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介绍了本门课的处理对象——微分方程。
介绍了第一类微分方程——可分离变量微分方程。
介绍了可分离变量微分方程的解法。
引入新的一类方程——恰当方程，介绍了该方程的特点——恰当性。
介绍了恰当方程解法的直观来源。
通过一些例子来解恰当方程。
通过更多的例子来解恰当方程。
通过一些例子，更加深入地来解恰当方程。
为了解出看似“恰当方程”的一些方程，引入了一个工具——积分因子。
通过一些例子，教会大家如何使用“积分因子”来解一类微分方程。
引入一个新类型的方程，介绍该类型方程的特征，并介绍了其解法。
通过一些例子，让大家更加深入地掌握该类方程的解法。
引入更高阶的线性齐次方程，并介绍了该类方程的解法（很重要的一类方程，尤其从物理学的角度看）
求解微分方程y''+5y'+6y=0
求解带有初始条件的微分方程y''+5y'+6y=0
求解带有初始条件的微分方程4y''-8y'+3y=0
讨论特征方程存在复根的情况。
继续讨论存在复根情况的特征方程，求解了一个例子y''+y'+y=0。
求解带有初始条件的微分方程y''+4y'+5y=0。
讨论特征方程存在重根的情况，求解了一个例子y''+4y'+4y=0。
继续讨论存在重根情况的特征方程，求解了一个例子y''-y'+0.25y=0。
讨论了非齐次的二阶线性微分方程，介绍了待定系数法。
利用待定系数法解y''-3y'-4y=2sin x。
利用待定系数法解y''-3y'-4y=4x2
利用待定系数法解y''-3y'-4y=3e^(2x)+2sin x +4x2
介绍拉普拉斯变换，并计算1的拉式变换结果
计算e^(at)的拉普拉斯变换式。
计算sin at的拉普拉斯变换式。
[第29课]拉普拉斯变换4
继续计算sin at的拉普拉斯变换式。
介绍拉普拉斯变换的性质。
利用上一节的性质，计算cos at的拉普拉斯变换式。
利用拉普拉斯变换，解方程y''+5y'+6y=0。
继续利用拉普拉斯变换，解方程y''+5y'+6y=0。
更深入地谈到了拉普拉斯变换的性质。
应用拉普拉斯变换求解非齐次微分方程。
求t的拉普拉斯变换。
求t^n的拉普拉斯变换。
利用单位阶跃函数研究平移函数的拉普拉斯变换与原函数的拉普拉斯变换的关系。
利用已知的几个特殊函数的拉普拉斯变换，导出求更一般的函数的拉普拉斯逆变换的方法。
利用所学的拉普拉斯变换和逆变换的知识求解具体的微分方程的解。
研究一类特殊的脉冲函数狄拉克δ函数的构造及其在物理上的应用。
利用可视化估值的思想来研究狄拉克δ函数的拉普拉斯变换。
利用一个具体函数来研究卷积定理。
利用卷积定理来求一个具体函数的拉普拉斯逆变换。
利用卷积定理，求解带有初值的微分方程。
学校：可汗学院
讲师：Salman Khan
授课语言：英文
类型：数学 可汗学院
课程简介：本课程的主要内容包括了研究微分方程所必须掌握的基本概念和方法的介绍：分离变量法，复根，特征方程，拉普拉斯变换，卷积，等等。在掌握了微积分之后，自然就进入了微分方程的学习。在本课程里面，主讲者将带领大家初涉微分方程初步的方方面面。视频由可汗学院免费提供，详见：（All Khan Academy materials are available for free at ）
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拉布拉斯变换
拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换。
拉布拉斯变换主要形式
1、与的变换
为求乘积ab
可先取对数 ln(ab)= lna+lnb
再取指数运算
2、相量与正弦量的变换
为了计算正弦稳态响应，可将激励源变为相量，然后在频率域里求相量（即相量法），然后再变回时域得到正弦时间函数响应。
其中 此复数的模 就是正弦量u(t)的振幅值，幅角就是u(t)的初相角。这种对应关系就是一种变换。
拉布拉斯变换定义
：设有一时间函数f(t) [0,∞] 或 0≤t≤∞单边函数
其中，S=σ+jω 是复参变量，称为复频率。
左端的定积分称为积分，又称为f(t)的拉普拉斯变换；
右端的F(S)是拉普拉斯积分的结果，此积分把时域中的单边函数f(t)变换为以复频率S为自变量的复频域函数F(S)，称为f(t)的拉普拉斯象函数。
以上的拉普拉斯变换是对单边函数的拉普拉斯变换，称为单边拉普拉斯变换。
