10-2110-2110-2110-2110-2110-2110-2110-2110-2110-21最新范文01-0101-0101-0101-0101-0101-0101-0101-0101-0101-0101-0101-0101-0101-0101-01& 在一个长为50m，宽为25m，高为2m的游泳池四周及底面贴上
本题难度：0.60&&题型：综合题
在一个长为50m，宽为25m，高为2m的游泳池四周及底面贴上瓷砖，需要边长为2dm的正方形瓷砖多少块？
来源：学年新人教版五年级（下）期末数学试卷（78） | 【考点】长方体、正方体表面积与体积计算的应用．
一个长方体水池，它的长是50m，宽是20m，高是2.5m，水深2m．（1）环绕水池口用蓝漆画一条界线，这条界线长是多少米？（2）这个水池装水多少立方米？（3）如果在这个水池四周和底部贴上边长为1dm的正方形瓷砖，共需要多少块？
在一个长为50m，宽为25m，高为2m的游泳池四周及底面贴上瓷砖，需要边长为2dm的正方形瓷砖多少块？
（2015o罗平县三模）如图，某小区规划在一个长80m、宽50m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草，使花草的种植面积共为3800m2．设通道的宽为xm，可依题意列得方程：&&&&．
如图，某中学校园有一块长为35m，宽为16m的长方形空地，其中有一面已经铺设长为26m的篱笆围墙，学校设计在这片空地上，利用这面围墙和用尽已有的可制作50m长的篱笆材料，围成一个矩形花园或围成一个半圆花园，请回答以下问题：（1）能否围成面积为300m2的矩形花园？若能，请写出其中一种设计方案，若不能，请说明理由．（2）若围成一个半圆花园，则该如何设计？请写出你的设计方案．（π取3.14）（3）围成的各种设计中，最大面积是多少？
（2010秋o柳南区校级期中）如图在一个面积为5400m2矩形场地内有一块长80m，宽50m的矩形草地，草地四周的路宽相等．设路宽为x&m，可得方程：&&&&．
解析与答案
（揭秘难题真相，上）
习题“在一个长为50m，宽为25m，高为2m的游泳池四周及底面贴上瓷砖，需要边长为2dm的正方形瓷砖多少块？”的学库宝（/）教师分析与解答如下所示：
【分析】首先分析在游泳池里面贴瓷砖因为游泳池是没有盖的也就是贴一个底面和四周的4个面利用长方体的表面积公式求出这5个面的面积和除以每块瓷砖的面积．由此解答．
【解答】解：2dm=02m（50×25+50×2×2+25×2×2）÷（02×02）=（）÷004=750（块）答：需要边长为2dm的正方形瓷砖38750块．
【考点】长方体、正方体表面积与体积计算的应用．
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知识点讲解
经过分析，习题“在一个长为50m，宽为25m，高为2m的游泳池四周及底面贴上”主要考察你对
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
长方体、正方体表面积与体积计算的应用
1、基本公式：正方体表面积 = 棱长×棱长×6=
一个面的面积×6正方体体积 = 棱长×棱长×棱长长方体表面积 = （长×宽＋长×高＋宽×高）×2长方体体积 = 长×宽×高正方体、长方体都有12条棱、6个面。正方体的棱长和=棱长×12长方体的棱长和=（长＋宽＋高）×42.应用类型：棱长：用铁丝焊成图形/绣花边底面的面积：占地面积面积，要注意是几个面，是否要减门窗：贴瓷砖/给墙壁粉刷表面积，如果有体的转换过程，面积不变：木板、铁皮制作一个体体积不变，上升水的体积即该物体的体积：一物体放置入令一盛水容器前后体积不变：铁块熔铸成另一图形截a次，增加2a个截面，成为a＋1段：切锯后截面积3.解题的方法：1、判断是求体积、表面积、棱长、还是单个面的面积？
2、根据单位来帮助判断是面积还是体积，还是棱长。
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【课题】 6．1【教学目标】 知识目标： （1）了解数列的有关概念；数列的概念（2）掌握数列的通项（一般项）和通项公式． 能力目标： 通过实例引出数列的定义,培养学生的观察能力和归纳能力． 【教学重点】 利用数列的通项公式写出数列中的任意一项并且能判断一个数是否为数列中的一项． 【教学难点】 根据数列的前若干项写出它的一个通项公式． 【教学设计】 通过几个实例讲解数列及其有关概念：项、首项、项数、有穷数列和无穷数列．讲解 数列的通项（一般项）和通项公式． 从几个具体实例入手,引出数列的定义.数列是按照一定次序排成的一列数．学生往往 不易理解什么是“一定次序”． 实际上， 不论能否表述出来， 只要写出来， 就等于给出了“次 序”，比如我们随便写出的两列数：2，1，15，3，243，23 与 1，15，23，2，243，3，就 都是按照“一定次序”排成的一列数， 因此它们就都是数列， 但它们的排列“次序”不一样， 因此是不同的数列． 例 1 和例 3 是基本题目,前者是利用通项公式写出数列中的项；后者是利用通项公式判 断一个数是否为数列中的项,是通项公式的逆向应用． 例 2 是巩固性题目,指导学生分析完成.要列出项数与该项的对应关系，不能泛泛而谈, 采用对应表的方法比较直观,降低了难度,学生容易接受. 【教学备品】 教学课件． 【课时安排】 2 课时．(90 分钟) 【教学过程】 教 过 *揭示课题 6．1 数列的概念． *创设情境 兴趣导入 介绍 了解 0 学 程 教师 行为 学生 行为 教学 意图 时 间-1-教 过学 程教师 行为 播放 (1 ) 课件学生 行为 观看 课件教学 意图 从实 例出 发使时 间将正整数从小到大排成一列数为 1，2，3，4，5，?． 将 2 的正整数指数幂从小到大排成一列数为质疑 (2 )思考学生 自然 的走 向知 识点2, 2 , 2 , 2 , 2 ,? ．2345当 n 从小到大依次取正整数时， cos n? 的值排成一列数为 -1，1，-1，1，?． (3 )取无理数 ? 的近似值（四舍五入法） ，依照有效数字的个 数，排成一列数为 3，3.1，3.14，3.141，3.1416，?． (4) 自我 引导 分析 分析5*动脑思考 探索新知 【新知识】 象上面的实例那样，按照一定的次序排成的一列数叫做数 列．数列中的每一个数叫做数列的项．从开始的项起，按照自 左至右的排序， 各项按照其位置依次叫做这个数列的第 1 项 （或 首项） ，第 2 项，第 3 项，?，第 n 项，?，其中反映各项在 数列中位置的数字 1，2，3，?，n，分别叫做对应的项的项数． 只有有限项的数列叫做有穷数列，有无限多项的数列叫做 无穷数列． 【小提示】 数列的“项”与这一项的“项数”是两个不同的概念．如 数列（2）中，第 3 项为 23 ，这一项的项数为 3. 【想一想】 上面的 4 个数列中，哪些是有穷数列,哪些是无穷数列? 【新知识】 由于从数列的第一项开始，各项的项数依次与正整数相对 仔细 分析 理解 引导 总结 归纳 思考 带领 学生 分析-2-教 过学 程教师 行为 讲解 关键 词语学生 行为 记忆教学 意图 式启 发学 生得 出结 果时 间应，所以无穷数列的一般形式可以写作a1 , a2 , a3 ,?, an， ?． (n ? N?)简记作{ an }．其中，下角码中的数为项数，a1 表示第 1 项，a2 表示第 2 项，?．当 n 由小至大依次取正整数值时， an 依次可 以表示数列中的各项，因此，通常把第 n 项 an 叫做数列{ an } 的通项或一般项． *运用知识 强化练习 1.说出生活中的一个数列实例． 2.数列“1，2，3，4，5”与数列“5 ，4， 3，2，1 ” 是否为同一个数列？ 3.设数列 {an } 为“-5,-3,-1,1,3, 5，?” ，指出其中 a3 、10及时 了解 学生 提问 巡视 指导 思考 口答 知识 掌握 得情 况 15a6 各是什么数？*创设情境 兴趣导入 【观察】 6.1.1 中的数列（1）中，各项是从小到大依次排列出的 正整数．a1 ? 1 ， a2 ? 2 ， a3 ? 3 ，?，质疑思考引导 启发 引导 分析 参与 分析 学生 思考可以看到，每一项与这项的项数恰好相同．这个规律可以用an ? n (n ? N* )表示．利用这个规律，可以方便地写出数列中的任意一项，如a11 ? 11 ， a20 ? 20 ．6.1.1 中的数列（2）中，各项是从小到大顺次排列出的 2 的正整数指数幂．a1 ? 2 ， a2 ? 22 ， a3 ? 23 ，?，-3-教 过学 程教师 行为学生 行为教学 意图时 间可以看到，各项的底都是 2 ，每一项的指数恰好是这项的项 数．这个规律可以用an ? 2n (n ? N* )25 表示，利用这个规律，可以方便地写出数列中的任意一项，如a11 ? 211 ， a20 ? 220 ．*动脑思考 探索新知 【新知识】 一个数列的第 n 项 an ，如果能够用关于项数 n 的一个式1总结 归纳思考 归纳带领 学生 总结子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 仔细 数列（1）的通项公式为 an ? n ，可以将数列（1）记为数 列{n}；数列（2）的通项公式为 an ? 2n ，可以将数列（2）记 为数列 {2 } . *巩固知识 典型例题 例1 设数列{ an }的通项公式为an ? 1 ， 2nn理解 记忆分析 讲解 关键 词语35说明 强调观察写出数列的前 5 项． 分析 知道数列的通项公式，求数列中的某一项时，只需引领思考将通项公式中的 n 换成该项的项数，并计算出结果． 解a5 ? a1 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ；a2 ? 2 ? ；a3 ? 3 ? ；a4 ? 4 ? ； 1 4 8 讲解 2 2 2 2 2 16主动 求解 通过 例题 进一 步领1 1 ． ? 5 32 2说明例 2 根据下列各无穷数列的前 4 项,写出数列的一个通项 公式. (1)5,10,15,20 ， ? ； (2)1 1 1 1 , , , , ?； 2 4 6 8 引领会 观察-4-教 过学 程教师 行为 分析学生 行为教学 意图时 间（3）?1，1，?1，1，?． 分析 分别观察分析各项与其项数之间的关系，探求用式 子表示这种关系． 解 （1）数列的前 4 项与其项数的关系如下表： 项数 n 项 an 关系 1 55 ? 5 ?12 103 154 2020 ? 5 ? 410 ? 5 ? 2 15 ? 5 ? 3由此得到，该数列的一个通项公式为an ? 5n ．（2）数列前 4 项与其项数的关系如下表： 序号 项 an 关系 11 2 1 1 ? 2 2 ?121 4 1 1 ? 4 2? 231 6 1 1 ? 6 2?341 8 1 1 ? 8 2? 4注意 观察 学生 是否 理解 知识 点由此得到，该数列的一个通项公式为1 ． an ? 2n（3）数列前 4 项与其项数的关系如下表： 序号 项 an 关系 1 ?1 2 1 3 ?1 4 1(?1)1(?1)2(?1)3(?1)4由此得到，该数列的一个通项公式为an ? (?1)n ．【注意】 由数列的有限项探求通项公式时，答案不一定是唯一强调 含义思考 求解-5-教 过学 程教师 行为学生 行为教学 意图 反复 强调时 间的．例如， an ? (?1)n 与 an ? cos n? 都是例 2（3）中数列“?1， 1，?1，1，?． ”的通项公式． 【知识巩固】 例 3 判断 16 和 45 是否为数列{3n+1}中的项,如果是,请指 出是第几项. 分析 如果数 a 是数列中的第 k 项，那么 k 必须是正整数， 并且 a ? 3k ? 1 . 思考 解 数列的通项公式为 an ? 3n ? 1 . 将 16 代入数列的通项公式有16 ? 3n ? 1 ，说明领会求解解得n ? 5 ? N* ．所以，16 是数列 {3n ? 1} 中的第 5 项． 将 45 代入数列的通项公式有45 ? 3n ? 1 ，解得n? 44 ? N* ， 3所以，45 不是数列 {3n ? 1} 中的项． *运用知识 强化练习 1. 根据下列各数列的通项公式，写出数列的前 4 项： （1） an ? 3n ? 2 ； （2） an ? (?1) n ? n ． 提问 巡视1 1 1 1 (2) ? , , ? , ，?； 3 6 9 1250启发 引导思考 了解可以 交给 学生2. 根据下列各无穷数列的前 4 项,写出数列的一个通项公 式： （1）?1，1，3，5，?； (3)1 3 5 7 , , , ，?. 2 4 6 8动手 求解自我 发现 归纳指导-6-教 过学 程教师 行为学生 行为教学 意图时 间 653. 