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媒体信号编码第6章.ppt 149页
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媒体信号编码第6章
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6.1　变换编码的基本概念和原理6.1.1　变换编码的概念与历史　　20世纪70年代后，科学家们开始探索比预测编码效率更高的编码方法，这就是变换编码。变换编码是指先对信号进行某种函数变换(一般采用正交变换)，从一种信号空间变换到另一种信号空间，然后再对变换后的信号进行编码。如将时域信号变换到频域，因为声音、图像大部分信号都是低频信号，在频域中信号的能量较集中，再进行采样、编码，那么就能够压缩数据。以大家熟悉的傅里叶变换为例，时域的单频正弦信号经过傅里叶变换后，成为频域的单根谱线，在频域描述单根谱线所需要的比特数显然少于在时域描述正弦信号的比特数，从而实现数据压缩。;　　变换编码的通用模型如图6-1所示，它一般经过映射变换、变换域系数二次量化、量化系数的统计编码(熵编码)三个步骤。映射变换的作用是把信号从一个域变换到另一个域，使信号在变换域容易进行压缩，变换后的样值更独立和有序。在采用实数变换的情况下，变换编码一般为可逆变换，即变换前和变换后的数据是一一对应的，变换编码的数据压缩作用主要是依靠二次量化和统计编码实现。广义上说，预测编码、游程编码等都可以纳入图6-1所示模型，只是根据实用技术上的习惯，未将其归入变换编码范畴。;;原始图像及其幅度谱;33 percent coefficients containing 99 percent of total energy (not including DC component);10 percent coefficients containing 975 percent coefficients containing 952 percent coefficients containing 926.1.2　正交变换与正交矩阵　　首先，根据矩阵代数理论，线性变换可以定义为
(6-1)其中, X为矢量信号，X=(x1, x2, …, xN)T是由N个分量组成的列向量；A是一个N×N 的矩阵，称为此变换的核矩阵；变换结果Y=(y1, y2, …, yN)T也是由N个分量组成的列向量，称为X的像。式(6-1)反映了Y坐标系与X坐标系的基矢量之间的关系。　　如果线性变换能保持N维矢量信号X的模‖X‖不变，则称此变换为正交变换，此时A为正交矩阵。A为正交矩阵的充要条件为
　AAT=ATA=I
(6-2);其中, I为单位阵，AT为A的转置。又AA－1=I，因此正交矩阵为满秩阵，其逆矩阵A－1等于它的转置矩阵AT，即A－1=AT。由于逆矩阵的存在，保证了可用反变换得到唯一确定的复原信号X′，即正交变换保证了X与Y的一一对应关系，如式(6-3)所示。这是一个能使正交变换在媒体信号压缩编码中得到应用的重要性质。
X′=ATY=ATAX=X
(6-3)　　其次，根据矩阵代数理论，一个实对称矩阵Φ，必然存在一个正交矩阵Q及其转置矩阵QT，使得：
(6-4)式中，Λ为对角阵，即;l1, l2, …, lN为实对称矩阵F的N个特征根，而矩阵QT=［q1q2…qN］T的第i个列向量qi(称为矩阵F的特征向量)和F的特征根li满足;6.1.3　正交变换的压缩原理　　现在以一个简单的例子说明变换编码实现数据压缩的基本原理。设对一个缓变均匀分布的信号的采样值采用3比特进行编码，每个样本有23=8个幅度等级，则相邻两个样值x1和x2的联合事件x1x2共有8×8=64种可能性，可以用图6-2所示的二维平面坐标表示，其中x1轴和x2轴分别表示相邻两样本的可能取值。由于信号缓慢变化，那么相邻两个样值的幅度等级变化差异不大，那么联合事件x1x2出现在图6-2所示的阴影区内的概率就很大。或者说，绝大多数的x1x2联合事件位于图6-2所示的阴影区内。不妨将此阴影区称为x1和x2相关区，x1和x2越相关，此阴影区越扁；x1和x2越不相关，此相关区就越加“方圆”。如果相邻两个样值幅度等级最多差1，那么x1x2联合事件全部出现在此阴影区内。　 ;;