如f(t)是定义在整个时间轴上的函数，可将其乘以单位阶跃函数，即变为f(t)ε（t），则拉普拉斯变换为
其中积分下标取0-而不是0或0+ ，是为了将冲激函数δ(t)及其导函数纳入拉普拉斯变换的范围。
这是复变函数的积分
拉氏变换和拉氏反变换可简记如下
F(S)=L[f(t)] ； f(t)=L-1[F(s)]
当 &0时，结果为有限值即
具体的说,即Re[s]- Re[a]=σ- Re[a] & 0 有σ& Re[a]这时eatε(t)的拉氏变换存在。我们称σ& Re[a]的s=σ+jω的范围为该函数的拉氏变换的收敛域，一般而言，对一个具体的单边函数f(t)，并非所有的σ值都能使f(t)eσt绝对可积，即把能使用f(t)eσt绝对可积的s的范围称为单边函数f(t)的拉氏变换的收敛域。
收敛域可以在s平面上表示出来
假定以下需进行拉氏变换的函数，其拉氏变换都存在
1、线性组合定理
L[af1(t)±bf2(t)]=aL[f1(t)]±b[f2(t)]
若干个原函数的线性组合的象函数，等于各个原函数的象函数的线性组合
拉布拉斯变换应用
应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示，对于分析系统特性，系统稳定有着重大意义；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。
拉布拉斯变换相关条目
电机电子类科《工程数学》，ISBN 957-584-377-0，作者陈锡冠、胡曦、周祯晖老师，高立出版社。
清除历史记录关闭傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换之间的联系是怎样的？
首先呢，这三种变换的本质都是将信号从时域转化到（复）频域。
做一个类比，你弹琴的时候按下“duo”，她所发出的声音录下来是一个波形，而在乐谱上体现为一个“1”。这个例子中，录下来的波形，就是时域信号。而乐谱上的“1”则是在频域上是一个固定频率，钢琴上中央C的频率大概是261Hz。用261Hz这一个数就能代表一串波形，是不是很简洁方便呢！
可是从时域到频域不就是一个变化吗，为什么有那么多种变换呢？这是因为信号它不是固定的，它是很变幻莫测的，不同的信号有不同的性质。为了对症下药，就有很多种变换啦~仅仅是傅立叶变化家族，就有四位成员：
傅立叶级数：时域——连续&周期；频域——离散&非周期；
连续傅立叶变换：时域——连续&非周期；频域——连续&非周期；
离散傅立叶变换：时域——离散&周期；频域——离散&周期；
离散时间傅立叶变换：时域——离散&非周期；频域——连续&周期；
总结起来就是一句话，一个域的离散，必然造成另一个域的周期延拓。
傅立叶家族的这些成员在应用的时候都必须先满足一个条件：狄里赫利条件。通俗地讲，就是需要信号收敛。那么对于不收敛的信号，傅立叶就无能为力了（摊手）
这时候，拉普拉斯变换和Z变换就来拯救世界了！ 你看拉普拉斯的公式
把s带进去就是
跟傅立叶的公式相比
拉普拉斯变换在原先的傅立叶变换公式中多了一个衰减因子，而拉普拉斯变换需要讨论收敛域的原因，就是为了让积分之后有意义。这样的话，不收敛的信号也能进行时频变换啦~
学术的讲：
傅里叶变换将一个函数或是信号表示为许多弦波的叠加，而拉普拉斯变换则是将一个函数表示为许多矩的叠加。
简单的讲：
&傅立叶变换将信号从时域转换到频域，拉普拉斯变换将信号从时域转化到复频域。
理解了拉普拉斯变换那么Z变换就不在话下了~因为Z变换归根结底就是离散信号的拉普拉斯变换啦！
在应用方面：
傅立叶变换主要是频谱分析，对象是信号。
而拉普拉斯变换和Z变换主要用于系统的分析和处理。举一个信号与系统的必考点，用拉普拉斯变换计算微分方程 or
用z变换计算差分方程，求解系统的稳定性，因果性。
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利用拉普拉斯变换的性质，求下列函数的拉普拉斯变换：f（t)=sintcost
悬赏：0&答案豆
提问人：匿名网友
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利用拉普拉斯变换的性质，求下列函数的拉普拉斯变换：f(t)=sintcost
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