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& 2013版高中全程复习方略数学（理） 第5章 数列 5.2 等差数列及其前n项和
2013版高中全程复习方略数学（理） 第5章 数列 5.2 等差数列及其前n项和
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资料类型：地区联考
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资料概述与简介
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等差数列的判定 【方法点睛】 等差数列的判定方法 (1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数； (2)等差中项法：验证2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N*)成立； (3)通项公式法：验证an=pn+q； (4)前n项和公式法：验证Sn=An2+Bn. 【提醒】在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式和前n项和的公式的方法主要适用于选择题、填空题中的简单判断. 【例2】已知数列{an}中，
,数列{bn} 满足bn= (1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由. 【解题指南】利用定义法证明数列{bn}是等差数列；先求bn，再 求an,最后利用函数的单调性求最大项和最小项. 【规范解答】(1)∵an=
∴数列{bn}是以
为首项，以1为公差的等差数列. (2)由(1)知
，则f(x)在区间(-∞,
，+∞)上为减函 数. ∴当n=3时，an取得最小值-1，当n=4时，an取得最大值3. 【反思·感悟】本例中在用定义法证明{bn}是等差数列时，不论用bn+1-bn还是用bn-bn-1需要考虑运算中是否包含了b2-b1这一运算.这是容易被忽视的问题. 【变式训练】 1.已知数列{an}中，a1=-1,an+1·an=an+1-an,则数列{an}的通项公式为_____. 【解析】∵an+1·an=an+1-an ∴
}是公差为-1的等差数列，且
=-1+(n-1)×(-1)=-n.
答案： 2.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn·Sn-1=0(n≥2), a1=
}是等差数列. 【解析】∵an=Sn-Sn-1,且an+2Sn·Sn-1=0(n≥2)， ∴Sn-Sn-1+2Sn·Sn-1=0(n≥2)， 又Sn≠0， ∴ ∴
}是以2为首项，2为公差的等差数列.
等差数列的性质及应用 【方法点睛】 等差数列的常见性质 (1)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则am+an=ap+aq=2ak. (2)若{an},{bn}都是等差数列，k,m∈R,数列{kan+mbn}仍为等差数列. (3)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m仍为等差数列(m∈N*). (4)am=an+(m-n)d? d= (5)项数为偶数2n的等差数列{an}: ①S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1). ②S偶-S奇=nd, (6)项数为奇数(2n+1)的等差数列{an}: ①S2n+1=(2n+1)an+1.② 【例3】(1)(2011·辽宁高考)Sn为等差数列{an}的前n项和，S2=S6，a4=1,则a5=______. (2)已知等差数列{an}中，a1+a2+a3=40,a4+a5+a6=20,则前9项之和等于______. (3)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn=324(n>6),求数列{an}的项数及a9+a10. 【解题指南】(1)根据S2=S6，先求a4+a5的值，再求a5. (2)根据S3,S6-S3,S9-S6成等差数列求解. (3)根据前6项与最后6项的和求出a1+an,再求n及a9+a10. 【规范解答】(1)∵S2=S6， ∴S6-S2=a3+a4+a5+a6=0， ∴2(a4+a5)=0,即a4+a5=0， ∴a5=-a4=-1. 答案：-1 (2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,则S3,S6-S3,S9-S6成等差数列， 且S3=40，S6-S3=20. ∴S9-S6=20+(-20)=0， ∴S9=S6=60. 答案：60 (3)由题意知a1+a2+…+a6=36① an+an-1+an-2+…+an-5=180② ①+②得 (a1+an)+(a2+an-1)+…+(a6+an-5)=6(a1+an)=216， ∴a1+an=36, 又Sn= ∴18n=324,∴n=18. ∴a1+a18=36, ∴a9+a10=a1+a18=36. 