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高三总复习1――函数的定义域和值域例题讲解
高三总复习――函数的定义域和值域例题讲解 高三总复习――函数的定义域和值域例题讲解 ――例 1．已知函数 y= ．的定义域为 R，求实数 a 的取值范围。解析： 解析：“函数的定义域是指使函数解析式有意义的自变量取值的最大范围，”依题设，x∈R， 解析式有意义即“对任意 x∈R 都有 ax2+4ax+3≠0 成立”换句话就是“方程 ax2+4ax+3=0 无实根成立，”分类讨论，当 a=0 时，3≠0 满足要求；当 a≠0 时，则有 ?=16a2-12a&0，即 0&a&时满足要求。综上：a∈[0,)，评注： 评注：从概念出发去分析处理问题应是解题的最根本思路，此题解法思路就是依据“定义域” 概念逐层等价翻译题干得出： 原函数定义域为 R， 即等价于方程 ax2+4ax+3=0 无实根进而求解的。例 2．已知 f(x+1)的定义域为[-2，3)，求函数 f( ．+2)的定义域。解析： 解析：从概念出发，f(x+1)的定义域为[-2，3)，即当 x∈[-2，3)时，法则 f 有意义，即 f 适用 于[-1，4)。求f(+2)的定义域，即求使 f 有意义时自变量 x 的取值范围，即求满足不等式-1≤+2&4 的 x 的解集。解：由 f(x+1)的定义域为[-2，3)可得 f(x)的定义域为[-1，4)，由-1≤+2&4，解得 x≤-或x&,∴ f(+2)的定义域为 x∈(-∞,-]∪(,+∞).评注： 评注：抽象函数求定义域要抓住法则 f 有意义的范围不能扩大。 例 3．已知 f(1-cosx)=sin2x, 则求 f(x)=_________。 ． 解：∵ 1-cosx∈[0, 2], ∴ f(x)的定义域为[0，2]， 设 1-cosx=u, 则 cosx=1-u,由 sin2x=1-cos2x=1-(1-u)2=-u2+2u, 可得 f(u)=-u2+2u ∴ f(x)=-x2+2x x∈[0, 2].评注： 评注：此处不可只关注解析式法则，还须考虑原始法则所限定的“f”有适用范围。小结： 小结：考虑定义域应是一种意识，因为我们一切问题的展开都建立在有意义的基础上。定义 域的问题除上述几例外还有诸如从有实际意义背景的问题布列出的函数关系式,还需保持自变量 的原始实际意义。 例 4．求下列函数的值域。 ．(1) y=2-(2) y=(3) y=sin2x-2cosx+1(4) y=x-解：(1) 由 4x-x2≥0 解得 0≤x≤4,∴ 0≤4x-x2≤4, ∴ -2≤-≤0,∴ 0≤2-≤2，即 y∈[0,2]。(2) y===1-,∵ x2-x+1=(x-) 2+≥,∴ 0&≤,∴ -≤-&0,∴ -≤1-&1.即原函数值域为 y∈[-,1).(3) y=sin2x-2cosx+1=1-cos2x-2cosx+1=-cos2x-2cosx+2=-(cosx+1)2+3 ∵ cosx∈[-1,1]，令 cosx=u，则 u∈[-1,1]. 函数 y=-(u+1)2+3 在[-1,1]上单调递减， ∴ y 最大值=3，y 最小值=-1，即原函数值域为[-1,3]. (4)由 1-x2≥0 解得函数定义域为：x∈[-1,1], 故可设 x=cosα (α∈[0,π]), 则原函数可化为：y=cosα-sinα=cos(α+),∵ α∈[0,π], ∴ α+∈[,π],由余弦函数 y=cosu 的性质可知：当 α+=时，有 ymax=1.当 α+=π 时，有 ymin=-,∴ 原函数的值域为：[-,1]。评注： 评注：函数的值域相对于函数的其它性质来说可谓最困难的问题之一，面对函数值域(最值) 的问题要会对问题进行分类型、选方法，即养成一定分析处理该问题的策略。通常，面对一个问题，首先要冷静地观察分析：先考虑能否变形化简直接运用不等式的性质 （如此处例 4（1） （2）所用）来解决，或考虑该函数在定义域区间上的单调性加以运用；其次考虑联系我们熟知 的几类基本函数，尝试将问题化归为基本函数类的问题，然后运用基本函数的思路能处理解答。 （如此处例 4 （4） （3） 所用方法） 需我们能熟练运用的几类基本函数主要有： 0 y=ax2+bx+c (a≠0) 。 1x∈[m,n]；0 y=Asin(ωx+φ) x∈[m,n]；30 y= 2, x∈[m,n]； 40 y=x+ *, a 为正常数， x∈[m,n]，（注：函数 y=x+ 注，并非我们课本中给定，若需使用其单调性求值域必须附以对其在给定区间上单调性的证明。 ）其三再考虑我们在高一，高二学习过程中所涉及求值域、最值的方法。如： 均值定理，反函数法，判别式法，还有数形结合思想等。 例 5．已知 a, b∈R+, 3a+4b=12, 求 ab 最大值。 ．（法一 法一，考虑化归为二次函数类问题） 解： 法一∵ 3a+4b=12,∴ b=3-a,∴ ab=-a2+3a=-(a-2)2+3又由题设 a,b∈R+ , ∴ a∈(0,4)由二次函数性质可知 -(a-2)2+3 在区间 a∈(0, 4)上非单调，顶点纵坐标即 y 最大值。即(ab)最大=3， 当 a=2，b=时取得。（法二 法二，考虑运用三角换元化归为 Asin(ωx+φ)类） 法二∵ a,b∈R+, 3a+4b=12，即=1，故可设=cos2α,=sin2α, α∈(0,),∴ a=4cos2α,b=3sin2α,∴ ab=12sin2α?cos2α=3sin22α,∵ α∈(0,), ∴ 2α∈(0,π),∴ sin22α∈(0,1], ∴ (ab)max=3.当 2α=，即 α=，即 a=2，b=时取得该值。（法三 法三，考虑运用均值定理解答） 。 法三 ∵ a, b∈R+, 3a+4b=12,∴ ab=?3a?4b≤=3,当且仅当 3a=4b=6，即 a=2，b=时不等式等号成立。即 当 a=2，b=时，(ab)max=3。评注： 评注：平均值定理使用时，必须同时兼顾三个方面，10 各项各因式均正，20 求最值，放或缩 都要到定值，30 要考虑等号能否取到。例 6．已知 x, y∈R，满足(x-2)2+y2=3，求 ．的最值。解析： 解析：考虑运用数形结合思想，因为该题目所涉及内容有解析几何背景。解：依题,设 P(x, y)为以点 C(2,0)为圆心，以为半径的圆上任一点，求的最值亦即求该点 P 与坐标原点 O 连线的斜率的最值。 由图示可知当 OP 与⊙C 相切时取到， 由解三角形知识可得, ()max=,()min=-。当 x=, y=时取得。评注： 数形结合方法的运用需要熟知一些代数式的几何意义和对一些问题的联想能力。 如例 评注： 4 中（4）亦可用数形结合方法求解。由 y=x-可变为=x-y。令 点的问题，此处 t==x-y=t, 则=x-y 的意义可理解为两个函数，t=，t=x-y 有公共可看作定曲线，t=x-y 可看作固定斜率的动直线，问当 y 取何值时，两曲线有交点，y的最大最小值？由图示可知， -y∈[-1,], ∴ y∈[-,1].巩固练习： 巩固练习：1．求函数 y=2x-3-的值域。2．求函数 y=|x|?的值域。3．求函数 f(n)=++……+(n∈N,n≥2)的最小值。4．求函数 y=(x∈(0,+∞))的值域。答案： 答案：1. (-∞, 函数在定义域]。提示：可设 提示： 提示=u 化归为二次函数类型加以解决，或直接考虑该(-∞,]上是个单调增函数。2．[0， 式。]。提示：可三角换元令 x=cosα, 或|x|? 提示： 提示=直接运用均值不等3．。提示：由 f(n+1)-f(n)&0 可知该函数在定义域上单调增。 提示： 提示4．[2-1，+∞)。提示： 提示： 提示=x+-1，使用均值定理。
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已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)－x2+x)=f(x)－x2+x.（Ⅰ）若f(2)＝3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);（Ⅱ）设有且仅有一个实数x0,使得f(x0&)= x0,求函数f(x)的解析表达式.
