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2014年高二数学优化课件：第1部分 第一章 3《组合与组合数公式》1（北师大版选修2-3）
2014年高二数学优化课件：第1部分 第一章 3《组合与组合数公式》1（北师大版选修2-3）
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[一点通]　区分一个问题是排列问题还是组合问题，关键是看它有无“顺序”，有顺序就是排列问题，无顺序就是组合问题．要判定它是否有顺序的方法是先将元素取出来，看交换元素的顺序对结果有无影响，有影响就是“有序”，也就是排列问题；没有影响就是“无序”，也就是组合问题． 1．判断下列问题是组合问题，还是排列问题． (1)设集合A＝{a，b，c，d}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个？ (2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？ (3)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的可能？ (4)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3个客人入座，又有多少种方法？ (5)把4本相同的数学书分给5个学生，每人至多得一本，有多少种分配方法？ (6)4个人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？ 解：(1)组合问题，因为集合中取出元素具有“无序性”． (2)组合问题，由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法时，与两个元素的位置无关． (3)排列问题，两个元素做除法时，谁作除数，谁作被除数不一样，此时与位置有关． (4)第一问是组合问题，第二问是排列问题，“入座”问题同“排队”，与顺序有关． (5)组合问题，由于4本数学书是相同的，不同的分配方法取决于从5个学生中选择哪4个人，这和顺序无关． (6)排列问题，因为5种工作是不同的，一种分工方法就是从5种不同的工作中选出4种，按一定的顺序分配给4个人，它与顺序有关.
[一点通]　(1)对于组合数的有关运算，除了利用组合数公式外，还要注意利用组合数的两个性质，对式子进行适当的变形，选择最恰当的公式计算．
(2)有关组合数的证明问题，一般先依据组合数的性质化简，再用组合数的阶乘形式证明． 答案：①28　②18
[例3]　(12分)一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．
(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
[思路点拨]　先判断是不是组合问题，再用组合数公式写出结果，最后求值．
[一点通]　解简单的组合应用题，要首先判断它是不是组合问题，即取出的元素是“合成一组”还是“排成一列”，其次要看这件事是分类完成还是分步完成． 5．某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2 名男工去支援另一施工队，不同的选法有
(　　) 答案：D 6．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同 的分组种数为________．(用数字作答) 解析：从10个人中选4人作为甲组，剩下的6人为乙组，共有C
＝210种分组方法． 答案：210 7．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？ (2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？
1．“组合”与“组合数”是两个不同的概念，组合是m个元素形成的一个整体，不是数，组合数是形成的不同组合的个数，是数量． * 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 第1部分 第一章 §3 把握热点考向 应用创新演练 考点一 考点二 考点三 理解教材新知 知识点一 知识点二 知识点三 第一课时
观察下列两个问题：
(1)从甲、乙、丙3名同学中选出2名，其中1名同学参加上午的活动，另一名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
(2)从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，有多少种不同的选法？
问题1：(1)与(2)相同吗？为什么？
提示：不相同，(1)中选法是有顺序的，是排列问题；
(2)中选法没有顺序，不是排列问题．
问题2：请写出(2)中所有可能的结果．
提示：甲乙，甲丙，乙丙．
问题3：从你班56名同学选7名同学组成班委，有顺序吗？
提示：没有．
一般地，从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素为一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的
，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号
表示. 所有不同组合 的个数 从甲、乙、丙、丁4名同学中选3名同学． 问题1：3名同学参加某项知识竞赛，试用列举法求出组合数． 问题2：3名同学分别参加语文、数学、英语竞赛，有多少种选法？ 问题3：如何用分步乘法计数原理解决问题2? 问题4：你能得出什么结论？ 问题5：可把问题4的结论推广吗？ 1
从5名学生和1名教师中选出2人参加某项活动．
问题1：选出2人参加某项活动与选出4人不参加此项活动的方法数有什么关系？
问题2：选出的2人中含教师有多少种选法？选出的2人中不含教师有多少种选法？
问题3：我们知道问题1中选出2人就是问题2中的两种情况，由此你得出何结论？
1．组合的特点：
只取不排．
组合要求n个元素是各不相同的，被取出的m个元素也是不相同的，且m≤n.
2．组合的特性：
元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，亦即元素没有位置的要求．
3．相同的组合：
根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，就是相同的组合．
[例1]　给出下列问题：
(1)从a，b，c，d四名学生中选两名学生完成一件工作，有多少种不同的安排方法？
(2)从a，b，c，d四名学生中选两名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的安排方法？
(3)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？
(4)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？
在上述问题中，哪些是组合问题，哪些是排列问题？
[思路点拨]　要分清是组合还是排列问题，只要确定取出的这些元素是否与顺序有关．
[精解详析]　(1)两名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题；
(2)两名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题；
(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题；
(4)冠亚军是有顺序的，是排列问题． 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 * C
提示：甲乙丙，甲乙丁，乙丙丁，乙丙丁共4种，即C＝4.
提示：第一步，从这4人中任选3人有C种选法；第二步，将选出的3人作全排列，有A种选法．由分步乘法计数原理知，共有CA种选法．
提示：A＝CA即C＝.
提示：可以，把从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可看作由以下两个步骤得到：
第一步，从这n个不同元素中取出m个元素，共有C种不同的取法；
第二步，将取出的m个元素做全排列，共有A种不同的排法．
由分步乘法计数原理，知A＝CA，故C＝.
形式 C＝＝
备注 n，mN＋且m≤n.规定C＝
提示：相等，即C＝C.
提示：C　C.
提示：C＝C＋C.
组合数的性质
[例2]　求值：(1)C－CA；(2)C＋C；
[思路点拨]　用组合数公式和组合数的性质解决．
[精解详析]　(1)原式＝C－A
＝－7×6×5＝210－210＝0.
(2)C＋C＝C＋C＝＋200
＝4 950＋200＝5 150.
(3)∴9.5≤n≤10.5.
∵n∈N＋，n＝10.
C＋C＝C＋C＝C＋C
＝＋31＝466.
2．计算：C＝________；3C－2C＝________.
解析：C＝C＝28.3C－2C＝3×10－2×6＝18.
3．已知C，C，C成等差数列，求C的值．
解：由已知，得2C＝C＋C，
所以2·＝＋，
整理，得n2－21n＋98＝0，解得n＝7或n＝14.
要求C的值，故n≥12，所以n＝14，
于是C＝C＝＝91.
4．证明：C＝C.
证明：·C＝·
[精解详析]　(1)从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是C＝＝56.?(4分)
(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是CC＝＝21.? (8分)
(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C＝＝35.?(12分)
A．C种　　　　　　　　　B．A种
解析：每个被选的人员无角色差异，是组合问题．分两步完成：
第一步，选女工，有C种选法；
第二步，选男工，有C种选法．
故有CC种不同选法．
解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法有C＝45种．
(2)从6名男教师中选2名有C种选法，从4名女教师中选2名有C种选法．根据分步乘法计数原理，共有选法CC＝90种．
2．对于有关组合数的计算、证明、解方程或不等式时，一是要注意组合数本身的有意义的未知数的取值范围．二是掌握组合数性质，在计算C时，若m＞，通常使用C＝C转化；求多个组合数的和时，要注意观察上、下标的特征，灵活运用C＝C＋C.
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