)设 ? ??? x, y, z ? x.2? y 2 ? z 2 ? 1 ,则 ??? z 2 dxdydz ??T?(13)若 3 维列向量 α, β 满足 α β ? 2 ,其中 α T 为 α 的转置,则矩阵 βα 的非零特征值 为(14)设 X 1 , X 2 ,? , X m 为来自二项分布总体 B ? n, p ? 的简单随机样本, X 和 S 2 分别为2 样本均值和样本方差.若 X ? kS 为 np 的无偏估计量,则 k ?2.三、 解答题(15－23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分 9 分)2 2 求二元函数 f ( x, y ) ? x 2 ? y ? y ln y 的极值.??(16)(本题满分 9 分) 设 an 为 曲 线 y ? x? ?n与 y?xn ?1? n ? 1, 2,.....?所 围 成 区 域 的 面 积 , 记S1 ? ? an , S 2 ? ? a2 n ?1 ,求 S1 与 S 2 的值.n ?1 n ?1(17)(本题满分 11 分) 椭 球 面 S1 是 椭 圆x2 y 2 ? ? 1 绕 x 轴 旋 转 而 成 , 圆 锥 面 S 2 是 过 点 ? 4, 0 ? 且 与 椭 圆 4 3x2 y 2 ? ? 1 相切的直线绕 x 轴旋转而成. 4 3(1)求 S1 及 S 2 的方程. (2)求 S1 与 S 2 之间的立体体积.(18)(本题满分 11 分) (1) 证 明 拉 格 朗 日 中 值 定 理 : 若 函 数 f ? x ? 在 ? a, b ? 上 连 续 , 在 (a, b) 可 导 , 则 存 在? ? ? a, b ? ,使得 f ? b ? ? f ? a ? ? f ? ?? ?? b ? a ? .(2)证明:若函数 f ? x ? 在 x ? 0 处连续,在 ? 0, ? ??? ? 0 ? 内可导,且 lim f ? ? x ? ? A ,则 ?x ?0f ?? ? 0 ? 存在,且 f ?? ? 0 ? ? A .(19)(本题满分 10 分) 计算曲面积分 I ??外侧. (20)(本题满分 11 分)? ??xdydz ? ydzdx ? zdxdy?x2? y2 ? z3 2 2?,其中?是曲面 2 x ? 2 y ? z ? 4 的2 2 2? ?1 ? ? 1 ?1 ?1 ? ? ? ? ? 1 ? , ξ1 ? ? 1 ? 设 A ? ? ?1 1 ? ?2 ? ? 0 ?4 ?2 ? ? ? ? ?(1)求满足 Aξ 2 ? ξ1 的 ξ 2 . A 2ξ 3 ? ξ1 的所有向量 ξ 2 , ξ 3 . (2)对(1)中的任意向量 ξ 2 , ξ 3 证明 ξ1 , ξ 2 , ξ 3 无关. (21)(本题满分 11 分) 设二次型 f ? x1 , x2 , x3 ? ? ax1 ? ax2 ? ? a ? 1? x3 ? 2 x1 x3 ? 2 x2 x3 .2 2 2(1)求二次型 f 的矩阵的所有特征值;2 (2)若二次型 f 的规范形为 y12 ? y2 ,求 a 的值.(22)(本题满分 11 分) 袋中有 1 个红色球,2 个黑色球与 3 个白球,现有回放地从袋中取两次,每次取一球,以X , Y , Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.(1)求 p X ? 1 Z ? 0 . (2)求二维随机变量 ? X , Y ? 概率分布. (23)(本题满分 11 分) 设总体 X 的概率密度为 f ( x) ? ????? 2 xe ? ? x , x ? 0 ?0, 其他,其中参数 ? (? ? 0) 未知, X 1 , X 2 ,…X n 是来自总体 X 的简单随机样本.(1)求参数 ? 的矩估计量. (2)求参数 ? 的最大似然估计量.2010 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷一、选择题(1-8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合 题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)? ? x2 (1)极限 lim ? ? = x ?? ( x ? a )( x ? b ) ? ?(A)1 (C) ea ?b (B) e (D) eb?ax(2) 设 函 数 z ? z ( x, y ) 由 方 程 F ( , ) ? 0 确 定 , 其 中 F 为 可 微 函 数 , 且 F2? ? 0, 则y z x xx?z ?z ?y = ?x ?y(A) x (C) ?x (3)设 m, n 为正整数,则反常积分 (A)仅与 m 取值有关 (C)与 m, n 取值都有关 (4) lim (B) z (D) ?z?1mln 2 (1 ? x)n0xdx 的收敛性(B)仅与 n 取值有关 (D)与 m, n 取值都无关x ???? (n ? i)(ni ?1 j ?1nnn2? j2 )=(A)? dx ?01x01 dy (1 ? x)(1 ? y 2 )(D)(B)? dx ?0 1 01x01 dy (1 ? x)(1 ? y)(C)?10dx ?1 dy 0 (1 ? x)(1 ? y )1?10dx ?1 dy (1 ? x)(1 ? y 2 )(5)设 A 为 m ? n 型矩阵 , B 为 n ? m 型矩阵,若 AB ? E, 则 (A)秩 ( A) ? m, 秩 (B) ? m (B)秩 ( A) ? m, 秩 (B) ? n(C)秩 ( A) ? n, 秩 (B) ? m2(D)秩 ( A) ? n, 秩 (B) ? n(6)设 A 为 4 阶对称矩阵,且 A ? A ? 0, 若 A 的秩为 3,则 A 相似于?1 ? ? ? 1 ? ? (A) ? ? 1 ? ? 0? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? (C) ? ?1 ? ? ? 0? ??1 ? ? ? ? 1 ? (B) ? ?1 ? ? ? 0? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? (D) ? ?1 ? ? ? 0? ?0(7)设随机变量 X 的分布函数 F ( x) ?x?01 0 ? x ? 1, 则 P{ X ? 1} = 2 1 ? e? x x ? 2(B)1 (D) 1 ? e?1(A)0 (C)1 ?1 ?e 2(8)设 f1 ( x ) 为标准正态分布的概率密度 , f 2 ( x) 为 [?1,3] 上均匀分布的概率密度,f ( x) ?为概率密度,则 a, b 应满足 (A) 2a ? 3b ? 4 (C) a ? b ? 1af1 ( x )x?0bf 2 ( x ) x ? 0(a ? 0, b ? 0)(B) 3a ? 2b ? 4 (D) a ? b ? 2二、填空题(9-14 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题纸指定位置上.) (9)设 x ? e , y ??t?t0ln(1 ? u 2 )du, 求.d2y = dx 2 t ?0.(10)??20x cos xdy =(11)已知曲线 L 的方程为 y ? 1 ? x {x ? [?1,1]}, 起点是 (?1,0), 终点是 (1, 0), 则曲线积分?Lxydx ? x 2 dy =2 2. .(12)设 ? ? {( x, y, z ) | x ? y ? z ? 1}, 则 ? 的形心的竖坐标 z =(13)设 α1 ? (1, 2, ?1, 0)T , α 2 ? (1,1, 0, 2)T , α 3 ? (2,1,1, ? )T , 若由 α1 , α 2 , α 3 形成的向量空 间的维数是 2,则 ? = .(14) 设 随 机 变 量 X 概 率 分 布 为 P{ X ? k} ? = .C (k ? 0,1, 2,?), 则 EX 2 k!三、 解答题(15－23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分 10 分) 求微分方程 y?? ? 3 y? ? 2 y ? 2 x e 的通解.x(16)(本题满分 10 分) 求函数 f ( x) ??x1( x2 ? t ) e?t dt 的单调区间与极值.2(17)(本题满分 10 分) (1)比较?10ln t [ln(1 ? t )]n dt 与 ? t n ln t dt (n ? 1, 2,?) 的大小,说明理由.01(2)记 un ??10ln t [ln(1 ? t )]n dt (n ? 1, 2,?), 求极限 lim un .x ??(18)(本题满分 10 分) 求幂级数( ?1) n ?1 2 n ? 2n ? 1 x 的收敛域及和函数. n ?1?(19)(本题满分 10 分) 设 P 为椭球面 S : x ? y ? z ? yz ? 1 上的动点,若 S 在点 P 的切平面与 xoy 面垂直,2 2 2求 P 点的轨迹 C , 并计算曲面积分 I ? 曲线 C 上方的部分. (20)(本题满分 11 分)???( x ? 3) y ? 2 z 4 ? y 2 ? z 2 ? 4 yzdS , 其中 ? 是椭球面 S 位于?? ? 设 A ??0 ?1 ?(1)求 ? , a.1? ?a? ? ? ? 1 0 ? , b ? ? 1 ? , 已知线性方程组 Ax ? b 存在两个不同的解. ? ? ?1? 1 ?? ? ? ? 1(2)求方程组 Ax ? b 的通解. (21)(本题满分 11 分)2 设二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) ? x T Ax 在正交变换 x ? Qy 下的标准形为 y12 ? y2 , 且 Q 的第三列为 (2 2 T , 0, ) . 2 2(1)求 A. (2)证明 A ? E 为正定矩阵,其中 E 为 3 阶单位矩阵. (22)(本题满分 11 分) 设 二 维2随机变量(X ?Y)的概率密度为f ( x, y ) ? A e?2 x? 2 xy ? y 2, ?? ? x ? ?, ?? ? y ? ?, 求常数及 A 条件概率密度 fY | X ( y | x).(23)(本题满分 11 分) 设总体 X 的概率分布为X P1231??? ?? 2?2其中 ? ? (0,1) 未知,以 N i 来表示来自总体 X 的简单随机样本(样本容量为 n )中等于 i 的个 数 (i ? 1, 2,3), 试求常数 a1 , a2 , a3 , 使 T ??a Ni ?1 i3i为 ? 的无偏估计量,并求 T 的方差.2011 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷一、选择题(1-8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合 题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)1、 曲线 y ? x( x ? 1)( x ? 2) ( x ? 3) ( x ? 4) 的拐点是（ ）2 3 4A（1，0）B （2，0）C （3 ，0）D （4，0）2、设数列 ?a n ?单调减少，且 lim a n ? 0 。 S n ?n ??? ai 无界，则幂级数 ? an ( x ? 1) n 的收敛i ?1 n ?1n?域为（） BA （? 