求解z变换的收敛域域
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牛顿拉夫森NewtonRaphson迭代法 §3.4 牛顿迭代法牛顿迭代法也称为牛顿-拉夫森(Newton-Raphson)迭代法，它是数值分析中最重要的方法之一，它不仅适用于方程或方程组的求解，还常用于微分方程和积分方程求解。3.4.1 牛顿迭代法用迭代法解非线性方程时，如何构造迭代函数是非常重要的，那么怎样构造的迭代函数才能保证迭代法收敛呢？牛顿迭代法就是常用的方法之一，其迭代格式的来源大概有以下几种方式：1 设 ],[)(2baCxf?，对 )(xf在点 ],[0ba?作泰勒展开： !2)(')(' 00xfxf ??????略去二次项，得到 )(f的线性近似式： '?。由此得到方程 x0 的近似根(假定 ?)('0xf0)， )('00xf?即可构造出迭代格式(假定 )'kf0)： ')(1kkf??公式(3.4.1)这就是牛顿迭代公式，若得到的序列{ k}收敛于 ?，则 就是非线性方程的根。2 牛顿迭代法也称为牛顿切线法，这是由于 )(xf的线性化近似函数 )(xl＝ )('00xff??是曲线 y＝)(xf过点 ,0的切线而得名的，求 f的零点代之以求 l的零点，即切线 )(l与 轴交点的横坐标，如右图所示，这就是牛顿切线法的几何解释。实际上，牛顿迭代法也可以从几何意义上推出。利用牛顿迭代公式，由 kx得到1?kx，从几何图形上看，就是过点 )(,kxf作函数 )(xf的切线 kl，切线 kl与 轴的交点就是 k，所以有 1)()('???kkxff，整理后也能得出牛顿迭代公式： )('kkxf??。3 要保证迭代法收敛，不管非线性方程 0 的形式如何，总可以构造：)(x?)?作为方程求解的迭代函数。因为： (')('1' xff而且 )('x?在根 ?附近越小，其局部收敛速度越快，故可令： 0???若 ?'f0(即根 不是 ?)(xf0 的重根)，则由 )('得： )('1fk，因此可令 )('1xfk?，则也可以得出迭代公式： )('1kkxfx???。4 迭代法的基本思想是将方程 0)(f改写成等价的迭代形式 ?，但随之而来的问题却是迭代公式不一定收敛，或者收敛的速度较慢。运用前述加速技巧，对于简单迭代过程 )(1nnfx?，其加速公式具有形式： ????1)(nx)(11nx????，其中 )(1nnx??记 ??L，上面两式可以合并写成： Lfn?这种迭代公式称作简单的牛顿公式，其相应的迭代函数是： Lfx)()(??。需要注意的是，由于 L是 )('x?的估计值，若取 ?，则 '实际上便是)('xf的估计值。假设 0'?f，则可以用 )('xf代替上式中的 ，就可得到牛顿法的迭代公式： )('1nn???。牛顿迭代法实质上是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方程逐步归结为某种线性方程来求解。3.4.2 牛顿迭代法的收敛性牛顿迭代公式可以看成是由 )(')(xf???而获得的不动点迭代格式。这样就可以应用不动点迭代的收敛原则，只须证明在根 ?附近的迭代函数是一个压缩映象。由于： 22)]('[")]('["'1)(' fxffx???，这里的根 ?是单根，即 0?且 '?，于是：0)]('[")(' 2???f。那么由 )('的连续性可知，存在一个邻域 ,(????，对这个邻域内的一切 x，有：qx?'?，其中 O＜ ＜1，因此 )x?为区间 )上的一个压缩映象，于是有以下结论：定理 3.4.1 设 ],[(2baCf?， *是 0(?xf的精确解，且 0*)('?f，则存在*的 ?邻域 )*,(???x，对于任何迭代初值 ),????，迭代序列 }{nx收敛于 x。牛顿迭代法具有较高的收敛速度，它的收敛阶数为 p＝2；而牛顿迭代法的局部收敛性较强，只有初值充分地接近 ，才能确保迭代序列的收敛性。为了放宽对局部收敛性的限制，必须再增加条件建立以下收敛的充分条件。定理 3.4.2 设 ],[)(2baCxf?，且满足：在区间 ],[ba上，⑴ 0)(?baf；⑵ 0)('?f；⑶ "不变号；⑷ ,，满足条件： 0)("0?xf则牛顿迭代序列 }{nx，单调地收敛于方程 0)(?xf的唯一解 *x。由条件⑴至条件⑷可归结为四种情形：① 0)(?af， )(?bf， 'f， "?；② ， ， )(， )(?f；③ ， ， 0'x， x；④ )(f， )(f， f， 。对定理的几何意义作如下说明：条件⑴保证了根的存在性；条件⑵表明函数单调变化，在区间 ],[ba内有惟一的根；条件⑶表示函数图形在区间 ],[ba上的凹向不变。条件⑶和条件⑷一起保证了每一次迭代值都界于区间 ],[ba内。在不满足上述收敛充分条件时，有可能导致迭代值远离所求根的情况或死循环的情况(如下图所示)。【例 3.4.1】对于给定的正数 a，用牛顿法建立求平方根的收敛迭代公式。解 令 xf??2)(，( ＞0)，则 0)(?xf的正根就是 a。用牛顿法求解的迭代公式是：)(211 nnn x???， 公式(3.4.2)由于当 ＞0 时， f)('＞0， )('f＞0，故由收敛定理可知，对于任意满足条件 ax?0的初始近似值，由选代公式所产生的序列必定收敛于平方根 a。公式(3.4.2)是计算平方根的准确而有效的计算方法。3.4.3 牛顿迭代法的变形用牛顿法解方程，虽然在单根附近具有较快的收敛速度，但它有个明显的缺点，就是每次都要计算导数 )('xf，当 )(f比较复杂时，计算 )('xf可能很困难。下面介绍两种克服这种困难的方法，另外还介绍一种扩大牛顿迭代法初值选择范围的方法，它们统称为变形的牛顿迭代法。1 简化牛顿法为避免频繁地计算导数值 )('xf，可将它取为固定值，比如在牛顿迭代公式中用 )('0xf代替 )('nxf，即在迭代过程中始终保持分母不变，则有简化牛顿迭代公式(或固定斜率切线法)： '01fn???公式(3.4.3)其几何意义如下图所示，这时除第一次迭代仍为曲线的切线外，其余皆为该切线的平行线。简化牛顿法避免了每次计算导数值。更一般地，若取 Lxfn?)(',则迭代公式成为：Lfxnn)(1???，称为推广的简化切线法。这时 L值应满足下式： 1)(')(' ?xf?满足上式的 L为：2)('0?xf，可见当 L与 'f同号且满足上述不等式时，推广的简化切线法是收敛的。该迭代形式在参数法里也曾得到过。2 由牛顿法的收敛性定理知，牛顿法对初始值的选取要求是很高的。一般地说，牛顿法只有局部收敛性。当初始值取得离根太远时，迭代将不收敛，而一旦初始值进入收敛域内，牛顿法就有平方收敛的速度，为了扬长避短，扩大初始值选取的范围，下面介绍牛顿法的一种改进——牛顿下山法。将牛顿法的迭代公式修改为： )('1nnxfx????公式(3.4.3)其中， ?是一个参数， ?的选取应使 )(f＜ 成立，当 )(1?nxf＜ ?或 nx??1＜2?，就停止迭代，且取 1*??n，其中 1?， 2为事先给定的精度， 称为残量精确度，为根的误差限；否则再减 ，继续迭代。按上述迭代过程计算，实际上得到了一个以零为下界的严格单调下降的函数值序列，这个方法就称为牛顿下山法。 ?称为下山因子，要求满足0＜ ?1?， ??称为下山因子下界，为了方便，一般开始时可简单地取 1?，然后逐步分半减小，即可选取 ?， 21， ，…， ???，且使 )(1?nxf＜ )(nf成立。牛顿下山法计算步骤可归纳如下：⑴ 选取初始近似值 0x；⑵ 取下山因子 1??；⑶ 计算 1?n， )('nnf??⑷ 计算 )(xf，并比较 1?与 nxf的大小，分以下两种情况：① 若 1?n＜ (nf，则当 ＜ 2?时，则就取 1*??nx，计算过程结束；当nx??1＞ 2?时，则把 1?作为新的 n值，并重复回到⑶。②若 )(1?nf?)(nxf，则当 ??且 )(1?nxf＜ ，就取 n，计算过程结束；否则，若 ??，而 1??时，则把 加上一个适当选定的小正数，即取 ??1nx作为新的 nx值，并转向⑶重复计算；当 ??，且 )(1?nf??时，则将下山因子缩小一半，并转向⑶重复计算。牛顿下山法不但放宽了初值的选取，且有时对某一初值，虽然用牛顿法不收敛，但用牛顿下山法却有可能收敛。一般来说，牛顿下山法不再有平方收敛速度，它的优点在于可能将原来收敛域以外的初始值，经过几次迭代后拉入收敛域内。例如，已知方程 1)(3??xf＝0 的一个根为 ?*x1.32472，若取初值 0x＝0.6，用牛顿法计算得到的第一次近似值 9.7反而比 0更偏离根。若改用牛顿下山法，当取下山因子 521??时，可得 46.1x，修正后的迭代序列收敛。（沈建华 P138）（史万明 P48）3.4.4 弦截法1 单点弦截法为避免牛顿迭代法中导数的计算，可用平均变化率： 0)(xffn?来近似代替 )('nxf，于是得到如下迭代公式： )()()0001 fxfxff nnnn ?????公式(3.4.4)称为单点弦截法。单点弦截法具有明显的几何意义，它是用联结点 A( ， y)与点 B( nx， y)的直线，代替曲线求取与横轴交点作为近似值 1?的方法，以后再过( 0x， y)与( 1?nx， )两点，作直线求取与横轴的交点作为 2，等等。其中 ( 0x， y)是一个固定点，称为不动点，另一点则不断更换，故名单点弦截法。可以证明，单点弦截法具有收敛的阶 r＝1，即具有线性收敛速度。2 双点弦截法若把单点弦截法中的不动点( 0x， y)改为变动点( 1?nx， y)，则得到下面的双点弦截法的迭代公式：)())())( 1111 ???? ??? nnnnnn xffxxfxfx 公式(3.4.5)用弦截法求根的近似值，在几何上相当于过点( k， k)，和点( kx， )(kf)作弦，然后用弦与 轴的交点的横坐标 1?k作为 *的新的近似值。由于在双点弦截法中，构造的迭代公式在计算新的近似值 x时，不仅用到点 kx上的函数值 kxf，而且还用到点 1?k及其函数值，这就有可能提高迭代法的收敛速度。与牛顿法一样，如果函数 )(fy?在其根 *x附近具有直到二阶的连续导数，且 0'?，则弦截法具有局部收敛性，即当初始近似值充分接近于 时，按双点弦截法迭代公式得到的迭代序列收敛于根 。可以证明弦截法具有超线性收速度，且收敛阶数为P＝1.618。双点弦截法迭代公式与前面介绍的单点迭代法有明显的不同，就是在计算 1?nx时要用到前两步的计算结果 nx、 1?，所以在使用迭代公式前，必须先给出两个初始值 0、 ，因此，这种迭代法也称两步法，而单点迭代法称为一步法。