判断 12 和 56 是否为数列 {n 2 ? n} 中的项，如果是，请 指出是第几项． *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题： 数列、项、项数分别是如何定义的？ 结论： 按照一定的次序排成的一列数叫做数列．数列中的每一个 数叫做数列的项．从开始的项起，按照自左至右排序，各项按 照其位置依次叫做这个数列的第 1 项（或首项） ，第 2 项，第 3 项，?，第 n 项，?，其中反映各项在数列中位置的数字 1，2， 3，?，n，分别叫做各项的项数． *归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？ 你的学习效果如何？ 判断 22 是否为数列 {n2 ? n ? 20} 中的项， 如果是,请指出是 第几项． *继续探索 活动探究 (1)读书部分：教材 (2)书面作业：教材习题 6．1 A 组（必做） ；6．1 B 组 （选做） (3)实践调查：用发现的眼睛寻找生活中的数列实例 说明 记录 分层 次要 求 提问 反思 检验 学生 学习 巡视 指导 动手 求解 效果 引导 回忆 归纳 强调 质疑 回答 及时 了解 学生 知识 掌握 情况758590【教师教学后记】 项目 学生知识、技能的掌握情况 反思点 学生是否真正理解有关知识；-7-是否能利用知识、技能解决问题； 在知识、技能的掌握上存在哪些问题； 学生是否参与有关活动； 学生的情感态度 在数学活动中，是否认真、积极、自信； 遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服； 学生是否积极思考； 思维是否有条理、灵活； 学生思维情况 是否能提出新的想法； 是否自觉地进行反思； 学生是否善于与人合作； 学生合作交流的情况 在交流中，是否积极表达； 是否善于倾听别人的意见； 学生是否愿意开展实践； 能否根据问题合理地进行实践； 学生实践的情况 在实践中能否积极思考； 能否有意识的反思实践过程的方面．【课题】 6．2【教学目标】 知识目标： （1）理解等差数列的定义； （2）理解等差数列通项公式． 能力目标：等差数列（一）通过学习等差数列的通项公式,培养学生处理数据的能力． 【教学重点】 等差数列的通项公式． 【教学难点】 等差数列通项公式的推导． 【教学设计】 本节的主要内容是等差数列的定义、 等差数列的通项公式.重点是等差数列的定义、 等 差数列的通项公式；难点是通项公式的推导．等差数列的定义中,应特别强调“等差”的特-8-点: an?1 ? an ? d (常数).例 1 是基础题目,有助于学生进一步理解等差数列的定义. 教材中等差数列的通项公式的推导过程实际上是一个无限次迭代的过程,所用的归纳 方法是不完全归纳法.因此,公式的正确性还应该用数学归纳法加以证明.例 2 是求等差数列 的通项公式及其中任一项的巩固性题目 ,注意求公差的方法.等差数列的通项公式中含有四 个量： 只要知道其中任意三个量，就可以求出另外的一个量．a1 , d , n, an ,【教学备品】 教学课件． 【课时安排】 2 课时．(90 分钟) 【教学过程】 教 过 *揭示课题 6．2 等差数列． *创设情境 兴趣导入 【观察】 将正整数中 5 的倍数从小到大列出，组成数列： 5，10，15，20，?． 将正奇数从小到大列出，组成数列： 1，3，5，7，9，?． 观察数列中相邻两项之间的关系， 发现：从第 2 项开始，数列(1)中的每一项与它前一项的差 都是 5；数列（2）中的每一项与它前一项的差都是 2．这两个 引导 数列的一个共同特点就是从第 2 项开始，数列中的每一项与它 前一项的差都等于相同的常数． 分析 自我 分析 （2） （1） 质疑 思考 播放 课件 观看 课件 介绍 了解 从实 例出 发使 学生 自然 的走 向知 识点 0 学 程 教师 行为 学生 行为 教学 意图 时 间引导 式启 发学 生得 出结 果 5*动脑思考 探索新知 如果一个数列从第 2 项开始，每一项与它前一项的差都等 总结 思考 带领-9-教 过学 程教师 行为 归纳学生 行为教学 意图 学生 分析时 间于同一个常数，那么，这个数列叫做等差数列．这个常数叫做 等差数列的公差，一般用字母 d 表示． 由 定 义 知 ， 若 数 列 ?an ? 为 等 差 数 列 ， d 为 公 差 ， 则an?1 ? an ? d ,即仔细 分析 讲解 关键理解记忆an?1 ? an ? d（6.1） 词语10 *巩固知识 典型例题 例１ 已知等差数列的首项为 12， 公差为?5， 试写出这个 说明 强调 观察 通过 例题 进一 步领 引领 思考 会等 差数 讲解 说明 主动 求解 列通 项公 式 45数列的第 2 项到第 5 项． 解 由于 a1 ? 12, d ? ?5 ，因此a2 ? a1 ? d ? 12 ? ?? 5? ? 7 ；a3 ? a2 ? d ? 7 ? ?? 5? ? 2 ； a4 ? a3 ? d ? 2 ? ?? 5? ? ?3； a5 ? a4 ? d ? ?3 ? ?? 5? ? ?8.*运用知识 强化练习 1. 已知 ?an ? 为等差数列， a5 ? ?8 ，公差 d ? 2 ，试写出及时 了解 提问 巡视 动手 求解 学生 知识 掌握 得情 况 25这个数列的第 8 项 a8 ． 2. 写出等差数列 11,8,5,2,?的第 10 项.指导*创设情境 兴趣导入 你能很快地写出例 1 中数列的第 101 项吗? 显然，依照公式（6.1）写出数列的第 101 项,是比较麻烦 质疑 思考从实 际事 例使 学生- 10 -教 过学 程教师 行为学生 行为 参与 分析教学 意图 自然 的走 向知 识点时 间 30的，如果求出数列的通项公式，就可以方便地直接求出数列的 第 101 项． 引导 分析*动脑思考 探索新知 设等差数列 ?an ? 的公差为 d ，则 总结 归纳 思考 归纳 带领 学生 总结 问题 仔细 理解 记忆 得到 等差 数列 通项 公式 35a1 ? a1 ,a2 ? a1 ? d ,a3 ? a2 ? d ? ?a1 ? d ? ? d ? a1 ? 2d , 分析 a4 ? a3 ? d ? ?a1 ? 2d ? ? d ? a1 ? 3d , 讲解． ． ． ． ． ． 依此类推,通过观察可以得到等差数列的通项公式 关键 词语 (6.2)an ? a1 ? ? n ? 1? d .知道了等差数列 ?an ? 中的 a1 和 d ，利用公式（6.2） ，可以 直接计算出数列的任意一项. 在例１的等差数列 {an } 中， a1 ? 12 ， d ? ?5 ，所以数列的 通项公式为an ? 12 ? (n ? 1)(?5) ? 17 ? 5n ，引导 数列的第 101 项为a101 ? 17 ? 5 ? 101 ? ?488 ．启发 学生 思考 求解【想一想】 等差数列的通项公式中,共有四个量： an 、 a1 、 n 和 d ， 只要知道了其中的任意三个量，就可以求出另外的一个量. 针 对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法？ *巩固知识 典型例题- 11 -教 过 例 2 求等差数列学 程教师 行为 说明学生 行为 观察教学 意图 通过 例题 进一 步领时 间． ． ? 1,5,11 ,17, ． 的第 50 项. 解 公式为 由 于 a1 ? ?1, d ? a2 ? a1 ? 5 ? ?? 1? ? 6, 所 以 通 项强调引领思考会an ? a1 ? (n ? 1)d ? ?1 ? (n ? 1) ? 6 ? 6n ? 7,即 故讲解 说明主动 求解 注意 观察 学生an ? 6n ? 7.a50 ? 6 ? 50 ? 7 ? 293.例3 解 在等差数列 ?an ? 中, a100是否 引领 分析 观察 理解 知识 点 451 ? 48, 公差 d ? , 求首项 a1. 31 由于公差 d ? , 故设等差数列的通项公式为 3an ? a1 ? (n ? 1) ? 1 3强调 含义思考 求解由于 a100 ? 48 ，故1 48 ? a1 ? (100 ? 1) ? ， 3反复 强调解得a1 ? 15.【小提示】n ? 100 ， 本题目初看是知道 2 个条件， 实际上是 3 个条件：说明1 ． 3领会an ? 48, d ?例4小明、小明的爸爸和小明的爷爷三个人在年龄恰好思考 求解构成一个等差数列,他们三人的年龄之和为 120 岁,爷爷的年龄 比小明年龄的 4 倍还多 5 岁,求他们祖孙三人的年龄. 分析 知道三个数构成等差数列，并且知道这三个数的和,可以将这三个数设为 a ? d , a , a ? d , 这样可以方便地求- 12 -50教 过 出 a ,从而解决问题. 解学 程教师 行为学生 行为教学 意图时 间设小明、爸爸和爷爷的年龄分别为 a ? d , a , a ? d , 其中 d 为公差则??a ? d ? ? a ? ?a ? d ? ? 120, ? ? 4?a ? d ? ? 5 ? a ? d解得a ? 40, d ? 25从而a ? d ? 15, a ? d ? 65.答 小明、爸爸和爷爷的年龄分别为 15 岁、40 岁和 65 岁. 【注意】 将构成等差数列的三个数设为 a ? d , a , a ? d ,是经常使 用的方法. *运用知识 强化练习 练习 6.2.2 1.求等差数列2 8 ,1, ,?的通项公式与第 15 项． 5 5启发 引导思考 了解可以 交给 学生2.在等差数列 ?an ? 中， a5 ? 0 ， a10 ? 10 ，求 a1 与公差 d . 3.在等差数列 ?an ? 中， a5 ? ?3 ， a9 ? ?15 ，判断－48 是 否为数列中的项，如果是,请指出是第几项.提问 巡视 指导动手 求解自我 发现 归纳60 *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题： 等差数列的通项公式是什么？ 结论： 等差数列的通项公式 质疑 小组 讨论 及时 了解 学生 知识 回答 掌握- 13 -教 过学 程教师 行为 归纳学生 行为教学 意图 情况时 间an ? a1 ? ? n ? 1? d .强调 理解以小组 讨论师 生共同强化归纳的 形式强 调重点 突破难 点70*归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？ 你的学习效果如何？ 写出等差数列7 1 3 ， ，1， ，? 5 5 5 的通项公式，并求出数列的第 11 项．引导回忆检验 学生 学习 效果 提问 反思培养 学生巡视 指导动手 求解总结 反思 学习 过程 的能 力 80*继续探索 活动探究 (1)读书部分：教材 (2)书面作业：教材习题 6．2（必做） ；学习指导 6．3（选 做） (3)实践调查：寻找生活中等差数列的实例 90 【教师教学后记】 项目- 14 -说明记录分层 次要 求反思点学生是否真正理解有关知识； 学生知识、技能的掌握情况 是否能利用知识、技能解决问题； 在知识、技能的掌握上存在哪些问题； 学生是否参与有关活动； 学生的情感态度 在数学活动中，是否认真、积极、自信； 遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服； 学生是否积极思考； 思维是否有条理、灵活； 学生思维情况 是否能提出新的想法； 是否自觉地进行反思； 学生是否善于与人合作； 学生合作交流的情况 在交流中，是否积极表达； 是否善于倾听别人的意见； 学生是否愿意开展实践； 能否根据问题合理地进行实践； 学生实践的情况 在实践中能否积极思考； 能否有意识的反思实践过程的方面；【课题】 6．3【教学目标】 知识目标： （1）理解等比数列的定义； （2）理解等比数列通项公式． 能力目标：等比数列（一）通过学习等比数列的通项公式,培养学生处理数据的能力． 【教学重点】 等比数列的通项公式． 【教学难点】 等比数列通项公式的推导． 【教学设计】 本节的主要内容是等比数列的定义,等比数列的通项公式.重点是等比数列的定义、等- 15 -比数列的通项公式；难点是通项公式的推导． 等比数列与等差数列在内容上相类似，要让学生利用对比的方法去理解和记忆，并弄 清楚二者之间的区别和联系.等比数列的定义是推导通项公式的基础，教学中要给以足够的 重视.同时要强调“等比”的特点:a n ?1 ? q (常数). an例 1 是基础题目,有助于学生进一步理解等比数列的定义.与等差数列一样，教材中等 比数列的通项公式的归纳过程实际上也是不完全归纳法， 公式的正确性也应该用数学归纳法 加以证明，这一点不需要给学生讲.等比数列的通项公式中含有四个量： a1 ， q ,n , an ,只有知道其中任意三个量， 就可以求出另外的一个量.教材中例 2、 例３都是这类问题.