1 1][?1 1)C[0 2)D(0 2]3、 设函数 f (x) 具有二阶连续的导数， f ( x) ? 0 . f ?(0) ? 0 。 且 则函数 z ? ln f ( x) f ( y) 在 点 (0,0) 处取得极小值的一个充分条件是（ ） A Cf (0) ? 1 f (0) ? 1f ??(0) ? 0 f ??(0) ? 0B Df (0) ? 1 f (0) ? 1?f ??(0) ? 0 f ??(0) ? 0 J K 的大小4、设 I ???4 0ln sin xdxJ ? ? 4 ln c o xdx t0?K ? ? 4 ln c o s ，则 I xdx0关系是（ ） A I ?J ?K B C D I ?K?J J ?I ?K K?J ?I 5、设 A 为 3 阶矩阵，把 A 的第二列加到第一列得到矩阵 B ，再交换 B 的第二行与第 3 行得?1 0 0? ?1 0 0? ? ? ? ? 到单位阵 E，记 P1 ? ? 1 1 0 ? ， P2 ? ? 0 0 1 ? ，则 A=（ ?0 0 1? ?0 1 0? ? ? ? ?A）P1 P2BP1 P2?1CP2 P1DP2 P1T?1* 6、设 A ? (? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ) 是 4 阶矩阵， A 为 A 的伴随矩阵。若 (1,0,1,0) 是 Ax ? 0 的一个基础解系，则 A* x ? 0 的基础解系可为（ A） C?1 ? 3B?1 ? 2?1 ? 2 ? 3D?2 ?3 ?47、设 F1 ( x)F2 ( x) 为两个分布函数，且连续函数 f1 ( x)） Bf 2 ( x) 为相应的概率密度，则必为概率密度的是（ Af 1 ( x) f 2 ( x)2 f 2 ( x) F1 ( x)Cf1 ( x) F2 ( x)D f1 ( x) F2 ( x) + f 2 ( x) F1 ( x)8、设随机变量 X , Y 相互独立，且 EX , EY 都存在，记 U ? max?X , Y ? V ? min ?X , Y ?，则 ） EUV ? （ A EU ? EV B C D EU ? EY EX ? EV EX ? EY 二、填空题：9―14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定的位置上。 9、曲线 y ??x0tan tdt (0 ? x ??4) 的弧长为_____________10、微分方程 y ? ? y ? e cos x 满足条件 y (0) ? 0 的解为________________x11、设函数 F ( x, y ) ??2xy0?2F sin t ____ dt ，则 2 | x ?0 ? __________ ?x y ?2 1? t 2212、设 L 是柱面方程 x ? y ? 1 与平面 z ? x ? y 的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分?Lxzdx ? xdy ?2 2y2 dz ? _________ 2213 、 若 二 次 曲 面 的 方 程 x ? 3 y ? z ? 2axy ? 2 xz ? 2 yz ? 4 ， 经 正 交 变 换 化 为y1 ? y 2 ? 4 ，则 a ? _______2 2__ 14、设二维随机变量 ( X , Y ) ~ N ( ? , ? , ? , ? ,0) ，则 E ( XY ) ? __________2 2 2三、解答题：15―23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上，解答应写出文字说 明，证明过程或演算步骤。ln(1 ? x) e x ?1 ) 15、 （本题满分 10 分） 求极限 lim ( x ?0 x116、 （本题满分 9 分） 设函数 z ? f ( xy, yg ( x)) ，其中 f 具有二阶连续的偏导数，函数 g (x) 可导且在 x ? 1 处取 得极值 g (1) ? 1 .求?2z | x ?1 ?x?y y ?117、 （本题满分 10 分） 求方程 k arctan x ? x ? 0 的不同实根的个数，其中 k 为参数。 18、 （本题满分 10 分） ①证明：对任意的正整数 n ，都有 ②设 a n ? 1 ?1 1 1 ? ln(1 ? ) ? 成立； n ?1 n n1 1 ? .......... .. ? ? ln n (n ? 1,2......) ，证明数列 ?a n ?收敛. 2 n19、 （本题满分 11 分） 已知函数 f ( x, y ) 具有二阶连续的偏导数，且 f (1, y) ? f ( x,1) ? 0, 中 D ? ?( x, y) | 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1? 计算二重积分 20、 （本题满分 11 分）T 设 向 量 组 ? 1 ? (1,0,1) ， ? 2 ? (0,1,1) ， ? 3 ? (1,3,5) 不 能 由 向 量 组 ?1 ? (1,1,1) ，?? f ( x, y)dxdy ? a ，其D?? xyf ?? ( x, y)dxdyxy DTTT? 2 ? (1,2,3) T ， ? 3 ? (3,4, a) T 线性表示；（1） 求 a 的值； （2） 将 ?1 , ? 2 , ? 3 用 ? 1 , ? 2 , ? 3 线性表示； 21、 （本题满分 11 分）? 1 1? ? ?1 1? ? ? ? ? A 为 3 阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且 A? 0 0 ? ? ? 0 0 ? ? -1 1? ? 1 1? ? ? ? ?求（1）A 的特征值与特征向量 （2） 矩阵 A 22、 （本题满分 11 分） 设随机变量 X 与 Y 的概率分布分别为 X 0 1P1323Y-101P且P X131313?2? Y 2 ?1?求（1）二维随机变量（X，Y）的概率分布； （2） Z ? XY 的概率分布 （3）X 与 Y 的相关系数 ? XY 23、 （本题满分 11 分） 设 X 1 , X 2 ? X n 是来自正态总体 N ( ? 0 , ? 2 ) 的简单随机样本，其中 ? 0 已知， ? 2 ? 0 未知.X , S 2 为样本均值和样本方差.求（1）求参数 ? 2 的最大似然估计 ? (2) 计算 E ? 和 D ?? 2 ? 2 ? 22012 年全国硕士研究生入学统一考试 数学（一）试卷一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．（1）曲线 y ? （A）0 （B）1 （C）2 （D）3x2 ? x 渐近线的条数为（） x2 ?1（2）设函数 f ( x) ? (e ? 1)(ex2x? 2) ?(enx ? n) ，其中 n 为正整数，则 f ' (0) ?（A） (?1)n ?1(n ? 1)!（B） (?1) (n ? 1)!n（C） (?1)n ?1n!（D） ( ?1) n !n（3）如果 f ( x, y ) 在 ? 0, 0 ? 处连续，那么下列命题正确的是（ （A）若极限 limx ?0 y ?0）f ( x, y ) 存在，则 f ( x, y ) 在 (0, 0) 处可微 x? y f ( x, y ) 存在，则 f ( x, y ) 在 (0, 0) 处可微 x2 ? y2 f ( x, y ) 存在 x? y f ( x, y ) 存在 x2 ? y2（B）若极限 limx ?0 y ?0（C）若 f ( x, y ) 在 (0, 0) 处可微，则极限 limx ?0 y ?0（D）若 f ( x, y ) 在 (0, 0) 处可微，则极限 limx ?0 y ?0（4）设 I k? ? e x sinxdx(k=1,2,3),则有 D2ke（A）I1& I2 &I3. (C) I1& I3 &I1,(B) I2& I2& I3. (D) I1& I2& I3.?0? ?0? ?1? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? （5）设 ?1 ? 0 , ? 2 ? 1 , ? 3 ? ?1 , ? 4 ? 1 其中 c1 , c2 , c3 , c4 为任意常数，则下列向 ? ? ? ? ? ? ? ? ?c ? ?c ? ?c ? ?c ? 1? 2? 3 ? ? ? ? ? 4?量组线性相关的是（ （A） ?1 , ? 2 , ? 3 ） （B） ?1 , ? 2 , ? 4（C） ?1 , ? 3 , ? 4（D） ? 2 , ? 3 , ? 4?1 ? ? ? （6）设 A 为 3 阶矩阵， P 为 3 阶可逆矩阵，且 P AP ? 1 ? ? ， P ? ??1 , ? 2 , ? 3 ? ， ? 2? ? ??1Q ? ??1 ? ? 2 , ? 2 , ? 3 ? 则 Q ?1 AQ ? （）?1 ? ? ? （A） 2 ? ? ? 1? ? ? ?2 ? ? ? 1 （C） ? ? ? 2? ? ??1 ? ? ? （B） 1 ? ? ? 2? ? ? ?2 ? ? ? 2 （D） ? ? ? 1? ? ?（7） 设随机变量 x 与 y 相互独立， 且分别服从参数为 1 与参数为 4 的指数分布， p?x ? y? ? 则 （）( A)1 5( B)1 3(C )2 5( D)4 5（ 8 ） 将 长 度 为 1m 的 木 棒 随 机 地 截 成 两 段 ， 则 两 段 长 度 的 相 关 系 数 为 （ ）( A) 1 ( B)1 2(C ) ?1 ( D) ? 1 2二、填空题：9?14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．． （9）若函数 f (x) 满足方程 f ( x) ? f ( x) ? 2 f ( x) ? 0 及 f ( x) ? f ( x) ? 2e ，则 f (x)'' ' ' x=________。 \ （10） \ （11） grad ? xy ??20x 2 x ? x2 dx ________。? ?z? ________。 ? y ? (2,1,1)\ （12）设? ? ??x, y, z ? x ? y ? z ? 1, x ? 0, y ? 0, z ? 0?, 则 ?? y ds ? ________。2?（13）设 X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵 E ? xxT 的秩为________。 \（14）设 A, B, C 是随机事件， A, C 互不相容， P( AB) ? ________。 \? 1 1 , P(C ) ? ,则 P ( AB C ) ? 2 3三、 解答题： 15―23 小题， 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、 共 ．．． 证明过程或演算步骤. （15） （本题满分 10 分）1? x x2 证明： x ln ? cos x ? 1 ? , ?1 ? x ? 1 1? x 2（16） （本题满分 10 分） 求 f ? x, y ? ? xe ?x2 ? y 2 的极值。 2（2）已知线性方程组 Ax ? b 有无穷多解，求 a ，并求 Ax ? b 的通解。? 1 0 1? ? ? T （21）本题满分 10 分） （ 三阶矩阵 A ? 0 1 1 ， T 为矩阵 A 的转置， 已知 r ( A A) ? 2 ， ? ? A ? ?1 0 a ? ? ?且二次型 f ? x A Ax 。