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第二章 极限与连续_27274
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3秒自动关闭窗口高等数学，有界无界问题，这个无界是怎么判断出来的？_百度知道求极限的方法总结论文_图文-五星文库
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求极限的方法总结论文_图文
导读：二极限的性质，㈠极限的基本性质，若函数的极限存在，则其极限是唯一的，若函数的某一极限不唯一，则它的极限不存在，这是极限的唯一性性质，①极限的有界性是指：若，函数f(x)有界只是其极限存在的必要条件，则其极限必不存在，若函数f(x)有界则极限不一定存在，故它的极限不存在，②极限的保号性是指：limf(x)?Axx?x0若，且它的极限值A??，则它的极限值A??，则它的极限值A??，那么上述相应结
，必存在?1?0，使得当
???1，则当0?x?x0??时恒有?(x)??(x)?(x)?(x)?G
lim??(x)??(x)???
GG?0(x)?lim?(x)??0?x?x0??2K1，取???2，x?x0
由知，对K1，必存在?2，使得当时恒有
则当时恒有。所以。 注
本例的结论说明无穷大与有界量之间有如下关系：（）无穷大量与有界量之和是无穷大量；（）任意两个正（负）无穷大量之和是正（负）无穷大量，但任意两个非同号的无穷大
lim?(x)?(x)??
量之和可能不是无穷大量，例如
?n?与??n?都是无穷大量，
但它们的和显然不是无穷大量；（）
(x)?K1?0?(x)
无穷大量f(x)与满足的乘积仍是无穷大量。
极限的性质
㈠极限的基本性质
若函数的极限存在，则其极限是唯一的；反之，若函数的某一极限不唯一，则它的极限不存在，这是极限的唯一性性质。
limf(x)?Axx?x0
① 极限的有界性是指：若，则函数f(x)在点0的充分小的去心邻域内有界。这就是说，函数f(x)有界只是其极限存在的必要条件，故它蕴含着如下结论： 若函数f(x)无界，则其极限必不存在；若函数f(x)有界则极限不一定存在；。
例如，数列
??是无界的，故它的极限不存在，即??是发散数列。
② 极限的保号性是指： limf(x)?Axx?x0若，且它的极限值A??，则存在正数??0，使得函数f(x)在点0的充分小的去心邻域内有f(x)????；若A??，则f(x)在相应的邻域内有f(x)????。 反之，若
，且函数f(x)在点0的充分小邻域内有f(x)??，则它的极限值A??；
若f(x)在相应邻域内有f(x)??，则它的极限值A??。
如果??0，那么上述相应结果就充分体现了函数f(x)在相应邻域内与其极限值保持相同的符号这一事实。
，证明：函数f(x)在点x?a的邻域内恒有不等式f(x)?f(a)，
也即f(x)在x?a处取最小值。
lif(x)?f(a)
?x?a?，故由极限的保号性知，存在??0和??0，使得当
x?x0?x?a??
?时有f(x)?f(a)。
特别的当x?a时，显然有f(x)?f(a)。综合两者即得，函数f(x)在点x?a的邻域内必有
f(x)?f(a)。即函数f(x)在点x?a处取得极小值。
本例条件中函数f(x)没有可导的要求，故只能用极限的保号性证明。如果题设条件改为：函数f(x)在点处具有二阶连续导数，则可利用二阶泰勒公式得
?lim2x?a(x?a)
f?(a)(x?a)?
f??(a)(x?a)2??((x?a)2)?l?02
故有f?(a)?0,f??(a)?2l?0。于是根据函数极值的充分条件知，f(x)在点处取得极小值，即
f(x)?f(a)。
例 6 求n??
n??3n?1323解
因为，而，由极限的保号性知，存在正整数N?0和存在正数
12，使得当n?N时有
7??2n?2n?7???????0?sin?sin?12，
)?012，则由夹逼关系
注意到数列极限与它前面有限项无关，以及极限n??
)?(sin)n?13n?112
㈡无穷小的性质
无穷小是以零为极限的变量，它有如下的性质：
limf(x)?Ax?x0x?x0
① 的充要条件是?(x)?f(x)?A在时为无穷小，即
lim?(x)?0f(x)?A??(x),
② 当③ 当
时，有界函数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积为无穷小。 时，有限个无穷小的和为无穷小。
?a,a??lim?(x)?0lim?(x)?0?(x)x?x
，且，则x?x0。
它表明：当时，若分式?(x)的极限存在，且其分母?(x)是无穷小，则它的分子?(x)必定也是无穷小。显然，当时，分子?(x)是分母?(x)的同阶无穷小；当时，分子?(x)是分母?(x)的高阶无穷小；当时，分子?(x)是分母?(x)的等价无穷小。 ⑤ 当
为无穷小。的充要条件是为无穷小，即的充分条件是
然而，一般情况有：
恒正或恒负时，数列
?u?与?u?同时敛散。但是，若u
非恒正或非恒负，则当
(?1)?un??收敛时，也可能收敛，，也可能发散。例如，是收敛的，但?(?1)?是发散的。
时，?(x)与?(x)都是无穷小，且?(x)?0，那么?(x)与?(x)可以进行无穷时，?(x)与?(x)是高阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小等是必须掌握
小的比较。当的概念。
在x?0时，通常取?(x)为x的幂函数x。常用的等价无穷小有：用关系“若命题P在特殊情况下为假，则它在一般情况下也为假”的否定作用，因为用反证法证明“若A，则B”的结论就是证明“既A，且非B”的结论为假的。
数列与其子数列是一般与特殊的关系；函数与其相应的数列也是一般与特殊的关系。利用这
种关系和极限的性质可以判断数列或函数是发散的，是无界的，不是无穷大的等判别方法。
1证明数列发散，即它的极限n??不存在，的常用方法是：
找出数列找出数列证明数列
?un?的一个发散子数列：
?un?的两个子数列，使它们有不同的极限值。 ?un?是无界的；
u1??(un?1?un)
④ 证明级数是发散的。
因为数列极限
?un?与它的偶数项子数列?u2k?，奇数项子数列?u2k?1?之间的收敛性有如下关系：数列
当且仅当k??
limu2k?limu2k?1?A
。所以它的充分性用于判断某些数列的收敛十分方
便。，即若因
limu2k?limu2k?1?A
,,,,,?,,,??12233nn??。
limu2k?1?limu2k?1
，故n??。它的必要性用途就是上述判断数列发散的方法（1）与（2）。
例如，数列
u2k?,u2k?22k??u?u??
的子数列，当k??时2k，即子数列2k发
散，故原数列
?un?发散。又如，数列?un?，
4，中有两个子数列?u4k?和?u8k?2?的极限
值不相等，即
limu?limsin(2k?)??1limu4k?limsinkx?0,8k?2k??k??k??k??2
2 证明数列
?un?是无界的常用方法是，找出它的一个无穷大子数列?un?，即lk??
un?un?n(?1)?数列，u2k?lim2k??u2k?lim??u?k??k??的子数列有，则该数列n无界
3 证明数列
?un?不是无穷大的常用方法是，找出该数列的一个收敛子数列。
un?un?n(?1)?例如，数列，
?u2k?1?有k??
limu2k?1?lim
?0?u?k??2k?1，则该数列n不是无穷
因为按照极限性质可知：若数列
?un?为无穷大，则它的任何子数列都是无穷大；或者说，若数
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limx->0+ 1/x=+oo无界有界必须上界和下界都有下界是0,没有上界所以无界
???????????????н????????????л??
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