注意: 例 3 中通过两式相除求公比的方法是研究等比数列问题常用的方法. 从例 4 可以看到,若三个数成等比数列,则将这三个数设成是a , a, aq 比较好,因为这 q样设了以后,这三个数的积正好等于 a 3 , 很容易将 a 求出. 【教学备品】 教学课件． 【课时安排】 2 课时．(90 分钟) 【教学过程】 教 过 *揭示课题 6．3 等比数列． *创设情境 兴趣导入 【观察】 某工厂今年的产值是 1000 万元，如果通过技术改造，在 今后的 5 年内，每年的产值都比上一年增加 10%，那么今年及 以后 5 年的产值构成下面的一个数列（单位：万元） ： 质疑 思考 播放 课件 观看 课件 介绍 了解 从实 例出 发使 学生 自然 的走 向知 识点 自我 分析 0 学 程 教师 行为 学生 行为 教学 意图 时 间 ?1.1, , , ,.不难发现，从第 2 项开始，数列中的各项都是其前一项的 引导 分析- 16 -教 过学 程教师 行为学生 行为教学 意图时 间 51.1 倍， 即从第 2 项开始， 每一项与它的前一项的比都等于 1.1． *动脑思考 探索新知 【新知识】 总结 思考 带领 学生 分析 仔细 分析 讲解 关键 (6.5) 词语 记忆 引导 式启 发学 生得 出结 果 *巩固知识 典型例题 例１a5 ．如果一个数列从第 2 项开始，每一项与它前一项的比都等 归纳 于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做这 个等比数列的公比，一般用字母 q 来表示． 由定义知，若 ?an ? 为等比数列，q 为公比，则 a1 与 q 均不 为零，且有an ?1 ? q ，即 an理解an?1 ? an ? q ．10在等比数列 {an } 中，a1 ? 5 ，q ? 3 ， 求 a2 、a3 、a4 、说明 强调观察通过 例题 进一 步领解引领思考a2 ? a1 ? q ? 5 ? 3 ? 15, a3 ? a2 ? q ? 15 ? 3 ? 45, a4 ? a3 ? q ? 45 ? 3 ? 135, a5 ? a4 ? q ? 135 ? 3 ? 405.【试一试】 你能很快地写出这个数列的第９项吗？ 讲解 说明 主动 求解会15*运用知识 强化练习 练习 6.3.1 1．在等比数列 ?an ? 中， a3 ? ?6 ， q ? 2 ，试写出 a4 、 提问a6 ．及时 了解 动手 求解 学生 知识巡视 指导- 17 -教 过学 程教师 行为学生 行为教学 意图 掌握 得情 况时 间2．写出等比数列 3,?6,12,?24, ??的第５项与第 6 项．25*创设情境 兴趣导入 如何写出一个等比数列的通项公式呢？ 质疑 思考 学生 自然 引导 分析 参与 分析 的走 向知 识点 *动脑思考 探索新知 与等差数列相类似，我们通过观察等比数列各项之间的关 系，分析、探求规律． 设等比数列 ?an ? 的公比为 q，则 总结 归纳 思考 归纳 带领 学生 总结 问题 仔细 分析 讲解 关键 词语 理解 记忆 得到 等差 数列 通项 公式 35 30a2 ? a1 ? q, a3 ? a2 ? q ? ? a1 ? q ? ? q ? a1 ? q 2 , a4 ? a3 ? q ? ? a1 ? q 2 ? ? q ? a1 ? q 3 ,?? 【说明】a1 ? a1 ?1 ? a1 ? q0依此类推，得到等比数列的通项公式：（6.6）知道了等比数列 ?an ? 中的 a1 和 q ，利用公式（6.6） ，可以 直接计算出数列的任意一项. 【想一想】 等比数列的通项公式中,共有四个量： an 、 a1 、 n 和 q ， 只要知道了其中的任意三个量，就可以求出另外的一个量. 针 对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法？ 引导 启发 学生 思考 求解- 18 -教 过 *巩固知识 典型例题学 程教师 行为学生 行为教学 意图时 间说明 例 2 求等比数列 强调观察通过 例题 进一 步领1 1 1 ? 1, ,? , , ? 2 4 8的第 10 项． 解 由于1 a1 ? ?1 ， q ? ? ， 2引领思考会故，数列的通项公式为讲解 说明主动 求解? 1? an ? a1 ? q n?1 ? ?1? ? ? ? ? 2?n ?1?1? ? ?1? (?1)n?1 ? ? ? ? 2?n ?1? (?1)n ?1 ， 2n?1所以a10 ? (?1)101 210?1?1 ． 512451 例 3 在等比数列 ?an ? 中， a5 ? ?1 ， a ８ ? ? ，求 a13 ． 8解由 a5 ? ?1, a8 ? ?1 有 8（1） 引领 （2） 分析 观察 注意 观察 学生 强调 含义 思考 求解 是否 理解 知识 说明 领会 点?1 ? a1 ? q4 ，1 ? ? a1 ? q 7 ， 8（2）式的两边分别除以(1)式的两边,得1 ? q3 , 8由此得q? 1 将 q ? 代人（1） ，得 21 ． 2a1 ? ?2 4 ,所以，数列的通项公式为1 an ? ?24 ? ( )n ?1 ． 2思考 求解反复 强调- 19 -教 过 故学 程教师 行为学生 行为教学 意图时 间1 ?1? ． a13 ? a1 ? q ? ?2 ? ? ? ? ?2?8 ? ? 256 ? 2?12 412【注意】 本例题求解过程中，通过两式相除求出公比的方法是研究 等比数列问题的常用方法． 【想一想】 在等比数列 ?an ? 中， a7 ? 比较简单的方法？ 【知识巩固】 例 4 小明、小刚和小强进行钓鱼比赛，他们三人钓鱼的数 量恰好组成一个等比数列．已知他们三人一共钓了 14 条鱼， 而每个人钓鱼数量的积为 64． 并且知道，小强钓的鱼最多， 小明钓的鱼最少，问他们三人各钓了多少条鱼？ 分析 知道三个数构成等比数列，并且知道这三个数的1 1 ， q ? ．求 a3 时，你有没有 9 3积,可以将这三个数设为 而解决问题. 解a , a, aq ,这样可以方便地求出 a ,从 引领 q分析 观察设小明、小刚和小强钓鱼的数量分别为a , a, aq ．则 q 强调含义 思考 求解 注意 观察 学生?a ? q ? a ? aq ? 14, ? ? ? a ? a ? aq ? 64. ? ? q解得a ? 4, ?a ? 4, ? ? 或? 1 ? q? . ?q ? 2, ? 2 ?当q ? 2时- 20 -是否 理解 知识教 过学 程教师 行为学生 行为教学 意图 点时 间a 4 ? ? 2, aq ? 4 ? 2 ? 8, q 2此时三个人钓鱼的条数分别为 2、4、8. 当q ?501 时 2a 4 1 ? ? 8, aq ? 4 ? ? 2, q 1 2 2此时三个人钓鱼的条数分别为 8、4、2. 由于小明钓的鱼最少，小强钓的鱼最多，故小明钓了 2 条 鱼，小刚钓了 4 条鱼，小强钓了 8 条鱼． 【注意】 将构成等比数列的三个数设为 法． *运用知识 强化练习 1.求等比数列a , a, aq ，是经常使用的方 q 说明领会 思考反复 强调2 ,2,6, ? .的通项公式与第 7 项． 31 , a5 ? ?5 , 判断 ? 125 是否 25启发 引导思考 了解可以 交给 学生2.在等比数列 ?an ? 中， a2 ? ?提问 巡视 指导动手 求解为数列中的项，如果是，请指出是第几项.自我 发现 归纳 60*理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题： 等比数列的通项公式是什么 结论： 归纳n ?1质疑 回答及时 了解 学生 知识 理解 掌握 情况 强化 70an ? a1 ? q.强调*归纳小结 强化思想- 21 -教 过学 程教师 行为 引导学生 行为 回忆教学 意图时 间本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？*自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？ 你的学习效果如何？ 已知等比数列 {an } 中, a 4 ? ?1, a 7 ? ? 解答 1 由已知条件得? a1q 3 ? ?1 ? ? 6 1 ? a1q ? ? 8 ?1 ,求 a11 ． 8提问 反思 检验 学生 学习 效果 巡视 指导 动手 求解解方程组得 因此a1 ? ?8 q ?1 ， 2培养 学生 总结 反思 学习 过程 的能 力 801 1 ． a11 ? ?8 ? ( )10 ? ? 2 128解答 21 1 由 ? ? ?1q3 得 q ? ．所以 8 21 1 1 ． a11 ? (? ) ? ( )4 ? ? 8 2 128*继续探索 活动探究 (1)读书部分：教材 (2)书面作业： 教材习题 6． 3A 组 （必做） ； 教材习题 6． 3B 组（选做） (3)实践调查：用等比数列的通项公式解决生活中的一个 问题 【教师教学后记】 项目 反思点 学生是否真正理解有关知识； 学生知识、技能的掌握情况 是否能利用知识、技能解决问题； 在知识、技能的掌握上存在哪些问题； 90 说明 记录 分层 次要 求- 22 -学生是否参与有关活动； 学生的情感态度 在数学活动中，是否认真、积极、自信； 遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服； 学生是否积极思考； 思维是否有条理、灵活； 学生思维情况 是否能提出新的想法； 是否自觉地进行反思； 学生是否善于与人合作； 学生合作交流的情况 在交流中，是否积极表达； 是否善于倾听别人的意见； 学生是否愿意开展实践； 能否根据问题合理地进行实践； 学生实践的情况 在实践中能否积极思考； 能否有意识的反思实践过程的方面；【课题】7.1【教学目标】 知识目标：平面向量的概念及线性运算（1）了解向量、向量的相等、共线向量等概念； （2）掌握向量、向量的相等、共线向量等概念． 能力目标： 通过这些内容的学习，培养学生的运算技能与熟悉思维能力． 【教学重点】 向量的线性运算． 【教学难点】 已知两个向量，求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件． 【教学设计】 从“不同方向的力作用于小车，产生运动的效果不同”的实际问题引入概念． 向量不同于数量，数量是只有大小的量，而向量既有大小、又有方向．教材中用有向 线段来直观的表示向量， 有向线段的长度叫做向量的模， 有向线段的方向表示向量的方向． 数- 23 -量可以比较大小，而向量不能比较大小，记号“a＞b”没有意义，而“a＞b”才是 有意义的. 教材通过生活实例，借助于位移来引入向量的加法运算．向量的加法有三角形法则与 平行四边形法则. 向量的减法是在负向量的基础上，通过向量的加法来定义的.即 a-b=a+(-b)，它可以通 过几何作图的方法得到， 即 a-b 可表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量.作向量 减法时，必须将两个向量平移至同一起点. 实数 ? 乘以非零向量 a，是数乘运算，其结果记作 ? a ，它是一个向量，其方向与向量 a 相同， 其模为 a 的 ? 倍． 由此得到 a ∥ b ? a ? ?b ． 对向量共线的充要条件， 要特别注意 “非 零向量 a、b”与“ ? ? 0 ”等条件. 【教学备品】 教学课件． 【课时安排】 2 课时．(90 分钟) 【教学过程】 教 过 *揭示课题 7.1 平面向量的概念及线性运算 *创设情境 兴趣导入 如图 7－1 所示，用 100N 的力，按照不同的方向拉一辆 车，效果一样吗？①学 程教师 行为学生 行为教学 意图时 间介绍了解0播放 课件观看 课件从实 例出 发使思考学生 自然 的走引导 分析 图 7－1 *动脑思考 探索新知 【新知识】 自我 分析向知 识点 3- 24 -教 过学 程教师 行为学生 行为教学 意图时 间在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量 叫做数量（标量） ，例如质量、时间、温度、面积、密度等．既 有大小，又有方向的量叫做向量（矢量） ，例如力、速度、位 移等． 平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向量，线段 的指向就是向量的方向， 线段的长度表示向量的大小． 如图 7-2 所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点 叫做平面向量的终点．以 A 为起点， B 为终点的向量记作??? ? AB ．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作 a；? 手写时应在字母上面加箭头，记作 a ．