T T1）求 a 2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。 （22） （本题满分 10 分） 已知随机变量 X , Y 以及 XY 的分布律如下表所示，X P Y P XY P 0 7/120 1/2 0 1/3 1 1/31 1/3 1 1/3 2 02 1/6 2 1/3 4 1/12求： （1） P ? X ? 2Y ? ； （2） cov ? X ? Y , Y ? 与 ? XY .（23） （本题满分 11 分）2 2 设随机变量 X 与 Y 相互独立且分别服从正态分布 N ? , ? 与 N ? , 2? ，其中 ? 是未知????参数且 ? ? 0 ,设 Z ? X ? Y ,2 (1) 求 z 的概率密度 f z , ? ；??(2) 设 z1 , z2 ,? zn 为来自总体 Z 的简单随机样本，求 ? 2 的最大似然估计量 ? ； (3) 证明 ? 为 ? 2 的无偏估计量。 \222002 年考研数学一试题答案与解析一、填空题 (1)【分析】 (2)【分析】 原式 ? ??? ed ln x 1 ?? 2 ln x ln x?? e? 1.方程两边对 x 两次求导得 ① ②e y y '? 6 xy '? 6 y ? 2 x ? 0, e y y ''? e y y '2 ? 6 xy ''? 12 y '? 2 ? 0.以 x ? 0 代入原方程得 y ? 0 ,以 x ? y ? 0 代入①得 y ' ? 0, ,再以 x ? y ? y ' ? 0 代入 ②得 y ''(0) ? ?2. (3)【分析】 这是二阶的可降阶微分方程.dy ' dP dP ? ?P . dx dx dy令 y ' ? P( y) (以 y 为自变量),则 y '' ?代入方程得 yP1 ). 2dP dP ? P2 ? 0 , 即 y ?P?0 (或 P?0 ,但其不满足初始条件 dy dyy'x ?0?分离变量得dP dy ? ? 0, P y积分得ln P ? ln y ? C ', 即 P ?C1 ( P ? 0 对应 C1 ? 0 ); y1 1 由 x ? 0 时 y ? 1, P ? y ' ? , 得 C1 ? . 于是 2 2y' ? P ?1 , 2 ydy ? dx, 积分得 y 2 ? x ? C2 . 2y又由 yx ?0? 1 得 C2 ? 1, 所求特解为 y ? x ? 1.(4)【分析】因为二次型 xT Ax 经正交变换化为标准型时,标准形中平方项的系数就是二次型矩阵 A 的特征值,所以 6, 0, 0 是 A 的特征值.又因 ? aii ? ? ?i ,故 a ? a ? a ? 6 ? 0 ? 0, ? a ? 2. 设 事 件 A 表 示 “ 二 次 方 程 y2 ? 4y ? X ? 0 无 实 根 ” , 则(5)【分析】A ? {16 ? 4 X ? 0} ? {X ?4}. 依题意,有1 P( A) ? P{ X ? 4} ? . 2 P{ X ? 4} ? 1 ? P{ X ? 4} ? 1 ? ? (而 即 二、选择题4??? 4?? 1 4?? 1 4?? 1 ?? ( ) ? ,? ( )? , ? 0. ? ? ? 4. ? 2 ? 2 ?),(1)【分析】这是讨论函数 f ( x, y ) 的连续性,可偏导性,可微性及偏导数的连续性之间的关系.我们知道, f ( x, y ) 的两个偏导数连续是可微的充分条件, 若 f ( x, y ) 可微则必连续,故选(A).1 u 由 lim n ? 1 ? 0 ? n 充 分 大 时 即 ?N , n? n ??? 1 n(2)【分析】N时1 ?0 , 且 un1 1 ? 0, 不妨认为 ?n, un ? 0, 因而所考虑级数是交错级数,但不能保证 的单 n ??? u un nlim调性. 按定义考察部分和Sn ? ? (?1) k ?1 (k ?1 n n n 1 1 1 1 ? ) ? ? (?1) k ?1 ? ? (?1) k ?1 uk uk ?1 uk k ?1 uk ?1 k ?1(?1) k n ?1 1 (?1) n ?1 1 l 1 ? ?? ? ? (?1) ? ? ? (n ? ??), ul u1 un ?1 u1 k ?1 uk l ?1n? 原级数收敛.1 1 ? u un ?1 n n ? 1 n 1 1 再考察取绝对值后的级数 ? ( ? ? ? ? ? 2, ) .注意 n 1 un ?1 un un ?1 n ? 1 n ?1 u n n?? 1 1 1 发散 ? ? ( ? ) 发散.因此选(C). ?n un ?1 n ?1 u n n ?1?(3)【分析】 理,证明(B)对:反证法.假设 lim f ? (x ) ? a ? 0,则由拉格朗日中值定x ? ??f (2 x) ? f ( x) ? f '(? ) x ? ?( x ? ??)(当x ? ??)时,? ? ??,因为x ? ? ? 2x);但这与f(2? xf ?( x)f ? ( x 2 矛盾f( f ( xx (? M ) M 2 ?) ) ).(4)【分析】因为 r ( A) ? r ( A) ? 2 ? 3 ,说明方程组有无穷多解,所以三个平面有公共交点且不唯一,因此应选(B). (A)表示方程组有唯一解,其充要条件是 r ( A) ? r ( A) ? 3. (C)中三个平面没有公共交点,即方程组无解,又因三个平面中任两个都不行, 故 r ( A) ? 2 和r ( A) ? 3 ,且 A 中任两个平行向量都线性无关.类似地,(D)中有两个平面平行,故 r ( A) ? 2 , r ( A) ? 3 ,且 A 中有两个平行向量 共线. (5)【分析】 首先可以否定选项(A)与(C),因?????[ f1 ( x) ? f 2 ( x)]dx ? ?????f1 ( x)dx ? ?????f 2 ( x)dx ? 2 ? 1,F1 (??) ? F2 (??) ? 1 ? 1 ? 2 ? 1.?1, ?2 ? x ? ?1, ?1, 0 ? x ? 1, f 2 ( x) ? ? 对 于 选 项 (B), 若 f1 ( x) ? ? 则 对 任 何 ?0, 其他， ?0, 其他，x ? ( ? ? ? )?, ,f1 ( x) f 2 ( x) ? 0 , ?????f1 ( x) f 2 ( x)dx ? 0 ? 1, 因此也应否定(C),综上分析,用排除法应选(D). 进一步分析可知,若令 X ? max( X 1 , X 2 ) ,而 X i ~ fi ( x), i ? 1, 2, 则 X 的分布函数F ( x) 恰是 F1 ( x) F2 ( x).F ( x) ? P{max( X1 , X 2 ) ? x} ? P{ X 1 ? x, X 2 ? x} ? P{ X 1 ? x}P{ X 2 ? x} ? F1 ( x) F2 ( x).三、 【解】 用洛必达法则.由题设条件知lim[af (h) ? bf (2h) ? f (0)] ? (a ? b ? 1) f (0). 由 于 f ?( 0? )h ?0, 0故 必 有a ? b ?1 ? 0 .又由洛必达法则limh ?0af (h) ? bf (2h) ? f (0) af '(h) ? 2bf '(2h) ? lim h ?0 h 1? (a ? 2b) f '(0) ? 0,及 f ?(0) ? 0 ,则有 a ? 2b ? 0 . 综上,得 a ? 2, b ? ?1. 四、 【解】 由已知条件得f (0) ? 0, f '(0) ? ( ?arctan x 0e dt ) 'x?t 2x ?0e? arctan x ? 1 ? x22x ?0? 1,故所求切线方程为 y ? x .由导数定义及数列极限与函数极限的关系可得2 f ( ) ? f (0) 2 f ( x) ? f (0) lim nf ( ) ? 2 lim n ? 2 lim ? 2 f '(0) ? 2. n ?? n ?? x ?0 2 n x n五、 【分析与求解】 D 是正方形区域如图.因在 D 上被积函数分块表示? x 2 , x ? y, ? max{x 2 , y 2 } ? ? 2 ( x, y ) ? D , ? y , x ? y, ?于是要用分块积分法,用 y ? x 将 D 分成两块:D ? D1 U D2 , D1 ? D I { y ? x}, D2 ? D I { y ? x}.?I ? ?? emax{ xD122, y2 }dxdy ? ?? emax{ xD222, y2 }dxdy? ?? e x dxdy ? ?? e y dxdy ? 2?? e x dxdy ( D 关于 y ? x 对称)2D1D2D1? 2? dx ? e x dy (选择积分顺序) ? 2? xe x dx ? e x221x120001 0? e ? 1.六、 【分析与求解】 (1)易知 Pdx ? Qdy? 原函数,Pdx ? Qdy ? 1 x 1 dx ? yf ( xy )dx ? xf ( xy )dy ? 2 dy ? 2 ( ydx ? xdy ) ? f ( xy )( ydx ? xdy ) y y yxy x x ? d ( ) ? f ( xy )d ( xy ) ? d [ ? ? f (t )dt ]. y y 0? 在 y ? 0 上 Pdx ? Qdy? 原函数,即 u ( x, y ) ? ? 积分 I 在 y ? 0 与路径无关.xy x ? ? f (t )dt . y 0(2)因找到了原函数,立即可得 I ? u ( x, y ) 七、 【证明】( c,d ) ( a ,b )?c a ? . d b与书上解答略有不同,参见数三 2002 第七题(1)因为幂级数x3 x 6 x9 x3n ? ? ?L ? ?L 3! 6! 9! (3n)!y ( x) ? 1 ?的收敛域是 (?? ? x ? ?) ,因而可在 (?? ? x ? ?) 上逐项求导数,得x 2 x 5 x8 x3n ?1 y '( x) ? ? ? ? L ? ?L , 2! 5! 8! (3n ? 1)! y ''( x) ? x ? x4 x7 x3n ? 2 ? ?L ? ?L , 4! 7! (3n ? 2)!x2 xn ? L ? ? L ? e x (?? ? x ? ?) . 2! n!所以y ''? y '? y ? 1 ? x ?(2)与 y ''? y '? y ? e x 相应的齐次微分方程为 y ''? y '? y ? 0 ,1 3 其特征方程为 ? 2 ? ? ? 1 ? 0 ,特征根为 ?1,2 ? ? ? i. 2 2因此齐次微分方程的通解为 Y ? e (C1 cos?x 23 3 x ? C2 sin x) . 2 2设非齐次微分方程的特解为 y? ? Ae x ,将 y ? 代入方程 y ''? y '? y ? e x 可得1 1 A ? ,即有 y ? ? e x . 3 3于是,方程通解为 y ? Y ? y ? ? e 2 (C1 cos?x3 3 1 x ? C2 sin x) ? e x . 2 2 31 ? ? y (0) ? 1 ? C1 ? 3 , 2 ? ? C1 ? , C2 ? 0. 当 x ? 0 时,有 ? 3 ? y '(0) ? 0 ? ? 1 C ? 3 C ? 1 . 1 2 ? 2 2 3 ?于是幂级数 ?x 3n 2 ?x 3 1 的和函数为 y ( x) ? e 2 cos x ? e x (?? ? x ? ?) 3 2 3 n ? 0 (3n )!?八、 【分析与求解】 (1)由梯度向量的重要性质:函数 h( x, y) 在点 M 处沿该点的 梯度方向gradh( x, y )( x0 , y0 )?