极限计算方法总结（高等数学知识点精华总结）
我的图书馆
极限计算方法总结（高等数学知识点精华总结）
　　极限计算方法总结　　《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。　　一、极限定义、运算法则和一些结果　　1(定义:(各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述)。　　说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的极限严格定义证　　,0，当|q|1时,bn,limqlim(3x,1),5lim,0(a,b为常数且a,0);;;等等 明，例如:,,,nx,2n,,不存在，当|q|,1时an,　　(2)在后面求极限时，(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格　　定义证明。　　2(极限运算法则　　定理1 已知 ，都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有 (1)limf(x)limg(x)　　lim[f(x),g(x)],A,B　　(2) limf(x),g(x),A,B　　f(x)A(3) lim,,(此时需B,0成立)g(x)B　　说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。　　3(两个重要极限　　xsinlim,1(1) x,0x　　11xxlim(1，),elim(1，x),e(2) ; x,,,0xx　　说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，　　作者简介:靳一东，男，(1964—)，副教授。　　1xxsin333,2xlim(1，),elim(1,2x),elim,1例如:，，;等等。 x,,x,0xx,0x3　　4(等价无穷小　　定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。　　定理3 当时，下列函数都是无穷小(即极限是0)，且相互等价，即有: x,0　　xxtanxarctanxln(1，x)sinxarcsinxe,1,,,,,, 。　　g(x)g(x),0说明:当上面每个函数中的自变量x换成时()，仍有上面的等价　　23x2,xe,13xln(1,x)关系成立，例如:当时， , ; , 。 x,0　　1　　1/5页　　x,xf(x),g(x),f(x),g(x) 定理4 如果函数都是时的无穷小，且,，,，则当f(x)g(x)f(x)g(x)01111　　f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)111limlimlimlimlim存在时，也存在且等于，即=。 f(x)x,xx,xx,xx,xx,x00000g(x)g(x)g(x)g(x)g(x)1115(洛比达法则　　定理5 假设当自变量x趋近于某一定值(或无穷大)时，函数和满足:(1)和的f(x)g(x)f(x)g(x)　　极限都是0或都是无穷大;　　(2)和都可导，且的导数不为0; f(x)g(x)g(x)　　,f(x)lim (3)存在(或是无穷大); ,g(x)　　,,f(x)f(x)f(x)f(x)limlimlimlim 则极限也一定存在，且等于，即= 。 ,,g(x)g(x)g(x)g(x)说明:定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达　　0,法则就不能应用。特别要注意条件(1)是否满足，即验证所求极限是否为“”型或“”型;0,　　条件(2)一般都满足，而条件(3)则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以　　连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。　　6(连续性　　x 定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果是函数的定义去间内的一点，则有f(x)0　　limf(x),f(x) 。 0x,x0　　7(极限存在准则　　定理7(准则1) 单调有界数列必有极限。　　{x},{y},{z}为三个数列，且满足: 定理8(准则2) 已知nnn　　y,x,z,(n,1,2,3,？)(1) nnn　　limy,alimz,a (2) ， nnn,,n,,　　limxlimx,a 则极限一定存在，且极限值也是a ，即。 nnn,,n,,　　二、求极限方法举例　　1( 用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限　　3x，1,2lim例1 x,1x,1　　22xx(31)2333，,,limlim,,解:原式= 。 x,1x,14xxxx(1)(312)(1)(312),，，,，，　　注:本题也可以用洛比达法则。　　limn(n，2,n,1)例2 n,,　　分子分母同除以nnnn[(，2),(,1)]33lim,lim,解:原式= 。 