总结 归纳思考带领 学生 分析理解仔细 分析 讲解 关键 词语 记忆引导 式启 发学 生得 出结 果BaA图 7－2??? ? 向量的大小叫做向量的模．向量 a, AB 的模依次记作 a ，???? ? AB ．10 模为零的向量叫做零向量．记作 0，零向量的方向是不确 定的． 模为 1 的向量叫做单位向量． *巩固知识 典型例题 例 1 一架飞机从 A 处向正南方向飞行 200km， 另一架飞机 从 A 处朝北偏东 45°方向飞行 200km， 两架飞机的位移相同 吗？分别用有向线段表示两架飞机的位移． 解 位移是向量．虽然这两个向量的模相等，但是它们的 说明 强调 引领 思考- 25 -观察通过 例题b A教 过学 程教师 行为学生 行为教学 意图 进一 步领时 间方向不同，所以两架飞机的位移不相同．两架飞机位移的有向 线段表示分别为图 7-3 中的有向线段 a 与 b． 讲解 说明 主动 求解会强调 含义 13图 7-3 *运用知识 强化练习 说出下图中各向量的模，并指出其中的单位向量 (小方格 为 1)． N B M A L Z Q C D P F K G 18图 7?4E T K H 提问 巡视 指导 思考 口答及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况- 26 -教 过 *创设情境 兴趣导入学 程教师 行为学生 行为教学 意图 从实时 间??? ? ???? ? 观察图 7?4 中的向量 AB 与 MN ，它们所在的直线平行，播放 课件观看 课件例出 发使 学生? ???? ??? 两个向量的方向相同；向量 CD 与 PQ 所在的直线平行，两个质疑 向量的方向相反． 引导 分析 *动脑思考 探索新知 【新知识】 方向相同或相反的两个非零向量叫做互相平行的向量．向 量 a 与向量 b 平行记作 a //b． 规定：零向量与任何一个向量平行． 由于任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此 相互平行的向量又叫做共线向量． 【想一想】 图 7?4 中，哪些向量是共线向量？ 仔细 分析 讲解 关键 词语 *动脑思考 探索新知 【新知识】??? ? ???? ? 图 7?4 中的平行向量 AB 与 MN ，方向相同，模相等；平 ? ???? ??? 行向量 HG 与 TK ，方向相反，模相等．自然 自我 分析 的走 向知 识点 20总结 归纳思考 归纳带领 学生 总结理解 记忆23思考 总结 归纳 思考 归纳 归纳我们所研究的向量只有大小与方向两个要素． 当向量 a 与 向量 b 的模相等并且方向相同时，称向量 a 与向量 b 相等，记 仔细 作 a = b ．也就是说，向量可以在平面内任意平移，具有这种 性质的向量叫做自由向量． 与非零向量 a 的模相等，且方向相反的向量叫做向量 a 的 分析 讲解 关键 理解 记忆 理解 记忆- 27 -教 过 负向量，记作 ?a ．学 程教师 行为 词语学生 行为教学 意图时 间规定：零向量的负向量仍为零向量．??? ? ??? ? ???? ? ???? ? 显然，在图 7－4 中， AB = MN ， GH = － TK ．28*巩固知识 典型例题 例 2 在平行四边形 ABCD 中 （图 7－5） ， O 为对角线交点．??? ? （1）找出与向量 DA 相等的向量；???? （2）找出向量 DC 的负向量；D O A B C说明 强调观察 通过 例题思考引领主动 求解进一 步领 注意 观察??? ? （3）找出与向量 AB 平行的向量．图 7－5分析 要结合平行四边形的性质进行分析．两个向量相等， 它们必须是方向相同，模相等；两个向量互为负向量，它们必 须是方向相反，模相等；两个平行向量的方向相同或相反． 解 由平行四边形的性质，得讲解 说明 观察学生 是否引领思考 求解理解 知识 点 反复 强调 + 33? ??? ? ??? （1） CB = DA ； ??? ? ???? ??? ? ???? （2） BA = ? DC , CD ? ? DC ； ??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? （3） BA // AB , DC // AB ， CD // AB ．强调 含义 说明领会 思考 求解*运用知识 强化练习 1． 如图， ? ABC 中，D、E、F 分别是三边的中点，试写 出??? ? ???? （1）与 EF 相等的向量； （2）与 AD 共线的向量．启发A D B E （ 练 习 题 第 1 题图 1．1．1 第 2 题图） F C A B F O C E D思考 了解 可以 交给 学生 自我 发现引导（图 －8） 第 21 题图2．如图，O 点是正六边形 ABCDEF 的中心，试写出- 28 -教 过学 程教师 行为学生 行为教学 意图 归纳时 间???? ???? ???? （1） 与 OC 相等的向量；（2）OC 的负向量；（3） 与 OC提问 巡视 指导动手 求解38共线的向量．*创设情境 兴趣导入 王涛同学从家中（A 处）出发，向正南方向行走 500 m 到 达超市（B 处） ，买了文具后，又沿着北偏东 60°角方向行走 200 m 到达学校（C 处） （如图 7－6） ．王涛同学这两次位移的 总效果是从家（A 处）到达了学校（C 处） ．A播放 课件观看 课件从实 例出 发使 学生质疑自我 分析自然 的走 向知500mC 200m引导 分析识点B图7－642 *动脑思考 探索新知??? ? ???? ??? ? 位 移 AC 叫 做 位 移 AB 与 位 移 BC 的 和 ， 记 作 ? ??? ???? ??? ? AC = AB + BC ．B a b A a a+b b C图7－7总结 归纳思考 归纳一般地， 设向量 a 与向量 b 不共线， 在平面上任取一点 A(如??? ? ??? ? ???? 图 7－6)，依次作 AB =a, BC =b，则向量 AC 叫做向量 a 与向带领 学生量 b 的和，记作 a＋b ，即??? ? ??? ? ???? a＋b = AB ＋ BC = AC- 29 -（7．1）总结教 过学 程教师 行为学生 行为教学 意图时 间求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方 法叫做向量加法的三角形法则． 观察图 7－7 可以看到：依照三角形法则进行向量 a 与向 量 b 的加法运算，运算的结果仍然是向量，叫做 a 与 b 的和向 量．其和向量的起点是向量 a 的起点，终点是向量 b 的终点． 【做一做】 给出两个不共线的向量 a 和 b，画出它们的和向量． 【想一想】 （1）a＋b 与 b＋a 相等吗？请画出图来说明． （2）如果向量 a 和向量 b 共线，如何画出它们的和向量？ *动脑思考 探索新知? ???? ??? 如图 7－9 所示， ABCD 为平行四边形，由于 AD = BC ，理解 仔细 分析 讲解 关键 词语 记忆50根据三角形法则得 总结D C思考 归纳??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? AB ＋ AD = AB ＋ BC = AC归纳A 图 7－9B这说明，在平行四边形带领 学生 总结??? ? ???? ???? ABCD 中， AC 所表示的向量就是 AB 与 AD 的和．这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则． 平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加 法具有以下的性质： （1）a＋0 = 0＋a = a； a＋（?a）= 0； （2）a＋b=b＋a； （3） （a＋b）＋ c = a ＋（b＋c） ． 仔细 分析 讲解 关键 词语理解 记忆55*巩固知识 典型例题- 30 -教 过学 程教师 行为学生 行为教学 意图时 间例 3 一艘船以 12 km/h 的速度航行，方向垂直于河岸，已 知水流速度为 5 km/h，求该船的实际航行速度． 解??? ? 如图 7－10 所示， AB 表示船速，DB???? AC 为水流速度，由向量加法的平行四边形说明 强调观察???? 法则， AD 是船的实际航行速度，显然CA 图 7－10???? AD ???? ? 2 ???? 2 AB ? AC = 122 ? 52 =13．又 tan ?CAD ?12 2 ，利用计算器求得 ?CAD ? 67?23? ． 5思考 引领即船的实际航行速度大小是 13km/h，其方向与河岸线(水 流方向)的夹角约 67?23? ． *例 4 用两条同样的绳子挂一个物体（图 7－11） ．设物体的重力为 k，两条绳子与垂线的夹角为 ? ，求物体受到沿两 条绳子的方向的拉力 F1 与 F2 的大小． 分析 由于两条同 主动 讲解 说明 求解样的绳子与竖直垂线所 成的角都是 ? ，所以 F2?F1注意 观察 引领 学生 观察 思考 求解 是否 理解 知识 点F1 ? F2 ．解决问题不考虑其它因素，只考虑 受力的平衡，所以F1 ? F2 ? ?k .k 图 7－11分析解 利用平行四边形法则，可以得到F1 ? F2 ? 2 F1 cos? ? k ，所以F1 ? k 2 cos ?． 领会- 31 -教 过 【想一想】学 程教师 行为学生 行为教学 意图时 间根据例题 4 的分析，判断在单杠上悬挂身体时(如图 7－ 12)，两臂成什么角度时，双臂受力最小？讲解 说明 思考 求解 反复 强调 62 图 7-12 *运用知识 强化练习 练习 7.1.2 1． 如图，已知 a，b，求 a＋b．b b a （1） 第 1 题图 （图 1－15） （2）a启发 引导思考 了解 可以 交给 学生2．填空（向量如图所示） ： （1）a＋b =_____________ , （2）b＋c =_____________ , （3）a＋b＋c =_____________ ． 3．计算：??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? （1） AB ＋ BC ＋ CD ； （2） OB ＋ BC ＋ CA ．自我 发现 归纳 提问 巡视 指导 动手 求解 65*创设情境 兴趣导入 在进行数学运算的时候，减去一个数可以看作加上这个数 的相反数． 质疑 引导 思考 参与引导 启发 学生- 32 -教 过学 程教师 行为 分析学生 行为 分析教学 意图 思考时 间 66*动脑思考 探索新知 与数的运算相类似，可以将向量 a 与向量 b 的负向量的和 定义为向量 a 与向量 b 的差．即 a ?b = a＋(?b)．??? ? ??? ? 设 a =OA ，b ? OB ，则总结 归纳思考 归纳??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OA ? OB ? OA ? (?OB)= OA ? BO ? BO ? OA ? BA ．即? ??? ? ??? ? ??? OA ?OB = BA（7． 2）观察图 7－13 可以得到：起点相同的两个向量 a、 b，其 差 a－b 仍然是一个向量，叫做 a 与 b 的差向量，其起点是减 向量 b 的终点，终点是被减向量 a 的终点．a -b B b O 图7－13 a A带领 学生 仔细 分析 讲解 关键 词语 理解 记忆 68 总结*巩固知识 典型例题 例5 已知如图 7－14（1）所示向量 a 、b ，请画出向量 强调O a b A b Ba－b．思考 求解 注意 观察含义a（1）图7－14（2）学生 是否 理解 领会 说明 知识 点解如图 7－14（2）所示，以平面上任一点 O 为起点，作??? ? ??? ? ??? ? OA =a， OB =b，连接 BA，则向量 BA 为所求的差向量，即 ??? ? BA = a－b ．- 33 -教 过 【想一想】学 程教师 行为学生 行为 思考 求解教学 意图时 间当 a 与 b 共线时，如何画出 a－b ． *运用知识 强化练习??? ? ???? 1．填空： （1） AB ? AD =_______________， ? ??? ? ??? （2） BC ? BA =______________，???? ??? ? （3） OD ?OA =______________．70启发 引导思考 了解可以 交给 学生2 ．如图，在平行四边形??? ? ???? ABCD 中，设 AB = a, AD = b，???? ???? 试用 a, b 表示向量 AC 、 BD 、提问 巡视 指导动手 求解 自我 发现 归纳 72???? DB ．*创设情境 兴趣导入???? 观察图 7－15 可以看出，向量 OC 与向量 a 共线，并且 ???? OC ＝3a．