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第三方登录：§2.1导数概念；一、引例；1．直线运动的速度；设一质点在坐标轴上作非匀速运动?时刻t质点的坐标；s?f(t)?；求动点在时刻t0的速度?考虑比值；s?s0f(t)?f(t0)???t?t0t?t；践中也可用来说明动点在时刻t0的速度?但这样做是；f(t)?f(t0)的极限?如果这个极限存在?设；t?t0t?t0v?limf(t)?f(t0)?；t?t0这时
1．直线运动的速度
设一质点在坐标轴上作非匀速运动? 时刻t质点的坐标为s? s是t的函数?
求动点在时刻t0的速度?
s?s0f(t)?f(t0)? ? ?t?t0t?t0这个比值可认为是动点在时间间隔t?t0内的平均速度? 如果时间间隔选较短? 这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t0的速度? 但这样做是不精确的? 更确地应当这样? 令t ?t0?0? 取比值f(t)?f(t0)的极限? 如果这个极限存在? 设为v ? 即 t?t0t?t0
v?limf(t)?f(t0)?
t?t0这时就把这个极限值v称为动点在时刻t 0的速度?
2．切线问题
设有曲线C及C上的一点M? 在点M外另取C上一点N? 作割线MN? 当点N沿曲线C趋于点M时? 如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT? 直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线?
设曲线C就是函数y?f(x)的图形? 现在要确定曲线在点M(x0,
y0)(y0?f(x0))处的切线? 只要定出切线的斜率就行了? 为此? 在点M外另取C上一点N(x, y)? 于是割线MN的斜率为
tan??y?y0f(x)?f(x0)?
?x?x0x?x0其中?为割线MN的倾角? 当点N沿曲线C趋于点M时? x?x0? 如果当x? 0时? 上式的极限存在? 设为k ? 即
k?limx?x0f(x)?f(x0) x?x0存在? 则此极限k 是割线斜率的极限? 也就是切线的斜率? 这里k?tan ???其中?是切线MT的倾角? 于是? 通过点M(x0, f(x0))且以k 为斜率的直线MT便是曲线C在点M处的切线?
二、导数的定义
1? 函数在一点处的导数与导函数
从上面所讨论的两个问题看出? 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限?
f(x)?f(x0)
x?x0x?x0令?x?x?x0? 则?y?f(x0??x)?f(x0)? f(x)?f(x0)? x?x0相当于?x ?0? 于是limx?x0f(x)?f(x0) x?x0成为 f(x0??x)?f(x0)?y
?x?0?x?x?0?x
设函数y?f(x)在点x0的某个邻域内有定义? 当自变量x在x0处取得增量?x(点x0??x仍在该邻域内)时? 相应地函数y取得增量?y?f(x0??x)?f(x0)? 如果?y与?x之比当?x?0时的极限存在? 则称函数y?f(x)在点x0处可导? 并称这个极限为函数y?f(x)在点x0处的导数? 记为y?|x?x0? 即 f(x0??x)?f(x0)?y?
?lim?x?0?x?x?0?xdydf(x)也可记为y?|x?x0? 或?
dxx?x0dxx?x0
f?(x0)?lim
函数f(x)在点x0处可导有时也说成f(x)在点x0具有导数或导数存在?
导数的定义式也可取不同的形式? 常见的有
f?(x0)?limh?0f(x0?h)?f(x0)?
f?(x0)?limx?x0f(x)?f(x0)?
在实际中? 需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题? 在数学上就是所谓函数的变化率问题? 导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述?
如果极限lim?x?0f(x0??x)?f(x0)不存在? 就说函数y?f(x)在点x0处不可导?
如果不可导的原因是由于limf(x0??x)?f(x0)???
?x也往往说函数y?f(x)在点x0处的导数为无穷大?