{?h ?h , } ?x ?y( x0 , y0 )? {?2 x0 ? y0 , ?2 y0 ? x0 }方向导数取最大值即gradh( x, y )( x0 , y0 )的模,? g ( x0 , y0 ) ? ( y0 ? 2 x0 ) 2 ? ( x0 ? 2 y0 ) 2 .(2)按题意,即求 g ( x, y) 求在条件 x 2 ? y 2 ? xy ? 75 ? 0 下的最大值点 ?g 2 ( x, y) ? ( y ? 2 x)2 ? ( x ? 2 y) 2 ? 5 x 2 ? 5 y 2 ? 8 xy在条件 x 2 ? y 2 ? xy ? 75 ? 0 下的最大值点. 这是求解条件最值问题,用拉格朗日乘子法.令拉格朗日函数L( x, y, ? ) ? 5 x 2 ? 5 y 2 ? 8 xy ? ? ( x 2 ? y 2 ? xy ? 75),则有??L ? ?x ? 10 x ? 8 y ? ? (2 x ? y ) ? 0, ? ? ?L ? ? 10 y ? 8 x ? ? (2 y ? x) ? 0, ? ?y ? ?L ? x 2 ? y 2 ? xy ? 75 ? 0. ? ? ??解此方程组:将①式与②式相加得 ( x ? y)(? ? 2) ? 0. ? x ? ? y 或 ? ? ?2. 若 y ? ?x ,则由③式得 3x 2 ? 75 即 x ? ?5, y ? m5. 若 ? ? ?2, 由①或②均得 y ? x ,代入③式得 x 2 ? 75 即 x ? ?5 3, y ? ?5 3. 于是得可能的条件极值点M1 (5, ?5), M 2 (?5,5), M 3 (5 3,5 3), M 4 (?5 3, ?5 3).现比较 f ( x, y) ? g 2 ( x, y) ? 5 x 2 ? 5 y 2 ? 8 xy 在这些点的函数值:f ( M1 ) ? f ( M 2 ) ? 450, f ( M 3 ) ? f ( M 4 ) ? 150.因为实际问题存在最大值,而最大值又只可能在 M1 , M 2 , M 3 , M 4 中取到.因此g 2 ( x, y ) 在 M 1 , M 2 取到在 D 的边界上的最大值,即 M 1 , M 2 可作为攀登的起点.九、 【解】 由 ? 2 ,? 3 ,? 4 线 性 无 关 及 ? 1 ? 2? 2 ? ? 3 知 , 向 量 组 的 秩r (?1 , ? 2 , ?3 , ? 4 ,即矩阵 A 的秩为 3. 因此 Ax ? 0 的基础解系中只包含一个向量. ? ) 3那么由?1? ? ?2 ? (?1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 ) ? ? ? ?1 ? 2? 2 ? ? 3 ? 0 ?1? ? ? ?0?知, Ax ? 0 的基础解系是 (1, ?2,1, 0)T .?1? ?1? ?1? ?1? ? ? ? ?1 ? ? 2 ? ? 3? ? 4? (? ,1? ,2? , ? ) 4 ? ? A ? ? 知 , (1,1,1,1)T 是 Ax ? ? 的 再由 3 ?1? ?1? ? ? ? ? ?1? ?1? ? 1 ? ?1? ? ?2 ? ?1? 一个特解.故 Ax ? ? 的通解是 k ? ? ? ? ? , 其中 k 为任意常数. ? 1 ? ?1? ? ? ?? ? 0 ? ?1?十、 【解】 (1)若 A, B 相似,那么存在可逆矩阵 P ,使 P ?1 AP ? B, 故? E ? B ? ? E ? P ?1 AP ? P ?1? EP ? P ?1 AP? P ?1 (? E ? A) P ? P ?1 ? E ? A P ? ? E ? A .?0 1 ? ?0 0 ? 2 (2)令 A ? ? ? , B ? ?0 0 ? , 那么 ? E ? A ? ? ? ? E ? B . 0 0? ? ? ?但 A, B 不相似.否则,存在可逆矩阵 P ,使 P?1 AP ? B ? 0 .从而 A ? P0P ?1 ? 0 ,矛盾,亦 可从 r ( A) ? 1, r ( B) ? 0 而知 A 与 B 不相似. (3)由 A, B 均为实对称矩阵知, A, B 均相似于对角阵,若 A, B 的特征多项式相 等,记特征多项式的根为 ?1 ,L , ?n , 则有? ?1 ? O A 相似于 ? ? ? ? ? ?1 ? , 也相似于 ? O ? B ? ? ?n ? ? ??1? ?. ? ?n ? ?? ?1 O 即存在可逆矩阵 P, Q ,使 P AP ? ? ? ? ?? ? ? Q ?1 BQ. ? ?n ? ?于是 ( PQ?1 )?1 A( PQ?1 ) ? B. 由 PQ ?1 为可逆矩阵知, A 与 B 相似.? 1 ? x 1 由 于 P{ X ? } ? ?? cos dx ? , 依 题 意 , Y 服 从 二 项 分 布 3 2 2 3 2十一、 【解】1 B (4, ) ,则有 21 1 1 EY 2 ? DY ? ( EY )2 ? npq ? (np)2 ? 4 ? ? ? (4 ? )2 ? 5. 2 2 2十二、 【解】EX ? 0 ?? 2 ? 1? 2? (1 ? ? ) ? 2 ?? 2 ? 3 ? (1 ? 2? ) ? 3 ? 4? ,? ? (3 ? EX ).? 1 ? ? 的 矩 估 计 量 为 ?? ( 3X 4 )根 据 给 定 的 样 本 观 察 值 计 算 ,1 41 x ? (3 ? 1 ? 3 ? 0 ? 3 ? 1 ? 2 ? 3) 8 1 ? 1 ? 2. 因此 ? 的矩估计值 ? ? (3 ? x) ? . 4 4 对于给定的样本值似然函数为L(? ) ? 4? 6 (1 ? ? )2 (1 ? 2? )4 , ln L(? ) ? ln 4 ? 6ln ? ? 2ln(1 ? ? ) ? 4ln(1 ? 2? ),d ln L(? ) 6 2 8 24? 2 ? 28? ? 6 ? ? ? ? . d? ? 1 ? ? 1 ? 2? ? (1 ? ? )(1 ? 2? )令7 ? 13 7 ? 13 1 d ln L(? ) (? ? ? , 不合 ? 0 ,得方程 12? 2 ? 14? ? 3 ? 0 ,解得 ? ? 12 2 12 d?题意).? 7 ? 13 . 于是 ? 的最大似然估计值为 ? ? 122003 年硕士研究生入学考试（数学一）试题及答案解析一、 填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线 上）1（1） lim (cos x)x ?0ln(1? x 2 )=1 e.【 分 析 】 1? 型 未 定 式 ， 化 为 指 数 函 数 或 利 用 公 式 lim f ( x ) g ( x ) (1? ) =e lim( f ( x )?1) g ( x ) 进行计算求极限均可.1【详解 1】 lim (cos x)x ?0ln(1? x 2 )=ex ? 0 ln(1? x 2 )lim1ln cos x,而?s i n x ln cos x ln cos x 1 s lim ? lim ? lim c o x ? ? ， 2 2 x ?0 ln(1 ? x ) x ?0 x ?0 2x 2 x? 1 2故 原式= e?1 e.【详解 2】 因为1 21 lim (cos x ? 1) ? ? lim x ?0 ln(1 ? x 2 ) x?0? 1 e .?1 2 x 1 2 ?? ， 2 2 x所以原式= e?【评注】 本题属常规题型 （ 2 ） 曲 面 z ? x 2 ? y 2 与 平 面 2x ? 4 y ? z ? 0 平 行 的 切 平 面 的 方 程 是2x ? 4 y ? z ? 5 .? 【分析】 待求平面的法矢量为 n ? {2,4,?1} ，因此只需确定切点坐标即可求? 出平面方程, 而切点坐标可根据曲面 z ? x 2 ? y 2 切平面的法矢量与 n ? {2,4,?1} 平行确定. 【详解】 令 F ( x, y, z ) ? z ? x 2 ? y 2 ，则Fx? ? ?2 x ， Fy? ? ?2 y ， Fz? ? 1 .设切点坐标为 ( x0 , y 0 , z 0 ) ，则切平面的法矢量为 {?2 x0 ,?2 y 0 ,1} ，其与已知平面2 x ? 4 y ? z ? 0 平行，因此有? 2 x0 ? 2 y 0 1 ? ? ， 2 4 ?1可解得2 2 x0 ? 1, y0 ? 2 ，相应地有 z 0 ? x0 ? y 0 ? 5.故所求的切平面方程为2( x ? 1) ? 4( y ? 2) ? ( z ? 5) ? 0 ，即 2 x ? 4 y ? z ? 5 .【评注】本题属基本题型。?（3） 设 x 2 ? ? a n cos nx(?? ? x ? ? ) ，则 a 2 =n ?01.【 分 析 】?将f ( x) ? x 2 (?? ? x ? ? ) 展 开 为 余 弦 级 数x 2 ? ? a n c o (s ? ? x ? ? ) ，其系数计算公式为 a n ? nx ?n ?0??2?0f ( x) cos nxdx.【详解】 根据余弦级数的定义，有 2 ? 1 ? a2 ? ? x 2 ? c o 2 x d x ? x 2 d s i n x s ? 2 ? 0 ? 0 ? ? 1 = [ x 2 sin 2 x ? ? sin 2 x ? 2 xdx] 0 0 ? ? ? 1 ? 1 = ? xd cos 2 x ? [ x cos 2 x ? ? cos 2 xdx] 0 0 ? 0 ? =1. 【评注】 本题属基本题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，本质上转化 为定积分的计算.?1? ?1? ?1? ? 1? （ 4 ） 从 R 2 的 基 ? 1 ? ? ?, ? 2 ? ? ? 到 基 ? 1 ? ? ?, ? 2 ? ? ? 的 过 渡 矩 阵 为 ? 0? ? ? 1? ?1? ? 2? ? ? ? ? ? ? ? ?3 ? ? 2 ? ? ? 1 ? 2? ? ? ?.【分析】 n 维向量空间中，从基 ?1 ,? 2 ,?,? n 到基 ?1 , ? 2 ,?, ? n 的过渡矩阵 P 满足 [ ?1 , ? 2 ,?, ? n ]=[ ?1 ,? 2 ,?,? n ]P ， 因 此 过 渡 矩 阵 P 为 ： P=[ ? 1 ,? 2 ,?,? n ]?1 [ ? 1 , ? 2 , ?, ? n ] .?1? ?1? ?1? ? 1? 【详解】根据定义，从 R 2 的基 ? 1 ? ? ?, ? 2 ? ? ? 到基 ? 1 ? ? ?, ? 2 ? ? ? 的 ? 0? ? ? 1? ?1? ? 2? ? ? ? ? ? ? ? ?过渡矩阵为?1 1 ? ?1 1 ? P=[ ? 1 ,? 2 ] [ ? 1 , ? 2 ] ? ? ? ? ?. ?0 ? 1? ?1 2??1?13? ?1 1 ? ?1 1? ? 2 =? ? ?1 2? ? ?? 1 ? 2?. ?0 ? 1? ? ? ? ?【评注】 本题属基本题型。 （5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为?6 x, 0 ? x ? y ? 1, f ( x, y ) ? ? 其他， ? 0,则 P{X ? Y ? 1} ?1 . 4【分析】 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度 f(x,y)，求满足一定条件的概率 P{g ( X , Y ) ? z 0 } ，一般可转化为二重积分 P{g ( X , Y ) ? z 0 } = ?? f ( x, y )dxdy 进行g ( x , y )? z0计算. 