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中科院研究生院硕士研究生入学考试《信号与系统》文都考研纲
本《信号与系统》文都考研纲适用于中国科学院研究生院信号与信息处理等专业的硕士研究生入学考试。信号与系统是电子通信、控制科学与工程等许多学科专业的基础理论课程，它主要研究信号与系统理论的基本概念和基本分析方法。认识如何建立信号与系统的数学模型，通过时间域与变换域的数学分析对系统本身和系统输出信号进行求解与分析，对所得结果给以物理解释、赋予物理意义。要求考生熟练掌握《信号与系统》课程的基本概念与基本运算，并能加以灵活应用。
一、考试内容
（一）概论
1.信号的定义及其分类；
2.信号的运算；
3.系统的定义与分类；
4.线性时不变系统的定义及特征；
5.系统分析方法。
（二）连续时间系统的时域分析
1.微分方程的建立与求解；
2.零输入响应与零状态响应的定义和求解；
3.冲激响应与阶跃响应；
4.卷积的定义，性质，计算等。
（三）傅里叶变换
1.周期信号的傅里叶级数和典型周期信号频谱；
2.傅里叶变换及典型非周期信号的频谱密度函数；
3.傅里叶变换的性质与运算；
4.周期信号的傅里叶变换；
5.抽样定理；抽样信号的傅里叶变换；&
6.能量信号，功率信号，相关等基本概念；以及能量谱，功率谱，维纳－欣钦公式。
（四）拉普拉斯变换
1.拉普拉斯变换及逆变换；
2.拉普拉斯变换的性质与运算；
3.线性系统拉普拉斯变换求解；
4.系统函数与冲激响应；
5.周期信号与抽样信号的拉普拉斯变换；
（五）S域分析、极点与零点
1.系统零、极点分布与其时域特征的关系；
2.自由响应与强迫响应，暂态响应与稳态响应和零、极点的关系；
3.系统零、极点分布与系统的频率响应；
4.系统稳定性的定义与判断。
（六）连续时间系统的傅里叶分析
1.周期、非周期信号激励下的系统响应；
2.无失真传输；
3.理想低通滤波器；
4.佩利－维纳准则；
5.希尔伯特变换；
6.调制与解调。
（七）离散时间系统的时域分析
1.离散时间信号的分类与运算；
2.离散时间系统的数学模型及求解；
3.单位样值响应；
4.离散卷积和的定义，性质与运算等。
（八）离散时间信号与系统的Z变换分析
1.Z变换的定义与收敛域；
2.典型序列的Z变换；逆Z变换；
3.Z变换的性质；
4.Z变换与拉普拉斯变换的关系；
5.差分方程的Z变换求解；
6.离散系统的系统函数；
7.离散系统的频率响应；
8.数字滤波器的基本原理与构成。
（九）系统的状态方程分析
1.系统状态方程的建立与求解；
2.&S域流图的建立、求解与性能分析；
3.&Z域流图的建立、求解与性能分析；
点击下载：中科院研究生院2013年《信号与系统》考研大纲
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信号与系统(第二版)余成波主编清华大学出版社课后习题答案
http://www.benxiao.com 第一章 信号与系统的基本概念 １．１ 学习重点 1、 信号与系统的基本概念，信号的分类，会画信号的波形。 2、 常用基本信号 （连续时间信号和离散时间信号） 的时域描述方法、 特点以及性质， 并会灵活运用性质。 3、 信号的时域分解、 变换与时域运算，及其综合运用。 4、 深刻理解线性时不变系统的定义与性质，并会应用这些性质。 5、 利用 MATLAB 表示信号、 实现信号的基本运算。１．２ 教材习题同步解析 1.1 下列信号中哪些是周期信号，哪些是脉冲信号？哪些是能量信号，它们的能量各为多少？哪些 是功率信号，它们的平均功率各为多少？ （1） ε (t ) （3） （2） ε (t ) ? ε (t ? 1) （4） 3 cos (ω 0t + θ ) （6） e ? at cos ω 0 tε (t ) （8） cos1 ε (t ) 1+ t（5） 3e j (ω 0 +θ ) （7） 3t ε (t )ω 0t ωt + sin 0 4 5【 知识点窍】 本题考察周期信号、 脉冲信号、 能量信号、 功率信号的概念 【 逻辑推理】 时间间隔无穷大时， 周期信号都是功率信号，只存在有限时间内的信号是能量信 号。信号总能量为有限值而信号平均功率为零的是能量信号；信号平均功率为有限值而信号总能量 为无限大的是功率信号。 解： （1） ε (t ) 是功率信号，其平均功率：1 P = limE =∞ 1 T → ∞ 2T1 ∫ [ε (t )] dt = 2 T 2 ?T（2） ε (t ) ? ε (t ? 1) 是脉冲信号，其为能量信号，能量为：E = lim[ε (t ) ? ε (t ? 1)]2 dt = ∫0 [ε (t ) ? ε (t ? 1)]2 dt =1 T →∞ ∫?TT 1P=0（3）1 ε (t ) 是能量信号，其能量为： 1+ tE = lim∞? 1 ? 1 ? ? ε ( t ) dt = ε (t )? dt =1 ∫ ∫ ? 0 ?1 + t T →∞ ?T ?1 + t ? ? ? ? T221 P = lim T → ∞ 2T? 1 ? ε (t )? dt = 0 ∫?T ? ?1 + t ?T2（4） 3 cos (ω 0t + θ ) 是功率信号，其平均功率为：P = lim1 T → ∞ 2T2 ∫?T [3 cos (ω0 t + θ )] dt = Tlim →∞ T1 2T2∫T?T9cos 2(ω0 t + θ ) + 1 1 9 9 dt = lim ? ? 2T = T → ∞ 2 2T 2 22 0E = limT →∞ ?T∫ [3 cos(ω t + θ )] dt =∫ [3 cos (ω t + θ )] dt =∞T ∞ 0 ?∞（5） 3e j (ω 0 +θ ) 为功率信号，其平均功率为：P = 9e 2 j (ω0 +θ ) E = limT →∞ ?T( ∫ [3eTj ω 0 +θ ) 2] dt = lim 9eT→∞2 j (ω 0 +θ )2T = ∞（6） e ? at cos ω 0 tε (t ) 为能量信号，其能量为：E = limT →∞ ?T∫ [eT? atcos ω 0t ε (t ) dt = lim]2T →∞ 0∫Te ? 2at cos 2 ω0 tdt 12 ? ω0 ? 4a ?1 ? 2 ? a= limT →∞ 0∫Te ? 2atcos 2ω 0t + 1 1 dt = + 2 4a? ? ? ?P=0（7） 3t ε (t ) 既非能量信号又非功率信号，因其：P = lim1 T → ∞ 2T∫ [3tε (t )] dt = ∞T 2 ?T2 E = lim（8） cosT →∞ ?T∫ [3tε (t )] dt = ∫ [3tε (t )] dt =∞ T 2 ∞ 2 0ω 0t ωt + sin 0 为功率信号，其平均功率为 4 51 P = lim T → ∞ 2T ω t? ? ω 0t cos + sin 0 ? dt ∫?T ? 4 5 ? ? ωt ωt ω t? 1 T ? 2 ω0 t = lim cos + 2 cos 0 sin 0 + sin 2 0 ? dt ∫ ? T →∞ 2T ?T 4 4 5 5 ? ?T 22ω t ? ? 1 ? cos 0 ? ? 1 cos ω0 t + 1 9ω 0t ω t 5 dt = lim + sin ? sin 0 + ? ? ∫ ? T T →∞ 2T 2 20 20 2 ? ? ? ? ? ?T1 1 ? 1 1 ? = lim ? ? ? 2T + ? ? 2T ? T →∞ 2T 2 2T 2 ? ? =1E =∞1.2试画出下列各函数式表示的信号的波形。 （1） cos ωtε (t ) （3） cos[ω (t ? t 0 )]ε (t ) （5） ε (t 0 ? t ) （2） cos ωt ε (t ? t 0 )t0 & 0 t0 & 0t0 & 0（4） cos[ω (t ? t 0 )]ε (t ? t 0 ) （6） ε (t 0 ? 