n,,n,,2nn，2，,1211，，1,nn　　nn(,1)，3lim例3 nn,,n2，3　　2　　2/5页　　1n(,)，1n上下同除以33,lim,1解:原式 。 n,,2n()，13　　2( 利用函数的连续性(定理6)求极限　　1　　2xlimxe例4 ,x2　　1　　2xf(x),xex,2解:因为是函数的一个连续点， 0　　1222e,4e 所以 原式= 。 3( 利用两个重要极限求极限　　1cosx,lim 例5 2x,03x　　xx222sin2sin122limlim,,解:原式= 。 200x,x,x63x212(),　　2　　注:本题也可以用洛比达法则。　　2　　xlim(1,3sinx)例6 ,x0　　1,6sin1,6sinxx,x,6,3sinxx,3sinxlim(1,3sinx),lim[(1,3sinx)],e 。 解:原式=,0,0xx　　n,2nlim()例7 ,,nn，1　　,3n，1,3，1nnn,,3,3n，1,3，1n,3,3lim(1，),lim[(1，)],e解:原式= 。 ,,,,nnn，1n，14( 利用定理2求极限　　12xlimsin例8 x,0x　　解:原式=0 (定理2的结果)。 5( 利用等价无穷小代换(定理4)求极限　　xln(13x)，lim 例9 2x,0arctan(x)　　22arctan(x)？x,0时，ln(1，3x) 解:,，,， x3x　　xx,3？ 原式= 。 lim,32x,0x　　xsinxe,elim例10 ,x0x,sinx　　,sinxxsinxsinxeeexx(,1)(,sin)lim,lim,1解:原式= 。 ,,x0x0xxxx,sin,sin注:下面的解法是错误的:　　3　　3/5页　　xsinxeexx(,1),(,1),sinlim,lim,1 原式= 。 x,0x,0xxxx,sin,sin　　正如下面例题解法错误一样:　　xxxxtan,sin,lim,lim,0 。 33x,x,00xx　　12tan(xsin)　　xlim例11 x,0sinx　　111222解:， ？当x,0时，xsin是无穷小，？tan(xsin)与xsin等价xxx　　12xsin1xxlim,limsin,0 所以， 原式= 。(最后一步用到定理2) x,0x,0xx　　6( 利用洛比达法则求极限　　说明:当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，　　洛比达法则还可以连续使用。　　1cosx,lim例12 (例4) 2x,03x　　sinx1lim,解:原式= 。(最后一步用到了重要极限) x,06x6　　,xcos　　2lim例13 x,1x,1　　,,x,sin,22,,lim解:原式= 。 x,112　　x,sinxlim例14 3x,0x　　1cosxsinx1,limlim,解:原式== 。(连续用洛比达法则，最后用重要极限) 2x,x,006x63x　　sinxxcosx,lim例15 2x,0xsinx　　解:　　sinxxcosxcosx(cosxxsinx),,,limlim,,原式22x,x,00xx3x,　　xsinx1lim,,2x,033x　　11,lim[]例18 x,0x，xln(1)　　11lim[,],0解:错误解法:原式= 。 x,0xx　　正确解法:　　4　　4/5页　　ln(1，x),xln(1，x),x原式,lim,limx,0xln(1，x)x,xx,0　　1 ,1x11，x,lim,lim,。x,0x,02x2x(1，x)2　　应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。　　x,2sinxlim例19 x,,3x，cosx　　1,2cosx0lim解:易见:该极限是“”型，但用洛比达法则后得到:，此极限 x,,3,sinx0　　不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下:　　x2sin1,xlim原式= (分子、分母同时除以x) x,,xcos3，x　　1 = (利用定理1和定理2) 3　　7( 利用极限存在准则求极限　　limxx,2,x,2，x,(n,1,2,？)例20 已知，求 n1n，1n,,n　　xlimxlimx,a{x}解:易证:数列单调递增，且有界(0)，由准则1极限存在，设 。对已nnnn,,,,nn　　x,2，x知的递推公式 两边求极限，得: n，1n　　a,2，aa,2a,,1 ，解得:或(不合题意，舍去)　　limx,2所以 。 nn,,　　111lim(？)，，，例21 222n,,n，1n，2n，n　　n111n,，，？，,解: 易见: 22222n，nn，1n，2n，nn，1　　nnlim,1lim,1因为 ， 22n,,n,,，1nn，n　　111lim(，，？，),1所以由准则2得: 。 222n,,n，1n，2n，n　　上面对求极限的常用方法进行了比较全面的总结，由此可以看出，求极限方法灵活多样，而且许多题目不只用到一种方法，因此，要想熟练掌握各种方法，必须多做练习，在练习中体会。另外，求极限还有其它一些方法，如用定积分求极限等，由于不常用，这里不作介绍。　　5　　5/5页全文完
