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2016考研数学线代：行列式重点及常考题型
11:15:17 来源：新东方在线
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　　目前是突破提升的一个重要阶段，距离最终冲刺也没多少时日了，这个过渡期对考生而言很关键，冲刺能否发力，现阶段复习一定要做好铺垫，中，线性代数数学一、二、三中都有，且占比22%，大家要好好复习，做好总结。下面是新东方在线为大家整合的线性代数行列式部分的重点内容和常考题型，大家参考。数学线代：行列式重点及常考题型　　一 行列式　　行列式在整张试卷中所占比例不是很大，一般以填空题、选择题为主，它是必考内容，不只是考察行列式的概念、性质、运算，与行列式有关的考题也不少，例如方阵的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都会涉及到行列式。如果试卷中没有独立的行列式的试题，必然会在其他章、节的试题中得以体现。所以要熟练掌握行列式常用的计算方法。　　1、重点内容:行列式计算　　(1)降阶法　　这是计算行列式的主要方法，即用展开定理将行列式降阶。但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开。　　(2)特殊的行列式　　有三角行列式、范德蒙行列式、行和或列和相等的行列式、三线型行列式、爪型行列式等等，必须熟练掌握相应的计算方法。　　2、常见题型　　(1)数字型行列式的计算　　(2)抽象行列式的计算　　(3)含参数的行列式的计算　　(4)代数余子式的线性组合
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　　线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，其中行列式的计算起重要作用。而学习行列式的过程中，对行列式的计算技巧往往较难掌握。在本文里，介绍了两个技巧性较强的方法：化三角形法和逐行（列）相加法。
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2015考研数学线代：行列式的计算方法总结
13:59:33 来源：新东方在线编辑整理
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& & 新东方在线小编为考生总结了线性代数行列式的细算方法，希望对于这方面有疑问的考生能够起到参考借鉴的作用。　　行列式的计算灵活多变，需要有较强的技巧。当然，任何一个n阶行列式都可以由它的定义去计算其值。但由定义可知，n阶行列式的展开式有n!项，计算量很大，一般情况下不用此法，但如果行列式中有许多零元素，可考虑此法。值的注意的是：在应用定义法求非零元素乘积项时，不一定从第1行开始，哪行非零元素最少就从哪行开始。接下来要介绍计算行列式的两种最基本方法――化三角形法和按行(列)展开法。　　方法1　　化三角形法　　化三角形法是将原行列式化为上(下)三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上(下)三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。　　原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。　　例1：浙江大学2004年攻读入学考试试题第一大题第2小题(重庆大学2004年攻读硕士入学考试试题第三大题第1小题)的解答中需要计算如下行列式的值：　　[分析]显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式的性质。注意到从第1列开始;每一列与它一列中有n-1个数是差1的，根据行列式的性质，先从第n-1列开始乘以-1加到第n列，第n-2列乘以-1加到第n-1列，一直到第一列乘以-1加到第2列。然后把第1行乘以-1加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了。　　解：　　方法2　 按行(列)展开法(降阶法)　　设为阶行列式，根据行列式的按行(列)展开定理有　　或　　其中为中的元素的代数余子式　　按行(列)展开法可以将一个n阶行列式化为n个n-1阶行列式计算。若继续使用按行(列)展开法，可以将n阶行列式降阶直至化为许多个2阶行列式计算，这是计算行列式的又一基本方法。但一般情况下，按行(列)展开并不能减少计算量，仅当行列式中某一行(列)含有较多零元素时，它才能发挥真正的作用。因此，应用按行(列)展开法时，应利用行列式的性质将某一行(列)化为有较多的零元素，再按该行(列)展开。　　例2，计算20阶行列式[9]　　[分析]这个行列式中没有一个零元素，若直接应用按行(列)展开法逐次降阶直至化许许多多个2阶行列式计算，需进行20!*20-1次加减法和乘法运算，这人根本是无法完成的，更何况是n阶。但若利用行列式的性质将其化为有很多零元素，则很快就可算出结果。　　注意到此行列式的相邻两列(行)的对应元素仅差1，因此，可按下述方法计算：　　解：　　以上就是计算行列式最基本的两种方法，接下来介绍的一些方法，不管是哪种，都要与行列式的性质和基本方法结合起来。　　下面是一常用的方法：　　方法3　递推法　　应用行列式的性质，把一个n阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式(比如，n-1阶或n-1阶与n-2阶等)的线性关系式，这种关系式称为递推关系式。根据递推关系式及某个低阶初始行列式(比如二阶或一阶行列式)的值，便可递推求得所给n阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法。　　[注意]用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话，即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法。　　例3，2003年入学考试试题第二大题第10小题要证如下行列式等式：　　(虽然这是一道证明题，但我们可以直接求出其值，从而证之。)　　[分析]此行列式的特点是：除主对角线及其上下两条对角线的元素外，其余的元素都为零，这种行列式称“三对角”行列式[1]。从行列式的左上方往右下方看，即知Dn-1与Dn具有相同的结构。因此可考虑利用递推关系式计算。　　证明：Dn按第1列展开，再将展开后的第二项中n-1阶行列式按第一行展开有：　　这是由Dn-1