2t ) （8） ε [sin πt ] （10） 2 ?( n? 2) ε [n ? 2] （12） sin ? πn ?t0 & 0t0 & 0（7） ε (t 0 ? 2t ) ? ε (? t 0 ? 2t ) t 0 & 0 （9） 2 ?n ε [n ] （11） ? nε [n + 2]?1 ?5? ?【知识点窍】本题考察基本信号的绘制及自变量变换导致信号变换的概念 【逻辑推理】本题用到了基本信号的性质及信号的时域运算与变换。 解： （1） cos ωtε (t ) 函数式的信号的波形如图 1.1（c ）所示. 。 （2） cos ωt ε (t ? t 0 )t 0 & 0 函数式的信号的波形如图 1.2（b）所示. 。3 cos ωt1 … …?5π 2ω?3π 2ω?π 2ω-1π 2ω（a）3π 2ω5π 2ωtcos ωtε (t )1ε (t )1…π 2ω3π 2ω5π 2ωtt（b）-1 （c ） 图 1.1cos ωtε (t ? t 0 )1ε (t ? t 0 )1…t0 t0（a） 图 1.2π 2ωt-13π 2ω5π 2ωt（b）（3） cos[ω (t ? t 0 )]ε (t )t 0 & 0 函数式的信号的波形如图 1.3（b）所示. 。 t 0 & 0 函数式的信号的波形如图 1.4 所示. 。（4） cos[ω (t ? t 0 )]ε (t ? t 0 )4 cos ω (t ? t 0 )1 … …t0-1 （a）tcos [ω (t ? t 0 )]ε (t )1 …t0-1t（b） 图 1.3cos ω (t ? t 0 )1 …t0-1t图 1.4 （5） ε (t 0 ? t ) （6） ε (t 0 ? 2t )t 0 & 0 函数式的信号的波形如图 1.5（b）所示. 。 t 0 & 0 函数式的信号的波形如图 1.6 所示. 。5 ε (t + t 0 )1ε (t 0 ? t )1? t0（a）tt0（b） 图 1.5tε (t 0 ? 2t )1t0 2图 1.6t（7） ε (t 0 ? 2t ) ? ε (? t 0 ? 2t ) t 0 & 0 函数式的信号的波形如图 1.7（c ）所示. 。ε (? t 0 ? t )1ε (? t 0 ? 2t )1? t0（a）tt ?0 2（b）tε (t 0 ? 2t ) ? ε (? t0 ? 2t )1t ?0 2t0 2（c ） 图 1.76t （8） ε [sin πt ] 函数式的信号的波形如图 1.8（b）所示. 。sin πt1 … -2 -1 -1 （a） 1 2 3 …tε [sin π t ]1 … -2 -1 1 2 3 …t（b） 图 1.8 （9） 2 ?n ε [n ] 函数式的信号的波形如图 1.9（c ）所示. 。ε [n]1 0 1 … 2 12?n-1n-1 （a） 0 1 2…n（b）2 ?n ε [n ]1 … -1 0 1 2 （c ）7n 图 1.9 （10） 2 ?( n? 2) ε [n ? 2] 函数式的信号的波形如图 1.10 所示. 。2?( n?2) ε[n ?2]1 … -1 0 1 2 3n图 1.10 （11） ? nε [n + 2] 函数式的信号的波形如图 1.11 （c ）所示. 。?n… -11 0 1 2 … -2 -1ε [n + 2]n1 0 1… 2n（a）（b）? nε [n + 2]1 -1 0 1 2 …n（c ） 图 1.11 （12） sin ? πn ? 函数式的信号的波形如图 1.12 所示. 。?1 ?5? ?8 ?n… 1 0 2 … 1-1n图 1.12 1.3 试写出图 1.13 所示各信号的表达式。（a）图 1.13（b）【知识点窍】本题考察信号的概念。 【逻辑推理】本题用到了基本信号的性质及描述。 解： （a）由图 1.13（a）可得：?t ? 1 ? f (t ) = ?1 ?0 ?（b）由图 1.13（b）可得：1≤ t ≤ 2 2 &t ≤ 4 其它?t 2 0≤ t ≤ 2 ? f (t ) = ?2t ? 8 2&t ≤ 4 ?0 其它 ?1.4 已知信号 f (t ) 的波形如图 1.14 所示。试画出下列各信号的波形。 （1） f (2t ) （3） f (t ? 3) （2） f (t )ε (t ) （4） f (t ? 3)ε (t ? 3)9 （5） f (t + 2 ) （7） f (2 ? t )ε (2 ? t ) （9） f (t ? 1)[ε (t ) ? ε (t ? 2)]（6） f (2 ? t ) （8） f (? 2 ? t )ε (? t )图 1.14【知识点窍】本题考察信号的绘制及自变量变换导致信号变换的概念 【逻辑推理】本题用到信号的时域运算与变换。 解： （1） f (2t ) 信号的波形如图 1.15 所示。 （2） f (t )ε (t ) 信号的波形如图 1.16 所示。f (2t )1f (t )ε (t )1-101t-101t图 1.15 （3） f (t ? 3) 信号的波形如图 1.17 所示。 （4） f (t ? 3)ε (t ? 3) 信号的波形如图 1.18 所示。图 1.16f (t ? 3)1f (t ? 3)ε (t ? 3)1012345t012345t图 1.1710图 1.18 （5） f (t + 2 ) 信号的波形如图 1.19 所示。 （6） f (2 ? t ) 信号的波形如图 1.20 所示。 （7） f (2 ? t )ε (2 ? t ) 信号的波形如图 1.21 所示。 （8） f (? 2 ? t )ε (? t ) 信号的波形如图 1.22 所示。 （9） f (t ? 1)[ε (t ) ? ε (t ? 2)] 信号的波形如图 1.23 所示。f (t + 2 )1f (2 ? t )1-4-3-2-1 0t012345t图 1.19图 1.20ε (t + 2 )1ε (2 ? t )1-2-10t012t（a）（b）f (2 ? t )ε (2 ? t )1012345t（c）图 1.2111 ε (? t )1f (t ? 2 )10t0123（b）45t（a）f (? 2 ? t )1f (? 2 ? t )ε (? t )1-4-3-2-101t-4-3-2-101t（c） （d）图 1.22f (t ? 1)1f (t ? 1)ε (t )1-10123t-10123t（a）（b）f (t ? 1)ε (t ? 2)1f (t ? 1)[ε (t ) ? ε (t ? 2 )]1-10123t-10123t（c）（d）图 1.2312 图 1.24 1.5 已知信号 f (5 ? 2t ) 的波形如图 1.24 所示，试画出 f (t ) 的波形图，并加以标注。 【知识点窍】本题考察信号的简单处理。 【逻辑推理】在信号的简单处理中常有综合时移、折叠与展缩，可以针对相应波形分步处理。 通常，在处理与本题相同情况，采用展缩、折叠、时移顺序比较好。 解： f (5 ? 2t ) 是将 f (t ) 经过时移、折叠、展缩三种变换后得到的。三种变换的次序是可以任意 的，故一共有六种途径。下面用介绍其中四种方法求解。在求解过程中要特别注意冲激函数的展缩 变换。 方法一：时移→折叠→展缩5 ? ? f (5 ? 2t ) = f ? ? 2(t ? ) ? 2 ? ?折叠左时移5 25 5 ? ? f ? ? 2(t ? + ) ? = f (? 2t ) = f [2(? t )] 2 2 ? ?f (2t )展宽 1 倍1 ? ? f ? 2 × t ? = f (t ) 2 ? ?其波形依次如图 1.25（a） （b） （c ）所示。（a）（b） 图 1.25（c ）方法二：折叠→时移→展缩13 f (5 ? 2t )展宽 1 倍折叠? ? 5 ?? f (5 + 2t ) = f ? 2? t + ?? ? ? 2 ??右时移5 2? ? 5 5 ?? f ? 2? t + ? ? ? = f (2t ) ? ? 2 2 ??1 ? ? f ? 2 × t ? = f (t ) 2 ? ?其波形依次如图 1.26（a） （b） （c ）所示。（a）（b） 图 1.26（c ）方法三：展缩→折叠→时移f (5 ? 2t )展宽 1 倍1 ? ? f ? 5 ? 2 × t ? = f (5 ? t ) 2 ? ?折叠f (5 + t ) = f (t + 5) 右时移 5f (t )其波形依次如图 1.27（a） （b） （c ）所示。图 1.27 方法四：时移→展缩→折叠14 5 5 ? 左时移 ? 2 f (5 ? 2t ) = f ? ? 2(t ? ) ? 2 ? ?展宽 1 倍 5 5 ? ? f ? ? 2(t ? + ) ? = f (? 2t ) 2 2 ? ?1 ? 折叠 ? f ? ? 2 × t ? = f (? t ) 2 ? ?f (t )其波形依次如图 1.28（a） （b） （c ）所示。 由此可知，通常在求解时选择方法三为好。图 1.28 1.6 （1）已知离散时间信号 f [n] 如图 1.29（a）所示，试画出下列各信号的波形图，并加以标注。 （a） f [4 ? n] （b） f [2n + 1]? ?n ? ? f ? , n为3的倍数 （c ） f [n] = ? ? ? 