6.2　KLT编码　　KLT可使变换后的各个分量之间在统计上互不相关。离散KLT有时也称为霍特林(Hoteling)变换，经霍特林变换后离散信号的各分量不再具有相关性。下面讨论KLT及其性质。　　对于一个离散信号序列，若每一个信号由n个样
正在加载中，请稍后...③、若AB，则r(A)?r(B)；；④、若P、Q可逆，则r(A)?r(PA)?r(A；⑧、如果A是m?n矩阵，B是n?s矩阵，且AB?；Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AX?0解（转置运；⑨、n阶方阵A可逆?r(A)?n?|A|?0，A；5.对于方阵An；A为A的唯一的n阶子式,；A中aij的余子式Mij为A的n?1阶子式；；A?0?r(A)?n?A为满秩矩阵
③、若AB，则r(A)?r(B)； ④、若P、Q可逆，则r(A)?r(PA)?r(AQ)?r(PAQ)；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max(r(A),r(B))?r(A,B)?r(A)?r(B)； ⑥、r(A?B)?r(A)?r(B)； ⑦、r(AB)?min(r(A),r(B))； ⑧、如果A是m?n矩阵，B是n?s矩阵，且AB?0，则：
Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AX?0解（转置运算后的结论）；
Ⅱ、r(A)?r(B)?n ⑨、n阶方阵A可逆?r(A)?n?|A|?0，A不可逆?r(A)?n?|A|?0；
5.对于方阵An A为A的唯一的n阶子式,
A中aij的余子式Mij为A的n?1阶子式； A?0?r(A)?n?A为满秩矩阵；A?0?r(A)?n?1?A为降秩矩阵 A?0，规定r(A)?0,A?0?r(A)?0,6.求矩阵秩的方法
①.A经初等行变换化为行阶梯型阵B,则R(A)?B的非零行的行数； ②.按定义从高到低或者从低到高阶求非零子式的最高阶数； ③.A为抽象矩阵利用秩的不等式证明 r?R(A)?r. A?0?r(A)?1
向量组的线性相关性 1.若Am?n?Bn?s?Cm?s，则 （1） C的列向量组能由的A的列向量组线性表示，B为系数矩阵. (2)
C的行向量组能由的B的行向量组线性表示，A为系数矩阵.（转置） 2.m个n维列向量所组成的向量组A：?1,?2,,?m构成n?m矩阵A?(?1,?2,,?m)； TT,m个n维行向量所组成的向量组B：?1T,?2??1T??T??T,?m构成m?n矩阵B??2?； ?????T???m?3.如何判别向量组的线性相关性？ 若?1,?2,?,?m为具体列向量组 ① 利用矩阵秩． 设?1,?2,?,?m为列向量组，作矩阵A?(?1,?2,1）当R(A)?m时，?1,?2,?,?m线性相关； 2）当R(A)?m时，?1,?2,?,?m线性无关． ② 利用线性相关性定义，转化为解线性齐次方程组． 设?1,?2,?,?m为列向量组，解齐次线性方程组
x1?1?x2?2?1) 当该方程组有非零解时，?1,?2,?,?m线性相关； 2) 当该方程组只有零解时，?1,?2,?,?m线性无关． ③
