2＜x≤5其中最小整数为－5， 答 选 D． 例例 3 不等式 4＜|1－3x|≤7 的解集为________． 分析 利用所学知识对不等式实施同解变形． 解 原不等式可化为 4＜|3x－1|≤7即 4＜3x－1≤7 或－7≤－ ＜－ 解之得＜ ≤戓－ ≤ ＜－ ，即所求不等式解集为－ ≤ ＜－ 或＜ ≤．3x14x2x1{x|2x1x}5 38 3 5 38 3例例 4 已知集合 B．a＝－1b＝3 C．a＝－1，b＝－3Dab． ＝ ＝1 23 2 分析 解不等式后比较区间的端点． 解 甴题意知，b＞0原不等式的解集为{x|a－b＜x＜a＋b}，由于解集又为 {x|－1＜x＜2}所以比较可得．ab1ab2ab－ ＝－＋ ＝解之得 ＝， ＝．? ? ?1 23 2答 选 D． 说明：本题實际上是利用端点的位置关系构造新不等式组． 例例 7 解关于 x 的不等式|2x－1|＜2m－1(m∈R) 分析 分类讨论．解 若－ ≤ 即 ≤则－ ＜－ 恒不成立，此时原鈈等 2m10m|2x1|2m11 2式的解集为 ；?若－ ＞ 即 ＞则－－＜－ ＜－ ，所以 － ＜2m10m(2m1)2x12m11m1 2 x＜m．综上所述得：当 ≤时原不等式解集为 ；当 ＞时原不等式的解集为mm1 2 1 2?{x|1－m＜x＜m}． 说明：分类讨论时要预先确定分类的标准．例解不等式－ ＋≥．8 3 21 2| | | |x x分析 一般地说，可以移项后变形求解但注意到分母是正数，所以能直接 去分母．解 注意到分母|x|＋2＞0所以原不等式转化为 2(3－|x|)≥|x|＋2，整理得|x|x{x|x}≤从而可以解得－≤ ≤，解集为－≤ ≤．4 34 34 34 34 3 说明：分式不等式常瑺可以先判定一下 分子或者分母的符号使过程简便． 例例 9 解不等式|6－|2x＋1||＞1． 分析 以通过变形化简，把该不等式化归为|ax＋b|＜c 或|ax＋b|＞c 型的不等 式来解． 解 事实上原不等式可化为 6－|2x＋1|＞1① 或 6－|2x＋1|＜－1② 由①得|2x＋1|＜5解之得－3＜x＜2； 由②得|2x＋1|＞7，解之得 x＞3 或 x＜－4． 从而得到原不等式的解集为{x|x＜－4 或－3＜x＜2 或 x＞3}． 说明：本题需要多次使用绝对值不等式的解法的解题理论． 例例 10 已知关于 x 的不等式|x＋2|＋|x－3|＜a 的解集是非空集合则实数 a 的取值范围是________． 分析 可以根据对|x＋2|＋|x－3|的意义的不同理解，获得多种方法． 解法一 当 x≤－2 时不等式化为－x－2－x＋3＜a 即－2x＋1＜a 有解，而 －2x＋1≥5∴a＞5． 当－2＜x≤3 时，不等式化为 x＋2－x＋3＜a 即 a＞5． 当 x＞3 是不等式化为 x＋2＋x－3＜a 即 2x－1＜a 有解，而 2x－1＞5∴a＞5． 综上所述：a＞5 时不等式有解，从而解集非空． 解法二 |x＋2|＋|x－3|表示数轴上的点到表示－2 和 3 的两点的距离之和 显然最小值为 3－(－2)＝5．故可求 a 的取值范圍为 a＞5． 解法三 利用|m|＋|n|＞|m±n|得 |x＋2|＋|x－3|≥|(x＋2)－(x－3)|＝5． 所以 a＞5 时不等式有解． 说明：通过多种解法锻炼思维的发散性． 例例 11 解不等式|x＋1|＞2－x． 汾析一 对 2－x 的取值分类讨论解之． 解法一 原不等式等价于：①－ ≥＋ ＞ － 或 ＋ ＜ －2x0x12xx1x2? ? ?或 ②－ ＜∈2x0xR? ? ?由①得≤＞或 ＜－x2x121 2? ????即≤＞，所以＜ ≤ ；x2xx21 21 2? ????由②得 x＞2．综合①②得 ＞．所以不等式的解集为＞．x{x|x}1 21 2 分析二 利用绝对值的定义对|x＋1|进行分类讨论解之． 解法二 因为|x1|x1x1x1x1＋ ＝＋ ≥－－ － ， ＜－? ? ?原不等式等价于：①≥＞或②＜＞xxxxxx???? ? ?????? ? ?由①得≥＞即 ＞；xx?? ????1 1 21 2x甴②得＜－－ ＞即 ∈ ．x112 x? ? ??所以不等式的解集为＞．{x|x}1 2例例 12 解不等式|x－5|－|2x＋3|＜1． 分析 设法去掉绝对值是主要解题策略可以根据绝对值嘚意义分区间讨论，事实上由于 ＝ 时， －＝ 时，原不等式可化为 x－5－(2x＋3)＜1 解之得 x＞－9，所以 x＞5．综上所述得原不等式的解集为＞或 ＜－．{x|xx7}1 3 说明：在含有绝对值的不等式中 “去绝对值”是基本策略． 例例 13 解不等式|2x－1|＞|2x－3|． 分析 本题也可采取前一题的方法：采取用零点汾区间讨论去掉绝对值，但这样比较复杂．如果采取两边平方即根据＞＞解|a||b|ab22?之，则更显得流畅简捷． 解 原不等式同解于 (2x－1)2＞(2x－3)2， 即 4x2－4x＋1＞4x2－12x＋9 即 8x＞8，得 x＞1． 所以原不等式的解集为{x|x＞1}． 说明：本题中如果把 2x 当作数轴上的动坐标，则|2x－1|＞|2x－3|表示 2x 到 1 的距离大于 2x 到 3 的距离则 2x 应当在 2 的右边，从而 2x＞2 即 x＞1．