3? ?0, n为其它 ?（2）对图 1.29（b）所示的信号 h (n ) ，试画出下列各信号的波形，并加以标注。 （a） h[2 ? n] （b） h[n + 2] （c ） h[n + 2] + h[? n ? 1]图 1.29【知识点窍】本题考察离散信号自变量变换导致信号变换的概念 【逻辑推理】本题用到离散信号的时域运算与变换。包括有时移、折叠、尺度变换（内插零和15 抽取） 。 解： （1） （a） f [4 ? n] 信号波形图如图 1.30（b）所示。f [n + 4]1f [4 ? n]11 2-5 -4 -3 -2 -1 0n1 20 1 2 3 4 5n（a） 图 1.30 （b） f [2n + 1] 信号波形图如图 1.31 所示。（b）f [2n + 1]-2-1 0123n图 1.31? ?n ? ? f ? , n为3的倍数 （c ） f [n] = ? ? 信号波形图如图 1.32 所示。 ? 3? ?0, n为其它 ?f [n]-3-101234912n如图 1.32 （2） （a） h[2 ? n] 信号波形图如图 1.33 所示。16 h[2 ? n]-206n图 1.33 （b） h[n + 2] 信号波形图如图 1.34 所示。h[n + 2]-62n图 1.34 （c ） h[n + 2] + h[? n ? 1] 信号波形图如图 1.35（c ）所示。h[n ? 1]h[? n ? 1]-35n-53n（a）（b）17 h[n + 2] + h[? n ? 1]1 2-6 3n（c ） 图 1.35 1.7 判断下列各信号是否是周期信号，如果是周期信号，求出它的基波周期。 （1） f (t ) = 2 cos 3t + π （3） f (t ) = e j(πt ?1) （5） f [n] =∞(4)（2） f [n] = cos 8πn （4） f [n] = ej n 8 ?π(7+2)()∑ [δ (n ? 3m) ? δ (n ? 1 ? 3m )]m= 0（6） f (n) = 2 cos?? πn ? ? πn ? ? πn π ? ? + sin ? ? ? 2 sin ? + ? ? 4? ? 8 ? ? 2 6?【知识点窍】本题考察周期信号的判别方法和复合信号的周期计算方法 【逻辑推理】包含几个不同频率余弦分量的复合，信号的周期 T 是各分量信号周期Ti (i = 1, 2,3, L) 的 整 数 倍， 即 T = mi ? t i = m i ?2π 。因此只要找到几个整数公因子的正整数 ωim1 , m2 , L, mn 使 ω1 : ω 2 : Lω n = m1 : m2 : L mn 成立，可判定该信号为周期信号。解：周期信号必须满足两个条件：定义域 t ∈ R ，有周期性。两个条件中缺少任何一个，则就不 是周期信号了。 （1） f (t ) = 2 cos 3t + π （2） f [n] = cos 8πn(2π 4 是周期信号，其周期 T = 3 s) )(? 2π ? + 2 是周期信号，其周期 N = ? ?? ? ?m = 7 7 ? 0?2π = 2s π（3） f (t ) = e j(πt ?1) 是周期信号，其周期 T =18 （4） f [n] = e （5） f [n] =j n 8 ?π()不是周期信号。∑ [δ (n ? 3m) ? δ (n ? 1 ? 3m )] 是周期信号，其周期 N = 3m= 0∞（6） f (n) = 2 cos?? πn ? ? πn ? ? πn π ? ? + sin ? ? ? 2 sin ? + ? 是周期信号，其中 ? 4? ? 8 ? ? 2 6?N 1 = 8 ， N 2 = 16 ， N 3 = 4则有信号 f [n] 的基波信号为 N = 161.8 （1） 设 f 1 (t ) 和 f 2 (t ) 都是周期信号， 其基波周期分别为 T1 和 T2 。 在什么条件下， 和式 f 1 (t ) + f 2 (t ) 是周期的？如果该信号是周期的，它的基波周期是什么？ （ 2 ）设 f 1 [n] 和 f 2 [n ] 都是周期信号，其基波周期分别为 N1 和 N 2 。在什么条件下，和式f1 [n] + f 2 [n ] 是周期的？如果该信号是周期的，它的基波周期是什么？【知识点窍】本题考察周期信号的判别方法和复合信号的周期计算方法 【逻辑推理】复合信号的基波周期为各分周期信号的周期的最小公倍数。 解： （1）因为 f 1 (t ) 和 f 2 (t ) 都是周期信号，其基波周期分别为 T1 和 T2 ，所以有f1 (t ) = f1 (t + n1T1 ) f 2 (t ) = f 2 (t + n 2T2 )n1为整数 n 2为整数故要使： f 1 (t ) + f 2 (t ) = f 1 (t + n1T1 ) + f 2 (t + n2T2 ) 是周期信号，则必须是：n1T1 = n 2T2 = T0即，当 f 1 (t ) 和 f 2 (t ) 的周期满足 期是 T 1 和 T 的最小公倍数。T2 n1 = = 有理数时，和式 f 1 (t ) + f 2 (t ) 是周期的，其基波周 T1 n 22（2） f 1 [n] 和 f 2 [n ] 都是周期信号，其基波周期分别为 N1 和 N 2 ，所以有f1 [n] = f1 [n + m1 N1 ] f 2 [n ] = f 2 [n + m2 N 2 ]19m1为整数 m2为整数 故要使： f 1 [n] + f 2 [n] = f 1 [n + m1 N1 ] + f 2 [n + m2 N 2 ] 是周期信号，则必须是：m1 N1 = m2 N 2 = N 0即，当 f 1 [n] 和 f 2 [n ] 的周期满足N2 = 有理数时，和式 f 1 [n] + f 2 [n ] 是周期的，其基波周期是 N1N 1 和 N 2 的最小公倍数。1.9已知系统的输入、输出和初始状态的关系式如下，它们是否线性系统，为什么？其中 y (t 0 ) 和y[n0 ] 分别代表连续系统和离散系统初始观察时刻 t 0 和 n 0 的唯一的初始状态， f (t ) 和 f [n] 分别代表连续系统和离散系统的输入， y (t ) 和 y[n] 分别代表连续系统和离散系统的输出。 （1） y (t ) = y(t 0 ) + f (t ) （3） y (t ) = ln y(t 0 ) + 3t 2 f (t ) （5） y (t ) = y(t 0 ) + f2（2） y[n] = y [n 0 ] + f [n] （4） y[n] = ny[n 0 ] +n = n0∑ f [n]2k(t )（6） y[n] = y 2 [n 0 ] + f （8） y[n] = sin （10） y[n] = f[n ]（7） y (t ) = sin t ? f (t ) （9） y (t ) =df (t ) dtnπ ? f [n ] 22[n ]【知识点窍】本题考察线性系统的判定。 【逻辑推理】对于线性连续系统，其满足条件是齐次性与叠加性，即若f1 (t ) → y1 (t )则有f 2 (t ) → y 2 (t )k 1 f1 (t ) + k 2 f 2 (t ) → k1 y1 (t ) + k 2 y 2 (t )对于线性离散系统则有k 1 f1 [k ] + k 2 f 2 [k ] → k1 y1 [k ] + k 2 y 2 [k ]其中 k 1, k 2 为任意常数。 解： （1）零输入响应和零状态响应均呈线性，根据线性系统的定义， 故该系统为线性系统。 （2）该系统为线性系统。 （3）零输入响应和零状态响应均不呈线性，根据线性系统的定义，20 故该系统不是线性系统。 （4）该系统不是线性系统。 （5）零状态响应不呈线性，根据线性系统的定义， 故该系统不是线性系统。 （6）零输入响应和零状态响应均不呈线性，根据线性系统的定义， 故该系统不是线性系统。 （7）该系统不是线性系统。 （8）该系统不是线性系统。 （9）该系统是线性系统。 （10）该系统不是线性系统。1.10已知系统的输入和输出关系式如下， 它们是否时不变系统， 为什么？其中 f (t ), f [n ], y(t ), y[n]的意义同题 1-9。 （1） y (t ) = f(t ) df (t ) （3） y (t ) =2（2） y[n] = f2[n ]dt（4） y[n] = f [n ] ? f [n ? 1] （6） y[n] = f [n ] ? f [n ? 1] （8） y[n] = ?nf [n] （10） y[n] = sin （12） y[n] =（5） y (t ) = f (t ) ? f (t ? 1) （7） y (t ) = tf (t ) （9） y (t ) = sin t ? f (t ) （11） y (t ) =nπ f [n] 2∫t?∞f (τ )dτn =?M∑ f [n ? k ]M【知识点窍】本题考察时不变系统的判定。 【逻辑推理】如果激励是 f (t ) （或 f [k ] ） ，系统产生的响应为 y (t ) （或 y[k ] ） ，当将激励的时 间延迟 τ 为 f (t ? τ ) （或 f [k ? τ ] ） ，则其输出响应也相同地延迟 τ 时间为 y (t ? τ ) （或 y[k ? τ ] ） ， 它们之间的变化规律仍保持不变，其波形保持不变。