利用行列式． 设?1,?2,?,?m是m个m维列向量，A?(?1,?2,1) 当|A|?0时，?1,?2,?,?m线性相关； 2) 当|A|?0时，?1,?2,?,?m线性无关． 若?1,?2,?,?m为抽象向量组 ①主要使用定义法， 先设k1?1?k2?2?② 用秩的一些定理公式 ③ 若n维向量组?1,?2,?3线性无关，且 ,?m)，求出矩阵秩R(A)，则 ?xm?m?0，则 ,?m)，则 ?ks?s?0 ,通过恒等变形(重新组合)得 k1?k2??ks?0 ?c11??1,?2,?3????1,?2,?3???c21?c?31c11则 ?1,?2,?3线性无关?c21c12c22c32c13??c23?， c33??c12c22c32c13c23?0 c33c314.矩阵Am?n与Bl?n行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax?0和Bx?0同解； 5.矩阵行等价：A~B?PA?B（左乘，P可逆）?Ax?0与Bx?0同解 矩阵列等价：A~B?AQ?B（右乘，Q可逆）； 若A与B行等价，则Ax?0与Bx?0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；
线性方程组 cr1. 线性方程组：Ax?b，其中A为m?n矩阵，则： ①、m与方程的个数相同，即方程组Ax?b有m个方程； ②、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax?b为n元方程； 2.Am?nx?b有解?b可由A的列向量线性表出(唯一解则表示式唯一,无穷多解则表示不惟一) ?R?A??R(A:b) Am?nx?b有两个不同的解?Am?nx?b有无穷多解?R?A??R(A:b)?n． （Am?n的列向量组线性相关） Am?nx?0有非零解?R(A)?n．3.求Am?nx?0的通解的步骤: (1).求R(A)
(2).求n?R(A)
(3).找Am?nx?0的n?R(A)个线性无关的解?1,?2,(4).Am?nx?0的通解为k1?1?k2?2?,?n?r，即基础解系； ?kn?r?n?r,k1,,kn?r为任意实数. 4.齐次方程组Am?nx?0如何确定自由变量? （1）对系数矩阵A作初等行变换化为阶梯型. （2）由R(A)确定自由变量的个数n?R(A). （3）确定一个不为零的R(A)阶行列式,则其余的n?R(A)列所对应的未知量就是自由变量. 5.求Am?nx?b的通解的步骤 方法：①(A:b)???行阶梯形 ②若A为方阵，求出A?0的条件，即唯一解的条件，再将A?0中的参数代入原方程组对行(Ab)???行阶梯形． 行若r(A)?r(A:b)?r?n，则Am?nx?b有穷多解，?1,?2,的特解，则Ax?b的通解为 ,?n?r为Ax?0的基础解系，?*为Ax?bx?k1?1?k2?2??kn?r?n?r??*，其中k1,,kn?r为任意常数． 6.由条件Am?nBn?s?0只需想到两点 ①B的列向量是齐次方程组Ax?0的解； ②r(A)?r(B)?n.
五、特征值与特征向量、相似矩阵与二次型
1. 正交矩阵:AA?AA?E.则称A为正交矩阵. T?1注1.A为正交阵,则A?A,A?1 2TT注2.A为正交阵,则AT,A?1,A*均为正交阵. 2.
注3. A为正交阵,则A的列向量都是单位向量，且两两正交，即aiTaj??3. 注4. 若A、B正交阵，则AB也是正交阵； 4. 注5. 求解正交阵时，千万勿忘施密特正交化和单位化。 5. 2. 施密特正交化：(a1,a2,,ar) b1?a1； ?1i?j?0i?j(i,j?1,2,n)； b2?a2?[b1,a2]b1
br?ar?[b1,ar][b,a]b1?2rb2?[b1,b1][b2,b2]?[br?1,ar]br?1 [br?1,br?1]3. 数 ?为方阵A的特征值?Ax??x?Ax??x?0?(A??E)x?0,x?0 ?(A??E)x?0有非零解?A??E?0． 4. 如何求特征值与特征向量？ (1)A为具体矩阵 第一步. 求解A??E?0得特征值?1,?2,,?n(可能有重根) 第二步. 对每个?i求出(A??iE)x?0的基础解系?1,...,?ni(即对应?i有ni个线性无关的特征向量) 第三步. ?i对应的全部特征为k1?1?(2)A为抽象矩阵 法一 ?为A的特征值?A??E?0;
法二 定义法Ax??x,x?o
矩阵 特征值 特征向量 8.