【详解】 由题设，有P{X ? Y ? 1} ?x ? y ?11 2 0??f ( x, y )dxdy ? ? dx?1 2 01? xx6 xdy1 = ? (6 x ? 12 x 2 )dx ? . 4y 1 DO1 21x【评注】 本题属基本题型，但在计算二重积分时，应注意找出概率密度不 为零与满足不等式 x ? y ? 1 的公共部分 D，再在其上积分即可. （6）已知一批零件的长度 X (单位：cm)服从正态分布 N (? ,1) ，从中随机地 抽取 16 个零件， 得到长度的平均值为 40 (cm)， ? 的置信度为 0.95 的置信区间 则 是 (39.51,40.49) . (注：标准正态分布函数值 ?(1.96) ? 0.975, ?(1.645) ? 0.95.) 【分析】 已知方差 ? 2 ? 1 ，对正态总体的数学期望 ? 进行估计，可根据X ?? X ?? ? u ? } ? 1 ? ? 确定临界值 u ? ，进而确定相应的置信 ~ N (0,1) ，由 P{ 1 1 2 2 n n区间. 【详解】 由题设， 1 ? ? ? 0.95 ，可见 ? ? 0.05. 于是查标准正态分布表知u? ? 1.96. 本题 n=16, x ? 40 , 因此，根据 P{2X ?? ? 1.96} ? 0.95 ，有 1 nP{40 ? ? ? 1.96} ? 0.95 ，即 P{39.51,40.49} ? 0.95 ，故 ? 的置信度为 0.95 1 16的置信区间是 (39.51,40.49) . 【评注】 本题属基本题型. 二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项 中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （1）设函数 f(x)在 (??,??) 内连续，其导函数的图形如图所示，则 f(x)有 (A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点. (D) 三 个 极 小 值 点 C ]和一个极大值点.[yOx【分析】 答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不 存在的点， 4 个， 共 是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分 条件判定. 【详解】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有 3 个，而 x=0 则 是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值 点，且两个极小值点，一个极大值点；在 x=0 左侧一阶导数为正，右侧一阶导数 为负，可见 x=0 为极大值点，故 f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C). 【评注】 本题属新题型，类似考题 2001 年数学一、二中曾出现过，当时 考查的是已知 f(x)的图象去推导 f ?(x) 的图象，本题是其逆问题. （2）设 {a n }, {bn }, {cn } 均为非负数列，且 lim a n ? 0 , lim bn ? 1 , lim c n ? ? ,则n ?? n ?? n??必有 (A) a n ? bn 对任意 n 成立. (C) [ D 极 限 l i ma n c n 不 存 在 .n??(B) bn ? cn 对任意 n 成立. (D) 极 限 l i mbn c n 不 存 在 .n??] 【分析】 本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可n??立即排除(A),(B)； 而极限 lim a n c n 是 0 ? ? 型未定式，可能存在也可能不存在，举 反例说明即可；极限 lim bn c n 属 1 ? ? 型，必为无穷大量，即不存在.n??【详解】 用举反例法，取 an ?2 1 ， bn ? 1 ， c n ? n(n ? 1,2,?) ，则可立即 n 2排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D). 【评注】 对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到 正确选项. （3） 已知函数 f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续， lim 且 则 (A) 点(0,0)不是 f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是 f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是 f(x,y)的极小值点. (D) 根 据 所 给 条 件 无 法 判 断 点 (0,0) 是 否 为 f(x,y) 的 极 值 点 . A ] 【分析】 由题设，容易推知 f(0,0)=0，因此点(0,0)是否为 f(x,y)的极值，关键x ?0 , y ?0f ( x, y ) ? xy ? 1， (x2 ? y 2 )2[看在点(0,0)的充分小的邻域内 f(x,y)是恒大于零、恒小于零还是变号. 【详解】 由 且 ，于是 f ( x, y) ? xy ? ( x 2 ? y 2 ) 2 ( x , y 充分小时）f ( x, y) ? f (0,0) ? xy ? ( x 2 ? y 2 ) 2 .x ?0 , y ?0limf ( x, y ) ? xy 分子的极限必为零， 从而有 f(0,0)=0, ? 1 知， (x2 ? y 2 )2可见当 y=x 且 x 充分小时， f ( x, y) ? f (0,0) ? x 2 ? 4 x 4 ? 0 ；而当 y= -x 且 x 充分 小时， f ( x, y) ? f (0,0) ? ? x 2 ? 4 x 4 ? 0 . 故点(0,0)不是 f(x,y)的极值点，应选(A). 【评注】 本题综合考查了多元函数的极限、连续和多元函数的极值概念， 题型比较新，有一定难度. 将极限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限 分析过程中常用的思想。 （4）设向量组 I： ?1 ,? 2 ,?,? r 可由向量组 II： ?1 , ? 2 ,?, ? s 线性表示，则 (A) 当 r ? s 时，向量组 II 必线性相关. (B) 当 r ? s 时，向量组 II 必线性相 关. (C) 当 r ? s 时，向量组 I 必线性相关. 关. [ D ] 【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组 I： (D) 当 r ? s 时，向量组 I 必线性相?1 ,? 2 ,?,? r 可由向量组 II： ?1 , ? 2 ,?, ? s 线性表示，则当 r ? s 时，向量组 I 必线性相关. 或其逆否命题：若向量组 I：?1 ,? 2 ,?,? r 可由向量组 II： ?1 , ? 2 ,?, ? s 线 性表示，且向量组 I 线性无关，则必有 r ? s . 可见正确选项为(D). 本题也可通过 举反例用排除法找到答案.? 0? ? 1? ? 0? 【详解】 用排除法：如 ? 1 ? ? ?, ? 1 ? ? ?, ? 2 ? ? ? ，则 ?1 ? 0 ? ?1 ? 0 ? ? 2 ， ? 0? ? 0? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? 0? ?1? ? 1? 但 ? 1 , ? 2 线性无关，排除(A)； ? 1 ? ? ?,? 2 ? ? ?, ? 1 ? ? ? ，则 ? 1 ,? 2 可由 ? 1 线性 ? 0? ? 0? ? 0? ? ? ? ? ? ? ?1? ? 1? ? 0? 表示，但 ? 1 线性无关，排除(B)；? 1 ? ? ?, ? 1 ? ? ?, ? 2 ? ? ? ，? 1 可由 ? 1 , ? 2 线性 ? 0? ? 0? ? 1? ? ? ? ? ? ?表示，但 ? 1 线性无关，排除(C). 故正确选项为(D). 【评注】 本题将一已知定理改造成选择题，如果考生熟知此定理应该可直 接找到答案，若记不清楚，也可通过构造适当的反例找到正确选项。（5）设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0, 其中 A,B 均为 m? n 矩阵，现有 4 个命题： ① 若 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解，则秩(A) ? 秩(B)； ② 若秩(A) ? 秩(B)，则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解； ③ 若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则秩(A)=秩(B)； ④ 若秩(A)=秩(B)， 则 Ax=0 与 Bx=0 同解. 以上命题中正确的是 (A) ① ②. (B) ① ③. (C) ② ④. (D) ③ ④. [ B ] 【分析】 本题也可找反例用排除法进行分析，但① ②两个命题的反例比 较复杂一些，关键是抓住③ 与 ④，迅速排除不正确的选项. 【详解】 若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则 n-秩(A)=n - 秩(B), 即秩(A)=秩(B)，命题 ③成立，可排除(A),(C)；但反过来，若秩(A)=秩(B)， 则不能推出 Ax=0 与 Bx=0 同?1 0 ? ?0 0 ? 解，如 A ? ? ，B ? ? ? ? ，则秩(A)=秩(B)=1，但 Ax=0 与 Bx=0 不同解，可 ?0 0 ? ?0 1 ?见命题④不成立，排除(D),故正确选项为(B). 【例】 齐次线性方程组 Ax=0 与 Bx=0 同解的充要条件 (A) r(A)=r(B). (B) A,B 为相似矩阵. (C) A, B 的行向量组等价. (D) A,B 的列向量组等价. [ C ] 有此例题为基础，相信考生能迅速找到答案. 1 （6）设随机变量 X ~ t (n)( n ? 1), Y ? 2 ，则 X (A) (C) [ C ] 【分析】 先由 t 分布的定义知 X ?U V nY ~ ? 2 ( n) .Y ~ F (n,1) .(B) Y ~ ? 2 (n ? 1) . (D)Y ~ F (1, n) .，其中 U ~ N (0,1), V ~ ? 2 (n) ，再将其代入 Y ?1 ，然后利用 F 分布的定义即可. X2 U 【详解】 由题设知， X ? ，其中 U ~ N (0,1), V ~ ? 2 (n) ，于是 V nY?V V 1 = n ? 2n ， 这 里 U 2 ~ ? 2 (1) ， 根 据 F 分 布 的 定 义 知 U2 U X2 1Y?1 ~ F (n,1). 故应选(C). X2【评注】 本题综合考查了 t 分布、 ? 2 分布和 F 分布的概念，要求熟练掌握 此三类常用统计量分布的定义. 三 、 （本题满分 10 分） 过坐标原点作曲线 y=lnx 的切线，该切线与曲线 y=lnx 及 x 轴围成平面图形 D. (1) 求 D 的面积 A; (2) 求 D 绕直线 x=e 旋转一周所得旋转体的体积 V. 