答案解：（Ⅰ）因为对任意x∈R，有f(f(x)－x2 + x)=f(x)－ x2 +x，所以f(f(2)－ 22+2)=f(2)－22+2.又由f(2)=3，得f(3－22+2)－3－22+2，即f(1)=1.若f(0)=a，则f(a－02+0)=a－02+0，即f(a)=a.（Ⅱ）因为对任意x∈R，有f(f(x))－x2 +x)=f(x)－x2 +x.又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)- x0.所以对任意xεR，有f(x)－x2 +x= x0.在上式中令x= x0,有f(x0)－x&+ x0= x0,又因为f(x0)－ x0，所以x0－x=0，故x0=0或x0=1.若x0=0，则f(x)－ x2 +x=0，即f(x)= x2－x.但方程x2－x=x有两上不同实根，与题设条件矛质，故x2≠0.若x2=1,则有f(x)－x2 +x=1，即f(x)= x2－x+1.易验证该函数满足题设条件.综上，所求函数为f(x)= x2－x+1（xR）已知定义域为R的函数f（x）满足f（f（x）-x2+x）=f（x）-x2+x． （I）若f（2）=3,求f（1）满足的那个是F(X)=X,题里面又F(2)=3 那这也不是函数啊?
f[f(x)-x^2+x]=f(x)-x^2+x,不一定是f(x)=x,因为f(x)-x^2+x的值域不一定是R.所以,只有在f(x)-x^2+x的值域内,才有f(x)=x.f(2)=3,与明2不在f(x)-x^2+x的值域内.f[f(x)-x^2+x]=f(x)-x^2+x,x=2时,则f[f(2)-4+2]=f(1)=f(2)-4+2=3-2=1.即f(1)=1.
48个英语音标犹如60个汉语拼音,只要学生熟练地掌握了它们,对学习英语的作用是相当大的.第一、能握简驭繁地把众多的英语单词读准.第二、英语的音和形有很多相似之处,只要平时注意积累发音规则,就可以达到听其音而知其形,见其形而晓其音.这一点比学汉语容易多了.既然音标如此重要,那么我们怎样才能结合具体情况,针对已学好母语的孩子们,把英语音标教好呢?以下几种教法,但愿能对大家有所帮助.一、用唱歌的方式让学生学会26个字母,再学会几句日常用语.目的：让他们对英语有感性认识,明白这就是与汉语的不同之处.二、教音标：（一）先教字母音标 目的：学生通过唱字母歌已十分熟悉字母的发音了,把这些字母的音标写出来,教他们,一方面可以使字母的发音从理性上读得更规范；另一方面,让他们对英语音标有感性认识,觉得英语跟汉语一样,也有一套给它们的形注的音.在老师的指导下,学生就很想知道,英语的音标有哪些,与汉语拼音相似吗?顺势转入下一步：教国际音标.（二）教国际音标 目的：让学生系统、熟练地掌握英语音标.这个掌握,就是要达到能读、能默写,为后面学单词时随时用,随时拿得出作准备.教学时间：两周 1、元音 （1）单元音：①／／／／／／／i／／u／／e／与汉语单韵母对照 ②／a:／／:／／:／／i:／／u:／／／a o e i u ü 说明：先读汉语单韵母,并注意排序,再利用这个排序记英语单元音,易记.（2）双元音：①／ai／／ei／／au／／／（／ju：／）与汉语复韵母对照：ai ei ui ao ou iu ②／i／／／／u?／ ③／i／ 说明：根据汉语复韵母排序来记双元音第①组,英语中无ui；／au／与ao,／／与ou的写法不同；／ju：/是双元音.第②组的相同点是都带／／,第③组只有一个,直接记就行了.2、辅音（1）辅音总数：／b／／p／／m／／f／／v／／d／／t／／n／／／／l／／g／k／／h／ ／／／tF／／F／／V／／dz／／ts／／s／／W／ ／z／／T／／j／／w／／dr／／tr／／r／ 与汉语拼音对照：b p m f d t n l g k h jq x zh ch sh r z s y w 说明：1．