质疑思考 引导 启发 学生a a O A a B 图 7?15 *动脑思考 探索新知 一般地，实数 ? 与向量 a 的积是一个向量，记作 ? a，它 的模为 a C 引导 分析 参与 分析思考74| ?a |?| ? || a |（7．3）若 | ? a |? 0，则当 ? ＞0 时， ? a 的方向与 a 的方向相同， 当 ? ＜0 时， ? a 的方向与 a 的方向相反． 总结 思考 带领- 34 -教 过学 程教师 行为 归纳学生 行为 归纳教学 意图 学生 分析时 间由上面定义可以得到，对于非零向量 a、b，当 ? ? 0 时， 有 一般地，有 0a= 0, ? 0 = 0 ． 数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对 于任意向量 a, b 及任意实数 ?、? ，向量数乘运算满足如下的 法则：a ∥ b ? a ? ?b（7．4）1a ? a ， ?1? 　　 ? ?1? a ? ?a　；理解 记忆? 2? 　　 ? ?? ? a ? ? ? ?a ? ? ? ? ?a ?； ?3? 　　 ? ? ? ? ? a ? ?a ? ?a； ?４? 　? ? a ? b ? ? ?a ? ?b．【做一做】 请画出图形来，分别验证这些法则． 向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相 仔细 分析 理解 记忆 引导 启发 学生 得出 结论 78 *巩固知识 典型例题 例 6 在平行四边形 ABCD 中，O 为两对角线交点如图 7－??? ? ???? ???? ???? 16， AB ＝a ， AD ＝b，试用 a, b 表示向量 AO 、 OD ．类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形， 讲解 可直接应用于向量的运算中．但是，要注意向量的运算与数的 运算的意义是不同的． 关键 词语分析 出???? 1 ???? ???? 1 ??? ? 因为 AO ? AC , OD ? BD ， 所以需要首先分别求 2 2 ???? ???? 向量 AC 与 BD .强调 含义图 7－16 - 35 -思考 求解 注意教 过学 程教师 行为学生 行为教学 意图 观察时 间解???? ???? AC ＝a＋b, BD ＝b ?a，学生 是否 理解 领会 说明 知识 点因为 O 分别为 AC，BD 的中点，所以???? 1 ???? 1 1 1 AO ? AC ? （a＋b）＝ a＋ b， 2 2 2 2 ???? 1 ???? 1 1 1 OD ＝ BD ＝ （b ?a）＝? a+ b． 2 2 2 2 1 1 1 1 a＋ b 和? a+ b 都叫做向量 a，b 的线性 2 2 2 2 ???? ???? 组合，或者说， AO 、 OD 可以用向量 a，b 线性表示．例 6 中，思考 求解一般地，? a＋ ? b 叫做 a, b 的一个线性组合 （其中 ? , ? 均 为系数） ．如果 l ＝ ? a＋ ? b，则称 l 可以用 a，b 线性表示． 向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算． *运用知识 强化练习 1． 计算： （1）3（a ?2 b）－2（2 a＋b） ； （2）3 a ?2（3 a ?4 b）＋3（a ?b） ．??? ? ??? ? 1 2． 设 a, b 不共线， 求作有向线段 OA ， 使 OA ＝ （a＋b） ． 提问 2 巡视81启发 引导思考 了解可以 交给 学生动手 求解自我 发现 归纳 83指导 *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题： 向量、向量的模、向量相等是如何定义的？ 质疑 结论： 当一种量既有大小，又有方向，例如力、速度、位移等， 这种量叫做向量（矢量） 归纳 ??? ? 向量的大小叫做向量的模．向量 a, AB 的模依次记作 a ， 强调???? ? AB ．回答及时 了解 学生 知识 掌握 情况 85a 与向量 b 的模相等并且方向相同时，称向量 a 与向量 b- 36 -教 过 相等，记作 a = b ． *归纳小结 强化思想学 程教师 行为学生 行为教学 意图时 间本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？ 你的学习效果如何？ 计算： ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? （1） AB ＋ BC ＋ CD ； （2） OB ＋ BC ＋ CA ．引导回忆检验 提问 反思 学生 学习 巡视 指导 动手 求解 88 效果*继续探索 活动探究 (1)读书部分：教材 (2)书面作业：教材习题 7．1 A 组（必做） ；7．1 B 组 （选做） (3)实践调查：试着用向量的观点解释生活中的一些问题 90 【教师教学后记】 项目 反思点 学生是否真正理解有关知识； 学生知识、技能的掌握情况 是否能利用知识、技能解决问题； 在知识、技能的掌握上存在哪些问题； 学生是否参与有关活动； 学生的情感态度 在数学活动中，是否认真、积极、自信； 遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服； 学生是否积极思考； 思维是否有条理、灵活； 学生思维情况 是否能提出新的想法； 是否自觉地进行反思； 学生合作交流的情况 学生是否善于与人合作； 说明 记录 分层 次要 求- 37 -在交流中，是否积极表达； 是否善于倾听别人的意见； 学生是否愿意开展实践； 能否根据问题合理地进行实践； 学生实践的情况 在实践中能否积极思考； 能否有意识的反思实践过程的方面；【课题】7.2 平面向量的坐标表示【教学目标】 知识目标： （1）了解向量坐标的概念，了解向量加法、减法及数乘向量运算的坐标表示； （2）了解两个向量平行的充要条件的坐标形式. 能力目标： 培养学生应用向量知识解决问题的能力. 【教学重点】 向量线性运算的坐标表示及运算法则. 【教学难点】 向量的坐标的概念.采用数形结合的方法进行教学是突破难点的关键. 【教学设计】 向量只有“模”与“方向”两个要素，为了研究方便，我们首先将向量的起点放置在 坐标原点（一般称为位置向量） ．设 x 轴的单位向量为 i ，轴的单位向量为 j ．如果点 A 的坐 标为（ x ， y ）,则??? ? OA ? xi ? yj ，??? ? ??? ? 将有序实数对（ x ， y ）叫做向量 OA 的坐标．记作 OA =（ x ， y ） ．例 1 是关于“向量坐标概念”的知识巩固性例题．要强调此时起点的位置．让学生认 识到，当向量的起点为坐标原点时，其终点的坐标就是向量的坐标．例 2 是关于“向量线性 运算的坐标表示”的知识巩固性例题．要强调与公式的对应． 在研究起点为坐标原点的向量的基础上，利用向量加法的三角形法则，介绍起点在任- 38 -意位置的向量的坐标表示， 向量的坐标等于原点到终点的向量的坐标减去原点到起点的向量 的坐标，由此得到公式（7.8）.数值上可以简单记为：终点的坐标减去起点的坐标．例 3 是关于“起点在任意位置的向量的坐标表示”的巩固性例题．要强调“终点的坐标减去起点 的坐标” ． 【教学备品】 教学课件． 【课时安排】 2 课时．(90 分钟) 【教学过程】 教 过 *揭示课题 7.2 平面向量的坐标表示 *创设情境 兴趣导入 【观察】 设平面直角坐标系中，x 轴的单位向量为 i, y 轴的单位向??? ? 量为 j， OA 为从原点出发的向量，点 A 的坐标为（2，3）(图 7学 程教师 行为学生 行为教学 意图时 间介绍了解0－17)．则质疑思考 从实 例出 发使 学生 自然 的走图 7－17引导 分析 自我 分析向知 识点???? ???? ? OM ? 2i ， ON ? 3 j ．由平行四边形法则知??? ? ???? ? ???? OA ? OM ? ON ? 2i ? 3 j ．【说明】 可以看到，从原点出发的向量，其坐标在数值上与向量终点的- 39 -教 过 坐标是相同的． *动脑思考 探索新知 【新知识】学 程教师 行为学生 行为教学 意图时 间 5思考 仔细 分析 讲解 理解引导 式启 发学 生得 出结 果设 i, j 分别为 x 轴、y 轴的单位向量，???? ? （1）设点 M ( x, y ) ，则 OM ? xi + yj （如图 7－18(1)） ；（2）设点 A( x1 , y1 )，B( x2 , y2 ) （如图 7－18(2)） ，则 y M(x,y)关键 词语 记忆10j O i (1) y B xA j O ix(2) 图 7－18??? ? ??? ? ??? ? AB ? OB ? OA ? ( x2 i + y2 j ) ? ( x1i + y1 j ) ? ( x2 ? x1 )i ? ( y2 ? y1 ) j．由此看到，对任一个平面向量 a，都存在着一对有序实数( x, y ) ， 使得 a ? xi ? yj ．有序实数对 ( x, y ) 叫做向量 a 的坐标，记作a ? ( x, y ) ．- 40 -教 过学 程教师 行为学生 行为教学 意图时 间??? ? 如图 7－17 所示，向量的坐标为 OA ? (2,3)．如图 7－18（1）所示，起点为原点，终点为 M ( x, y ) 的向量 的坐标为???? ? OM ? ( x, y)．如图 7－18（2）所示，起点为 A( x1 , y1 )， 终点为 B( x2 , y2 ) 的向 量坐标为??? ? AB ? ( x2 ? x1，y2 ? y1 )．*巩固知识 典型例题（7．5）例 1 如图 7－19 所示，用 x 轴与 y 轴上的单位向量 i、j 表示向量 a、b, 并写出它们的坐标． 解 因为???? ???? ? a＝ OM ＋ MA ＝5i＋3j ，说明 强调观察 通过 例题 进一 思考 步领 会所以 同理可得a ? (5,3) ． b ? (?4,3) ．引领主动 讲解 说明 图 7－19 【想一想】??? ? ???? ? 观察图 7－19， OA 与 OM 的坐标之间存在什么关系？求解例2 解??? ? ??? ? 已知点 P(2, ?1)，Q(3, 2) ，求 PQ ， QP 的坐标． ??? ? PQ ? (3,2) ? (2, ?1) ? (1,3),- 41 -教 过学 程教师 行为学生 行为教学 意图时 间??? ? QP ? (2, ?1) ? (3,2) ? (?1, ?3)．*运用知识 强化练习??? ? 1． 点 A 的坐标为（－2，3） ，写出向量 OA 的坐标，并用 ??? ? i 与 j 的线性组合表示向量 OA ．15 及时 了解 提问 巡视 指导 思考 口答 学生 知识 掌握 得情 况 202． 设向量 a ? 3i ? 4 j ,写出向量 a 的坐标．??? ? ??? ? 3． 已知 A，B 两点的坐标，求 AB ， BA 的坐标．(1) A(5,3), B(3, ?1); (2) A(1, 2), B(2,1); (3) A(4,0), B(0, ?3)． *创设情境 兴趣导入 【观察】 观察图 7－20，向量??? ? ??? ? ???? ? ??? ? ??? ? 质疑 OA ? (5,3) , OP ? (3,0) , OM ? OA ? OP ? (8,3) ．可以看到，两个向量和的坐标恰好是这两个向量对应坐标的和．思考引导 分析参与 分析引导 启发 学生 思考图 7－2027 *动脑思考 探索新知 【新知识】- 42 -教 过学 程教师 行为学生 行为教学 意图时 间设平面直角坐标系中， a ? ( x1 , y1 ) ， b ? ( x2 , y2 ) ，则a ? b ? ( x1i ? y1 j ) ? ( x2 i ? y2 j )总结? ( x1 ? x2 )i ? ( y1 ? y2 ) j ．思考 归纳 带领归纳所以a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ．（7．6）学生 总结 仔细 理解 记忆 35类似可以得到a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ．（7．7） （7．8）分析 讲解 关键 词语? a ? (? x1 , ? y1 ) ．*巩固知识 典型例题 例 3 设 a＝(1,?2), b＝(?2,3)，求下列向量的坐标： (1) a＋b ， 解 (2) ?3 a， (3) 3 a ?2 b ． 说明 强调 观察 通过 例题 进一 步领 引领 思考 会(1) a＋b＝(1, ?2)＋(?2,3)＝(?1,1)(2) ?3 a＝?3×(1, ?2)＝(?3,6) (3) 3 a ?2 b＝3×(1, ?2) ? 