【互动探究】若本例中第(1)题条件不变，改为求此等差数列的前多少项的和最大，并求出最大值. 【解析】在本例中第(1)题已求解出a5=-1, 又a4=1,得公差d=-2,∴S4最大.且S4=1+3+5+7=16. 【反思·感悟】1.在等差数列{an}中，若m+n=p+q=2k,则am+an=ap+aq=2ak是常用的性质，本例第(1)、(3)题都用到了这个性质，在应用此性质时，一定要观察好每一项的下标规律，不要犯a2+a5=a7的错误. 2.本例第(2)题也可先求a1,d,再求a7+a8+a9,但不如用性质简单. 【变式备选】等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,求m的值. 【解析】∵am-1+am+1=2am, ∴am-1+am+1-am2=2am-am2=0， 解得am=0或am=2. 又∵a1+a2m-1=2am, ∴S2m-1= ∴am≠0,am=2, ∴2m-1=19, 解得m=10. 【满分指导】等差数列主观题的规范解答 【典例】(12分)(2012·广州模拟)已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26，{an}的前n项和为Sn. (1)求an及Sn； (2)令bn=
，求数列{bn}的前n项和Tn. 【解题指南】(1)分析题意，列方程组求解； (2)将an代入bn后，表示出bn是解题关键. 【规范解答】(1)设等差数列{an}的公差为d， 因为a3=7，a5+a7=26，所以有 解得a1=3,d=2，………………………………………………3分 所以an=3+2(n-1)=2n+1, Sn=
……………………………………6分 (2)由(1)知an=2n+1， 所以bn=
…………………………………………………9分 所以Tn= =
………………………………………11分 即数列{bn}的前n项和Tn=
…………………………12分 【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议： 失分警示 在解答本题时有两点容易造成失分： (1)利用方程的思想联立方程组求解在计算上容易出现失误，不能准确求出首项a1和公差d； (2)在求解数列{bn}的前n项和时，不能熟练准确地利用裂项公式. 备 考 建 议 解决等差数列问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注: (1)对通项公式与前n项和公式记忆错误； (2)基本公式中的项数或奇偶项的确定不正确； (3)判断一个数列是否为等差数列时，易忽略验证第一项. 另外需要熟练掌握几种常见的裂项方法，才能快速正确地解决一些数列求和问题. 1.(2012·梅州模拟)如果数列{an}满足a1=2,a2=1,且 =
,则这个数列的第10项等于(
【解析】选D. ∴数列{
的等差数列.
2.(2011·天津高考)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，n∈N*,若a3=16,S20=20,则S10的值为______.
【解析】由题意知
答案：110 3.(2012·广州模拟)在数列{an}中,若点(n,an)在经过点(5,3)的定直线l上,则数列{an}的前9项和S9=______. 【解析】∵点(n,an)在定直线l上, ∴数列{an}为等差数列,设公差为d, ∴an=a1+(n-1)·d. 将(5,3)代入,得3=a1+4d=a5, ∴S9= 答案：27 4.(2012·济南模拟)设同时满足条件：① ②bn≤M(n∈N*,M是与n无关的常数)的无穷数列{bn}叫“特界” 数列. (1)若数列{an}为等差数列，Sn是其前n项和，a3=4,S3=18,求Sn; (2)判断(1)中的数列{Sn}是否为“特界”数列，并说明理由. 【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d， 则a1+2d=4,S3=a1+a2+a3=3a1+3d=18, 解得a1=8,d=-2, ∴Sn= (2)由 = 得
,故数列{Sn}适合条件①. 而Sn= 则当n=4或5时，Sn有最大值20, 即Sn≤20,故数列{Sn}适合条件②. 综上,数列{Sn}是“特界”数列. 第二节
等差数列及其前n项和 三年12考
高考指数:★★★ 1.理解等差数列的概念； 2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式； 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题； 4.了解等差数列与一次函数的关系. 1.等差数列的通项公式与前n项和公式是考查重点； 2.运用归纳法、累加法、倒序相加法、方程思想、函数的性质解决等差数列问题是重点，也是难点； 3.题型以选择题和填空题为主，与其他知识点结合则以解答题为主. 1.等差数列的相关概念 (1)定义：一个数列从________，每一项与它的前一项的差等于同一个常数. (2)公差：是指常数，一般用字母d表示. (3)定义表达式：_________(n∈N*). 第2项起 an+1-an=d 【即时应用】 下列数列是否为等差数列.(填“是”或“否”)： (1)数列