即： 若 若f (t ) → y(t )则有f (t ? τ ) → y (t ? τ ) f [k ? τ ] → y[k ? τ ]f [k ] → y[k ] 则有21 解： （1）对于该系统有f 1 (t ) → y1 (t ) = f 1 (t )2则有：y1 (t ? τ ) = f 1 (t ? τ )2f 1 (t ? τ ) → y 2 (t ) = f 1 (t ? τ ) = y1 (t ? τ )2故该系统为时不变系统。 （2）对于该系统有f 1 [n] → y1 [n ] = f 1 [n]2则有：y1 [n ? k ] = f 1 [n ? k ]2f 1 [n ? k ] → y 2 [n ] = f 1 [n ? k ] = y1 [n ? k ]2故该系统为时不变系统。 （3）对于该系统有f 1 (t ) → y1 (t ) =则有：df 1 (t ) dty1 (t ? τ ) =df 1 (t ? τ ) df 1 (t ) = d (t ? τ ) dtf 1 (t ? τ ) → y 2 (t ) =故该系统为时不变系统。 （4）对于该系统有df 1 (t ? τ ) df 1 (t ) = = y1 (t ? τ ) dt dtf 1 [n] → y1 [n] = f 1 [n] ? f 1 [n ? 1]则有：y1 [n ? k ] = f 1 [n ? k ] ? f 1 [n ? k ? 1] f 1 [n ? k ] → y 2 [n ] = f 1[n ? k ] ? f1 [n ? k ? 1] = y1 [n ? k ]故该系统为时不变系统。22 （5）对于该系统有f1 (t ) → y1 (t ) = f1 (t ) ? f1 (t ? 1)则有：y1 (t ? τ ) = f1 (t ? τ ) ? f1 (t ? τ ? 1) f1 (t ? τ ) → y 2 (t ) = f1 (t ? τ ) ? f1 (t ? τ ? 1) = y1 (t ? τ )故该系统为时不变系统。 （6）对于该系统有f1 [n] → y1[n] = f1 [n ] ? f1 [n ? 1]则有：y1 [n ? k ] = f1[n ? k ] ? f1 [n ? k ? 1] f1 [n ? k ] → y 2 [n ] = f1 [n ? k ] ? f1 [n ? k ? 1] = y1 [n ? k ]故该系统为时不变系统。 （7）对于该系统有f1 (t ) → y1 (t ) = tf1 (t )则有：y1 (t ? τ ) = (t ? τ ) f1 (t ? τ ) f1 (t ? τ ) → y 2 (t ) = tf1 (t ? τ ) ≠ y1 (t ? τ )故该系统为时变系统。 （8）对于该系统有f1 [n] → y1 [n ] = ? nf1 [n]则有：y1 [n ? k ] = ?[n ? k ] f1 [n ? k ] f1 [n ? k ] → y 2 [n ] = ? nf1 [n ? k ] ≠ y1 [n ? k ]故该系统为时变系统。 （9）对于该系统有23 f1 (t ) → y1 (t ) = sin t ? f1 (t )则有：y1 (t ? τ ) = sin (t ? τ ) ? f1 (t ? τ ) f1 (t ? τ ) → y 2 (t ) = sin t ? f1 (t ? τ ) ≠ y1 (t ? τ )故该系统为时变系统。 （10）对于该系统有f 1 [n] → y1[n] = sin则有：nπ f 1[n] 2y1 [n ? k ] = sin[n ? k ]π f [n ? k ] 12 nπ f 1 [n ? k ] ≠ y1 [n ? k ] 2f 1 [n ? k ] → y 2 [n ] = sin故该系统为时变系统。 （11）对于该系统有f 1 (t ) → y1 (t ) = ∫则有：t?∞f 1 (τ )dτy1 (t ? t 1 ) = ∫ f 1 (t ? t ) → y2 (t ) = ∫故该系统为时不变系统。 （12）对于该系统有t ?∞t ?t1?∞f 1 (τ )dτt ?t 1 ?∞f 1 (τ ? t 1 )dτ = ∫f 1 (T )dT = y1 (t ? τ )f 1 [n] → y1[n] =则有：n= ? M∑ f [n ? k ]1My1 [n ? m ] = ∑ f 1[n ? m ? k ]n =? M + mM +mf 1 [n ? m ] → y 2 [n] =故该系统为时变系统。n= ? M∑ f [n ? m ? k ] ≠ y [n ? m]1 1M24 1.11一线性连续系统在相同的初始条件下，当输入为 f (t ) 时，全响应为 y (t ) = 2e ?t + cos 2t ，当输入 2 f (t ) 时，全响应 y (t ) = e ?t + 2 cos 2t 。求在相同的初始条件下，输入为 4 f (t ) 时的全响应。 【知识点窍】本题考察线性系统的响应函数的求法。 【逻辑推理】从一定初始条件和一定激励来求取系统响应，即求取描述该系统的常系数线性微 分方程。 解：设系统的零状态响应为 y zs (t ) ，零输入响应为 y zi (t ) 则有：y1 (t ) = y zs1 (t ) + y zi1 (t ) = 2e ? t + cos 2t y 2 (t ) = y zs 2 (t ) + y zi 2 (t ) = e ? t + 2 cos 2t因 f 1 (t ) = f (t ) ， f 2 (t ) = 2 f (t ) ，有 f 2 (t ) = 2 f 1 (t ) 根据已知条件以及 LTI 系统的性质，则有： ? ① ② ? y zi1 (t ) = y zi2 (t ) ? y zs 2 (t ) = 2 y zs1 (t )y zi1 (t ) = 3e ?t y zs1 (t ) = cos 2t ? e ?t将以上两式代入①、②中求得： 当激励为 4 f (t ) 时，系统的全响应为：y 3 (t ) = y zs3 (t ) + y zi3 (t ) = 4 y zs1 (t ) + y zi1 (t ) = 4 cos 2t ? e ?t + 3e ? t = 4 cos 2t ? e ? t()1.121.考虑具有下列输入输出关系的三个系统： 系统 1； 系统 2； 系统 3；y[n] = f [n ]y[n] = f [n ] + 1 1 f [n ? 1] + f [n ? 2] 2 4y[n] = f [2 n]（1）若它们按图 1.36 那样连接，求整个系统的输入输出关系。 （2）整个系统是线性吗？是时不变的吗？25 f [n]系统 1图 1.36系统 3y[n]2.如果图中三个系分别为 系统 1 和系统 3： 系统 2：y[n] = f [? n ] y[n] = af [n ? 1] + bf [n] + cf [n + 1]其中，a，b ，c 均为实数。求级联系统的输入输出关系。且 a，b，c 满足什么条件时： （1）整个 系统线性时不变。 （2）整个系统的输入输出关系与系统 2 相同。 （3）整个系统是因果的。 【知识点窍】本题考察线性系统与时不变系统的性质。 【逻辑推理】如果激励是 f (t ) （或 f [k ] ） ，系统产生的响应为 y (t ) （或 y[k ] ） ，当将激励的时 间延迟 τ 为 f (t ? τ ) （或 f [k ? τ ] ） ，则其输出响应也相同地延迟 τ 时间为 y (t ? τ ) （或 y[k ? τ ] ） ， 它们之间的变化规律仍保持不变，其波形保持不变。线性系统满足是齐次性与叠加性。 解：1.（1）整个系统输入输出关系y[n] = f [2n ] +1 1 f [2 n ? 1] + f [2n ? 2 ] 2 4（2）整个系统是线性的，是时变的。 2. 此时整个系统输入输出关系y[n] = af [n + 1] + bf [n ] + cf [n ? 1]（1）整个系统是线性时不变系统。 （2）若要整个系统的输入输出关系与系统 2 相同，则 a＝c 。 （3）整个系统是因果的，则响应不出现在激励作用之前，所以有 a＝0。 1.13 已知系统的输入和输出关系为： y (t ) = f (t ) ? f (t ? 1)试判断该系统（a）是否是线性的？（b）是否是时不变的？（c ）当输入 f (t ) 如图 1.37 所示时，画 出响应 y (t ) 的波形。 【知识点窍】本题考察线性系统与时不变系统的性质。 【逻辑推理】如果激励是 f (t ) （或 f [k ] ） ，系统产生的响应为 y (t ) （或 y[k ] ） ，当将激励的时 间延迟 τ 为 f (t ? τ ) （或 f [k ? τ ] ） ，则其输出响应也相同地延迟 τ 时间为 y (t ? τ ) （或 y[k ? τ ] ） ， 它们之间的变化规律仍保持不变，其波形保持不变。线性系统满足是齐次性与叠加性。26 解： （a）该系统是非线性的 （b）对此系统，输入为 f 1 (t ) 时，有f 1 (t ) → y1 (t ) = f 1 (t ) ? f (t ? 