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openresty/1.11.2.44．基本不等式的证明方法: [精典范例] 例1．.设a.b为正数, 求证明: 点评:——精英家教网——
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4．基本不等式的证明方法: [精典范例] 例1．.设a.b为正数, 求证明: 点评: 【】
题目列表(包括答案和解析)
命题“在△ABC中，若∠C是直角，则∠B一定是锐角．”的证明过程如下：
假设∠B不是锐角，则∠B是直角或钝角，即∠B≥90°，所以∠A＋∠B＋∠C≥∠A＋90°＋90°＞180°，这与三角形的内角和等于180°矛盾所以上述假设不成立，所以∠B一定是锐角．本题采用的证明方法是
数学归纳法
下列不等式的证明过程正确的是（　　）A．若a，b∈R，则ba+ab≥2ba?ab=2B．若x，y∈R+，则lgx+lgy≥2lgxlgyC．若x∈R-，则x+4x≥-2x?4x=-4D．若x∈R-，则2x+2-x≥22x?2-x=2
下列命题中①、归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；②、类比是由特殊到特殊的推理；③、演绎推理是一般到特殊的推理；④从推理的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待证明，而演绎推理的结论是一定正确的；⑤、执因索果的证明方法是分析法．其中正确的个数是（　　）A、1B、2C、3D、4
4、命题“在△ABC中，若∠C是直角，则∠B一定是锐角．”的证明过程如下：假设∠B不是锐角，则∠B是直角或钝角，即∠B≥90°，所以∠A+∠B+∠C≥∠A+90°+90°＞180°，这与三角形的内角和等于180°矛盾所以上述假设不成立，所以∠B一定是锐角．本题采用的证明方法是（　　）A、数学归纳法B、分析法C、综合法D、反证法
下列不等式的证明过程正确的是 (　　) A．若，则&&& B．若，则C．若，则&D．若，则&
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施瓦茨不等式的证明
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[x,y]^2 ≤ [x,x]*[y,y]设x=(x1,x2...xn)y=(y1,y2...yn)则[x,y]^2=(x1y1+x2y2+...xnyn)^2[x,x]*[y,y]=(x1^2+x2^2+...xn^2)(y1^2+y2^2+...+yn^2)首先构造方程(x1z-y1)^2+(x2z-y2)^2+...+(xnz-yn)^2=0z是未知数,其他的是参数.我们知道这个方程最多只有一个解,这个方程可以改成(x1^2+x2^2+...xn^2)z^2-2*=(x1y1+x2y2+...xnyn)*z+(y1^2+y2^2+...+yn^2)=0那么它的Δ<=0也就是说=4(x1y1+x2y2+...xnyn)^2-4(x1^2+x2^2+...xn^2)(y1^2+y2^2+...+yn^2)<=0则[x,y]^2 ≤ [x,x]*[y,y]
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绝对值的三角不等式；不等式证明的基本方法
绝对值的三角不等式；不等式证明的基本方法
二. 教学目的
1、掌握绝对值的三角不等式；
2、掌握不等式证明的基本方法
三. 知识分析
［绝对值的三角不等式］
&&&&&& 定理1& 若a，b为实数，则，当且仅当ab≥0时，等号成立。
&&&&&& 几何说明：（1）当ab&0时，它们落在原点的同一边，此时a与－b的距离等于它们到原点距离之和。
（2）如果ab&0，则a，b分别落在原点两边，a与－b的距离严格小于a与b到原点距离之和（下图为ab&0，a&0，b&0的情况，ab&0的其他情况可作类似解释）。
|a－b|表示a－b与原点的距离，也表示a到b之间的距离。
定理2& 设a，b，c为实数，则，等号成立，即b落在a，c之间。
&&&&&& 推论1&
&&&&&& 推论2&
［不等式证明的基本方法］
& 1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用的方法，基本不等式就是用比较法证得的。
比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负。
&&& 比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。
&&& 如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则可考虑用到判别式法证。
2、所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。
&&& 所谓分析法，就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，或者是显然成立的不等式，可简称“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“”表述。
&&& 综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法，其中分析法既可以寻找解题思路，如果表述清楚，也是一个完整的证明过程．注意综合法与分析法的联合运用。
3、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。
4、放缩法：欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得，，再利用传递性，达到证明的目的．这种方法叫做放缩法。
【典型例题】
& 例1、已知函数，设a、b∈R，且a≠b，求证：
&&&&&& 思路：本题证法较多，下面用分析法和放缩法给出两个证明：
&&&&&& 证明：
&&&&&& 证法一：
&&&&&& &&&&&&&&&& ①
当ab≤－1时，式①显然成立；
当ab&－1时，式①&& ②
∵a≠b，∴式②成立。故原不等式成立。
证法二：当a=－b时，原不等式显然成立；
当a≠－b时，
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
∴原不等式成立。
点评：此题还可以用三角代换法，复数代换法、数形结合等证明，留给读者去思考。
& 例2、设m等于|a|、|b|和1中最大的一个，当|x|&m时，求证：。