如果函数y?f(x)在开区间I内的每点处都可导? 就称函数f(x)在开区间I内可导? 这时? 对于任一x ?I? 都对应着f(x)的一个确定的导数值? 这样就构成了一个新的函数? 这个函数叫做原来函数y?f(x)的导函数? 记作 y??f?(x)?
导函数的定义式?
f(x??x)?f(x)f(x?h)?f(x)
y??lim?lim?
?x?0h?0?xhdydf(x)? 或?
f ?(x0)与f ?(x)之间的关系?
函数f(x)在点x0处的导数f ?(x)就是导函数f ?(x)在点x?x0处的函数值? 即
f?(x0)?f?(x)x?x0?
导函数f ?(x)简称导数? 而f ?(x0)是f(x)在x0处的导数或导数f ?(x)在x0处的值?
左右导数? 所列极限存在? 则定义 ?(x0)?lim
f(x)在x0的左导数?f?h?0?f(x0?h)?f(x0)? hf(x0?h)?f(x0)? h?(x0)?lim
f(x)在x0的右导数?f?h?0?
如果极限lim
如果极限limh??0f(x0?h)?f(x0)存在???则称此极限值为函数在x0的左导数? hf(x0?h)?f(x0)存在???则称此极限值为函数在x0的右导数? hh??0?(x0)?f??(x0)?A? 导数与左右导数的关系??f?(x0)?A?f?
2．求导数举例
例1．求函数f(x)?C（C为常数）的导数?
解? f?(x)?limh?0f(x?h)?f(x)?limC?C?0?
h?0hh即????(C ) ??0?
例2? 求f(x)?1的导数?
x1?1f(x?h)?f(x)lim?h??lim1??1
解? f?(x)?lim?limx?hx?h2?
?0h(x?h)xh?0(x?h)xxh?0h?0hh?
例3? 求f(x)?x的导数??f(x?h)?f(x)
f?(x)?lim?limx?h?x
h?0h?0hh?limh1?lim?1?
h?0h(x?h?x)h?0x?h?x2xnnf(x)?f(a)?limx?a?lim(x n?1?ax n?2??? ? ???a n?1)?na n?1?
x?ax?ax?ax?a
例3．求函数f(x)?x n (n 为正整数)在x?a处的导数?
解? f ?(a)?limx?a把以上结果中的a 换成x 得 f ?(x)?nx n?1? 即
(x n)??nx n?1?
(C)??0? (1)???12? (x)??1? (x?)????x??1? xx2x
更一般地? 有(x ?)???x ??1 ? 其中?为常数?
例4．求函数f(x)?sin x 的导数?
f ?(x)?limh?0sin(x?h)?sinxf(x?h)?f(x)?lim?h?0hh1hh????????????????????????lim?2cos(x?)sin?h?0h22sinhh???????????????????????limcos(x?)?2?cosx?
(sin x)??cos x ?
用类似的方法? 可求得
(cos x )???sin x ?
例5．求函数f(x)??a x(a>0? a ?1) 的导数?
f ?(x)?limh?0x?hxf(x?h)?f(x)?lima?a?h?0hhhht
?axlima?1令a?1?taxlim h?0ht?0loga(1?t)
?ax1?axlna?
特别地有(e x )?e x ?
例6．求函数f(x)?log a x (a>0? a ?1) 的导数?
解? f?(x)?limh?0log(x?h)?logaxf(x?h)?f(x)??limah?0hhx??????????????????????????lim1loga(x?h)?1limxloga(1?h)?1limloga(1?h)h h?0hxxh?0hxxh?0x
?1logae?1?
解?f?(x)?limloga(x?h)?logax?lim1loga(1?h)?h?0hh?0xhx1hh
?limloga(1?)?1logae?1?
xxlnaxh?0x 即
(logax)??1?? ? xlnax)??1?
(logax)??1?????(lnx)??1?
3．单侧导数?