【分析】 先求出切点坐标及切线方程， 再用定积分求面积 A; 旋转体体积可 用一大立体（圆锥）体积减去一小立体体积进行计算，为了帮助理解，可画一草 图. 【详解】 (1) 方程是y ? ln x0 ? 1 ( x ? x0 ). x0设切点的横坐标为 x 0 ，则曲线 y=lnx 在点 ( x0 , ln x0 ) 处的切线由该切线过原点知 ln x0 ? 1 ? 0 ，从而 x0 ? e. 所以该切线的方程为y? 1 x. e 1 e ? 1. 2平面图形 D 的面积A ? ? (e y ? ey)dy ?0 11 x 与 x 轴及直线 x=e 所围成的三角形绕直线 x=e 旋转所得的 e 1 圆锥体积为 V1 ? ?e 2 . 3 曲线 y=lnx 与 x 轴及直线 x=e 所围成的图形绕直线 x=e 旋转所得的旋转体体 积为（2） 切线 y ?V2 ? ? ? (e ? e y ) 2 dy ，01因此所求旋转体的体积为 1 1 ? V ? V1 ? V2 ? ?e 2 ? ? ? (e ? e y ) 2 dy ? (5e 2 ? 12e ? 3). 0 3 6 y 1D O 1 e x【评注】 本题不是求绕坐标轴旋转的体积， 因此不能直接套用现有公式. 也 可考虑用微元法分析. 四 、 （本题满分 12 分） 将函数 f ( x) ? arctan? (?1) n 1 ? 2x 展开成 x 的幂级数，并求级数 ? 的和. 1 ? 2x n ? 0 2n ? 1【分析】 幂级数展开有直接法与间接法，一般考查间接法展开，即通过适 当的恒等变形、求导或积分等，转化为可利用已知幂级数展开的情形。本题可先 1 求导，再利用函数 1? x 1 的幂级数展开 ? 1 ? x ? x 2 ? ? ? x n ? ? 即可，然后取 x 为某特殊值，得所求 1? x 级数的和. 【详解】 因为 f ?( x) ? ? 又 f(0)=? 2 1 1 ? ?2? (?1) n 4 n x 2 n , x ? (? , ). 2 2 2 1 ? 4x n ?0? , 所以 4xf ( x) ? f (0) ? ? f ?(t )dt ?0?4? 2? [? (?1) n 4 n t 2 n ]dtx 0 n ?0?=??4? 2?(?1) n 4 n 2 n ?1 1 1 x , x ? (? , ). 2 2 n ? 0 2n ? 1?(?1) n 1 因为级数 ? 收敛，函数 f(x)在 x ? 处连续，所以 2 n ? 0 2n ? 1 f ( x) ??4? 2?(?1) n 4 n 2 n ?1 1 1 x , x ? (? , ]. 2 2 n ? 0 2n ? 1?令x ?1 ，得 2? 1 ? (?1)4 n 1 ? ? (?1) n f ( ) ? ? 2? [ ? 2 n ?1 ] ? ? ? , 2 4 4 n ? 0 2n ? 1 n ? 0 2n ? 1 21 再由 f ( ) ? 0 ，得 2(?1) n ? 1 ? ? 2n ? 1 ? 4 ? f ( 2 ) ? 4 . n ?0?五 、 （本题满分 10 分） 已知平面区域 D ? {( x, y) 0 ? x ? ? ,0 ? y ? ? } ，L 为 D 的正向边界. 试证：(1) (2)? xeLsin ydy ? ye ? sin x dx ? ? xe ? sin y dy ?L? xeLsin ydy ? ye ? sin x dx ? 2? 2 .【分析】 本题边界曲线为折线段，可将曲线积分直接化为定积分证明，或 曲线为封闭正向曲线，自然可想到用格林公式；(2)的证明应注意用(1)的结果. 【详解】 方法一： (1) 左边= ? ?e sin y dy ? ? ?e ?sin x dx0?0?= ? ? (e sin x ? e ?sin x )dx ，0?右边= ? ?e ?sin y dy ? ? ?e sin x dx0?0?= ? ? (e sin x ? e ?sin x )dx ，0?所以? xeLsin ydy ? ye ? sin x dx ? ? xe ? sin y dy ? ye sin x dx .L(2) 由于 e sin x ? e ? sin x ? 2 ，故由（1）得s iy n ?s i x n s ix n ?s i x n 2 ? xe dy ? ye dx ? ? ? (e ? e )dx ? 2? . L 0?方法二： （1） 根据格林公式，得? xeLsin ydy ? ye ? sin x dx ? ?? (e sin y ? e ? sin x )dxdy ，D? xeL? sin ydy ? yesin xdx ? ?? (e ? sin y ? e sin x )dxdy .D因为 D 具有轮换对称性，所以?? (eDsin y? e ? sin x )dxdy = ?? (e ? sin y ? e sin x )dxdy ，DL故? xeLsin ydy ? ye ? sin x dx ? ? xe ? sin y dy ? ye sin x dx .(2) 由(1)知? xeLsin ydy ? ye ? sin x dx ? ?? (e sin y ? e ? sin x )dxdyD= ?? e sin y dxdy ? ?? e ? sin x dxdyD D sin x= ?? eDdxdy ? ?? e ? sin x dxdy （利用轮换对称性）D= ?? (eDsin x?e? sin x)dxdy ? ?? 2dxdy ? 2? 2 .D【评注】 本题方法一与方法二中的定积分与二重积分是很难直接计算出来 的，因此期望通过计算出结果去证明恒等式与不等式是困难的. 另外，一个题由两部分构成时，求证第二部分时应首先想到利用第一部分的结果，事实上，第一 部分往往是起桥梁作用的. 六 、 （本题满分 10 分） 某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土 层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比 （比例系数为 k,k&0）.汽锤第一次击打将桩打进地下 a m. 根据设计方案，要求 汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数 r(0&r&1). 问 (1) 汽锤击打桩 3 次后，可将桩打进地下多深？ (2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？ （注：m 表示长度单位米.） 【分析】 本题属变力做功问题，可用定积分进行计算，而击打次数不限， 相当于求数列的极限. 【详解】 (1) 设第 n 次击打后，桩被打进地下 x n ，第 n 次击打时，汽锤所 作的功为 Wn (n ? 1,2,3,?) . 由题设，当桩被打进地下的深度为 x 时，土层对桩的 阻力的大小为 kx ，所以x1 k k W1 ? ? k x d? x12 ? a 2 ， x 0 2 2 x2 k 2 k 2 W2 ? ? kxdx ? ( x2 ? x12 ) ? ( x2 ? a 2 ). x1 2 2由 W2 ? rW1 可得2 x2 ? a 2 ? ra 2即2 x2 ? (1 ? r )a 2 .x3 k 2 k 2 2 W3 ? ? kxdx ? ( x3 ? x2 ) ? [ x3 ? (1 ? r )a 2 ]. x2 2 2由 W3 ? rW2 ? r 2W1 可得2 x3 ? (1 ? r )a 2 ? r 2 a 2 ，从而x3 ? 1 ? r ? r 2 a ，即汽锤击打 3 次后，可将桩打进地下 1 ? r ? r 2 am . （2） 由归纳法，设 x n ? 1 ? r ? r 2 ? ? ? r n ?1 a ，则Wn?1 ? ?xn ?1 xnk 2 2 kxdx ? ( xn?1 ? xn ) 2k 2 = [ xn?1 ? (1 ? r ? ? ? r n?1 )a 2 ]. 2由于 Wn ?1 ? rWn ? r 2Wn ?1 ? ? ? r nW1 ，故得2 xn ?1 ? (1 ? r ? ? ? r n ?1 )a 2 ? r n a 2 ,从而x n ?1 ? 1 ? r ? ? ? r n a ?1 ? r n ?1 a. 1? r于是lim x n ?1 ?n ??1 a， 1? r 1 a m. 1? r即若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下【评注】 本题巧妙地将变力作功与数列极限两个知识点综合起来了，有一 定难度。但用定积分求变力做功并不是什么新问题，何况本题的变力十分简单。 七 、 （本题满分 12 分） 设函数 y=y(x)在 (??,??) 内具有二阶导数，且 y ? ? 0, x ? x( y) 是 y=y(x)的反函 数. (1) 试将 x=x(y)所满足的微分方程d 2x dx ? ( y ? sin x)( ) 3 ? 0 变换为 y=y(x)满 2 dy dy足的微分方程； (2) 求变换后的微分方程满足初始条件 y(0) ? 0, y ?(0) ? 【分析】 将3 的解. 21 dx dx 1 dy ? ，关键是应注意： 转化为 比较简单， = dy dy dy y ? dx dxd 2 x d dx d 1 dx ? ( ) = ( )? 2 dy dy dx y ? dy dy=? y ?? 1 y ?? . ? ?? 2 y? y? ( y ?) 3然后再代入原方程化简即可. 【详解】 (1) 由反函数的求导公式知dx 1 ? ，于是有 dy y ?d 2 x d dx d 1 dx ? y ?? 1 y ?? ? ( ) = ( )? = 2 ? ? ? . 2 dy dy dx y ? dy y ? y ? dy ( y ?) 3代入原微分方程得y ?? ? y ? s i n . x( *) (2) 方程( * )所对应的齐次方程 y ?? ? y ? 0 的通解为Y ? C1e x ? C 2 e ? x .设方程( * )的特解为y* ? Ac o x ? B s i n ， s x1 1 代入方程( * )，求得 A ? 0, B ? ? ，故 y * ? ? sin x ，从而 y ?? ? y ? sin x 的通解是 2 2 1 y ? Y ? y * ? C1e x ? C 2 e ? x ? s i n . x 2 3 由 y(0) ? 0, y ?(0) ? ，得 C1 ? 1, C2 ? ?1 . 故所求初值问题的解为 2 1 y ? e x ? e ?x ? s i n. x 2 【评注】 本题的核心是第一步方程变换。八 、 （本题满分 12 分） 设函数 f(x)连续且恒大于零，F (t ) ???? f ( x?(t )2? y 2 ? z 2 )dv2 2??D (t )f ( x ? y )d?， G (t ) ??? f ( xD (t )2? y 2 ) d??t，f ( x 2 )dx?1其中 ?(t ) ? {( x, y, z ) x 2 ? y 2 ? z 2 ? t 2 } ， D(t ) ? {( x, y ) x 2 ? y 2 ? t 2 }. (1) 讨论 F(t)在区间 (0,??) 内的单调性. (2) 证明当 t&0 时， F (t ) ?2? 【分析】 (1) 先分别在球面坐标下计算分子的三重积分和在极坐标下计算G (t ).分母的重积分，再根据导函数 F ?(t ) 的符号确定单调性；(2) 将待证的不等式作适 当的恒等变形后，构造辅助函数，再用单调性进行证明即可. 【详解】 (1) 因为F (t ) ??2?0d? ? d? ? f (r 2 )r 2 sin ?dr?t?0 2?00 td? ? f (r )rdr2 0t?2? f (r 2 )r 2 drt?0 t，0f (r )r d r2F ?