[转]&[转]&[转]&[转]&[转]&[转]&
喜欢该文的人也喜欢欢迎你， 　 　
2018考研高数必考题型：极限的存在问题
11:52:48 来源：网络
最新资讯：
考研关注：
复习指导：
课程推荐：
　　冲刺复习，高等数学部分如何把握?新东方在线建议考生重点词看错题集，把出题点的做题方法多研究研究，极限的存在问题是高数的常考题型之一，下面新东方在线带大家来回顾回顾这类题目解法和注意事项。　——极限存在问题——　　极限存在问题一般是用两个方法，即迫敛定理(也叫夹逼准则)和单调有界定理，单调有界定理一般用在已知数列的前一项和后一项关系式时候，如果不知道关系式，一般极限不容易求得。迫敛性定理一般是用来求函数极限的具体的值的。　　(单调有界定理)单调有界数列必有极限。单调递增有上界，数列极限存在;单调递减有下界，数列极限存在。
本文关键字：
英语精华资料下载
政治精华资料下载
数学精华资料下载
课程及活动推荐
考研网络课堂
考研公共课
考研专业课
考研直通车
快速响应：购课即开展择校择专业指导，且有一次更换所报专业课机会；
专属小灶：老师直播互动式教学，真正的“零”起点授课，就是让你入门；
专属辅导：班主任+科目老师，多对一全程辅导，智能讲练结合，随时检验效果；
签约重读：一科不过，全科重读，业内最低重读标准
考研交流 o 下载
已有48077次浏览
已有21745次浏览
已有6472次浏览
已有6650次浏览
已有5346次浏览
已有4455次浏览
已有6761次浏览
已有8567次浏览
精品课限量免费领
已有1811人领取
已有933人领取
已有265人领取
已有1525人领取
已有281人领取
考研网络课堂
考研实用 o 工具
考研课程排行榜
考研公开课高等数学极限总结_百度文库
您的浏览器Javascript被禁用，需开启后体验完整功能，
享专业文档下载特权
&赠共享文档下载特权
&100W篇文档免费专享
&每天抽奖多种福利
两大类热门资源免费畅读
续费一年阅读会员，立省24元！
高等数学极限总结
阅读已结束，下载本文需要
定制HR最喜欢的简历
下载文档到电脑，同时保存到云知识，更方便管理
加入VIP
还剩1页未读，
定制HR最喜欢的简历
你可能喜欢豆丁微信公众号
君，已阅读到文档的结尾了呢~~
高等数学极限习题500道极限,试题,高数,高等数学,题500,500道,高数习题
扫扫二维码，随身浏览文档
手机或平板扫扫即可继续访问
高等数学极限习题500道
举报该文档为侵权文档。
举报该文档含有违规或不良信息。
反馈该文档无法正常浏览。
举报该文档为重复文档。
推荐理由：
将文档分享至：
分享完整地址
文档地址：
粘贴到BBS或博客
flash地址：
支持嵌入FLASH地址的网站使用
html代码：
&embed src='http://www.docin.com/DocinViewer-4.swf' width='100%' height='600' type=application/x-shockwave-flash ALLOWFULLSCREEN='true' ALLOWSCRIPTACCESS='always'&&/embed&
450px*300px480px*400px650px*490px
支持嵌入HTML代码的网站使用
您的内容已经提交成功
您所提交的内容需要审核后才能发布，请您等待！
3秒自动关闭窗口扫码下载官方APP
　　高等数学以微积分为主要内容。微积分是研究运动和变化的数学，它广泛应用于自然科学、社会科学、经济管理、工程技术等各个领域，其内容、思想与方法对培养各类人才全面综合素质具有不可替代的作用。高等数学课程着重培养学员的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、实验及观察能力以及综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，也是开展数学素质教育、培养学习者创新精神和创新能力的重要课程。　　为符合MOOC课程的特点并方便广大学习者，我们将传统意义的高等数学课程分成五个部分，共100讲，由十五章组成。主要内容包括：极限与连续、数值级数、一元函数导数与积分、常微分方程、空间解析几何、多元函数微分学及应用、重积分、曲线与曲面积分、幂级数与傅里叶级数。　　高等数学（一）共21讲，主要内容有：绪论、映射与函数、数列极限与数值级数、函数极限与连续。