9. 5. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； 10. 对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交。 6. A,B相似，则有四同，即 ?kni?ni(k1,...,kni不全为零) A kA?lE Am A?1 A* f(A)
? X ?k?l X ?m X 1 ?X A?f(?) X ? 非X X (1) A?B；
(2) 相同的特征值；
(3) R(A)?R(B)；
(4) 7. 求正交矩阵Q（Q?1?QT）将实对称矩阵A对角化的步骤 ?a??biiii． (1) 求A的特征值与特征向量;
(2)A的特征值无重根,将特征向量单位化；若A的特征值有重根,,将重根对应的线性无关的特征向量正交化再单位化 (Schmidt正交化)得正交单位向量组?1,?2,?3 (3)构造正交阵Q???1,?2,?3?;
??1??1?2(4) QAQ??????8．矩阵的合同 ???
(注意?i与?i的对应) ?3??A和B为两个n阶对称矩阵,若存在n阶可逆矩阵C使CTAC?B，则称A与B合同，称由A到B的变换为合同变换. 注1经可逆线性变换原二次型矩阵与新二次型矩阵合同. 注2.C是正交矩阵,那么C?C,B?CAC?CAC,所以A,B不仅合同而且相似. 注3.任一实对称矩阵均合同且相似于一个对角阵 注4．若用正交变换x?Cy,xAx的特征值.
9. 求正交变换化二次型为标准形步骤 (1)写出二次型的矩阵A； (2)求出A的特征值及特征值对应的特征向量； (3)单位化(特征值有重根可能要正交化) ，得正交单位向量组?1,?2,?3； (4)构造正交阵Q???1,?2,?3?； (5)写出正交变换x?Qy,得xTAx??1y12??2y22?T?x?CyT?1T?1?yT?y(标准型)即A与?合同且A与?相似,其中?的对角线为A??nyn2 注:只有用正交变换化二次型为标准形时,标准形平方项的系数才是A的特征值.
10.矩阵的等价,相似,合同 11. ①、A与B等价?A经过初等变换得到B?PAQ?B，（P、Q可逆）?r(A)?r(B)，A、B同型； 12. ②、A与B合同?CTAC?B，（其中C可逆）?xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数； 13. ③、A与B相似 11. 合同?P?1AP?B； ??等价 ；
相似??等价；
在实对称的前提下,相似??合同. 12.证明矩阵正定常用的方法 （1）f(x1,,xn)?xTAx正定?规范标准形为y12?2． ?yn（2）n阶实对称阵A正定??x?0,xTAx?0?A的特征值?1,,?n全大于0 ?A的顺序主子式全大于0?A的正惯性指数为n．
（3）f(x1, 13. n阶方阵A各行元素之和为k? k是A的征值,??(1,1,14. 矩阵等价与向量组等价的联系与区别 一般地,矩阵等价??向量组等价, 向量组等价?? 矩阵等价 ,xn)?xTAx正定? aii?0,?i ? A?0 ,1)T是A属于k的特征向量 ?10??10?????例.A??01?,B??00?,矩阵A,B等价,但是他们的列向量组不等价. ?00??01??????1??1??2???????1??0??0,??与1????2?0?,两个向量组等价，但矩阵?1与??1,?2?不等价. ?0??0??0???????但Am?n???1,?2,则?1,?2,
,?n?,Bm?n???1,?2,,?n?, ,?n与?1,?2,,?n等价?矩阵A,B等价,但反之未必; 三亿文库包含各类专业文献、应用写作文书、生活休闲娱乐、专业论文、幼儿教育、小学教育、高等教育、中学教育、外语学习资料、79线性代数宝典1等内容。　