2×(?2,3)＝(3, ?6) ? (?4,6)＝(7, ?12)．讲解 说明主动 求解 45*运用知识 强化练习 已知向量 a, b 的坐标，求 a＋b、 a ?b、?2 a＋3 b 的坐标． （1） a＝(?2,3)， b＝(1,1)； （2） a＝(1,0)， b＝(?4, ?3)； 启发 引导 思考 了解 及时 了解 学生 提问 巡视 指导 动手 求解 知识 掌握 得情（3） a＝(?1,2)， b＝(3,0)．- 43 -教 过学 程教师 行为学生 行为教学 意图 况时 间 55*创设情境 兴趣导入 【问题】 前面我们学习了公式（7.4） ，知道对于非零向量 a、b，当 引导 分析 思考 引导 启发 学生 思考 观察 思考 参与 分析 60? ? 0 时，有a ∥ b ? a ? ?b如何用向量的坐标来判断两个向量是否共线呢？*动脑思考 探索新知 【新知识】 设 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 由 a ? ? b ，有x1 ? ? x2 , y1 ? ? y2 , 于是 x1? y2 ? ? x2 y1 ，即x1 y2 ? x2 y1 ? 0 ．总结 归纳思考 归纳由此得到， 对非零向量 a、 b， 设 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 当仔细 分析 讲解理解 记忆带领 学生 总结 67? ? 0 时，有a ∥ b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0．（7．9）*巩固知识 典型例题 例 4 设 a ? (1,3), b ? (2,6) ，判断向量 a、 b 是否共线． 解 由于 3×2?1×6＝0， 说明 强调 通过 例题 引领 分析 主动- 44 -观察故由公式（7．9）知， a ∥ b ，即向量 a、 b 共线． 思考进一 步领 会教 过学 程教师 行为 讲解 说明学生 行为 求解教学 意图时 间70 *运用知识 强化练习 判断下列各组向量是否共线： （1） a＝(2,3)， b＝(1, 启发 引导 思考 了解 及时 了解 学生 提问 巡视 指导 动手 求解 知识 掌握 得情 况 *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题： 向量坐标的概念？ 任意起点的向量的坐标表示？ 共线向量的坐标表示？ 结论： 一般地，设平面直角坐标系中，x 轴的单位向量为 i, y 轴 的单位向量为 j，则对于从原点出发的任意向量 a 都有唯一一 对实数 x、y，使得 a ? xi ? yj ．有序实数对 ( x, y ) 叫做向量 a 的 坐标，记作a ? ( x, y ) ．3 )； 2（2） a＝(1, ?1) ， b＝(?2,2)； （3） a＝(2, 1) ， b＝(?1,2)．75质疑回答及时 了解 学生 知识归纳 强调掌握 情况向量的坐标等于原点到终点的向量的坐标减去原点到起 点的向量的坐标. 对非零向量 a、 b，设 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 当 ? ? 0 时， 有a ∥ b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0．80*归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ 引导 回忆- 45 -教 过 *自我反思 目标检测学 程教师 行为学生 行为教学 意图时 间本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？ 你的学习效果如何？ 已知向量 a, b 的坐标，求 a＋b、 a ? b、?2 a＋3 b 的坐 标． a＝(?2,3)， b=(1,1)；提问反思检验 学生巡视 指导动手 求解学习 效果 85*继续探索 活动探究 (1)读书部分：教材 (2)书面作业：教材习题 7.2 A 组（必做） ；7.2 B 组（选 做） (3)实践调查：寻找生活中的向量坐标实例 90 【教师教学后记】 项目 反思点 学生是否真正理解有关知识； 学生知识、技能的掌握情况 是否能利用知识、技能解决问题； 在知识、技能的掌握上存在哪些问题； 学生是否参与有关活动； 学生的情感态度 在数学活动中，是否认真、积极、自信； 遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服； 学生是否积极思考； 思维是否有条理、灵活； 学生思维情况 是否能提出新的想法； 是否自觉地进行反思； 学生是否善于与人合作； 学生合作交流的情况 在交流中，是否积极表达； 是否善于倾听别人的意见； 学生是否愿意开展实践； 学生实践的情况 能否根据问题合理地进行实践；- 46 -说明记录分层 次要 求在实践中能否积极思考； 能否有意识的反思实践过程的方面；【课题】7.3 平面向量的内积【教学目标】 知识目标： （1）了解平面向量内积的概念及其几何意义. （2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础. 能力目标： 通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力． 【教学重点】 平面向量数量积的概念及计算公式. 【教学难点】 数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角． 【教学设计】 教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量， 而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积． 在讲述向量内积时要注意： （1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余 弦的乘积.其符号是由夹角决定； （2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量. 教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中： （1）当&a,b&＝0 时，a?b＝|a||b|；当&a,b&＝ 180 时，a?b＝－|a||b|．可以记忆为：两 个共线向量， 方向相同时内积为这两个向量模的积； 方向相反时内积为这两个向量模的积的 相反数． （2）|a|＝ a ? a 显示出向量与向量的模的关系，是得到利用向量的坐标计算向量模的 公式的基础； （3）cos&a,b&＝a ?b ，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基 | a || b |- 47 ?础； （4） “a?b＝0 ? a ? b”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示 的重要基础． 【教学备品】 教学课件． 【课时安排】 2 课时．(90 分钟) 【教学过程】 教 过 *揭示课题 7.3 平面向量的内积 *创设情境 兴趣导入F学 程教师 行为学生 行为教学 意图时 间介绍了解0从实 例出 s 质疑 思考 发使 学生 自然O30 ?图 7―21的走 向知如图 7－21 所示，水平地面上有一辆车，某人用 100 N 的 力，朝着与水平线成 30 ? 角的方向拉小车，使小车前进了 100 m．那么，这个人做了多少功？ *动脑思考 探索新知 【新知识】 我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离 的乘积．如图 7－22 所示，设水平方向的单位向量为 i，垂直 方向的单位向量为 j，则 总结 归纳 思考 引导 分析 自我 分析识点5带领 学生 分析F ? x i + y j ? F sin30? ? i ? F cos30? ? j ，即力 F 是水平方向的力与垂直方向的力的和， 垂直方向上没有 产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为 s，即- 48 -教 过学 程教师 行为学生 行为教学 意图时 间W＝｜F｜cos 30 ? ? ｜s｜＝100×3 ? 10＝500 3 （J） 2y F(x,y)理解j O i 图 7－22 x这里，力 F 与位移 s 都是向量，而功 W 是一个数量，它 等于由两个向量 F，s 的模及它们的夹角的余弦的乘积，W 叫 做向量 F 与向量 s 的内 积 ,它是一个数量，又叫 做数量积． 如图 7－23，设有两??? ? 个非零向量 a, b，作 OAO 图 7－23 A引导 仔细 分析 讲解 关键 记忆 式启 发学 生得 出结 果a bB词语??? ? ＝a, OB ＝b,由射线 OA 与 OB 所形成的角叫做向量 a 与向量 b的夹角，记作&a,b&． 两个向量 a,b 的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量 a 与 向量 b 的内积，记作 a?b, 即 a?b＝｜a||b|cos&a,b& (7.10)15上面的问题中，人所做的功可以记作 W＝F?s. 由内积的定义可知 a?0＝0, 0?a＝0． 由内积的定义可以得到下面几个重要结果：- 49 -教 过学 程?教师 行为学生 行为教学 意图时 间（1） 当&a,b&＝0 时， a? b＝|a||b|； 当&a,b&＝ 180 时， a? b ＝?|a||b|. （2） cos&a,b&＝a ?b . | a || b |思考（3） 当 b＝a 时，有&a,a&＝0，所以 a?a＝|a||a|＝|a|2， 即|a|＝ a ? a . （4） 当 ? a, b ?? 90? 时 ， a ? b ， 因 此 ， a ? b ＝a ? b cos90 ? 0, 因此对非零向量 a，b，有?总结 归纳 带领 学生 分析 理解a?b＝0 ? a ? b. 可以验证，向量的内积满足下面的运算律： （1） a?b＝b?a． （2） ( ? a )?b＝ ? (a?b)＝a?( ? b)． （3） (a＋b)?c＝a?c＋b?c． 注意：一般地，向量的内积不满足结合律，即 a?(b?c)≠（a?b） ?c. 请结合实例进行验证. *巩固知识 典型例题 例 1 已知|a|＝3,|b|＝2, &a,b&＝ 60 ? ,求 a?b． 解 a?b＝|a||b| cos&a,b& ＝3×2×cos 60 ? ＝3． 例 2 已知|a|＝|b|＝ 2 ,a?b＝ ? 2 ,求&a,b&． 解 由于 所以 *运用知识 强化练习 1. 已知|a|＝7，|b|＝4，a 和 b 的夹角为 60 ? ，求 a?b． 提问 说明 强调 仔细 分析 讲解 关键 词语反复 强调 记忆 30思考注意 观察 学生 是否? 2 2 a ?b cos&a,b&＝ ＝ ＝? . | a || b | 2 2? 20≤&a,b&≤ 180 ? ， &a,b&＝ 135 ．?引领主动 求解理解 知识 点 40及时 了解 思考 学生- 50 -教 过学 程教师 行为 巡视 指导学生 行为 口答教学 意图 知识 掌握 得情 况时 间2. 已知 a?a＝9,求|a|． 3. 已知|a|＝2,|b|＝3, &a,b&＝ 30 ? ，求(2a＋b)?b．45*动脑思考 探索新知 设平面向量 a＝(x1,y1),b＝(x2,y2)，i，j 分别为 x 轴，y 轴上 的单位向量，由于 i⊥j，故 i?j ＝0，又| i |＝|j|＝1，所以 a?b＝(x1 i＋y1j)? (x2 i＋y2j) ＝ x1 x2 i ?i＋ x1 y2 i ?j＋ x2 y1 i ?j ＋ y1 y2 j ?j ＝ x1 x2 |j|2＋ y1 y2 |j|2 ＝ x1 x2＋ y1 y2． 这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和， 总结 即 a?b＝ x1 x2＋ y1 y2 (7.11) 归纳 思考 归纳利用公式(7．11)可以计算向量的模．设 a＝(x,y)，则2 2 a ? a? a ? x ? y ，即带领 (7.12) 学生 总结a?x2 ? y2由平面向量内积的定义可以得到，当 a、b 是非零向量时， cos&a,b&＝a ?b x1 x2 ? y1 y2 ＝ . 2 | a || b | x1 ? y12 x22 ? y22(7.13)仔细 分析 讲解 关键 词语理解 记忆利用公式(7.13)可以方便地求出两个向量的夹角. 由于 a ? b ? a?b＝0，由公式(7.11)可知 a?b＝0 ? x1 x2＋ y1 y2＝0． 