) (2)数列a，2a，3a，4a，…(
) (3)数列{an}满足an=an-1+1(n≥2,n∈N*)(
) (4)数列{an}满足an+1=an+1(n≥2,n∈N*)(
) 【解析】根据等差数列的定义知，(2)(3)是等差数列，(1)不是等差数列，(4)中数列{an}从第2项起满足等差数列的定义，第1项不一定满足，故不一定是等差数列. 答案：(1)否
(4)否 2.等差数列的通项公式 若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为 an=__________. a1+(n-1)d 【即时应用】 (1)在等差数列{an}中，a5=10,a12=31,则an=_______. (2)等差数列10，7，4，…的第20项为_______. 【解析】(1)∵a5=a1+4d,a12=a1+11d,
∴an=a1+(n-1)d=-2+(n-1)×3=3n-5. (2)由a1=10,d=7-10=-3,n=20,得 a20=10+(20-1)×(-3)=-47. 答案：(1)an=3n-5
(2)-47 3.等差中项 若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A=_____. 【即时应用】 (1)A=
是a，A，b成等差数列的________________条件. (2)若等差数列{an}的前三项依次为a,2a+1,4a+2,则它的第五项 为________. 【解析】(1)若A=
,可知2A=a+b,可推出A-a=b-A,所以a,A,b 成等差数列；反之，若a,A,b成等差数列，则A=
是a，A，b成等差数列的充要条件. (2)由题意知2a+1是a与4a+2的等差中项，即2a+1=
,解得a=0,故数列{an}的前三项依次为0，1，2，则a5=0+4×1=4. 答案：(1)充要
(2)4 4.等差数列的前n项和公式 条件 a1,an a1,d 和式
__________________________
________________________
【即时应用】 (1)若等差数列{an}中，a1=5,a10=95,则S10=_______. (2)若等差数列{an}中，a1=100,d=-2,则S50=_______. (3)若等差数列{an}中，d=2,a15=-10,则S15=_______.
【解析】(1) (2)S50= =50×(100-49)=2 550. (3)由an=a1+(n-1)d得, -10=a1+(15-1)×2,解得a1=-38, ∴S15= 答案：(1)500
等差数列的基本运算 【方法点睛】 1.等差数列运算的通性通法 等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解. 2.等差数列前n项和公式的应用方法 等差数列前n项和公式有两个，如果已知项数n、首项a1和第n项 an，则利用
,该公式经常和等差数列的性质结合应用. 如果已知项数n、首项a1和公差d，则利用 在求解等差数列的基本运算问题时，有时会和通项公式结合使 用. 【例1】(1)(2011·广东高考)等差数列{an}前9项的和等于前4项的和.若a1=1,ak+a4=0,则k=______. (2)(2011·湖北高考)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为_____升. (3)(2011·福建高考)已知等差数列{an}中，a1=1,a3=-3. ①求数列{an}的通项公式； ②若数列{an}的前k项和Sk=-35，求k的值. 【解题指南】(1)根据S9=S4求公差d，利用ak+a4=0求k. (2)转化为关于a1,d的方程组，先求a1,d,再求a5，或直接转化为关于a5,d的方程组求解. (3)求出公差d后直接写出an，求出Sn，根据Sk=-35求k的值. 【规范解答】(1)∵S4=S9,
答案：10 (2)方法一：设自上第一节竹子容量为a1,依次类推，数列{an}为等差数列. 又a1+a2+a3+a4=4a1+6d=3, a7+a8+a9=3a1+21d=4. 解得
∴a5=a1+4d= 方法二：设自上第一节竹子容量为a1，则第九节容量为a9,且数列{an}为等差数列. a1+a2+a3+a4=3,a7+a8+a9=4, 即4a5-10d=3
① 3a5+9d=4
② 联立①②解得a5= 答案： (3)①设等差数列{an}的公差为d， 由a1=1,a3=-3可得1+2d=-3，解得d=-2. 从而an=1+(n-1)×(-2)=3-2n. ②由①知an=3-2n, ∴Sn= 由Sk=-35得2k-k2=-35. 即k2-2k-35=0，解得k=7或k=-5. 又k∈N*,故k=7. 【互动探究】本例第(3)题中，若将“a1=1,a3=-3”改为“a1=31,S10=S22”，试求 ①Sn; ②这个数列的前多少项的和最大？并求出这个最大值. 【解析】①∵S10=a1+a2+…+a10, S22=a1+a2+…+a22，又S10=S22， ∴a11+a12+…+a22=0，