和Dn-2表示Dn的递推关系式。若由上面的递推关系式从n阶逐阶往低阶递推，计算较繁，注意到上面的递推关系式是由n-1阶和n-2阶行列式表示n阶行列式，因此，可考虑将其变形为：　　或　　现可反复用低阶代替高阶，有：　　同样有：　　因此当时　　由(1)(2)式可解得：　　证毕。　　[点评]虽然我们从一个行列式中可以看出有低阶的相同的结构，然后得到一递推关系式，但我们不要盲目乱代，一定要看清这个递推关系式是否可以简化我们的计算，如果不　　行的话，就要适当地换递 推关系式，如本题。　　以上总共给出了计算行列式的3种方法，其中一些是常见的些是最基本的方法，还有一些是特殊但很实用的方法。在课外书中还有其他的一些方法，如：极限法、换元法、导数法、差分法、积分法等，但这些方法用处不多，所以不加以介绍。
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第三节&行列式按行(列)展开
一．数学概念
余子式和代数余子式
在n阶行列式中，把元素&&所在第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素&&的余子式，记作&&，记
&叫做元素&&的代数余子式。
二．原理，公式
引理&&一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除&&外都为零，那么这行列式等于&&与它的代数余子式的乘积。
定理3.1&&行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。即
&&&&&&&&&&&&&&&&&&
或&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
推论&&行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
&&&&&&&&&&&&&&&&&&
范德蒙德(Vandermonde)行列式
三．重点，难点分析
本节重点是行列式按行(列)展开的引理、定理、推论。灵活准确的应用行列式的性质和展开定理及其引理是快速、准确计算行列式的关键。而行列式展开定理的推论不仅告诉我们计算行列式时必须用某一行(列)的元素分别乘以该行(列)对应元素的代数余子式乘积之和时才是该行列式的&#20540;。否则乘以其它行(列)对应的元素的代数余子式的乘积之和则为零，而且该推论和展开定理并用可以计算行列式中的参数。
Vandermonde行列式虽然给出了一个计算公式，但是对于某些特殊的行列式怎么变成Vandermonde行列式的形式确是比较困难，当然用Vandermonde行列式能够计算一些难度较大的行列式的计算。
四．典型例题分析
例2．设4阶行列式的第2列元素依次为2，m,k,3，第2列元素的余子式依次为1,-1,1,-1,第4行元素的代数余子式依次为3,1,4,2,且行列式&#20540;为1，求m,k。
解：这是一道用行列式的展开定理和推论并用的计算行列式中的参数m,k的题型。由行列式的展开定理及其推论得
即&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
解：本题从表面上它不是Vandermonde行列式，但是我们可以用行列式的性质将其变成行列的形式，将D的第1列分别乘&&加到第3列，得
第四节&克拉默法则
一．数学概念
1．非齐次线性方程组
其中右端的常数项&&不能全为零。
2．齐次线性方程组
二．原理，公式和法则
克拉默法则
设非齐次线性方程组
若方程组(1)的系数行列式
则方程组(1)有唯一解
其中&&是把系数行列式D中的第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即
定理4.1&&如果线性方程组(1)的系数行列式D≠0，则(1)一定有解，且解是唯一的。
定理4.1’&&如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。
定理4.2&&如果齐次线性方程组(2)的系数行列式D≠0，则齐次线性方程组(2)没有非零解。
定理4.2’&&如果齐次线性方程组(2)有非零解，则它的系数行列式必为零。
三．重点，难点分析
我们用行列式的性质和展开定理计算各种形式的行列式，其最终目的是解未知数的个数与方程组的个数相同的线性方程组。我们要重点掌握克拉默法则，会用克拉默法则解线性方程组。在使用中注意定理4.1，4.2及其逆否定理的区别，联系和应用。
四．典型例题分析
例1．解线性方程组
例2．问&&取何&#20540;时，齐次线性方程组
有非零解？
解：由定理4.2’可知，若齐次线性方程组有非零解，则上式的系数行列式D＝0。而
由D=0，得&&=2,&&=5或&&=8。不难验证，当&&＝2,5或8时，题给齐次线性方程组确有非零解。
行列式的概念是基础。
行列式的性质是关键。
行列式的计算是重点。
用行列式解线性方程组是目的。
from: http://dec3./webcourse/t000022/teach/index.htm
参考知识库
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