求极限的各种方法1．约去零因子求极限例1求极限1LIM4??X【说明】表明无限接近但，所以这一零因子可以约去与1?X?X【解】46LI1LI2121???????XXX2．分子分母同除求极限例2求极限13LIM2??X【说明】型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。【解】3LI13LI12??????XXX【注】1一般分子分母同除的最高次方；2????????????NMBAXBANMMNNX0LI1??3．分子母有理化求极限例3求极限13LI22?????XX【说明】分子或分母有理化求极限是通过有理化化去无理式。【解】13LIMLIM222222????????XXX013LI22???X例4求极限30SINTALIXX??【解】SIN1TALIMI1TNLIM3030XXXX??????41SINTALIM21SINTALISN1TALIM30300?????????XXXXXX【注】本题除了使用分子有理化方法外及时汾离极限式中的非零因子是解题的关键4．应用两个重要极限求极限两个重要极限是和，第1SINLM0??XEXNXXX???????10LIM1LILI一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现主要考第二个重要极限。例5求极限XX?????????1LI【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤先凑出１洅凑，最后凑X1?指数部分【解】2121LIM12LI1LIMEXXXXXX??????????????????????????????????????????????例61；2已知，求X????????2LI8LI????????XAA5．用等价无穷小量代换求极限【说明】1常见等价无穷小有当时,,0?X1LNARCTRSINTASINXXX?E?；??BB121COS???2等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式；3此方法在各种求极限的方法中应作为首选。例7求极限0LNIM1COSX???【解】02LLIX??例8求极限X30TANSIL?【解】X30TILM?613LIM31COSLIIL2102030?????????XXXXXX6．用罗必塔法则求极限例9求极限220SIN1LCOSLNIMXX???【说明】或型的极限,可通过罗必塔法则来求?【解】220SIN1LCOSLNIXX???XX2SIN1COSILIM20????3SI2LIM20????????X【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解例10设函数FX连续且，求极限0?FLIM0???XDTF【解】由于,于是??????00XXXUTUFDFDF????XXXFTTTF000LILIM???XXXFDUFT0LI??XXFDUFT0LIMLIM0XFDUFTXX???21?F7．用对数恒等式求极限LIG例11极限XX201LNI??【解】XX20LIM1LN20LIXXE??21LN2IM1LN2LIM00EEEXXX?????【注】对于型未定式的极限也可用公式?1GFLIXGF1LIMXFE?因為?????1LNLIMLNLIMLIXFGXFGXGEEF1LIMXGFE?例12求极限3012COSLI1X???????????????【解1】原式2COSLN30IMXXE????????20COSLN3IXX?????????20LCOSLIX??（）01SINCOIMXX???（）1NL6?????【解2】原式2COSLN301IMXXE????????20COSL3IXX???????20SLIX??（）20COS1LIM36X??8．利用TAYLOR公式求极限例13求极限,LIM20????AXAX【解】,LNL122LNXEAAX???L2LN2XAXX???L2AX???AXAXXX22020LNLNIMLI???????例14求极限01LICOTX【解】0011SINCOSLIMCOTLXXX?????3230LIXX????30112LIMX????9．数列极限转化成函数极限求解例15极限21SINLN???????【说明】这是形式的的数列极限，由于数列极限不能使用罗必塔法则若直接求有一定难度，若转化成函数极限可通过7提供的方法结合罗必塔法则求解。【解】考虑輔助极限61SIN101SIN222LIMLI1SINLM???????????????????????????????EEEXYYXXX所以612SINL?????????EN10．N项和数列极限问题N项和数列極限问题极限问题有两种处理方法1用定积分的定义把极限转化为定积分来计算2利用两边夹法则求极限例16极限??????????22211LIMNNN?【说奣】用定积分的定义把极限转化为定积分计算,是把看成［0,1］定积XF分。???????????????????101LIDFNFFNFN?【解】原式＝?????????????????????222111LIMNNN?12LN102??????DX例17极限????????N222LIM?【说明】1该题遇上一题类似但是不能凑成的形式，因洏用两边夹法则求解；?????????????????NFFNFN?1LI2两边夹法则需要放大不等式常用的方法是都换成最大的或最小的。【解】??????????NNN22211LIM?因为1122222???N?又NN???2LI1LIM2???所以＝１??????NN2221LI?12．单调有界数列的极限问题例18设数列满足??NX110,SI,NNXX?????（Ⅰ）证明存在并求该极限；LIM??（Ⅱ）计算21LINXN???????【分析】一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准則来证明数列极限的存在【详解】（Ⅰ）因为，则10X??210SINX?????可推得则数列有界1SIN,,X??????X于是，（因当）则有，可见数列NN0SINX?時1NX?单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限存在??NXLIMNX??设在两边令，得解得，即LIMNL???1SINNX?S?0L?LIM0NX???（Ⅱ）因由（Ⅰ）知该极限为型，2211SINLILMNNXXN?????????????????1?使用了罗必塔法则61SIN01SIN0032221LLISIL???????????????EEXXXXXX故22116ILIMLNNN????????????????