(t ) ? 2tf (t 2 ) ? f (r 2 )r (t ? r )dr [ ? f (r 2 )r d ]r20 0 t，所以在 (0,??) 上 F ?(t ) ? 0 ，故 F(t) 在 (0,??) 内单调增加. （2） 因G (t ) ?? ? f (r 2 )rdrt?20 t，20f (r 2 )dr要证明 t&0 时 F (t ) ??G (t ) ，只需证明 t&0 时， F (t ) ?t t?G (t ) ? 0 ，即?令 则t0f (r 2 )r 2 dr? f (r 2 )dr ? [? f (r 2 )r d ]2 ? 0. r0 0 t t t 0 0 0g (t ) ? ? f (r 2 )r 2 dr? f (r 2 )dr ? [? f (r 2 )r d ]2 ， r g ?(t ) ? f (t 2 )? f (r 2 )(t ? r ) 2 dr ? 0 ，故 g(t)在 (0,??) 内单调增加.0 t因为 g(t)在 t=0 处连续，所以当 t&0 时，有 g(t)&g(0). 又 g(0)=0, 故当 t&0 时，g(t)&0, 2 因此，当 t&0 时， F (t ) ? G (t ). ? 【评注】 本题将定积分、二重积分和三重积分等多个知识点结合起来了， 但难点是证明（2）中的不等式，事实上，这里也可用柯西积分不等式证明：[? f ( x) g ( x)dx]2 ? ? f 2 ( x)dx ? ? g 2 ( x)dx ，a a abbb在上式中取 f(x)为f ( r 2 ) r ，g(x)为f ( r 2 ) 即可.九 、 （本题满分 10 分）?3 2 2? ?0 1 0 ? ? 2 3 2 ? P ? ?1 0 1 ? ?1 * 设矩阵 A ? ? ?， ? ? ， B ? P A P ，求 B+2E 的特征值与特 ?2 2 3? ?0 0 1 ? ? ? ? ?征向量，其中 A* 为 A 的伴随矩阵，E 为 3 阶单位矩阵. 【分析】 可先求出 A*, , P ?1 ，进而确定 B ? P ?1 A* P 及 B+2E，再按通常方法 确定其特征值和特征向量；或先求出 A 的特征值与特征向量，再相应地确定 A* 的特征值与特征向量，最终根据 B+2E 与 A*+2E 相似求出其特征值与特征向量. 【详解】 方法一： 经计算可得? 5 ? 2 ? 2? ?0 1 ? 1? ?? 2 5 ? 2? ? ? ?1 A* ? ? ? ， P ? ?1 0 0 ? ， ?0 0 1 ? ?? 2 ? 2 5 ? ? ? ? ?0 0? ?7 ? ? 2 5 ? 4? . B ? P A P=? ? ?? 2 ? 2 3 ? ? ??1 *从而0 0 ? ?9 ?? 2 7 ? 4? ， B ? 2E ? ? ? ?? 2 ? 2 5 ? ? ?? ?9 ?E ? ( B ? 2 E ) ?2 200 4 ? (? ? 9) 2 (? ? 3) ，? ?72? ?5故 B+2E 的特征值为 ?1 ? ?2 ? 9, ?3 ? 3. 当 ?1 ? ?2 ? 9 时，解 (9 E ? A) x ? 0 ，得线性无关的特征向量为? ? 1? ?1 ? ? 1 ? , ? ? ?0? ? ? ?? 2? ? 2 ? ? 0 ?, ? ? ?1 ? ? ?所以属于特征值 ?1 ? ?2 ? 9 的所有特征向量为?? 1? ? ? 2? ? 1 ??k ? 0 ? k1?1 ? k 2? 2 ? k1 ? ? 2? ? ，其中 k1 , k 2 是不全为零的任意常数. ?0? ?1 ? ? ? ? ?当 ?3 ? 3 时，解 (3E ? A) x ? 0 ，得线性无关的特征向量为?0 ? ? 3 ? ?1 ? ， ? ? ?1 ? ? ? ?0 ? 所以属于特征值 ?3 ? 3 的所有特征向量为 k 3? 3 ? k 3 ?1? ，其中 k 3 ? 0 为任意常数. ? ? ?1 ? ? ?方法二： A 的特征值为 ? ， 设 对应特征向量为 ? ， A? ? ?? . 由于 A ? 7 ? 0 ， 即 所以 ? ? 0. 又因 A * A ? A E ，故有 A *? ?A??.于是有B( P ?1? ) ? P ?1 A * P( P ?1? ) ? AA?( P ?1? ) ，( B ? 2 E ) P ?1? ? (?? 2) P ?1?.因此，A?? 2 为 B+2E 的特征值，对应的特征向量为 P ?1?.? ?3由于 ?E ? A ? ? 2 ?2?2?2 ? 2 ? (? ? 1) 2 (? ? 7) ，? ?3?2? ?3故 A 的特征值为 ?1 ? ?2 ? 1, ?3 ? 7.?? 1? 当 ?1 ? ?2 ? 1 时，对应的线性无关特征向量可取为 ?1 ? ? 1 ? ， ? ? ?0? ? ? ?1? 当 ?3 ? 7 时，对应的一个特征向量为 ? 3 ? ?1?. ?? ?1? ?? ? ? 1? ? 2 ? ? 0 ?. ? ? ?1? ? ?由 P?1?0 1 ? 1? ?1? ? ? 1? ?0 ? ?1 0 0 ? ?? 1? P ?1? ? ? ? 1? P ?1? ? ?1 ? ?1 ?? 2 3 ? ，得 P ?1 ? ? ? ， ? ?， ? ?. ?0 0 1 ? ?0? ?1? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ?因此，B+2E 的三个特征值分别为 9，9，3. 对应于特征值 9 的全部特征向量为?1? ?? 1? ?? 1? ? k ?? 1? k 1 P ?1 ? k 2 P ? 2 ? k 1 ? ? 2? ? ，其中 k1 , k 2 是不全为零的任意常数； ?0? ?1? ? ? ? ??1 ?1对应于特征值 3 的全部特征向量为?0 ? k 3 P ? 3 ? k 3 ?1? ，其中 k 3 是不为零的任意常数. ? ? ?1? ? ??1【评注】 设 B ? P ?1 AP ，若 ? 是 A 的特征值，对应特征向量为 ? ，则 B 与 A 有相同的特征值，但对应特征向量不同，B 对应特征值 ? 的特征向量为 P ?1?. 本题计算量大， 但方法思路都是常规和熟悉的， 主要是考查考生的计算能力。 不过利用相似矩阵有相同的特征值以及 A 与 A*的特征值之间的关系讨论，可适当降低计算量. 十 、 （本题满分 8 分） 已知平面上三条不同直线的方程分别为l1 :ax ? 2by ? 3c ? 0 ， bx ? 2cy ? 3a ? 0 ， cx ? 2ay ? 3b ? 0 .l2 :l3 :试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a ? b ? c ? 0. 【分析】 三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转 化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为 2. 【详解】 方法一：必要性 设三条直线 l1 , l 2 , l3 交于一点，则线性方程组?ax ? 2by ? ?3c, ? ?bx ? 2cy ? ?3a, ?cx ? 2ay ? ?3b, ?(*)?a 2b ? ? a 2b ? 3c ? ? b 2c ? ? ? 有唯一解，故系数矩阵 A ? ? ? 与增广矩阵 A ? ?b 2c ? 3a ? 的秩均为 2， ? c 2a ? ? c 2a ? 3b ? ? ? ? ?于是 A ? 0.a 2b ? 3c由于 A ? b 2c ? 3a ? 6(a ? b ? c)[ a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? ac ? bc] c 2a ? 3b = 3(a ? b ? c)[( a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? a) 2 ] , 但根据题设 (a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? a) 2 ? 0 ，故a ? b ? c ? 0.充分性：由 a ? b ? c ? 0 ，则从必要性的证明可知， A ? 0 ，故秩 ( A ) ? 3. 由于a 2b b 2c ? 2(ac ? b 2 ) ? ?2[a(a ? b) ? b 2 ]1 3 = ? 2[( a ? b) 2 ? b 2 ] ? 0 ， 2 4故秩(A)=2. 于是，秩(A)=秩 (A ) =2. 因此方程组(*)有唯一解，即三直线 l1 , l 2 , l3 交于一点. 方法二：必要性? x0 ? 设三直线交于一点 ( x0 , y 0 ) ，则 ? y 0 ? 为 Ax=0 的非零解，其中 ? ? ?1? ? ? ?a 2b 3c ? A ? ?b 2c 3a ?. ? ? ? c 2a 3b ? ? ?于是A ?0.a 2b 3c 2c 3a ? ?6(a ? b ? c )[ a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? ac ? bc] 2a 3b而A? b c= ? 3(a ? b ? c)[( a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? a) 2 ] , 但根据题设 (a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? a) 2 ? 0 ，故a ? b ? c ? 0. 充分性：考虑线性方程组?ax ? 2by ? ?3c, ? ?bx ? 2cy ? ?3a, ?cx ? 2ay ? ?3b, ??ax ? 2by ? ?3c, ? ?bx ? 2cy ? ?3a.(*)将方程组(*)的三个方程相加，并由 a+b+c=0 可知，方程组(*)等价于方程组 (* *)因为a 2b b 2c? 2(ac ? b 2 ) ? ?2[a(a ? b) ? b 2 ]=- [a 2 ? b 2 ? (a ? b) 2 ] ? 0 , 故方程组(* *)有唯一解，所以方程组(*)有唯一解，即三直线 l1 , l 2 , l3 交于一点. 【评注】 本题将三条直线的位置关系转化为方程组的解的判定，而解的判定 问题又可转化为矩阵的秩计算， 进而转化为行列式的计算，综合考查了多个知识 点.十一 、 （本题满分 10 分） 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品， 乙箱中仅装有 3 件合格品. 从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后，求： (1) 乙箱中次品件数的数学期望； (2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 【分析】 乙箱中可能的次品件数为 0，1，2，3，分别求出其概率，再按定 义求数学期望即可； 而求从乙箱中任取一件产品是次品的概率， 涉及到两次试验， 是典型的用全概率公式的情形，第一次试验的各种可能结果（取到的次品数）就 是要找的完备事件组. 【详解】 (1) X 的可能取值为 0，1，2，3，X 的概率分布为P{ X ? k} ?3 C 3k C 3 ? k ， k=0,1,2,3. 3 C6即X P01 201 9 202 9 203 1 20因此EX ? 0 ? 1 9 9 1 3 ? 1? ? 2? ? 3? ? . 20 20 20 20 2(2) 设 A 表示事件 “从乙箱中任取一件产品是次品” 由于 { X ? 