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单调有界数列必有极限 怎么证明
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设{x[n]}单调有界（不妨设单增）,那么存在M>=x[n]（任意n）所以{x[n]}有上确界,记作l对任意正数a,存在自然数N,使得x[N]>l-a因为x[n]单增,所以当n>=N时,l-a<x[n]<l所以|x[n]-l|<a所以{x[n]}极限存在,为l
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扫描下载二维码单调有界数列存在极限的一种证明
单调有界数列存在极限是实数理论中的一个重要定理,实数理论中的其他定理都可以它为基础得到证明。但在许多数学分析教材中,对这一定理,一般都不加证明的直接给出,或将实数定理中的确界定理不加证明的给出,以此来证明单调有界数列必有极限。这些处理方式都与数学的一大特点——逻辑推理的严密性相违背。而单调有界数列存在极限与确界定理都可以利用实数的构造加以证明。如文[1]给出了确界定理的证明。与有界数集相比,单调有界数列具有有序性和递增(减)性,因而利用实数构造证明单调有界数列存在极限相对于证明有界数集存在确界来说,叙述更简捷。同时通过对单调有界数列存在极限的证明,还可清楚地观察到这类数列当扎趋于无穷大时增减幅度的变化特点及验证柯西收敛准则。’ 定理:单调有界数列存在极限。 几点说明: (1)若数列{z。}单调减少有下界,则令y。=一z。,得数列{弘}单调增加有上界。 (2)对单调增加数列{z。},若z.0,对V”∈』\,(自然数集),有‘≤A贝...&
(本文共3页)
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1.问题的提出“2010年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅰ卷)理科数学(必修+选修Ⅱ)”第22题(Ⅱ)中给出了一个单调递增且有界数列的求解问题:已知数列｛an｝中,a1=1,an+1=c-a1n.(Ⅱ)求使不等式ana1得c2.用数学归纳法证明:当c2时ana1,命题成立;(ⅱ)设当n=k时,akc-a1k=ak+1.故由(ⅰ)(ⅱ)知,当c2时an2时,令a=c+槡2c2-4,由an+a1n130时,a3,且1≤anlog3aa--31时,a-an+13.因此c130不符合要求.所以c的取值范围是2,10(]3.这道题考查...&
(本文共1页)
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引理 1　设 {an}是单调数列 ,{bn}是其子列 ,若{bn}有极限 ,则 {an}也有同样的极限[1] 。　　设 {an}是单调递增有界数列 ,不妨设a0 =0 ,an1 (n=1 ,2 ,3…… ) ;于是 {an} [0 ,1 ) ,将区间 [0 ,1 )记作I0 。现在只要把区间I0 平分然后不断地进行平分 ,以便作出收敛的数列 {Cn};具体作法如下 :先取I0 的中点作为C1,即C1=0 .1 (采用二进制表示 )。C2 ,C3 …的取法 ,用U表示 {an}的上界的集合。若C1∈ ( )U ,则把I0 区间的左 (右 )半区间记作I1,它是C0 =0C1 =0 .1C1 1　　取I1的中点作为C2 ,即C2 =0 .0 1 (0 .1 1 ) ,若C2∈ ( )U ,则把I1的左 (右 )半区间 (长度 =2 -2 )记作I2 ,其右 (左 )端点是C2 ,取I2 的中点作为C3 ,则C3 =C2 $C (+)...&
(本文共1页)
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研究数列极限问题,通常分两部走。第一,考察所给数列是否有极限(极限的存在性问题);第二,若数列的 极限存在,则考察如何计算极限(极限值的计算问题)。这是讨论极限问题的两个基本方面。在实际应用中,第 一个问题的解决是讨论极限问题的关键。 1关于利用‘.单调有界定理”证明时,单调性与有界性证明的先后顺序问题 从判定定理内容叙述,即单调有界数列必收敛。我们通常会在应用定理的过程中,主观地认为应先证明数 列的单调性,再证明其有界性,其实不然,在证明过程中应根据问题的特征来决定证明的先后顺序,通常分为以 下三种情况: 当有界性与单调性的证明不相关时,其证明不分先后顺序; 当有界性与单调性的证明相关时,即单独证明单调性比较困难,而利用有界性结论能顺利地确定其单调 当有界性与单调性的证明相关时,即单独证明有界性比较困难,而利用单调性结论能顺利确定其有界性。 具体事例如下: (l)有界性与单调性的证明不相关时 证明:极限Lim探存在并求值。 (...&
(本文共4页)
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1 .引理和引言引理 1 [1 ] 单调有界数列必有极限。在极限理论中 ,作为引理 1的应用 ,讨论Ｘｎ=(1 +1ｎ) ｎ 的极限存在问题是非常重要的 ,并应用其极限步骤定义了自然对数的底ｅ。文 [1 -5 ]中 ,通过牛顿二项式定理展开Ｘｎ=(1 +1ｎ) ｎ,证明 {Ｘｎ}是单调有界数列。本文通过构造不等式ｂｎ + 1 -ａｎ + 1ｂ -ａ (ｎ +1 )ｂｎ(0≤ａ ｂ) ,能更为简便快捷地得出数列 {(1+1ｎ) ｎ}是单调递增有上界的数列 ,从而证明了ｌｉｍｎ→∞(1 +1ｎ) ｎ 存在。2 .证明ｌｉｍｎ→∞(1 +1ｎ) ｎ 存在首先 ,建立不等式ｂｎ + 1 -ａｎ + 1ｂ -ａ (0≤ａ ｂ) (1 )[(1 )式可由 0≤ａ ｂ立即得到。实际上ｂｎ + 1 -ａｎ + 1ｂ -ａ =ｂｎ +ａ·ｂｎ - 1 +ａ2 ·ｂｎ - 2 +……+ａｎ - 1 ·ｂ +ａｎ ｂｎ +ｂ·ｂｎ - 1 +ｂ2 ｂ...&
(本文共2页)
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下述事实是熟知的:设{气}二:为一数列,如limx,=。则!,ma,现对此命题予以推厂.我们以Card人表示有限集A中元素的个数,付恒表示自然数集合。定理卜设(l)IUJ=~,InJ=。;(2):i九青一d(,。{1,2,3,…,·})一(,):‘二青card(,。{1,2,3,…,n}卜m(z)(3){x,}黑,为非负实数列,!tmx,=a一imx。=b.(,{‘几x,=m(I)a+。(J)b收搞口期:吴玲琳刘世芬:算术平均序列的收效性 证:显然m(I))0,川a0,b0的情况进行证明。 任给。O,不妨设。o,m(J)o,{。,b,m(I),m(J)}记。:=。(m(I)+m(J)+Za+Zb+4)一’取N:6付使。Nl时成交。card(I自{l,2,3,…,n} n_。(,,…‘“’eard(泊{l,2,3,…,n}) n_,(J。…一}二二一。{}x,一b}艺x,N.,使。N时,l陀则有xl+从+…十x...&
(本文共6页)
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