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证明:设矩阵A为n阶非零实对称矩阵,则存在n维列向量X使XTAX不等于0
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你这个问题有一个证明方法就是证明A至少存在一个非零的特征值.假设A不存在一个非零的特征值,所有的特征值都是0,则A=0,矛盾,因此A至少存在一个非零的特征值,假设其对应的特征向量为X,那么XTAX就不等于0了.
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设A为三阶实矩阵,且对任意三维向量x,都有（x^T）Ax=0,证明A为反对称矩阵
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3阶的条件其实没什么用,n阶矩阵结论也成立注意 x^TAx=0
x^T(A+A^T)x=0而A+A^T是实对称矩阵满足x^TBx=0恒成立的对称矩阵B只能是零矩阵（看合同标准型即可）从而A反对称
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设A是一个n阶对称矩阵,若对任意的X=[x1,x2,……xn]^T,有X^TAX=O,求证A=O
viviJ°246
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取 X=(0,...,0,1,0,...,0)^T,第i个分量为1,其余为0则 0=X^TAX=aii取 X=(0,...,1,...,1,...,0)^T,第i,j个分量为1,其余为0则 0=X^TAX=aii+ajj+aij+aji=aij+aji又因为 aij=aji所以 aij=aji=0所以 A=O.
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