1)则有 y1 (t ? τ ) = f 1 (t ? τ ) ? f (t ? τ ? 1)f 1 (t ? τ ) → y 2 (t ) = f 1 (t ? τ ) ? f (t ? τ ? 1) = y1 (t ? τ )故该系统为时不变系统。 （c ）当输入 f (t ) 如图 1.37 所示时，响应 y (t ) 的波形如图 1.38（b） 。图 1.37f (t ? 1)2 1 1 -1（a）y (t )2 1 2 3t-1123t（b）图 1.38 1.14 一个 LTI 系统，当输入 f (t ) = ε (t ) 时，输出为 y (t ) = e ? t ε (t ) + ε (? 1 ? t ) ，求该系统对图 1.39所示输入 f (t ) 时的响应，并概略地画出其波形。图 1.39 27 【知识点窍】本题考察线性系统与时不变系统的性质。 【逻辑推理】如果激励是 f (t ) （或 f [k ] ） ，系统产生的响应为 y (t ) （或 y[k ] ） ，当将激励的时 间延迟 τ 为 f (t ? τ ) （或 f [k ? τ ] ） ，则其输出响应也相同地延迟 τ 时间为 y (t ? τ ) （或 y[k ? τ ] ） ， 它们之间的变化规律仍保持不变，其波形保持不变。线性系统满足是齐次性与叠加性。 解：由图 1.39 可得，输入 f 2 (t ) = ε (t ? 1) ? ε (t ? 2 ) = f 1 (t ? 1) ? f 1 (t ? 2) 当输入 f 1 (t ) = ε (t ) 时，输出为 y1 (t ) = e ? tε (t ) + ε (? 1 ? t ) 根据 LTI 系统的时不变特性，有：y1(t ? 1) = e ? (t ?1)ε (t ? 1) + ε (? t ) y1 (t ? 2 ) = e ? (t ?2 )ε (t ? 2) + ε (1 ? t )则当输入 f 2 (t ) = ε (t ? 1) ? ε (t ? 2 ) = f 1 (t ? 1) ? f 1 (t ? 2) 时，输出响应为y 2 (t ) = e ?( t?1)ε (t ? 1) ? e ?( t? 2)ε (t ? 2) + ε (? t ) ? ε (1 ? t )其波形图如图 1.40（d）y1 (t )1 -1 0 1y1 (t ? 1)t01t（a）（b）y1 (t ? 2)1y 2 (t )1012t012t（c ） 图 1.4028（d） 1.15一个 LTI 系统的输入 f (t ) 和输出 y (t ) 如图 1.41 所示。试求该系统对阶跃信号 ε (t ) 的响应。图 1.41【知识点窍】本题考察线性系统与时不变系统的性质。 【逻辑推理】如果激励是 f (t ) （或 f [k ] ） ，系统产生的响应为 y (t ) （或 y[k ] ） ，当将激励的时 间延迟 τ 为 f (t ? τ ) （或 f [k ? τ ] ） ，则其输出响应也相同地延迟 τ 时间为 y (t ? τ ) （或 y[k ? τ ] ） ， 它们之间的变化规律仍保持不变，其波形保持不变。线性系统满足是齐次性与叠加性。 解：见图 1.41，可以得到：f (t ) = ε (t ) + ε (t ? 1) ? ε (t ? 2) ? ε (t ? 3)系统对 ε (t ) 的响应称为阶跃响应，以 g (t ) 表示，于是对于 f (t ) 的响应 y (t ) 可以表示为：y (t ) = g (t ) + g (t ? 1) ? g (t ? 2 ) ? g (t ? 3)借助图解法可求出阶跃信号 ε (t ) 的响应 g (t ) 。 下面按照时间区间分别进行求解： （1） t : (0,1) 在 0&t&1 时，输入只有 ε (t ) ，此时g (t ) = y (t ) = sin πt按照时不变特性，可得（0&t&1）g (t ? 1) = sin π (t ? 1) ? g (t ? 2 ) = ? sin π (t ? 2) ? g (t ? 3) = ? sin π (t ? 3)（1&t&2） （2&t&3） （3&t&4）按上式， g (t ) , g (t ? 1) , ? g (t ? 2 ) , ? g (t ? 3) 示于图 1.42 上。29 图 1.42 （2） t : (1, 2) 在 1&t&2 时，输入 f (t ) 为：f (t ) = ε (t ) + ε (t ? 1)而输出信号 y (t ) 为y (t ) = g (t ) + g (t ? 1) = 0 g (t ) = ? g (t ? 1) = ? sin π (t ? 1)按照时不变特性，可得30（1&t&2） g (t ? 1) = ? sin π (t ? 2) （2&t&3） ? g (t ? 2 ) = sin π (t ? 3) ? g (t ? 3) = sin π (t ? 4)（3&t&4） （4&t&5）按上式， g (t ) , g (t ? 1) , ? g (t ? 2 ) , ? g (t ? 3) 在上述区间的图形示于图 1.43 上。图 1.43 （3） t : (2,3) 在 2&t&3 时，输入 f (t ) 为：f (t ) = ε (t ) + ε (t ? 1) ? ε (t ? 2 )31 图 1.44 输出信号 y (t ) 为y (t ) = g (t ) + g (t ? 1) ? g (t ? 2) = ? sin π (t ? 2 )按照上几节的结果，在 2&t&3 时：（2&t&3）g (t ? 1) = ? sin π (t ? 2) ? g (t ? 2) = sin π (t ? 2)故 按照时不变特性，可得（2&t&3） （2&t&3） （2&t&3）g (t ) = sin π (t ? 2 )g (t ? 1) = sin π (t ? 3) ? g (t ? 2 ) = ? sin π (t ? 4) ? g (t ? 3) = ? sin π (t ? 5)32（3&t&4） （4&t&5） （5&t&6） 按上式， g (t ) , g (t ? 1) , ? g (t ? 2 ) , ? g (t ? 3) 在上述区间的图形示于图 1.44 上。 （4） t : (3,4 ) 在 3&t&4 时，输入 f (t ) 为：f (t ) = ε (t ) + ε (t ? 1) ? ε (t ? 2) ? ε (t ? 3)输出信号 y (t ) 为y (t ) = g (t ) + g (t ? 1) ? g (t ? 2) ? g (t ? 3) = 0图 1.45 按照上几节的结果，在 3&t&4 时：g (t ? 1) = sin π (t ? 3) ? g (t ? 2) = sin π (t ? 2) ? g (t ? 3) = ? sin π (t ? 3)（3&t&4） （3&t&4） （3&t&4）33 故 按照时不变特性，可得g (t ) = ? sin π (t ? 3)（3&t&4）g (t ? 1) = ? sin π (t ? 4 ) （4&t&5） ? g (t ? 2 ) = sin π (t ? 5) ? g (t ? 3) = sin π (t ? 6)（5&t&6） （6&t&7）按上式， g (t ) , g (t ? 1) , ? g (t ? 2 ) , ? g (t ? 3) 在上述区间的图形示于图 1.45 上。 继续做下去，即可得到：g (t ) = sin πtε (t )1.16 某 LTI 离散系统，已知当激励为图 1.46（a）的信号 f 1 [n] （即单位序列 δ [n ] ）时，其零状态响应如图（b）所示。求： （1）当激励为图（c ）的信号 f 2 [n ] 时，系统的零状态响应； （2 ）当激励为 图（d）的信号 f 3 [n] 时，系统的零状态响应。图 1.46【知识点窍】本题考察 ＬＴＩ 离散系统的响应函数的求法。 【逻辑推理】利用了 ＬＴＩ 离散系统的线性性质与时不变性质。 解： （1）由图（c ）可知： f 2 [n ] = f 1 [n ? 1] + f 1 [n ? 2 ] + f 1 [n ? 3] 根据 LTI 系统的叠加性，当激励为信号 f 2 [n ] 时，系统的零状态响应：y zs 2 [n] = y zs1[n ? 1] + y zs1 [n ? 2] + y zs1 [n ? 3]由图（b）可得到：34 y zs1[n] = δ [n ? 1] + δ [n ? 2 ] + δ [n ? 3]进而：y zs1[n ? 1] = δ [n ? 2] + δ [n ? 3] + δ [n ? 4] y zs1[n ? 2] = δ [n ? 3] + δ [n ? 4] + δ [n ? 5] y zs1[n ? 3] = δ [n ? 4] + δ [n ? 5] + δ [n ? 6]所以有：y zs 2 [n] = y zs1 [n ? 1] + y zs1 [n ? 2] + y zs1 [n ? 3] = δ [n ? 2 ] + 2δ [n ? 3] + 3δ [n ? 4] ＋2δ [n ? 5] + δ [n ? 6]（2）由图（d）可知： f 3 [n] = f 1 [n ? 