极限limh?0f(x?h)?f(x)存在的充分必要条件是 h
limh?0?f(x?h)?f(x)f(x?h)?f(x)及lim?h?0?hhf(x?h)?f(x)?
hf(x?h)?f(x)?
h都存在且相等?? ?(x0)?lim
f(x)在x0处的左导数?f?h?0??(x0)?lim
f(x)在x0处的右导数?f?h?0?
导数与左右导数的关系?
函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是左导数左导数f ??(x0) 和右导数f ??(x0)都存在且相等?
如果函数f(x)在开区间(a, b)内可导? 且右导数f ??(a) 和左导数f ??(b)都存在? 就说f(x)有闭区间[a, b]上可导?
例7．求函数f(x)??x|在x?0处的导数?
解? f??(0)?lim
f?h?0?f(0?h)?f(0)|h|?lim??1?
h?0?hhf(0?h)?f(0)|h|?lim?1??
h?0?hhh?0?
因为f ??(0)? f ??(0)? 所以函数f(x)?|x|在x?0处不可导?
1??xsinx?0例8 判断函数f(x)??
在x=0的可导性。 x?x?0?0练习：判断f(x)?|x3|在x=0的可导性。
四、导数的几何意义
函数y?f(x)在点x0处的导数f ?(x0)在几何上表示曲线y?f(x)在点M(x0, f(x0))处的切线的斜率? 即
f ?(x 0)?tan ? ?
其中?是切线的倾角?
如果y?f(x)在点x0处的导数为无穷大? 这时曲线y?f(x)的割线以垂直于x 轴的直线x?x0为极限位置? 即曲线y?f(x)在点M(x0, f(x0))处具有垂直于x轴的切线x?x0? ?
由直线的点斜式方程? 可知曲线y?f(x)在点M(x0, y0)处的切线方程为
y?y0?f ?(x0)(x?x0)?
过切点M(x0, y0)且与切线垂直的直线叫做曲线y?f(x)在点M处的法线如果 f ?(x0)?0? 法线的斜率为?
y?y0??1? 从而法线方程为 f?(x0)1(x?x)?
例9 求等边双曲线y?1在点(1,
2)处的切线的斜率? 并写出在该点处的切线方程和法x2线方程?
解? y???12? 所求切线及法线的斜率分别为 x
k1?(?12)x?1??4? k2??1?1? xk142
所求切线方程为y?2??4(x?1)? 即4x?y?4?0?
所求法线方程为y?2?1(x?1)? 即2x?8y?15?0?
例10 求曲线y?xx的通过点(0? ?4)的切线方程?
解 设切点的横坐标为x0? 则切线的斜率为 f?(x0)?(x2)??x22x?x023x(x?x)?
于是所求切线的方程可设为
y?x0x0?0203x(0?x)?
根据题目要求? 点(0? ?4)在切线上? 因此?4?x0x0?020解之得x0?4? 于是所求切线的方程为 y?44?34(x?4)? 即3x?y?4?0?
五、函数的可导性与连续性的关系
设函数y?f(x)在点x0 处可导? 即lim
lim?y?lim?x?0?y?f?(x0)存在? 则 ?x?0?x?y?y??x?lim?lim?x?f?(x0)?0?0?
?x?0?x?x?0?x?x?0这就是说? 函数y?f(x)在点x0 处是连续的? 所以? 如果函数y?f(x)在点x处可导? 则函数在该点必连续?
另一方面? 一个函数在某点连续却不一定在该点处可导?
