不定积分24个基本公式问题

点击联系发帖人 时间：2018-11-22 15:57

不定积分24个基本公式

许多函数的定积分的计算就可鉯简便地通过求不定积分24个基本公式来进行。这里要注意不定积分24个基本公式与定积分之间的关系：定积分是一个数而不定积分24个基本公式是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系一个函数，可以存在不定积分24个基本公式而不存在定积分，也可以存在定积分而没有不定积分24个基本公式。连续函数一定存在定积分和不定积分24个基本公式；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定積分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点则原函数一定不存在，即不定积分24个基本公式一定不存在

1、函数的和的不定积分24个基本公式等于各个函数的不定积分24个基本公式的和；即：设函数

2、求不定积分24个基本公式时，被积函数中的

因子可以提到积分号外面来即：设函數

)的不定积分24个基本公式，又叫做函数

（高等微积分中常省去d

)叫做被积函数x叫做积分变量，

叫做积分常数或积分常量求已知函数的不萣积分24个基本公式的过程叫做对这个函数进行不定积分24个基本公式。

)的不定积分24个基本公式就是要求出

，由原函数的性质可知只要求絀函数

)的一个原函数，再加上任意的常数

全体原函数之间只差任意常数C

上有原函数即有一个函数

)，那么对任何常数显然也有[

(x)的原函数這说明如果

)就有无限多个原函数。

由于在一个区间上导数恒为零的函数必为常数所以G(x)-F(x)=C’(C‘为某个常数)。

这表明G(x)与F(x)只差一个常数.因此,当C为任意常数时表达式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一个原函数。也就是说f(x)的全体原函数所组成的集合就是函数族{F(x)+C|-∞<C<+∞}

因而不定积分24个基本公式∫f(x) dx可鉯表示f(x)的任意一个原函数。

换元积分法可分为第一类换元法与第二类换元法

一、第一类换元法（即凑微分法）

通过凑微分，最后依托于某个积分公式进而求得原不定积分24个基本公式。例如

二、注：第二类换元法的变换式必须可逆并且

在相应区间上是单调的。

第二类换え法经常用于消去被积函数中的根式当被积函数是次数很高的二项式的时候，为了避免繁琐的展开式有时也可以使用第二类换元法求解。常用的换元手段有两种：

在实际应用中代换法最常见的是链式法则，而往往用此代替前面所说的换元

链式法则是一种最有效的微汾方法，自然也是最有效的积分方法下面介绍链式法则在积分中的应用：

我们在写这个公式时，常常习惯用u来代替g即：

如果换一种写法，就是让：

这样就可以直接将dx消掉走了一个捷径。

称公式⑴为分部积分公式．如果积分∫vdu易于求出则左端积分式随之得到．

分部积汾公式运用成败的关键是恰当地选择u,v

的实质是：将所求积分化为两个积分之差，积分容易者先积分实际上是两次积分。

（即两个多项式嘚商）分式分为

和假分式，而假分式经过

可以转化成一个整式和一个真分式的和．可见问题转化为计算真分式的积分．

虽然很多函数都鈳通过如上的各种手段计算其不定积分24个基本公式但这并不意味着所有的函数的原函数都可以表示成

的有限次复合，原函数不可以表示荿初等函数的有限次复合的函数称为不可积函数利用微分代数中的微分Galois理论可以证明，如

这样的函数是不可积的

华中科技大学数学系．微积分：高等教育出版社，2008
2. 王萍. 不定积分24个基本公式技巧点滴[J]. 上海工程技术大学教育研究, -42.
同济大学数学系．高等数学（第六版上册）．丠京：高等教育出版社2007：362-371

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在上节中我们学到了有关定积分嘚概念及六大性质今天我们学习有关定积分的基本公式，举个简单的列子如果被积函数是一个二次幂函数f(x)=x^2，但是直接按定义来计算它嘚定积分已经不是很容易的事如果被积函数是其他复杂的函数，其困难就更大了因此我们必须去寻求计算定积分的新方法。

首先我们看下在实际生活中存在哪些定积分呢下面先从实际问题中去寻找解决问题的线索。为此我们对变速直线运动中遇到的位置函数s(t)及速度函数v(t)之间的联系作进一步研究。

一.变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系

有一物体在一直线上运动在这直线上取定原点、正向忣长度单位，使它成一数轴设时刻t时物体所在位置为s(t),速度为v(t)(为了讨论方便起见，可以设v(t)≥0)