&&&&&& 思路：本题的关键是对题设条件的理解和运用，|a|、|b|和1这三个数中哪一个最大？如果两两比较大小，将十分复杂，但我们可以得到一个重要的信息：m≥|a|、m≥|b|、m≥1。
&&&&&& 证明：
&&&&&& 故原不等式成立。
&&&&&& 点评：将题设条件中的文字语言“m等于|a|、|b|、1中最大的一个”转化为符号的语言“m≥|a|、m≥|b|、m≥1”是证明本题的关键。
& 例3、函数的定义域为［0，1］且。当∈［0，1］，时都有，求证：。
&&&&&& 证明：不妨设，以下分两种情形讨论。
&&&&&& ，若
&&&&&& 综上所述
&&&&&& 点评：对于绝对值符号内的式子，采用加减某个式子后，重新组合，运用绝对值不等式的性质变形，是证明绝对值不等式的典型方法。
& 例4、已知a&0，b&0，求证：。
&&&&&& 思路：如果用差值比较法，下一步将是变形，显然需要通分，是统一通分，还是局部通分？从题目结构特点看，应采取局部通分的方法。
&&&&&& 证明：
&&&&&& &&&&&&&&&& ①
&&&&&&&&&& ②
∴原不等式成立。
点评：在上面得到①式后，其分子的符号可由题设条件作出判断，但它没有②明显，所以，变形越彻底，越有利于最后的判断，本题还可以用比值比较法证明，留给读者去完成。
& 例5、设x&0，y&0，且x≠y，求证：
&&&&&& 思路：注意到x、y的对称性，可能会想到重要不等式，但后续思路不好展开，故我们可采用分析法，从消去分数指数幂入手。
&&&&&& 证明：∵x&0，y&0，且x≠y，
&&&&&& 点评：在不便运用比较法或综合法时，应考虑用分析法。应注意分析法表述方法，其中寻求充分条件的语句常用符号“”表述。本题应用了分析法，既找到了解题思路，又使问题完满地得到了解决，可谓一举两得。
& 例6、已知a、b、c∈R+，求证：。
&&&&&& 思路：因不等式的左边的两个因式都可以进行因式分解。结合a、b、c∈R+的条件，运用重要不等式，采用综合法进行证明。
&&&&&& 解析：
&&&&&& 点评：用重要不等式证明不等式，一要注意重要不等式适用的条件，二要为运用重要不等式创造条件。另外，同向不等式相加或相乘，在综合法中常用到。
& 例7、证明：对于任意实数x、y，有
&&&&&& 思路：采取分析法和比较法二者并用的方法来处理。
&&&&&& 证明：用分析法
不等式②显然成立，下面证明不等式①
点评：上述证明中，前半部分用的是分析法，后半部分用的是比较法，两种方法结合使用，使问题较容易解决，这一点应加以注意。
& 例8、（1）用反证法证明以下不等式：已知，求证p+q≤2。
（2）试证：（n≥2）。
思路：运用放缩法进行证明。
证明：（1）设p+q&2，则p&2－q，
这与=2矛盾，
又。将上述各式两边分别相加得
点评：用放缩法证明不等式过程中，往往采用添项或减项的“添舍”放缩，拆项对比的分项放缩，函数的单调性放缩，重要不等式放缩等。放缩时要注意适度，否则不能同向传递。
【模拟试题】
& 1、设a、b是满足ab&0的实数，那么（&&& ）
&&&&&& A、&&&&&&&&&&&&&&&&&& B、
C、&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D、
& 2、设ab&0，下面四个不等式①|a+b|&|a|；②|a+b|&|b|；③|a+b|&|a－b|；④|a+b|&|a|－|b|中，正确的是（&&& ）
&&&&&& A、①和②&&&&&&&&&&& B、①和③&&&&&&&&&&& C、①和④&&&&&&&&&&& D、②和④
& 3、下面四个式子①；②；③；④中，成立的有（&&& ）
&&&&&& A、1个&&&&&&&& B、2个&&&&&&&&& C、3个&&&&&&&& D、4个
& 4、若a、b、c∈R，且，则下列不等式成立的是（&&& ）
&&&&&& A、&&&&&&&&&&&&&&&& B、
C、&&&&&&&&&&&&&&& D、
& 5、设a、b、c∈R，且a、b、c不全相等，则不等式成立的一个充要条件是（&&& ）
&&&&&& A、a、b、c全为正数&&&&&&&&&&&&&&&& B、a、b、c全为非负实数
C、&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D、
& 6、已知a&0，－1&b&0则（&&& ）
&&&&&& A、&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B、
C、&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D、
& 7、设实数x、y满足，若对满足条件的x、y，x+y+c≥0恒成立，c的取值范围是（&&& ）
&&&&&& A、&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B、
C、&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D、
& 8、对于任意的实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围是_________。
& 9、若a&c&b&0，则的值的符号为__________。
& 10、设a、b、c∈R+，若，则__________。
& 11、已知x，y∈R，且，则z的取值范围是__________。
& 12、设，
&&&&&& 求证：。
& 13、已知a、b是不等正数，且，
&&&&&& 求证：。
& 14、已知，求证：中至少有一个不小于。
& 15、设a、b为正数，求证：不等式&&&&&& ①
成立的充要条件是：对于任意实数x&1，有&&&&&&&&& ②
【试题答案】
& 1、B&&&&&&&&& 2、C&&&&&& 3、C&&&&&& 4、B&&&&&& 5、C&&&&&& 6、D&&&&& 7、A
& 8、（－∞，3）
& 12、证明：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
& 13、证明：a、b是不等正数，且
&&&&&&&&&&
&&&&&& 而一定成立，故成立。
& 14、证明：用反证法。假设都小于，则，
&&&&&& ，相互矛盾，
&&&&&& 中至少有一个不小于。
& 15、证明：设，那么不等式②对恒成立的充要条件是函数的最小值大于b。
&&&&&& 当且仅当，时，上式等号成立。
&&&&&& 故的最小值是。
&&&&&& 因此，不等式②对x&1恒成立的充要条件是&b。
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不等式的证明测试题
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