=0,即a11+a22=2a1+31d=0, 又a1=31,∴d=-2, ∴Sn= ②方法一：由①知Sn=32n-n2, ∴当n=16时，Sn有最大值，Sn的最大值是256. 方法二：an=a1+(n-1)d=31+(n-1)×(-2)=-2n+33， 由an≥0得， ∴当n=16时Sn有最大值，S16=32×16-162=256. 【反思·感悟】1.等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1,an,d,n,Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程解决问题的思想. 2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法. 【变式备选】在等差数列{an}中， (1)已知a15=33,a45=153,求a66; (2)已知S8=48,S12=168,求a1和d； (3)已知a6=10,S5=5,求a8和S8. 【解析】(1)方法一：设首项为a1,公差为d，依题意得
解方程组得
∴a66=-23+(66-1)×4=237. 方法二：由
,得d= 由an=am+(n-m)d,得 a66=a45+(66-45)×4=237. (2)∵Sn=
解方程组得
(3)∵a6=10,S5=5,
解方程组得
∴a8=a1+7d=-5+7×3=16; S8=8a1+28d=8×(-5)+28×3 =44. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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已知等比数列an中,a4-a1=26,S3=-13,求a1和q
来源：互联网 &责任编辑：鲁倩 &
已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=7,S6=63,则a7+a8+a9=解:设等比数列{an}的公比为q。因为7/3≠63/6所以&q≠1所以:S3=a1(1?q^3)/(1?q)=7&&①S6=a1(1?q^6)/(1?q)=63&②②/①得:(1?q^6)/(1+q^3)=9(q^3&...已知正项等比数列an满足a7=a6+2a5,由于该数列为等比数列,故而可将an=a1乘以q的n-1次方代入到a7=a6+2a5中,可转变为:q的平方=q+2,由于该数列都为正项,故而可求出q=2.然后再根据后面的已知条件可得出am...已知等比数列{an}中A2=1,则其前3项的和S3的取值范围是A1+A3&=2√(A1*A3)=2√1=2当公比q&0时A1+A2+A3=1+A1+A3≥1+2=3当公比q&0时A1+A2+A3=1+A1+A3≤1-2=-1已知等比数列an,首项bn满足bn=log3an,其前n项和为Sn已知等比数列an,首项为81,数列bn满足bn=log3an,其前n项和sn(1)证明:bn-b(n-1)=log(3)an-log(3)an-1=log(3)an/a(n-1)=log(3)q∵b1=log(3)81=4∴数列xbny是以4为首项,公比...已知等比数列an满足a1乘a2等于1.a乘5a6等于4则a3乘a4等于∵等比数列{an}满足a1?a4?a7=1,a2?a5?a8=8∴a43=1即a4=1,a53=8即a5=2∴公比q=a5a4=2,则a6=4a3?a6?a9=a63=43=64故选D.已知等比数列an中,a4-a1=26,S3=-13,求a1和q(图3)已知等比数列an中,a4-a1=26,S3=-13,求a1和q(图7)已知等比数列an中,a4-a1=26,S3=-13,求a1和q(图10)已知等比数列an中,a4-a1=26,S3=-13,求a1和q(图17)已知等比数列an中,a4-a1=26,S3=-13,求a1和q(图21)已知等比数列an中,a4-a1=26,S3=-13,求a1和q(图28)这是用户提出的一个数学问题,具体问题为:已知等比数列an中,a4-a1=26,S3=-13,求a1和q我们通过互联网以及本网用户共同努力为此问题提供了相关答案,以便碰到此类问题的同学参考学习,请注意,我们不能保证答案的准确性,仅供参考,具体如下:已知等比数列an满足a1乘a2等于1.a乘5a6等于4则a3乘a4等于∵等比数列{an}满足a1?a4?a7=1,a2?a5?a8=8∴a43=1即a4=1,a53=8即a5=2∴公比q=a5a4=2防抓取，学路网提供内容。用户都认为优质的答案:已知等比数列{an},各项都是正数,且a1,1/2a3,2a2,成等差数列,则...由a1,1/2a3,2a2成等差数列则有a3=a1+2a2,设等比数列(an)公比为q则有a2*q=a2/q+2a2防抓取，学路网提供内容。a4-a1=26=a1(q^3-1)已知{an}是等比数列,且an大于0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3...因为是等比数列,所以可得:a2a4=a3^22a3a5a4a6=a5^2所以a2a4+2a3a5+a4a6=a防抓取，学路网提供内容。S3=-13=a1(1-q^3)/(1-q)=-26/(1-q)已知等比数列{an}中,a1=1/3,公比q=1/3。求Sn为{an}的前n项和...an=a1q^(n-1)=1/3*(1/3)^(n-1)=3^(-n)sn=a1(1-q^n)/(1-q)=1/3防抓取，学路网提供内容。