高等数学一（共21讲）第0章 绪论第一讲 微积分纵览<span style="color:#.&微积分创立背景<span style="color:#.1 .&&几个微积分问题——如何求平面图形面积<span style="color:#.2 .&&几个微积分问题——如何求平面曲线切线<span style="color:#.3 .&&几个微积分问题——如何求无穷多个数的和<span style="color:# .&&如何学习微积分第二讲 如何用Mathematica做微积分<span style="color:# .&&问题引入<span style="color:#.1 .&&Mathematica基本操作——界面简介<span style="color:#.2 .&&Mathematica基本操作——基本运算与数<span style="color:#.3 .&&Mathematica基本操作——函数与列表处理<span style="color:# .&&绘制图形<span style="color:#.1 .&&微积分基本计算——解方程与不等式<span style="color:#.2 .&&微积分基本计算——导数与微分<span style="color:#.3 .&&微积分基本计算——求积分与解微分方程第一章 映射与函数第三讲 集合与映射<span style="color:# .&&问题引入<span style="color:#.1 .&&集合的概念与运算——集合的概念<span style="color:#.2 .&&集合的概念与运算——集合的运算性质<span style="color:#.3 .&&集合的概念与运算——直积的概念<span style="color:# .&&确界与连续性公理<span style="color:# .&&区间与邻域<span style="color:# .&&映射<span style="color:# .&&集合的比较第四讲 函数的概念与性质<span style="color:# .&&问题引入<span style="color:# .&&函数的概念<span style="color:# .&&函数的例子<span style="color:# .&&函数的运算<span style="color:#.1 .&&函数的简单特性——单调性与有界性<span style="color:#.2 .&&函数的简单特性——奇偶性与周期性第五讲 初等函数<span style="color:# .&&问题引入<span style="color:#.1 .&&基本初等函数——幂函数与指数函数<span style="color:#.2 .&&基本初等函数——三角函数与反三角函数<span style="color:# .&&初等函数<span style="color:# .&&双曲函数第六讲 曲线的参数方程与极坐标方程<span style="color:# .&&问题引入<span style="color:#.1 .&&曲线的参数方程——参数方程概念<span style="color:#.2 .&&曲线的参数方程——直角坐标方程化为参数方程<span style="color:#.3 .&&曲线的参数方程——常见曲线的参数方程<span style="color:#.1 .&&极坐标与极坐标方程——极坐标系<span style="color:#.2 .&&极坐标与极坐标方程——曲线的极坐标表示<span style="color:#.1 .&&圆锥曲线——圆锥曲线的定义<span style="color:#.2 .&&圆锥曲线——圆锥曲线极坐标方程第二章数列极限与数值级数第七讲 数列极限的概念<span style="color:# .&&问题引入<span style="color:# .&&数列极限的直观描述<span style="color:# .&&数列极限的算术定义<span style="color:# .&&数列极限的几何解释<span style="color:# .&&割圆术与圆周率第八讲 数列极限的性质<span style="color:# .&&问题引入<span style="color:#.1 .&&数列极限的基本性质——惟一性<span style="color:#.2 .&&数列极限的基本性质——有界性<span style="color:#.3 .&&数列极限的基本性质——保号性<span style="color:#.1 .&&数列极限的运算法则——四则运算法则<span style="color:#.2 .&&数列极限的运算法则——四则运算法则的应用第九讲 数列收敛的判定方法<span style="color:# .&&问题引入<span style="color:#.1 .&&夹逼定理——定理证明<span style="color:#.2 .&&夹逼定理——定理应用<span style="color:#.1 .&&单调有界原理——定理证明<span style="color:#.2 .&&单调有界原理——定理应用<span style="color:# .&&区间套定理第十讲 子数列与聚点原理<span style="color:# .&&问题引入<span style="color:# .&&子数列的概念<span style="color:# .&&数列收敛的归并性<span style="color:# .&&聚点原理<span style="color:# .&&柯西收敛原理第十一讲 无穷级数的概念与运算性质<span style="color:# .&&问题引入<span style="color:# .&&级数的由来<span style="color:# .&&级数收敛的概念<span style="color:# .&&收敛级数的性质<span style="color:# .