因此 a ? b ? x1 x2＋ y1 y2＝0． (7.14)60利用公式(7.14)可以方便地利用向量的坐标来研究向量垂 直的问题．- 51 -教 过 *巩固知识 典型例题学 程教师 行为学生 行为教学 意图时 间例 3 求下列向量的内积： （1） a＝ (2,?3), b＝(1,3)； （2） a＝ (2, ?1), b＝(1,2)； （3） a＝ (4,2), b＝(?2, ?3)． 解 (1) a?b＝2×1＋(?3)×3＝?7；说明 强调观察 讲解 说明引领思考(2) a?b＝2×1＋(?1)×2＝0； (3) a?b＝2×(?2)＋2×(?3)＝?14． 例 4 已知 a＝(?1,2),b＝(?3,1).求 a?b, |a|,|b|, &a,b&． 解 a?b＝(?1)( ?3)＋2×1＝5； |a|＝ a ? a ? (?1) ? 2 ? 5 ； |b|＝ b ? b ? (?3) 2 ? 12 ? 10 ； 引领 cos&a,b&＝5 2 a ?b ? ＝ ， | a || b | 2 10 52 2讲解 说明主动 求解 注意 观察 学生 观察 是否 理解 知识 思考 点 求解分析所以 例5&a,b&＝ 45? ． 判断下列各组向量是否互相垂直： b＝(6, 4)； b＝(1, ?2)． 说明 强调 含义(1) a＝(?2, 3), (2) a＝(0, ?1), 解反复 领会 强调 70 思考 求解(1) 因为 a?b＝(?2)×6＋3×4＝0，所以 a ? b．(2) 因为 a?b＝0×1＋(?1)×（?2)＝2，所以 a 与 b 不垂 直． *运用知识 强化练习 1． 已知 a＝(5, ?4)，b＝(2,3)，求 a?b． 2． 已知 a＝(1, 3 )，b＝(0, 启发 引导思考 了解及时 了解 学生 知识3 )，求&a,b&．3． 已知 a＝(2, ?3)，b＝(3,－4)，c＝(?1,3),求 a?(b＋c)． 4. 判断下列各组向量是否互相垂直： 提问 动手掌握- 52 -教 过学 程教师 行为 巡视 指导学生 行为 求解教学 意图 得情 况时 间(1) a＝(?2, ?3)，b＝(3, ?2)； (2) a＝(2,0)，b＝(0, ?3)； (3) a＝(?2,1)，b＝(3,4)． 5. 求下列向量的模： (1) a＝(2, ?3)， (2) b＝(8, 6 )． *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题： 平面向量内积的概念、几何意义? 结论： 两个向量 a,b 的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量 a 与 向量 b 的内积，记作 a?b, 即 a?b＝｜a||b|cos&a, b& (7.10)80及时 质疑 回答 了解 学生 知识 掌握 归纳 强调 情况a? b 的几何意义就是向量 a 的模与向量 b 在向量 a 上的投 影的乘积． 83 *归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？ 你的学习效果如何？ 1.已知 a＝(5, ? 4),b＝(2,3),求 a?b． 2.已知 a＝(2, ?3),b＝(3, ?4),c＝(?1,3),求 a?(b＋c)． *继续探索 活动探究 (1)读书部分：阅读教材 (2)书面作业：教材习题 7.3 A 组（必做） ；7.3 B 组（选 做） (3)实践调查：编写一道向量内积问题并解答． 90 【教师教学后记】- 53 -引导回忆提问反思检验 学生巡视 指导动手 求解学习 效果 88说明记录分层 次要 求项目反思点 学生是否真正理解有关知识；学生知识、技能的掌握情况是否能利用知识、技能解决问题； 在知识、技能的掌握上存在哪些问题； 学生是否参与有关活动；学生的情感态度在数学活动中，是否认真、积极、自信； 遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服； 学生是否积极思考； 思维是否有条理、灵活；学生思维情况 是否能提出新的想法； 是否自觉地进行反思； 学生是否善于与人合作； 学生合作交流的情况 在交流中，是否积极表达； 是否善于倾听别人的意见； 学生是否愿意开展实践； 能否根据问题合理地进行实践； 学生实践的情况 在实践中能否积极思考； 能否有意识的反思实践过程的方面；【课题】8．1 两点间的距离与线段中点的坐标 【教学目标】 知识目标： 掌握两点间的距离公式与中点坐标公式； 能力目标： 用“数形结合”的方法，介绍两个公式．培养学生解决问题的能力与计算能力． 【教学重点】 两点间的距离公式与线段中点的坐标公式的运用 【教学难点】 两点间的距离公式的理解- 54 -【教学设计】 两点间距离公式和中点坐标公式是解析几何的基本公式，教材采用“知识回顾”的方式 给出这两个公式． 讲授时可结合刚学过的向量的坐标和向量的模的定义讲解， 但讲解的重点 应放在公式的应用上． 例 1 是巩固性练习题．题目中，两个点的坐标既有正数，又有负数．讲授时，要强调两 点间的距离公式的特点特别是坐标为负数的情况． 例 2 是中点公式的知识巩固题目．通过连续使用公式（8.2） ，强化学生对公式的理解与 运用． 例 3 是本节两个公式的综合性题目，是知识的简单综合应用．要突出 “解析法” ，进行 数学思维培养． 【教学备品】 教学课件． 【课时安排】 2 课时．(90 分钟) 【教学过程】 教 过 *揭示课题 8．1 两点间的距离与线段中点的坐标 *创设情境 兴趣导入 【知识回顾】 平面直角坐标系中，设 P 1 ( x1 , y1 ) ， P 2 ( x2 , y2 ) ，则 质疑 思考 启发 学生 思考 引导 分析 *动脑思考 探索新知 【新知识】 总结 思考 带领 学生 15 介绍 了解 0 学 程 教师 行为 学生 行为 教学 意图 时 间???? ? PP 1 2 ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 ) ．???? ? 我们将向量 PP 归纳 1、P 2 之间的距离，记作 1 2 的模，叫做点 P- 55 -教 过学 程教师 行为学生 行为教学 意图 分析时 间P 1P 2 ，则???? ? ???? ? ???? ? 2 2 |P P 1P 2 |? P 1P 2 ? P 1P 2? 1P 2 ? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 )记忆 25（8．1） *巩固知识 典型例题 例 1 求 A（?3，1） 、B（2，?5）两点间的距离． 解 A、B 两点间的距离为2说明 强调观察| AB |? (?3 ? 2) 2 ? ?1 ? (?5) ? ? 61通过 例题 引领 思考 进一 步领 会 讲解 第 1 题图 说明 主动 求解30 *运用知识 强化练习 1．请根据图形，写出 M、N、P、Q、R 各点的坐标． 提问 巡视 2． 在平面直角坐标系内， 描出下列各点： A(1,1) 、B(3, 4) 、 指导C (5,7) ．并计算每两点之间的距离．思考 口答反复 强调 38*创设情境 兴趣导入 【观察】 练习 8．1．1 第 2 题的计算结果显示，| AB |?| BC |? 1 | AC | ． 2质疑思考 引导 启发 学生这说明点 B 是线段 AB 的中点，而它们三个点的坐标之间 恰好存在关系引导 分析参与 分析思考- 56 -教 过3?学 程1? 5 1? 7 ， 4? 2 2教师 行为学生 行为教学 意图时 间43*动脑思考 探索新知 【新知识】 设线段的两个端点分别为 A( x1 , y1 ) 和 B( x2 , y2 ) ，线段的???? ? 中点为 M ( x0 , y0 ) （如图 8－1） ，则 AM ? ( x0 ? x1, y0 ? y1), ???? MB ? ( x2 ? x0 , y2 ? y0 ), 由 于 M 为 线 段 AB 的 中 点 ， 则???? ? ???? AM ? MB,即总结 归纳思考 归纳带领 学生 总结( x0 ? x1, y0 ? y1 ) ? ( x2 ? x0 , y2 ? y0 )， 即解得 x0 ?? x0 ? x1 ? x2 ? x0 , ? ? y0 ? y1 ? y2 ? y0 ,yx1 ? x2 y ? y2 , y0 ? 1 ． 2 2仔细 分析 讲解理解 记忆B(x2, y2) M(x0, y0) A(x1, y1)关键 词语Ox52图 8－1 一般地，设 P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) 为平面内任意两点，则 线段 P1 P 2 中点 P 0 ( x0 , y0 ) 的坐标为x0 ? x1 ? x2 y ? y2 , y0 ? 1 . 2 2（8．2）*巩固知识 典型例题 例 2 已知点 S（0，2） 、点 T（?6，?1） ，现将线段 ST 四 等分，试求出各分点的坐标． 分析 如图 8－2 所示， 首先求出线段 ST 的中点 Q 的坐标，然后再求 SQ 的中点 P 及 QT 的中点 R 的坐标．- 57 -教 过 解学 程教师 行为 说明 强调学生 行为教学 意图时 间设线段 ST 的中点 Q 的坐标为 ( xQ , yQ ) ，观察 通过则由点 S（0，2） 、点 T（?6，?1）得xQ ? yQ ? 0 ? (?6) ? ?3 ， 2 2 ? (?1) 1 ? ． 2 2引领 思考例题 进一 步领 会即线段 ST 的中点为 讲解1 Q ． （ ? 3, ） 2说明 图 8－2主动 求解同理，求出线段 SQ 的3 5 9 1 中点 P （? , ） ，线段 QT 的中点 R ． （? , ? ） 2 4 2 4 3 5 1 9 1 故所求的分点分别为 P 、 Q 、 ． （? , ） （ ? 3, ） R （? , ? ） 2 4 2 2 4C (0,3) ， 例 3 已知 ?ABC 的三个顶点为 A(1,0) 、B (?2,1) 、试求 BC 边上的中线 AD 的长度． 解C (0,3) 得注意 观察 引领 分析 观察设 BC 的中点 D 的坐标为 ( xD , yD ) ，则由 B (?2,1) 、(?2) ? 0 1? 3 xD ? ? ?1 ， yD ? ? 2， 2 22 2学生 是否 理解 知识 65故| AD |? (?1 ? 1) ? (2 ? 0) ? 2 2,说明 思考 求解点即 BC 边上的中线 AD 的长度为 2 2 ． *运用知识 强化练习 1．已知点 A(2,3) 和点 B (8, ?3) ，求线段 AB 中点的坐标． 2． 已知 ?ABC 的三个顶点为 A(2, 2) 、B(?4,6) 、C (?3, ?2) ， 求 AB 边上的中线 CD 的长度． 3．已知点 Q(4, n) 是点 P(m, 2) 和点 R(3,8) 连线的中点，求 m 与 n 的值． 提问 巡视 指导 启发 引导思考 了解 进一 步领 动手 求解 会知 识点 75- 58 -教 过 *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题：学 程教师 行为学生 行为教学 意图时 间两点间的距离公式、线段的中点坐标公式？ 结论： 设平面直角坐标系内任意两点 P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ， 质疑 则P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) 的距离为（证明略）2 2 |P 1P 2 |? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) ．回答及时 了解 学生 知识设P 则线段 P1 P 1 ( x1 , y1 ) 、P 2 ( x2 , y2 ) 为平面内任意两点， 2 中点 P 0 ( x0 , y0 ) 的坐标为x0 ? x1 ? x2 y ? y2 , y0 ? 1 . 2 2归纳 强调掌握 情况80*归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？ 你的学习效果如何？ 已知点 M (0, ?2) ，点 N (?2, 2) ，求线段 MN 的长度，并写 出线段 MN 的中点 P 的坐标． 巡视 指导 动手 求解 提问 反思 检验 学生 学习 效果 86 引导 回忆*继续探索 活动探究 (1)读书部分：教材 (2)书面作业： 教材习题 8． 1 A组 （必做） ； 教材习题 8． 1 B 组（选做） (3)实践调查：编写一道关于求中点坐标的问题并求解． 