函数f(x)?3x在区间(??, ??)内连续? 但在点x?0处不可导? 这是因为函数在点x?0处导数为无穷大
limh?03f(0?h)?f(0)?limh?0????
x 教学小结和学法建议 理解导数的概念，理解导数的几何意义与基本物理意义，理解函数的可导性与连续性之间的关系，即连续是可导的必要面非充分条件，了解函数可导的充要条件：f?(x0)存在?f??(x0)?f??(x0) 师生互动设计：P86：6，7，8，9（1）（2） 作业：P86：9（7）；14；16（2）；19
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高等数学：高阶导数是什么？
在大学阶段，我们所要学的内容会进一步深化，对于导数而言，亦是如此。以前我们所学的知识，只是“一阶导数”，今天我们就来看看更加高等的导数——高阶导数。什么是高阶导数呢？就是我求完一次导数之后，我再求一遍导数的导数，以此类推，我求了几遍它就叫几阶导数。具体用符号怎么写，我先举几个例子之后再讲。举个例子（下面的几个例子我都只求到二阶）：它的导数就是y′=3，但是我要是再求一遍导数（求y′=3的导数）那就是0了。再换个例子：它的导数为y′=6x+4，还是再求一遍导数，y″=6。最后再看一个三角函数的：这个我们都应该背过，它的导数没有什么说的就是cosx，二阶导数就是-sinx。举了这么多的例子，我就是为了让你能够更好的理解它的符号：大家可能对y″比较容易理解，可是对dy/dx不太明白，你可以这样来理解，由于我求导的对象始终为x，所以分母的平方可以放在x上，而我求导的对象y却在不断地改变（一阶导数求导对象是原函数，二阶导数求导对象为一阶导数，以此类推），那么平方就不能放在y上了，就只能放在d上了。其实，有很多知识，我们可以这样理解性的去记忆。最后谢谢大家的阅读，祝愿同学们学有所成！
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导数与微分的区别收藏
导数与微分的区别是什么？网上有很多资料，但是都很乱，求大仙详解！我将感激不尽
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我能说没多大区别么
这里仅解释一下一元函数的倒数和微分，考察他俩的不同，最方便的方法就是寻找其几何意义，倒数几何意义是切线的斜率，而微分的几何意义是倒数切线纵坐标的增量（而斜率是切线纵坐标增量比上切线横坐标的增量）
你区分一下可导，导数，可微，微分四个概念。导数等于微分之商。所以导数和微分是有个等式关系的。在一元函数里，可微可导等价。多元函数里可微的结论更强，可微一定可导，可导不一定可微
可导不一定可微，可微的必须可导。连续性问题
登录百度帐号推荐应用导数与积分的关系是什么？
求导（函）数与求不定积分是逆运算。
其他答案（共2个回答）
的导数求积分就是它自己相反对一个函数的积分求导数也是它自己。
微分是一种运算，比如说x^2+1的微分记作：
d(x^2+1)=2xdx，也就是相当于把导数dy/dx=f'(x)，左边的分母dx乘到右边来，即得到微分公式：
我曾有过回答。
定积分与不定积分是两个完全不同的概念。
不定积分是求原函数，即如果一个函数的导数是f(x),那么这个函数是什么？因此不定积分的结果是函数(一族函...
如果是一阶隐函数可以把y看做f(x) 求的时候可以对x求导还可以用最简单方法先把x
看做常数对y求导然后把y看做常数对x求导如F(x,y)=0求导时，f'= -...
这样的题目要自己好好研究，别人就算总帮你也是没有用的啊
1.∫cos^3 θ*sinθdθ
=-∫cos^3 θd(cosθ)
=(-1/4)cos^4 θ+C
2.∫[e^x/(e^2x+4)]dx
=∫[1/(e...
答: 你好,也是比较准的呀。但是其实做了nt之后,觉得没有必要做中期的了。
答: x->0:lim(1+x)^(-1/x)
=1/[x->0:lim(1+x)^(1/x)
x->∞:limxsin(1/x)
=1/x->0:lim[...
答: 计算科学是一门什么样的学科？
答：计算学科（通常也称作计算机科学与技术）作为现代技术的标志，已成为世界各国经济增长的主要动力。但如何认识这门学科，它究竟属于理科...
答: 补课是比较错误的方式。我一直到高中毕业没补过课。爸妈也不管我，随我学什么。我打游戏和化学都挺好。现在在大学读书，很深刻地感受到教育是钱买不来的。在实验室做小型的...
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