&&柯西收敛原理第十二讲 正项级数收敛性判别方法<span style="color:# .&&问题引入<span style="color:# .&&正项级数收敛的充要条件<span style="color:#.1&.&&比较判别法——不等式形式<span style="color:#.2 .&&比较判别法——极限形式<span style="color:# .&&比值判别法与根值判别法第十三讲 变号级数收敛性判别方法<span style="color:# .&&问题引入<span style="color:#.1 .&&交错级数——莱布尼兹判别法<span style="color:#.2 .&&交错级数——莱布尼兹判别法的应用<span style="color:# .&&绝对收敛与条件收敛<span style="color:# .&&级数收敛性判定一般方法第三章 函数极限与连续第十四讲 函数极限的概念<span style="color:# .&&问题引入<span style="color:# .&&连续变量的变化过程<span style="color:# .&&函数极限例子<span style="color:#.1 .&&函数极限的定义——在无穷远处的情形<span style="color:#.2 .&&函数极限的定义——在有限点处的情形<span style="color:#.3 .&&函数极限的定义——极限存在性讨论第十五讲 函数极限的性质与运算法则<span style="color:# .&&问题引入<span style="color:# .&&函数极限的性质<span style="color:# .&&函数极限的四则运算法则<span style="color:# .&&复合运算的极限第十六讲 函数极限存在性的判定准则<span style="color:# .&&问题引入<span style="color:# .&&函数极限与数列极限的关系<span style="color:# .&&夹逼定理<span style="color:#.1 .&&两个重要极限及应用——重要极限之一<span style="color:#.2 .&&两个重要极限及应用——重要极限之二<span style="color:#.3 .&&两个重要极限及应用——重要极限的应用第十七讲 无穷小量与无穷大量<span style="color:# .&&问题引入<span style="color:# .&&无穷小的概念<span style="color:# .&&无穷小的运算性质<span style="color:# .&&无穷大与铅直渐近线<span style="color:#.1 .&&无穷小的比较——无穷小的比较的概念<span style="color:#.2 .&&无穷小的比较——常用等价无穷小关系及其应用第十八讲 函数连续的概念<span style="color:# .&&问题引入<span style="color:#.1 .&&连续函数的概念——函数在一点连续<span style="color:#.2 .&&连续函数的概念——函数在区间上连续<span style="color:#.1 .&&间断点及其类型——间断点的概念<span style="color:#.2 .&&间断点及其类型——与间断点有关的问题第十九讲 连续函数的运算<span style="color:# .&&问题引入<span style="color:#.1 .&&连续函数的运算法则——四则运算法则<span style="color:#.2 .&&连续函数的运算法则——复合运算法则<span style="color:#.3 .&&连续函数的运算法则——求逆运算法则<span style="color:# .&&初等函数的连续性<span style="color:# .&&压缩映像原理第二十讲 闭区间上连续函数的性质<span style="color:# .&&问题引入<span style="color:#.1 .&&最值定理——最值的概念与最值定理<span style="color:#.2 .&&最值定理——最值定理的证明<span style="color:#.1 .&&零值定理与介值定理——定理证明<span style="color:#.2 .&&零值定理与介值定理——定理应用第二十一讲 函数的一致连续性<span style="color:# .&&问题引入<span style="color:# .&&一致连续的定义<span style="color:# .&&一致连续的几何解释<span style="color:# .&&一致连续性定理
课堂测试与作业占30%，论坛占10%，期末考试占60%，按百分制计分，60分至84分为合格，85分至100分为优秀。
朱健民，李建平，高等数学（上、下），高等教育出版社，2007年李建平，朱健民，高等数学的典型例题与解法（上、下），国防科技大学出版社，2003年
由高教社联手网易推出，让每一个有提升愿望的用户能够学到中国知名高校的课程，并获得认证。
| 京ICP备号-2 |
(C) icourse163.org}