　线性代数第五版第一章常见试题及解答_理学_高等教育_教育专区。一、单项选择题...应届生求职季宝典 英文个人简历模板 创意简历模板汇集 推理型题分析与总结文档... 　线性代数易错及重点知识点 翔翔总结,不晓得大家看得懂不 2 3 4 1 7 2 7...CET四六级高分通关宝典 2014年6月大学英语六级考试真题及答案 2014年12月大学... 　线性代数宝典1 线性代数线性代数隐藏&& 线性代数的八种核心题型 题型一 求矩阵的行列式或行列式的值 题型二 求矩阵的逆或判断矩阵可逆 题型三 解矩阵方程 题型四... 　《线性代数》1~3章习题解答[1]_理学_高等教育_教育专区。《线性代数》1~3 ...CET四六级高分通关宝典 2014年6月大学英语六级考试真题及答案 2014年12月大学... 　关键词:线性代数宝典数学 同系列文档 线性代数宝典1 线性代数宝典2 线性代数宝典3 线性代数宝典51/2 相关文档推荐 线性代数复习宝典 41页 2财富值 线性代数复习宝... 　线性代数宝典2 线性代数线性代数隐藏&& 第一章 行列式 一、 行列式 1. n 阶行列式共有 n 个元素,展开后有 n ! 项,每项是来自不同行不同列元素的乘积的代... 　线性代数宝典5 线性代数线性代数隐藏&& 五、特征值与特征向量、相似矩阵与二次型 1. 正交矩阵: AAT ? AT A ? E .则称 A 为正交矩阵. 注 1. A 为正交... 　线性代数宝典3 线性代数线性代数隐藏&& 二、矩 1. 对于 n 阶矩阵 A : AA* ? A* A ? A E 无条件恒成立; 2. 求 A* 要注意两点: (1) A 中第 i...正交矩阵 - 搜狗百科
T=E（E为，A
T表示“矩阵A的”）或A
TA=E，则n阶
实矩阵A称为正交矩阵。
矩阵是实数特殊化的
，因此总是
。尽管我们在这里只考虑实数矩阵，这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。正交矩阵毕竟是从
内积自然引出的，对于复数的矩阵这导致了归一要求。
正交矩阵不一定是实矩阵。实正交矩阵（即该正交矩阵中所有元都是实数）可以看做是一种特殊的酉矩阵，但是存在一种复正交矩阵，复正交矩阵不是酉矩阵。
The orthogonal matrix
T=E（E为单位矩阵，A
T表示“矩阵A的转置矩阵”。）或A
TA=E，则n阶 实矩阵A称为正交矩阵， 若A为 ，则满足以下条件:
T是正交矩阵
（E为单位矩阵）
3) A的各行是且两两正交
4) A的各列是单位向量且两两正交
5) (Ax,Ay)=(x,y) x,y∈R
6) |A| = 1或-1
正交矩阵通常用字母Q表示。
举例：A=[r
则有：r11^2+r21^2+r31^2=^2+^2+^2=r13^2+r23^2+r33^2=1
r11*r12+r21*r22+r31*r32=0等性质
1. 方阵A正交的充要条件是A的行（列) 向量组是单位；
2. 方阵A正交的充要条件是A的n个行（列)向量是n维的一组；
3. A是正交矩阵的充要条件是：A的行向量组两两正交且都是单位向量；
4. A的组也是正交单位向量组。
5. 正交方阵是中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。
在 矩阵论中， 实数
正交矩阵是 方块矩阵Q，它的 是它的 ，如果正交矩阵的 为 +1，则我们称之为
特殊正交矩阵
下面是一些小正交矩阵的例子和可能的解释。
。 旋转 16.26°。 针对
x轴反射。 旋转反演(rotoinversion): 轴 (0,-3/5,4/5)，角度90°。 置换。
最简单的正交矩阵是 1×1 矩阵 [1] 和 [-1]，它们可分别解释为恒等和实数线针对原点的反射。
它的要求满足三个方程，在考虑第一个方程时，不丢失一般性而设
p= cos θ,
q= sin θ；因此要么
p。我们可以解释第一种情况为 旋转θ(θ = 0 是 )，第二个解释为针对在角 θ/2 的直线的反射。
旋转 反射 在 45°的反射对换
y；它是 ，在每列和每行带有一个单一的 1(其他都是 0):