1] + 2 f 1 [n ? 2 ] + 3 f 1 [n ? 3] 根据 LTI 系统的叠加性，当激励为信号 f 3 [n] 时，系统的零状态响应：y zs 2 [n] = y zs1 [n ? 1] + 2 y zs1 [n ? 2] + 3 y zs1[n ? 3]由图（b）可得到：y zs1[n] = δ [n ? 1] + δ [n ? 2 ] + δ [n ? 3]进而：y zs1[n ? 1] = δ [n ? 2] + δ [n ? 3] + δ [n ? 4] y zs1[n ? 2] = δ [n ? 3] + δ [n ? 4] + δ [n ? 5] y zs1[n ? 3] = δ [n ? 4] + δ [n ? 5] + δ [n ? 6]所以有：y zs3 [n] = y zs1 [n ? 1] + 2 y zs1 [n ? 2] + 3 y zs1 [n ? 3] = δ [n ? 2 ] + 3δ [n ? 3] + 6δ [n ? 4 ] ＋5δ [n ? 5] + 3[n ? 6 ]1.17 线性非时变因果系统，当激励 f (t ) = ε (t ) 时，零状态响应 y zs (t ) = e ? t cos tε (t ) +cos t[ε (t ? π ) ? ε (t ? 2π )] 。求当激励 f (t ) = δ (t ) 时的响应 h (t ) 。【知识点窍】本题考察线性非时变因果系统响应函数的求法。 【逻辑推理】利用了 LTI 系统的微分性质。 解：根据 LTI 系统的微分性质，35 即当激励 f (t ) 产生的响应为 y (t ) ，则激励 当激励 f (t ) = ε (t ) 时，零状态响应为df (t ) dy (t ) 产生的响应即为 。 dt dty zs (t ) = e ?t cos tε (t ) + cos t [ε (t ? π ) ? ε (t ? 2π )]因 δ (t ) =dε (t ) ，所以有： dt当激励 f (t ) = δ (t ) 时的响应h (t ) =dy zs (t ) = ?e ? t cos tε (t ) ? e ?t sin tε (t ) + e ?t cos t δ (t ) dt ? sin t [ε (t ? π ) ? ε (t ? 2π )] + cos t [δ (t ? π ) ? δ (t ? 2π )]即有：? π? ?t h (t ) = δ (t ) ? 2e cos ? t ? ?ε (t ) ? sin t [ε (t ? π ) ? ε (t ? 2π )] ? δ (t ? π ) ? δ (t ? 2π ) 4? ?1.18 某线性时不变系统的初始状态不变。已知当激励为 f (t ) 时，全响应y1 (t ) = e ?t + cos πt当激励为 2 f (t ) 时，其全响应t&0y 2 (t ) = 2 cos πt求当激励为 3 f (t ) 时，系统的全响应。t&0【知识点窍】本题考察线性系统的响应函数的求法。 【逻辑推理】从一定初始条件和一定激励来求取系统响应，即求取描述该系统的常系数线性微 分方程。 解：设系统的零状态响应为 y zs (t ) ，零输入响应为 y zi (t ) 则有：y1 (t ) = y zs1 (t ) + y zi1 (t ) = e ? t + cos πtt&0 ① ② y 2 (t ) = y zs 2 (t ) + y zi2 (t ) = 2 cos πtt&0因 f 1 (t ) = f (t ) ， f 2 (t ) = 2 f (t ) ，有 f 2 (t ) = 2 f 1 (t ) 根据已知条件以及 LTI 系统的性质，则有：36 ?? y zi1 (t ) = y zi2 (t ) ? y zs 2 (t ) = 2 y zs1 (t )y zs1 (t ) = ?e ? t + cos πt y zi1 (t ) = 2e ?t t & 0 t &0将以上两式代入①、②中求得： 当激励为 3 f (t ) 时，系统的全响应为：y 3 (t ) = y zs3 (t ) + y zi3 (t ) = 3 y zs1 (t ) + y zi1 (t ) = 3 ? e ? t + cos πt + 2e ? t = 3 cos πt ? e ? t t&0()37 http://www.benxiao.com 第二章 连续时间系统的时域分析 ２．１ 学习重点 1、 建立系统的数学模型―― 时间系统进行时域分析。 2、 学会应用经典时域分析法求解微分方程。 3、 深刻理解系统的零状态响应为 y zs (t ) ，零输入响应为 y zi (t ) ，以及全响应， 会根据微分方程的特征根与已知系统的初始条件求解。 4、 深刻理解系统的冲激响应 h (t ) 以及阶跃响应 g (t ) 的意义，掌握其求解方法。 5、掌握卷积积分的定义、 性质和运算， 会应用卷积积分法求线性时不变系统的零状 态响应 y zs (t ) 。 6、 利用 MATLAB 进行 LTI 连续系统的时域分析 微分方程，描述系统激励 f (t ) 与响应 y (t ) 的关系，对连续２．２ 教材习题同步解析 2-1 列写图 2.1 所示中 i1 (t ), i 2 (t ), u0 (t ) 的微分方程。 【 知识点窍】 本题考察 系统方程的基尔霍夫定 律。 【逻辑推理】对任一点有 KCL ：∑ i(t ) = 0对任一回路有 KVL：∑ u (t ) = 0图 2.163解：因 u R1 = u L ，根据 VCR, 有 : Ri1 (t ) = L 2i1 (t ) =根据 KVL： 根据 VCR：di 2 (t ) dt⑴即di 2 (t ) dte(t ) = u R1 (t ) + u R 2 (t ) + u c (t ) ⑵ ⑶ ⑷ ⑸u R1 (t ) = R1i1(t ) = 2i1(t ) u R 2 (t ) = R2 (i1 (t ) + i2 (t )) = 2i1 (t ) + 2i2 (t )ic (t ) = i1 (t ) + i2 (t ) = C duc (t ) 1 duc (t ) = dt 2 dt⑶式和⑷式代入⑵式中，有： e(t ) = 4i1 (t ) + 2i 2 (t ) + u c (t )将⑴式代入⑹式中，得到： ⑹ e(t ) = 2di 2 (t ) + 2i 2 (t ) + u c (t ) dt ⑺ 对⑺式求一阶导，有：de(t ) d 2 i 2 (t ) di (t ) du (t ) =2 +2 2 + c 2 dt dt dt dt de(t ) d 2 i2 (t ) di (t ) =2 + 2 2 + 2i1 (t ) + 2i 2 (t ) 2 dt dt dt⑻ 将⑸式代入⑻式中，有： ⑼ 再将⑴式代入⑼式中，得到 i 2 (t ) 的微分方程为： 2d 2i 2 (t ) di 2 (t ) de(t ) + 3 + 2i 2 (t ) = 2 dt dt dt ⑽对⑹式求一阶导，得到： di (t ) di (t ) du (t ) de(t ) = 4 1 +2 2 + c dt dt dt dt di (t ) de(t ) = 4 1 + 6i1 (t ) + 2i2 (t ) dt dtd 2e (t ) d 2i1 (t ) di1 (t ) di 2 (t ) = 4 + 6 + 2 dt 2 dt 2 dt dt将⑴式、⑸式代入⑽式中，得到： ⑾对⑾式求导，得到： ⑿再将⑴式代入⑿式中，得到 i1 (t ) 的微分方程为： 64 d 2e (t ) d 2i1 (t ) di1 (t ) = 4 + 6 + 4i1 (t ) dt 2 dt 2 dt根据 KVL，有：e(t ) = u R1 (t ) + u 0 (t ) = 2i1 (t ) + u 0 (t )对⒀式求一阶导和二阶导，得到： ⒀ di (t ) du (t ) de(t ) =2 1 + 0 dt dt dtd 2e(t ) d 2i1 (t ) d 2u0 (t ) = 2 + dt 2 dt 2 dt 2⒀式子 × 2＋⒁式 × 3＋⒂式 × 2，消去 i1 (t ) ，整理后得到 u 0 (t ) 的微分方程为： ⒁ ⒂ d 2u 0 (t ) du 0 (t ) d 2 e(t ) de (t ) 2 + 3 + 2 u ( t ) = +3 + 2e(t ) 0 2 2 dt dt dt dt2-2 已知描述系统的微分方程如下： （1） y ' ' (t ) + 3 y ' (t ) + 2 y (t ) = 0 （2） y ' ' (t ) + 2 y' (t ) + 2 y (t ) = 0 （3） y ' ' (t ) + 2 y' (t ) + y (t ) = 0 当初始条件为 y (0 ) = 1, y ' (0 ) = 0 时，求零输入响应。 【知识点窍】本题考察常系数微分方程经典解法。 【逻辑推理】利用系统的特征方程，求出齐次解，代入初始状态求解。 解： （1）由原微分方程可得其特征方程为λ 2 + 3λ + 2 = 0可解得特征根为 微分方程齐次解为λ1 = ?1, λ2 = ?2y h (t ) = A1e ? t + A2 e ? 