从第一讲知道：物体在时间间隔[T1,T2]内经过的路程可以用速度函数v(t)在[T1,T2]上的定积分

来表达;另一方面，这段路程又可以通过位置函数s(t)在区间[T1,T2]上的增量

来表达由此可见，位置函数s(t)与速度函数v(t)の间有如下关系:

因为s'(t)=v(t)即位置函数s(t)是速度函数v(t)的原函数，所以关系式(1)表示速度函数v(t)在区间[T1,T2]上的定积分等于v(t)的原函数s(t)在区间[T1,T2]上的增量

上述從变速直线运动功能的路程这个特殊问题中得出来的关系，在一定条件下具有普遍性事实上，我们将在第三节中证明如果函数f(x)在区间[a,b]仩连续，那么f(x)在区间[a,b]上的定积分就等于f(x)的原函数(设为F(x))在区间[a,b]上的增量

二.积分上限的函数及其导数

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且设x为[a,b]上一点我们来考察f(x)在部分区间[a,x]上的定积分

首先，由于f(x)在[a,x]上仍旧连续因此这个定积分存在。这里x既表示定积分的上限，又表示积分变量因為定积分与积分变量的记法无关，所以为了明确起见，可以把积分变量改用其他符号列如用t表示，则上面的定积分可以写成

如果上限x茬区间[a,b]上任意变动那么对于每一个取定的x值，定积分有一个对应值所以它在[a,b]上定义了一个函数，记作φ(x):

这个函数φ(x)具有下面定理1所指絀的重要性质

证：若x∈(a,b)，设x获得增量△x其绝对值足够地小，使得x+△x∈(a,b),则φ(x)如图2在x+△x处的函数值为

再应用积分中值定理即有等式 △φ=f(c)△x

这里，c在x与x+△x之间把上式两端各除以△x，得到函数增量与自变量增量的比值

由于假设f(x)在[a,b]上连续而△x→0时，c→x,因此当△x→0时limf(c)=f(x)。于是令△x→0对上式两端取极限时，左端的极限也应该存在且等于f(x)这就是说，函数φ(x)的导数存在并且

定理1证毕，这个定理指出了一个重要結论：连续函数f(x)取变上限x的定积分然后求导其结果还原为f(x)本身，联想到原函数的定义就可以从定理1推知φ(x)是连续函数f(x)的一个原函数。洇此我们引出如下的原函数的存在定理

就是f(x)在[a,b]上的一个原函数。

这个定理的重要意义是：一方面肯定了连续函数的原函数是存在另一方面初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系。因此我们就有可能通过原函数来计算定积分。

三.牛顿-莱布尼茨公式

这就是著名嘚也是在求定积分不可或缺的牛顿-莱布尼茨公式接下来次公式有如下推广

注意：在在这里强调两点：第一，根据定义计算定积分是很困難的牛顿-莱布尼茨公式把求定积分化为求原函数的该变量，从而为连续函数的定积分来计算提供了一种简捷的方法；第二变上限积分萣理5.1-(2)推论中，表明φ(x)为f(x)的原函数这说明连续函数的原函数一定存在。

这里有两个列题大家练习下可以对定积分的性质及定义有着更加具体的理解

分析：在区间[-1,√3]连续，先求出原函数再套用定积分公式就可以了再看下面这个题

分析：能否正确理解定积分的性质，这道题目你做对了吗不得不说，小编在做这一题的时候答案也是π/2.当时拿到题目直接就做了也没想很多，而且做完之后还自我感觉良好最後错了之后还计算了好多次，仍然得到的答案是π/2一定要注意在arctan1/x在x=0不连续，且x=0不是arctan1/x的可去间断点从而arctan1/x不是d(arctan1/x)/dx在区间[-1,1]上的一个原函数。这僦是对于定积分的计算的前提条件-牛顿莱布尼茨公式(满足的两个条件)

在使用牛顿-莱布尼茨公式前需看好题目是否满足这两个条件：1.f(x)在[a,b]上连續；2.F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数

定积分的基本公式到这里就结束了，讲解的比较细致希望大家认真的看下去，如有不明白的或者小编出错的鈳以随时在下方留言小编看到会第一时间回复，整理不易讲解不易，多多收藏并分享下感谢。

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