根据汉语声母排序来记英语辅音音标,汉语声母b、p、m、f、d、t、n、l、g、k、h与英语辅音／b／、／p／、／m／、／f／、 ／d／、／t／、／n／、／l／、／g／、／k／、／h／基本一致；汉语声母j、q、x、zh、ch、sh、r、z、c、s、w与英语音标／dz／、／ts／、／s／、／W／、／j／、／w／作比较；／dr／、／tr／、／r／单独记.2．汉语拼音b、p、m、f的发音比英语音标／b／、／p／、／m／、／f／多一个／／音；j、q、x、z、c、s、r比英语音标／dF／、／tF／、／F／、／dz／、／ts／、／s／、／W／、／z／、／T／隔开一个／i／音.（2）辅音的分类 分类一：①清浊成对的：清：／p／／t／／k／／f／／F／s／／W／／tF／／ts／／tr／ 浊：／b／／d／／g／／v／／V／／z／／T／／dV／／dz／／dr／ 说明：可用谐音记忆法记住清辅音这一组,即：婆特客,福西施,七尽垂 ／p／／t／／k／／f／／F／／W／／tF／／ts／／tr／ 可理解为：婆婆有位特殊的客人,她的名字叫福西施,人不仅美,而且高,有七尺高（“垂”理解为“高”）.②单干户（即不成对的辅音） ／m／／n／／N／／l／ ／r／／h／／j／／w／ 记成：三个鼻音（／m／、／n／、／N／）、／l／、 ／r／和（即／h／）／j／、／w／ 分类二：（1）／p／／b／／t／／d／／g／／k／／f／ ／v／／F／／V／／s／／z／／W／／T／／r／／h／ ／tF／／dV／／ts／／dz／／tr／／dr／ 记成：爆破、摩擦、破擦、前3对、中5对（添上／r／、／h／）、后3对 （2）／m／／n／／N／／l／／j／／w／ 记成：三个鼻音,一个边音（l）,两个半元音（／j／、／w／） 分类三：（1）清辅音：／p／、／t／、／k／、／f／、／F／、／s／、／W／、／tF／、／ts／、／tr／,再加上／r／、／h／,合计12个.（2）浊辅音：／b／、／d／、／g／、／v／、／V／、／z／、／T／、／dV／、／dz／、／dr／再加 上／m／、／n／、／N／、／l／、／j／、／w／合计16个.老师讲分类：作用：1、记住清辅音,对名词变复数,动词变第三人称单数,动词的过去式的读音规则有极好的分辨作用.2、了解爆破音,对读英语的失去爆破很有帮助.三、拼读单词 目的：运用英语音标拼读单词,教学生自己拼读,并要拼得准确.最后,对教英语音标总的说明：1、利用学生们十分熟悉的汉语拼音排序来记英语音标,易记；2、在读音标时,不能把汉语拼音和英语音标混淆地读,相同是什么、不同是什么,尤其要分别读准.3、教材音标的排序不是笔者这样排的.教材中的音标教学是分散到全册.
设由方程y=sin（x+y）确定函数y=y（x）.求dy大神们求解!
0.543用二分法
在△ABC中，A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量=（1，2sinA），=（sinA，1+cosA），满足∥，b+c=a．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求sin（B+）的值．
y=√(x-2)+√(2-x)+4根号下的数,是大于等于0的x-2≥0,x≥22-x≥0,x≤2所以x=2y=0+0+4=4y^x=4^2=1616的平方根为±4
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