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两个向量的叉积
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&&两个向量a与b的向量积
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你可能喜欢向量点乘（内积）和叉乘（外积、向量积）概念及几何意义解读
向量点乘（内积）和叉乘（外积、向量积）概念及几何意义解读
向量是由n个实数组成的一个n行1列（n*1）或一个1行n列（1*n）的有序数组；
向量的点乘,也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。
对于向量a和向量b：
& & & & & & & & & & & & & & & & & & && & & & & & & & & & &&
a和b的点积公式为：
要求一维向量a和向量b的行列数相同。
点乘几何意义
点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a向量方向上的投影，有公式：
推导过程如下，首先看一下向量组成：
定义向量：
根据三角形余弦定理有：
根据关系c=a-b（a、b、c均为向量）有：
向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b间的夹角θ：
根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为：
& & &a·b&0 & &方向基本相同，夹角在0°到90°之间
& & &a·b=0 & &正交，相互垂直 &
& & &a·b&0 & &方向基本相反，夹角在90°到180°之间&
两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。
对于向量a和向量b：
a和b的叉乘公式为：
根据i、j、k间关系，有：
叉乘几何意义
在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。
在3D图像学中，叉乘的概念非常有用，可以通过两个向量的叉乘，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示：&
在二维空间中，叉乘还有另外一个几何意义就是：aXb等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。
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函数基础知识（14）
叉积，又名叉乘。 最早源自于三维向量空间的运算，因此也叫向量的外积，或者。 两个三维向量的叉积等于一个新的向量， 该向量与前两者垂直，且长度为前两者的平行四边形面积，
其方向按照右手螺旋决定。
　　在三维中 ， 假设a和b是两个向量， 那么它们的叉积c=aXb可如下严格定义。
　　（1）|c|=|a×b|=|a||b|sin&a,b&
　　（2）c⊥a， 且c⊥b，
　　（3）c的方向要用“右手法则”判断（用右手的大拇指先表示向量a的方向，然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向，中
指所指的方向就是向量c的方向）。
　　英文名：cross product
　　（1）反对称性： a×b=-b×a
　　因此向量的叉积不遵守乘法交换律。
　　（2） 向量叉积的坐标表示：
　　设a=(a1,b1,c1)，b=(a2,b2,c2)，
　　则 a×b=
　　| i j k|
　　|a1 b1 c1|
　　|a2 b2 c2|
　　=(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1)
　　（i、j、k分别为空间中相互垂直的三条坐标轴的单位向量）。
　　（3）混合积： (aXb)·c等于a,b,c的三维平行体的体积。
　　由于二重向量叉乘的计算较为复杂，于是直接给出了下列化简公式以及证明过程：
　　在物理学中，已知力与力臂求，就是向量的外积，即叉乘。
　　同样用叉积表示的公式有: F = I ( L × B ) (磁场中通电导体所受的安培力)
　　在数学中，可以用两个向量的叉积表示这两个向量所在的平面的法向量。
　　平行四边形的面积可以用平行四边形两邻边的叉积表示，面积是一个矢量，长度也是矢量。
　　平行六面体的体积可以用过同一顶点的三边的混合积表示。
　　叉积可以用来判断平面向量夹角的正负。对于向量a、b，a×b=axby-bxay，其值大于0则夹角为正。
　　叉积推广到向量空间中，就是所谓的，由首创。
因此它也可看成是的一种特例
在生产生活中，点积同样应用广泛。利用点积可判断一个多边形是否面向摄像机还是背向摄像机。向量的点积与它们夹角的余弦成正比，因此在聚光灯的效果计算中，可以根据点积来得到光照效果，如果点积越大，说明夹角越小，则物理离光照的轴线越近，光照越强。物理中，点积可以用来计算合力和功。若b为单位矢量，则点积即为a在方向b的投影，即给出了力在这个方向上的分解。功即是力和位移的点积。计算机图形学常用来进行方向性判断，如两矢量点积大于0，则它们的方向朝向相近；如果小于0，则方向相反。矢量内积是人工智能领域中的神经网络技术的数学基础之一，此方法还被用于动画渲染（Animation-Rendering）。