90 【教师教学后记】 项目- 59 -说明记录分层 次要 求反思点学生是否真正理解有关知识； 学生知识、技能的掌握情况 是否能利用知识、技能解决问题； 在知识、技能的掌握上存在哪些问题； 学生是否参与有关活动； 学生的情感态度 在数学活动中，是否认真、积极、自信； 遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服； 学生是否积极思考； 思维是否有条理、灵活； 学生思维情况 是否能提出新的想法； 是否自觉地进行反思； 学生是否善于与人合作； 学生合作交流的情况 在交流中，是否积极表达； 是否善于倾听别人的意见； 学生是否愿意开展实践； 能否根据问题合理地进行实践； 学生实践的情况 在实践中能否积极思考； 能否有意识的反思实践过程的方面；【课题】8．2【教学目标】 知识目标： （1）了解直线与方程的关系；直线的方程（二）（2）掌握直线的点斜式方程、斜截式方程，理解直线的一般式方程． 能力目标： 培养学生解决问题的能力与计算能力． 【教学重点】 直线方程的点斜式、斜截式方程． 【教学难点】 根据已知条件，选择直线方程的适当形式求直线方程． 【教学设计】- 60 -采用“问题――分析――联系方程”的步骤，从学生熟知的一次函数图像入手，分析图 像上的坐标与函数解析式的关系， 把函数的解析式看作方程， 图像是具有某种特征的平面点 集（轨迹） ．很自然地建立直线和方程的关系，把函数的解析式看作方程是理解概念的关键． 导出直线的点斜式方程过程， 是从直线与方程的关系中的两个方面进行的． 首先是直线 上的任意一点的坐标都是方程的解，然后是以方程的解为坐标的点一定在这条直线上． 直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特例． 直线的斜截式方程与一次函数的解析式 具有相同的形式．要强调公式中 b 的意义． 直线的一般式方程的介绍，分两个层次来处理也是唯一的．首先，以问题的形式提出前 面介绍的两种直线方程都可以化成一般的二元一次方程的形式．然后按照二元一次方程Ax ? By ? C ? 0 的系数的不同取值，进行讨论．对 y ? ?C C 与 x ? ? 只是数形结合的进行说 B A明．这种方式比较适合学生的认知特征． 【教学备品】 教学课件． 【课时安排】 2 课时．(90 分钟) 【教学过程】 教 过 *揭示课题 8．2 直线的方程（二） *创设情境 兴趣导入 【问题】 我们知道，方程 x ? y ? 1 ? 0 的图像是一条直线，那么方程 的解与直线上的点之间存在着怎样的关系呢？ 5 *动脑思考 探索新知 【新知识】 已知直线的倾角为 45? ，并且经过点 P 0 (0,1) ，由此可以确 定一条直线 l．设点 P( x, y) 为直线 l 上不与点 P 0 (0,1) 重合的 任意一点（图 8－6） ． 讲解- 61 -学 程教师 行为学生 行为教学 意图时 间介绍了解 启发 学生0质疑思考引导 分析思考思考教 过学 程教师 行为 说明学生 行为教学 意图时 间带领 学生 分析 图 8－6k ? tan 45? ? y ?1 ， x?0引领 分析理解即x ? y ?1 ? 0 ．这说明直线上任意一点的坐标都是方程 x ? y ? 1 ? 0 的解． 设点 P 1 ( x1 , y1 ) 的 坐 标 为 方 程 x ? y ? 1 ? 0 的 解 ， 即x1 ? y1 ? 1 ? 0 ，则y1 ? 1 ? k ? tan 45? ， x1 ? 0已知直线的倾角为 45? ，并且经过点 P 0 (0,1) ，只可以确定? 一条直线 l．这说明点 P 0 (0,1) 且倾角为 45 1 ( x1 , y1 ) 在经过点 P的直线上． 思考 一般地，如果直线（或曲线）L 与方程 F ( x, y) ? 0 满足下 列关系： ⑴ 直线（或曲线） L 上的点的坐标都是二元方程F ( x, y) ? 0 的解；⑵ 以方程 F ( x, y) ? 0 的解为坐标的点都在直线（或曲线）L 上．那么，直线（或曲线） L 叫做二元方程 F ( x, y) ? 0 的直线 （或曲线） ，方程 F ( x, y) ? 0 叫做直线（或曲线） L 的方程. 记仔细 分析 讲解- 62 -教 过学 程教师 行为 关键 词语学生 行为教学 意图时 间作曲线 L : F ( x, y) ? 0 或者曲线 F ( x, y) ? 0 ． 例 如 ， 直 线 l 的 方 程 为 x ? y ?1 ? 0 ， 可 以 记 作 直 线l : x ? y ? 1 ? 0 ，也可以记作直线 x ? y ? 1 ? 0 ．下面求经过点 P 且斜率为 k 的直线 l 的方程 （如 0 ( x0 , y0 ) ， 图 8－7） ． 理解图 8－7 在直线 l 上任取点 P( x, y) （不同于 P ，由斜率公式可 0 点） 得引导 式启 发学 生得 出结 果y ? y0 ， k? x ? x0即y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ．显然，点 P 0 ( x0 , y0 ) 的坐标也满足上面的方程． 方程y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ，（8．4）记忆k 叫做直线的点斜式方程． 其中点 P 0 ( x0 , y0 ) 为直线上的点， 为直线的斜率． 【说明】 当直线经过点 P 0 ( x0 , y0 ) 且斜率不存在时，直线的倾角为- 63 -教 过学 程教师 行为学生 行为教学 意图时 间90°，此时直线与 x 轴垂直，直线上所有的点横坐标都是 x0 ， 因此其方程为 x ? x0 ． *巩固知识 典型例题 例 2 在下列各条件下，分别求出直线的方程：? （1）直线经过点 P 0 (1, 2) ，倾角为 45 ；20说明 强调观察 通过（2）直线经过点 P 1 (3, 2) ， P 2 (?1, ?1) ． 引领 解 （1）由于 ? ? 45? ，故斜率为k ? tan ? ? tan 45 ? 1 ，?例题 思考 进一 步领 会 讲解 主动 求解又因为直线经过点 P 0 (1, 2) ，所以直线方程为y ? 2 ? 1 ? ( x ? 1) ，说明即x ? y ?1 ? 0 ．（2）直线过点 P 1 (3, 2) ， P 2 (?1, ?1) ，由斜率公式得 引领?1 ? 2 3 k? ? ． ?1 ? 3 4思考注意 观察 学生故直线的方程为3 y ? 2 ? ( x ? 3) ， 4是否 讲解 说明 主动 求解 理解 知识 点即 【想一想】3x ? 4 y ? 1 ? 0 ．例 2（2）题中，如果利用点 P2 (?1, ?1) 和 k ? 方程，结果是否一样，为什么？ *动脑思考 探索新知3 写出的直线 430- 64 -教 过 【新知识】学 程教师 行为学生 行为教学 意图时 间如图 8－8 所示，设直线 l 与 x 轴交于点 A(a, 0) ，与 y 轴 交于点 B(0, b) ．则 a 叫做直线 l 在 x 轴上的截距（或横截距） ；b 叫做直线 l 在 y 轴上的截距（或纵截距） ．【想一想】 直线在 x 轴及 y 轴上的截距有 可能是负数吗？总结 归纳思考 归纳带领 学生 总结图 8－8 仔细 【新知识】 设直线在 y 轴上的截距是 b，即直线经过点 B(0, b) ，且斜 率为 k ．则这条直线的方程为 分析 讲解 关键 词语 理解 记忆y ? b ? k ( x ? 0) ，即 方程y ? kx ? b ．y ? kx ? b（8． 5）叫做直线的斜截式方程．其中 k 为直线的斜率， b 为直线在 y 轴的截距． *巩固知识 典型例题 例 3 设直线 l 的倾角为 60°，并且经过点 P（2，3） ．40- 65 -教 过学 程教师 行为学生 行为教学 意图时 间（1）写出直线 l 的方程； （2）求直线 l 在 y 轴的截距． 解 （1）由于直线 l 的倾角为 60°，故其斜率为k ? tan 60? ? 3 ．引领 分析观察通过 例题 进一又直线经过点 P（2，3） ，由公式(8.4)得知直线的方程为 思考步领 会 讲解 说明 主动 求解y ? 3 ? 3( x ? 2) ．（2）将上面的方程整理为y ? 3x ? 2 3 ? 3 ．这是直线的斜截式方程， 由公式(8.4)知直线 l 的在 y 轴的 截距为 3 ? 2 3 ． 【想一想】 例3 （2） 中， 求直线在 y 轴的截距还有其他的方法吗？ *运用知识 强化练习 1．作出 y ? 中的点． 提问 2．设点 P(a,1) 在直线 3x ? y ? 5 ? 0 上，求 a 的值． 3．根据下列各直线满足的条件，写出直线的方程： （1）过点 (5, 2) ，斜率为 3； 距为 5，斜率为 4． 4．分别求出直线 y ? 8 ? 5( x ? 1) 在 x 轴及 y 轴上的截距． （2）在 y 轴上的截 巡视 指导1 x 的图像，并判断点 P (?2,3) 、Q(4, 2) 是否为图像 250及时 思考 求解 了解 学生 知识 掌握 得情 况60- 66 -教 过 *创设情境 兴趣导入 【问题】学 程教师 行为学生 行为教学 意图时 间质疑思考引导 启发 学生y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 可 化 为 kx ? y ? y0 ? kx0 ? 0 ；y ? kx ? b 可化为 kx ? y ? b ? 0 ，由此看到，直线的点斜式方程与斜截式方程都可化为二元一次方程的一般形式 引导 分析 参与 分析思考Ax ? By ? C ? 0 ．那么，能不能说，一般形式的二元一次方程65Ax ? By ? C ? 0 就是直线的方程呢？*动脑思考 探索新知 【新知识】 （1） 当 A ? 0 ，B ? 0 时， 二元一次方程 Ax ? By ? C ? 0 可 化为 y ? ? 线． （ 2 ）当 A ? 0 ， B ? 0 时，方程为 y ? ?C ，表示经过点 B A C A C x ? ．表示斜率为 k ? ? ，纵截距 b ? ? 的直 B B B B总结 归纳思考 归纳C? ? P ? 0, ? ? 且平行于 x 轴的直线（如图 8－9） ． B? ?带领 学生 理解 记忆 总结（3）当 A ? 0 ， B ? 0 时，方程为 x ? ?C ，表示经过点 A 仔细分析 讲解 关键 词语? C ? ． P ? ? , 0 ? 且平行于 y 轴的直线（如图 8－10） ? A ?所以，二元一次方程 Ax ? By ? C ? 0（其中 A、B 不全为 零）表示一条直线．72- 67 -教 过学 程教师 行为学生 行为教学 意图时 间图 8－9 方程图 8－10Ax ? By ? C ? 0 （其中 A、B 不全为零）叫做直线的一般式方程． *巩固知识 典型例题 例 4 将方程 y ? 2 ?（8.6）说明 1 ( x ? 1) 化为直线的一般式方程，并分别 2 强调观察求出该直线在 x 轴与 y 轴上的截距． 解 由 y?2?1 ( x ? 2) 得 23x ? 2 y ? 6 ? 0 ．引领思考通过 例题 进一 步领这就是直线的一般式方程．在方程中令 y ? 0 ，则 x ? ?2 ，讲解主动 求解会故直线在 x 轴上的截距为 ?2 ；令 x ? 0 ，则 y ? 3 ，故直线在 说明 y 轴上的截距为 3． 【说明】 本教材中，如果不作特殊说明，作为结果，直线的方程都 要求写成一般式方程． *运用知识 强化练习 1．将下列直线方程化为一般方程： 启发74思考可以- 68 -教 过 （1） y ?学 程 （2） y ? 2 ? ?教师 行为 引导 3 ( x ? 1) ． 4学生 行为 了解教学 意图 交给 学生 自我时 间1 x?2 ； 22．已知 ?ABC 的三个顶点分别为 A(?3, 0) ， B(2, ?1) ，提问 巡视 指导动手 求解发现 归纳 78C (?2,3) ，求 AC 边上的中线所在直线的方程．*理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题： 直线的点斜式方程、斜截式方程、一般式方程？ 结论： 方程y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ， 叫做直线的点斜式方程．其质疑回答及时 了解 学生k 中点 P 0 ( x0 , y0 ) 为直线上的点， 为直线的斜率．方程y ? kx ? b叫 做 直 线 的斜 截 式 方 归纳知识 掌握 情况 强调程．其中 k 为直线的斜率， b 为直线在 y 轴上的截距． 方程 Ax ? By ? C ? 0 （其中 A、B 不全为零） 叫做直线 的一般式方程．82 *归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？ 你的学习效果如何？ 求直线 x ? 2 y ? 8 ? 0 在 x 轴、y 轴上的截距及}