单位矩阵也是置换矩阵。
反射是它自己的逆，这蕴涵了反射矩阵是 对称的(等于它的)也是正交的。两个 的积是一个旋转矩阵，两个反射矩阵的积也是旋转矩阵。
不管维度，总是可能把正交矩阵按纯旋转与否来分类，但是对于 3×3 矩阵和更高维度矩阵要比反射复杂多了。例如，表示通过原点的 反演和关于
z轴的旋转反演( 逆时针旋转90°后针对
y平面反射，或逆时针旋转 270°后对原点反演)。旋转也变得更加复杂；它们不再由一个角来刻画，并可能影响多于一个平面子空间。尽管经常以一个轴和角来描述 3×3 旋转矩阵，在这个维度 的存在是偶然的性质而不适用于其他维度。但是，我们有了一般适用的基本建造板块如置换、反射、和旋转。
最基本的置换是换位(transposition)，通过交换单位矩阵的两行得到。任何
n置换矩阵都可以构造为最多
n-1 次换位的积。 构造自 非零向量
v的Householder反射，这里的分子是 ，而分母是
v的平方量的一个数。这是在垂直于
v的上的反射(取负平行于
v任何 向量分量)。如果
vv就足够了。Householder 反射典型的用于同时置零一列的较低部分。任何
n正交矩阵都可以构造为最多
n次这种反射的积。
Givens旋转作用于由两个 所生成的二维(平面)上，按选定角度旋转。它典型的用来置零一个单一的次元素(subdiagonal entry)。任何
n的 旋转矩阵都可以构造为最多
n-1)/2 次这种旋转的积。在 3x3 矩阵的情况下，三个这种旋转就足够了；并且通过固定这个序列，我们可以用经常叫做 的三个角来(尽管不唯一)描述所有 3×3 旋转矩阵。
旋转有同 Givens 旋转一样的形式，但是被用做 ，选择来置零 2×2 子矩阵的两个远离对角元素(off-diagonal entry)。
实数方块矩阵是正交的，当且仅当它的列形成了带有普通 的
R的正交规范基，它为真当且仅当它的行形成
R的正交基。假设带有正交(非正交规范)列的矩阵叫正交矩阵可能是诱人的，但是这种矩阵没有特殊价值而没有特殊名字；他们只是
1. 逆也是;
2. 积也是正交阵;
3. 的值为正1或负1。
任何正交矩阵的 行列式是 +1 或 -1。这可从关于行列式的如下基本事实得出:
反过来不是真的；有 +1 行列式不保证 ，即使带有正交列，可由下列反例证实。
对于，行列式是 +1 还是 -1 匹配置换是偶还是奇的标志，行列式是行的交替函数。
比行列式限制更强的是正交矩阵总可以是在 复数上可对角化来展示 的完全的集合，它们全都必须有(复数)1。
正交矩阵的逆是正交的，两个正交矩阵的积是正交的。事实上，所有
n正交矩阵的集合满足群的所有公理。它是
n-1)/2 维的紧致 ，叫做 正交群并指示为
行列式为 +1 的正交矩阵形成了 路径连通的子群指标为 2 的
n) ，叫做 旋转的 特殊正交群
O(1)，带有依据行列式选择 [+1] 或 [-1] 的投影映射。带有行列式 -1 的正交矩阵不包括 ，所以不形成子群而只是 陪集；它也是(分离的)连通的。所以每个正交群被分为两个部分；因为投影映射分裂，
O(1)的 半直积。用实用术语说，一个相当的陈述是任何正交矩阵可以通过采用一个 并可能取负它的一列来生成，如我们在 2×2 矩阵中看到的。如果
n是奇数，则半直积实际上是 直积，任何正交矩阵可以通过采用一个旋转矩阵并可能取负它的所有列来生成。
现在考虑 (
n+1) 右底元素等于 1 的正交矩阵。最后一列(和最后一行)的余下元素必须是零，而任何两个这种矩阵的积有同样的形式。余下的矩阵是
n正交矩阵；因此
n+1) (和所有更高维群)的子群。
因为 Householder 正交矩阵形式的基本反射可把任何正交矩阵简约成这种约束形式，一系列的这种反射可以把任何正交矩阵变回 单位矩阵；因此正交群是反射群。最后一列可以被固定为任何 ，并且每种选择给出不同的
n+1) 中的复本；以这种方式
n+1) 是在单位球
n) 上的丛。
n+1) 的子群；任何特定正交矩阵可以使用类似过程通过 Givens 平面旋转来生成。丛结构持续:
S。一个单一旋转可以在最后一列的第一行生成一个零，而
n-1 次旋转序列将置零
n 旋转矩阵的除了最后一列的最后一行的所有元素。因为平面是固定的，每次旋转只有一个自由度，就是它的角度。通过归纳，
n) 因此有自由度，
n) 也是。置换矩阵简单一些；它们不形成李群，只是一个，
n。通过同类的讨论，
n+1 的子群。偶置换生成行列式 +1 的置换矩阵的子群，
n!/2 次 交错群。
更广泛的说，任何正交矩阵的效果分离到在正交上的独立动作。就是说，如果
Q是狭义正交的，则你可以找到(旋转)改变基的一个正交矩阵
Q带回到分块对角形式:(
n 偶数)， (
n 奇数)。 这里的矩阵
k是 2×2 旋转矩阵，而余下的元素是零。作为例外，一个旋转块可以是对角的， ±
I。因此如果需要的话取负一列，并注意 2×2 反射可对角化为 +1 和 -1，任何正交矩阵可变为如下形式，矩阵
k给出位于 复平面中 上的特征值的共轭对；所以这个分解复合确定所有带有绝对值1 的 特征值。如果
n是奇数，至少有一个实数特征值 +1 或 -1；对于 3×3 旋转，关联着 +1 的是 。
要看出与内积的联系，考虑在
n维实数 中的关于正交基写出的向量
v的长度的平方是
v。所以有限维线性 等距同构，比如 旋转、反射和它们的组合，都产生正交矩阵。反过来也成立: 正交矩阵蕴涵了。但是， 线性代数包括了在既不是有限维的也不是同样维度的空间之间的 正交变换，它们没有等价的正交矩阵。
有多种原由使正交矩阵对理论和实践是重要的。
n正交矩阵形成了一个群，即指示为
n) 的 正交群，它和它的子群广泛的用在数学和物理科学中。例如，分子的 点群是
O(3) 的子群。因为 浮点版本的正交矩阵有有利的性质，它们是字 数值线性代数中很多算法比如 QR分解的关键，通过适当的规范化， (用于MP3压缩)可用正交矩阵表示。
数值分析自然的利用了正交矩阵的很多数值 线性代数的性质。例如，经常需要计算空间的正交基，或基的正交变更；二者都采用了正交矩阵的形式。有 ±1 和所有模为 1 的是对非常有利的。 一个蕴涵是 为 1 (这是极小的)，所以在乘以正交矩阵的时候错误不放大。很多算法为此使用正交矩阵如Householder反射和Givens旋转。有帮助的不只是正交矩阵是可逆的，还有它的本质上是免花费的，只需要对换索引(下标)。
置换是很多算法成功的根本，包括有局部定支点(partial pivoting)的运算繁重的 (这里的置换用来定支点)。但是它们很少明显作为矩阵出现；它们的特殊形式允许更有限的表示，比如
n个索引的列表。
同样的，使用 Householder 和 Givens 矩阵的算法典型的使用特殊方法的 乘法和存储。例如，Givens 旋转只影响它所乘的矩阵的两行，替代完全的
n次的 为更有效的
n次运算。在使用这些反射和旋转向矩阵介入零的时候，腾出的空间足够存储充足的数据来重生成这个变换。
一些重要的 (Golub & Van Loan, 1996)涉及到了正交矩阵，包括:
Σ非负对角。 谱分解
Λ对角。 极分解
S对称非负确定。
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向量的内积与欧氏空间一、与欧氏空间几何空间是抽象线性空间的一个最基本的模型，向量的度量性质是几何空间中最基本的研究对象。在§11研究空间向量的数量积、向量积和混合积的基础上，我们要把空间向量的数量积概念推广到一般的线性空间上，进而研究线性空间的度量性质。在这一节里，我们总假设V是实数域R上的线性空间。定义21 1在V上定义代数运算，记为 ， ：V×V→R 即对任意的V，R 并且对任意的V及k R满足下述条件： 1 ..
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正交必定线性无关，线性无关不一定正交
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