　　在中，数量积（ scalar product，也称为标量积、点积、点乘）是接受在实数R上的两个并返回一个实数值的。它是的标准。
　　两个矢量a = [a1, a2,…, an]和b = [b1,
b2,…, bn]的点积定义为:
　　这里的Σ指示总和符号。
　　使用并把（纵列）矢量当作n×1
，点积还可以写为:
　　a·b=a^t*b，这里的a指示矩阵a的。
　　点积的值由以下三个值确定：
　　u的大小v的大小u,v夹角的余弦。在u,v非零的前提下，点积如果为负，则u,v形成的角大于90度；如果为零，那么u,v垂直；如果为正，那么u,v形成的角为锐角。
　　点积得到两个向量的夹角的cos值，通过它可以知道两个向量的相似性，利用点积可判断一个多边形是否面向摄像机还是背向摄像机
　　向量的点积与它们夹角的余弦成正比，因此在聚光灯的效果计算中，可以根据点积来得到光照效果，如果点积越大，说明夹角越小，则物理离光照的轴线越近，光照越强。
　　1.交换律：α·β=β·α　2.分配律：(α+β)·γ=α·γ+β·γ　3.若λ为数：(λα)·β=λ(α·β)=α·(λβ)　若λ、μ为数：：(λα)·(μβ)=λμ(α·β)　4.α·α=|α|^2 ，此外：α·α=0〈=〉α=0。　向量的数量积不满足消去律，即一般情况下：α·β=α·γ，α≠0 ≠〉β=γ。　向量的数量积不满足结合律，即一般（α·β)·γ ≠〉α·（β·γ）　相互垂直的两向量数量积为0
　　已知两个非零向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），则有a·b=x1x2+y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
　　平面向量的数量积a·b是一个非常重要的概念，利用它可以很容易地证明平面几何的许多命题，例如勾股定理、菱形的对角线相互垂直、矩形的对角线相等等　如证明勾股定理：　Rt△ABC中，∠C=90°，则
|CA|+|CB|=|AB|：　因AB
　　所以AB·AB =（CB-CA）·（CB-CA）=
CB·CB-2CA·CB+CA·CA;　由∠C=90°，有CA⊥BD，于是CA·CB=0　所以|CA|+|CB|=|AB|　菱形对角线相互垂直：　菱形ABCD中,点O为对角线AC、BD的交点，求证AC⊥BD　设|AB|=|BC|=|CD|=|DA|=a　因AC=AB+BC;BD=BC+CD　　
　　所以AC·BD=(AB+BC)(BC+CD)=a^2(2cosα+2cosπ-α ）　又因为cosα=-cosπ-α
所以AC·BD=(AB+BC)(BC+CD)=a^2(2cosα+2cosπ-α ）=0　AC⊥B　　D　　
在生产生活中，点积同样应用广泛。利用点积可判断一个多边形是否面向摄像机还是背向摄像机。向量的点积与它们夹角的余弦成正比，因此在聚光灯的效果计算中，可以根据点积来得到光照效果，如果点积越大，说明夹角越小，则物理离光照的轴线越近，光照越强。物理中，点积可以用来计算合力和功。若b为单位矢量，则点积即为a在方向b的投影，即给出了力在这个方向上的分解。功即是力和位移的点积。计算机图形学常用来进行方向性判断，如两矢量点积大于0，则它们的方向朝向相近；如果小于0，则方向相反。矢量内积是人工智能领域中的神经网络技术的数学基础之一，此方法还被用于动画渲染（Animation-Rendering）。
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(4)(37)(4)(14)    向量的叉积性质都忘完了……但是它可以用来判断点在直线的某侧。进而可以解决点是否在三角形内，两个矩形是否重叠等问题。向量的叉积的模表示这两个向量围成的平行四边形的面积。
    设矢量P = ( x1, y1 )，Q = ( x2, y2 )，则矢量叉积定义为由(0,0)、p1、p2和p1+p2所组成的平行四边形的带符号的面积，即：P×Q = x1*y2 - x2*y1，其结果是一个伪矢量。
    显然有性质 P × Q = - ( Q × P ) 和 P × ( - Q ) = - ( P × Q )。
叉积的一个非常重要性质是可以通过它的符号判断两矢量相互之间的顺逆时针关系：
若 P × Q & 0 , 则P在Q的顺时针方向。
若 P × Q & 0 , 则P在Q的逆时针方向。
若 P × Q = 0 , 则P与Q共线，但可能同向也可能反向。
叉积的方向与进行叉积的两个向量都垂直，所以叉积向量即为这两个向量构成平面的法向量。
如果向量叉积为零向量，那么这两个向量是平行关系。
    因为向量叉积是这两个向量平面的法向量，如果两个向量平行无法形成一个平面，其对应也没有平面法向量。所以，两个向量平行时，其向量叉积为零。
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