(1-q)=2已知等比数列an的公比q=1/3,则a1+a3+a5+a7/a2+a4+a6+...a2+a4+a6+a8=a1q+a3q+a5q+a7q=q(a1+a3+a5+a7)所以a1+a3+防抓取，学路网提供内容。q=-126=a1(q^3-1) 已知等比数列an满足an大于0,n=1,2.....且a5乘a2n-5=2的2n(n大...∵a[n]是等比数列。又有a[5]*a[2n-5]=2^2n∴a[1]*a[2n-1]=2^2n设a[n]得防抓取，学路网提供内容。a1=-13已知等比数列前n项和Sn=4^n+a，则a=答：由Sn=4^n+a，得:a1=S1=4+aa2=S2-a1=16+a-4-a=12a3=S3-S2=64+a-16-a=48因为是等比数列，所以48/1防抓取，学路网提供内容。所以a1=-13 q=-1已知一个等比数列，前十项和是10，前20项和为30.则...答：注意到等比数列,前十项和,第十一项到第二十项和,第二十一项到第三十项和成等比数列因为s10=10,s20=30,所以s20-s10=20防抓取，学路网提供内容。已知等比数列{an},各项都是正数,且a1,1/2a3,2a2,成等差数列,则...由a1,1/2a3,2a2成等差数列则有a3=a1+2a2,设等比数列(an)公比为q则有a2*q=a2/q+2a2因为数列(an)中各项都是正数所以两边同除以a2得q=1/q+2解得q=1+根号2或1-根...已知{an}是等比数列,且an大于0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3...因为是等比数列,所以可得:a2a4=a3^22a3a5a4a6=a5^2所以a2a4+2a3a5+a4a6=a3^2+2a3a5+a5^2=(a3+a5)^2=25又因为a3、a5都是正数,所以a3+a5=5...已知等比数列{an}中,a1=1/3,公比q=1/3。求Sn为{an}的前n项和...an=a1q^(n-1)=1/3*(1/3)^(n-1)=3^(-n)sn=a1(1-q^n)/(1-q)=1/3(1-3^(-n))/(1-1/3)=(1-3^(-n))/2=(1-an)/2得证bn=log3(a1*a2*....*an)=log3(3^(-1)*3^(-2)*...3^(-n))=-1-2-...-n=-n(n+1)/...已知等比数列an的公比q=1/3,则a1+a3+a5+a7/a2+a4+a6+...a2+a4+a6+a8=a1q+a3q+a5q+a7q=q(a1+a3+a5+a7)所以a1+a3+a5+a7/a2+a4+a6+a8=1/q=3选D
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简单的等差数列练习题
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在等比数列{an}中，已知a3=3，前三项和S3=9，则公比q的值为______．
题型：填空题难度：偏易来源：不详
当q=1时，S3=3a3=9符合题意当q≠1时有a1q2=3a1(1-q3)1-q=9解得q=-12，a1=12故答案为1或-12
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据魔方格专家权威分析，试题“在等比数列{an}中，已知a3=3，前三项和S3=9，则公比q的值为_____..”主要考查你对&&等比数列的定义及性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
等比数列的定义及性质
等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。 等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有 （1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2； （2）若m，n∈N*，则am=anqm-n； （3）若公比为q，则｛｝是以为公比的等比数列； （4）下标成等差数列的项构成等比数列； （5）1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列； 2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列； 3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列； 4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列； 5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
等差数列和等比数列的比较：
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
发现相似题
与“在等比数列{an}中，已知a3=3，前三项和S3=9，则公比q的值为_____..”考查相似的试题有：
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