0} ， X ? 1} ， ， {{ X ? 2} ， { X ? 3} 构成完备事件组，因此根据全概率公式，有P( A) ? ? P{ X ? k}P{ A X ? k}k ?033= ? P{ X ? k} ?k ?0k 1 3 ? ? kP{ X ? k} 6 6 k ?01 1 3 1 = EX ? ? ? . 6 6 2 4 【评注】本题对数学期望的计算也可用分解法： 设?0, 从甲箱中取出的第i件产品是合格品, Xi ? ? ?1, 从甲箱中取出的第i件产品是次品,则 X i 的概率分布为Xi01 211 2i ? 1,2,3.P因为 X ? X 1 ? X 2 ? X 3 ，所以3 EX ? EX 1 ? EX 2 ? EX 3 ? . 2十二 、 （本题满分 8 分） 设总体 X 的概率密度为?2e ?2 ( x ?? ) , x ? ? , f ( x) ? ? x ??, ? 0,其 中 ? ? 0 是 未 知 参 数 . 从 总 体 X 中 抽 取 简 单 随 机 样 本 X 1 , X 2 , ?, X n ， 记?? ? min( X 1 , X 2 ,?, X n ).(1) 求总体 X 的分布函数 F(x); (2) 求统计量 ?? 的分布函数 F?? ( x) ； (3) 如果用 ?? 作为 ? 的估计量，讨论它是否具有无偏性. 【分析】 求分布函数 F(x)是基本题型；求统计量 ?? 的分布函数 F?? ( x) ，可作 为多维相互独立且同分布的随机变量函数求分布函数，直接用定义即可；是否具 有无偏性，只需检验 E?? ? ? 是否成立. 【详解】 (1) (2)F ( x) ? ?x???1 ? e ?2 ( x ?? ) , x ? ? , f (t )dt ? ? x ? ?. 0, ?? F?? ( x) ? P{? ? x} ? P{min( X 1 , X 2 , ?, X n ) ? x}= 1 ? P{min( X 1 , X 2 ,?, X n ) ? x} = 1 ? P{ X 1 ? x, X 2 ? x,?, X n ? x} = 1 ? [1 ? F ( x)] n?1 ? e ?2 n ( x ?? ) , x ? ? , =? x ? ?. 0, ?(3) ?? 概率密度为f ?? ( x) ? dF?? ( x) dx ?2ne ?2 n ( x ?? ) , x ? ? , ?? x ? ?. 0, ???因为? E? ? ? xf?? ( x)dx ? ? 2nxe?2n( x?? ) dx?????=? ?1 ?? ， 2n所以 ?? 作为 ? 的估计量不具有无偏性. 【评注】本题表面上是一数理统计问题，实际上考查了求分布函数、随机变 量的函数求分布和概率密度以及数学期望的计算等多个知识点. 将数理统计的 概念与随机变量求分布与数字特征结合起来是一种典型的命题形式.2004 年数学一试题 详解和评注二、 填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线 上） （1）曲线 y=lnx 上与直线 x ? y ? 1 垂直的切线方程为y ? x ?1 .【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为 1，由曲线 y=lnx 的 导数为 1 可确定切点的坐标。 1 【详解】 由 y ? ? (ln x)? ? ? 1 ，得 x=1, 可见切点为 (1,0) ，于是所求的切线 x 方程为y ? 0 ? 1 ? ( x ? 1) ， 即 y ? x ? 1 .【评注】 本题也可先设切点为 ( x0 , ln x0 ) ，曲线 y=lnx 过此切点的导数为y? ? 1 ? 1 ，得 x0 ? 1 ，由此 可知 所求 切线方 程为 y ? 0 ? 1 ? ( x ? 1) ， 即 x0x ? x0y ? x ?1.（2）已知 f ?(e x ) ? xe ? x ，且 f(1)=0, 则 f(x)=1 (ln x) 2 2.【分析】 先求出 f ?(x) 的表达式，再积分即可。 【详解】 令 e x ? t ，则 x ? ln t ，于是有ln t ln x ， 即 f ?( x) ? . t x ln x 1 积分得 f ( x) ? ? 故所 dx ? (ln x) 2 ? C . 利用初始条件 f(1)=0, 得 C=0， x 2 1 求函数为 f(x)= (ln x) 2 . 2 【评注】 本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分。 f ?(t ) ?（ 3 ） 设 L 为 正 向 圆 周 x2 ? y2 ? 2 在 第 一 象 限 中 的 部 分 ， 则 曲 线 积 分?Lxdy ? 2 ydx 的值为3 ? . 2【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示， 相应曲线积分可化为定积分。 【详解】 正向圆周 x 2 ? y 2 ? 2 在第一象限中的部分，可表示为?x ? 2 c o ? , s ? ? ?y ? 2s i n,? :0 ??2.于是?Lx d y 2 y d x ? 2 [ 2 c o ? ? 2 c o ? ? 2 2 s i ? ? 2 s i ? ]d? ? ? s s n n0?= ? ? ? 2 2 sin 2 ? d? ?0?3? . 2【评注】 本题也可添加直线段， 使之成为封闭曲线， 然后用格林公式计算， 而在添加的线段上用参数法化为定积分计算即可. （4）欧拉方程 x 2c c d2y dy ? 4 x ? 2 y ? 0( x ? 0) 的通解为 y ? 1 ? 2 . dx x x2 dx 2【分析】 欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换 x ? e t 化为常系数线性 齐次微分方程即可。 【详解】 令 x ? e t ，则dy dy dt dy 1 dy ， ? ? ? e ?t ? dx dt dx dt x dtd2y 1 dy 1 d 2 y dt 1 d 2 y dy ?? 2 ? ? ? 2 [ 2 ? ]， dt dx 2 x dt x dt 2 dx x dt代入原方程，整理得d2y dy ? 3 ? 2y ? 0， 2 dt dt解此方程，得通解为y ? c1e ?t ? c2 e ?2t ?c1 c2 ? . x x2【评注】 本题属基础题型，也可直接套用公式，令 x ? e t ，则欧拉方程ax 2 d2y dy ? bx ? cy ? f ( x) ， 2 dx dx可化为d 2 y dy dy a[ 2 ? ] ? b ? cy ? f (e t ). dt dt dt?2 1 0? （5）设矩阵 A ? ?1 2 0? ，矩阵 B 满足 ABA* ? 2BA* ? E ，其中 A* 为 A 的 ? ? ?0 0 1 ? ? ?伴随矩阵，E 是单位矩阵，则 B ?1 9.【分析】 可先用公式 A* A ? A E 进行化简 【详解】 已知等式两边同时右乘 A，得ABA* A ? 2BA* A ? A ， 而 A ? 3 ，于是有3 AB ? 6B ? A ， 即再两边取行列式，有(3 A ? 6E) B ? A ，3 A ? 6E B ? A ? 3 ，1 而 3 A ? 6 E ? 27 ，故所求行列式为 B ? . 9【评注】 先化简再计算是此类问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵 A* ， 一般均应先利用公式 A* A ? AA* ? A E 进行化简。 （6）设随机变量 X 服从参数为 ? 的指数分布，则 P{ X ? DX } =1 . e【分析】 已知连续型随机变量 X 的分布，求其满足一定条件的概率，转化 为定积分计算即可。 1 【详解】 由题设，知 DX ? 2 ，于是 ??? 1 P{ X ? DX } = P{ X ? } ? ?1 ?e ??x dx??= ? e ? ?x?? 1?1 ? . e【评注】 本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应 在考试时再去推算。 二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出的四个选项 中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）把 x ? 0 ? 时的无穷小量 ? ? ? cost 2 dt, ? ? ? tan t dt, ? ? ? sin t 3 dt ，0 0 0 x x2 x使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是 (A) ? , ? , ? . (B)?,? , ? .(C)? ,? , ? .(D)? , ? ,? .[B ] 【分析】 先两两进行比较，再排出次序即可. 【详解】lim?x ?0? ? lim ? x ?0?? ?0?x2tan t dt cos t 2 dtx 3x? lim?x ?0t a n ? 2x x ? 0 ，可排除(C),(D)选项， c o x2 s30又x ?0lim?? ? lim ? x ?0=? ?0 x2sin t dtsin x 2 ? ? lim?x ?010tan t dt2 x 2 x tan x1 x 可见 ? 是比 ? 低阶的无穷小量， 故应选 lim? 2 ? ? ， 4 x ?0 x(B). 【评注】 本题是无穷小量的比较问题， 也可先将 ? , ? , ? 分别与 x n 进行比较， 再确定相互的高低次序. （8）设函数 f(x)连续，且 f ?(0) ? 0, 则存在 ? ? 0 ，使得 (A) f(x)在（0， ? ) 内单调增加. (C) 对任意的 x ? (0, ? ) 有 f(x)&f(0) . （B）f(x)在 (?? ,0) 内单调减少. (D) 对任意的 x ? (?? ,0) 有 f(x)&f(0) . [ C] 【分析】 函数 f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此 可排除(A),(B)选项，再利用导数的定义及极限的保号性进行分析即可。 【详解】 由导数的定义，知 f ( x) ? f (0) f ?(0) ? lim ? 0， x ?0 x 根据保号性，知存在 ? ? 0 ，当 x ? (?? ,0) ? (0, ? ) 时，有f ( x) ? f (0) ?0 x即当 x ? (?? ,0) 时，f(x)&f(0); 而当 x ? (0, ? ) 时，有 f(x)&f(0). 故应选(C). 【评注】 题设函数一点可导，一般均应联想到用导数的定义进行讨论。 （9）设 ? a n 为正项级数，下列结论中正确的是n ?1 ?(A) 若 lim nan =0，则级数 ? a n 收敛.n???n ?1（B） 若存在非零常数 ? ，使得 lim nan ? ? ，则级数 ? a n 发散.n ???n ?1(C) 若级数 ? a n 收敛，则 lim n 2 a n ? 0 .n ?1?n ??(D) 若 级 数?an ?1?n发 散 , 则 存 在 非 零 常 数 ? ， 使 得 lim nan ? ? .n ??[ B ] 【分析】 对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可用反例通过排 除法找到正确选项. 【详解】 (D)； 又取 a n ?1 n n取 an ?? ? 1 1 ，则 lim nan =0，但 ? a n ? ? 发散，}