2t由初始状态为 y (0 ) = 1, y ' (0 ) = 0 ，则有：? A1 + A2 = 1 ? ?? A1 ? 2 A2 = 065 由联立方程可得 故系统的零输入响应为： A1 = 2, A2 = ?1y zi (t ) = 2e ? t ? e ?2 t （2）由原微分方程可得其特征方程为λ 2 + 2λ + 2 = 0可解得特征根为 微分方程齐次解为λ1, 2 = ?1 ± iy h (t ) = e ?t (C1 cos t + C2 sin t )由初始状态为 y (0 ) = 1, y ' (0 ) = 0 ，则有：?C1 = 1 ? ?? C 1 + C 2 = 0由联立方程可得 故系统的零输入响应为： C1 = 1, C2 = 1y zi (t ) = e ?t (cos t + sin t ) （3）由原微分方程可得其特征方程为λ 2 + 2λ + 1 = 0可解得特征根为 微分方程齐次解为λ1, 2 = ?1y h (t ) = C1e ?t + C2 te? t由初始状态为 y (0 ) = 1, y ' (0 ) = 0 ，则有：?C1 = 1 ? ?? C 1 + C 2 = 0由联立方程可得 故系统的零输入响应为： C1 = 1, C2 = 1y zi (t ) = e ? t + te ? t2-3 已知描述系统的微分方程如下： （1） y ' ' ' (t ) + 3 y ' ' (t ) + 2 y' (t ) = 066 （2） y ' ' ' (t ) + 2 y ' ' (t ) + y ' (t ) = 0 当初始状态为 y (0 ) = y ' (0 ) = y ' ' ' (0 ) = 1 时，求零输入响应。 【知识点窍】本题考察常系数微分方程经典解法。 【逻辑推理】利用系统的特征方程，求出齐次解，代入初始状态求解。 解： （1）由原微分方程可得其特征方程为λ 3 + 3λ 2 + 2λ = 0可解得特征根为 微分方程齐次解为λ1 = 0, λ2 = ?1, λ3 = ?2 yh (t ) = C1 + C2e ? t + C3e ?2t由初始状态为 y (0 ) = y ' (0 ) = y ' ' ' (0 ) = 1 ，则有：?C1 + C 2 + C 3 = 1 ? ?? C2 ? 2C3 = 1 ?C + 4C = 1 ? 2 3由联立方程可得 故系统的零输入响应为： C1 = 3, C 2 = ?3, C3 = 1y zi (t ) = 3 ? 3e ? t + e ?2t （2）由原微分方程可得其特征方程为λ 3 + 2λ 2 + λ = 0可解得特征根为 微分方程齐次解为λ1 = 0, λ2, 3 = ?1y h (t ) = C1e ?t + C2 te? t + C3由初始状态为 y (0 ) = y ' (0 ) = y ' ' ' (0 ) = 1 ，则有：?C1 + C 3 = 1 ? ?? C1 + C 2 = 1 ?C ? 2C = 1 ? 1 2由联立方程可得 故系统的零输入响应为： C1 = ?3, C 2 = ?2, C3 = 4y zi (t ) = ?3e ? t ? 2te ? t + 4 67 2-4已知某 LTI 系统的微分方程模型为y ' ' (t ) + y' (t ) ? 2 y (t ) = f (t )（1）用两种方法（微分方程法和卷积积分法）求该系统的阶跃响应 g (t ) ； （2）求系统对输入 f (t ) = e ? 2t cos 3t ε (t ) 的零状态响应。 【知识点窍】本题考察 ＬＴＩ 系统的微分方程的单位冲激响应和单位阶跃响应，及其关系；零状 态响应的卷积求解法。 【逻辑推理】求阶跃响应时可采取两种方法：直接求解微分方程零状态条件下的阶跃响应，或 利用冲激响应积分。 零状态响应通过求取系统的冲激响应与激励函数相卷积得到。 解： （1）方法一：微分方程法 由微分方程得特征根为λ1 = ?2, λ2 = 1由此可得阶跃响应形式为 对上式求一阶、二阶导数，得1? ? ? 2t t g (t ) = ? C1e + C2 e ? ?ε (t ) 2? ?g (t ) = ? 2C1e'(? 2t1? ? t ?2 t t + C2 e ε (t ) + ? C1e + C2 e ? ?δ (t ) 2? ?)g '' (t ) = 4C1e ?2t + C2 e t ε (t ) + ? 2C1e ?2t + C 2e t δ (t ) + ? 2C1e ? 2t((( ? + C e )δ (t ) + ? C et 2))? 2t?11? + C 2e t ? ?δ ' (t ) 2?将阶跃响应 g (t ) 及其一阶、二阶导数代入原方程，得：1? 1? ? ? ε (t ) + ? ? 3C1e ?2 t + 3C 2et ? ?δ (t ) + ? C1e? 2t + C 2e t ? ?δ ' (t ) = ε (t ) 2? 2? ? ?利用单位冲激函数的性质，得：1? 1 ? ? 2t t ? ? 3C1e + 3C2 e ? ?δ (t ) = ?3C1 + 3C 2 ? = 0 2? 2 ? 1? 1? ? ? ? 2t t ? C1e + C 2 e ? ?δ ' (t ) = ? C1 + C 2 ? ?δ ' (t ) ? (? 2C1 + C2 )δ (t ) = 0 2? 2? ? ?68 得1 ? = 0? 2 ? ? 2C 1 + C 2 = 0 ? ? C1 + C 2 ?1 1 , C2 = 。将其代入得阶跃响应 h (t ) 6 3则得系数 C1 =? 1 ? 2t 1 t 1 ? g (t ) = ? e + e ? ?ε (t ) 3 2? ?6方法二：卷积积分法 由微分方程求得特征根，进而可得冲激响应形式为h (t ) = C1e ?2t + C2 e t ε (t )对上式求一阶、二阶导数，得()h ' (t ) = ? 2C1e ?2t + C 2e t ε (t ) + C1e ?2t + C2 e t δ (t )()(t)h '' (t ) = 4C1e ?2 t + C2 e t ε (t ) + ? 2C1e ?2t + C 2e t δ (t ) + ? 2C1e ? 2t((( + C e )δ (t ) + (C e2 1)?2 t+ C2 e t δ ' (t )))将冲激响应 h (t ) 及其一阶、二阶导数代入原方程，即(? 3C e1?2t+ 3C2 e t δ (t) + C1e ?2t + C2 e t δ ' (t ) = δ (t ))()利用单位冲激函数的性质，得：(? 3C1 + 3C2 )δ (t ) + (C1 + C2 )δ ' (t ) ? (? 2C1 + C 2 )δ (t ) = δ (t )得 则得系数 C1 = ? , C2 = 将其代入得冲激响应 则系统的阶跃响应为C1 + C 2 = 01 3 1 。 3? ? ? C1 + 2C2 = 1?? 1 ?2t 1 t ? h (t ) = ? ? e + e ?ε (t ) 3 ? ? 3g (t ) = h(t ) ? ε (t )∞ ? 1 1 ? = ∫?∞ ? ? e ? 2τ + e τ ?ε (τ ) ε (t ? τ )dτ 3 ? ? 3 ? t? 1 1 ? ? = ? ∫ ? ? e ?2τ + eτ ?dτ ? ε (t ) 0 3 ? ? ? ? 369 1 ? ?1 = ? e ?2t + e t ?ε (t ) 3 ? ?6 0 1 1? ?1 = ? e ?2t + e t ? ?ε (t ) 3 2? ?6（2）当输入 f (t ) = e ? 2t cos 3t ε (t ) 时，系统的零状态响应为：ty zs (t ) = h(t ) ? f (t )∞ ? 1 1 ? = ∫?∞ ? ? e ?2τ + eτ ?ε (τ ) ? e ?2 (t?τ ) cos 3(t ? τ )ε (t ? τ )dτ 3 ? ? 3 t? 1 t1 ? = ∫ ?? e ? 2t cos 3(t ? τ )? dτ + ∫ e ? 2t e 3τ cos 3(t ? τ )dτ 0 03 ? 3 ? t 1 1 1 = ? e ? 2t ? sin 3(t ? τ ) + e ?2t ∫0 e 3τ cos 3(t ? τ )dτ 3 3 3 0 t1 1 1 1 ?1 ? = ? e ? 2t sin 3t + e ? 2t ? e 3t ? cos 3t + sin 3t ? 9 3 6 6 ?6 ? 1 1 1 = e t ? e ? 2t cos 3t ? e ?2 t sin 3t 18 18 18 1 = e t 1 ? e ? 3t cos 3t ? e ? 3t sin 3t 18[]2-5设一个 LTI 系统的输入和输出分别为 f (t ) 和 y (t ) ，试用两种方法证明：当系统的输入为 f ' (t )时，输出为 y ' (t ) 。 【知识点窍】本题考察 ＬＴＩ 系统的性质。 【逻辑推理】利用零状态响应与冲激响应的卷积关系或系统的时不变性。 证明：方法一： 令系统的单位响应为 h (t ) ，则有 y (t ) = f (t ) ? h(t ) 当系统的输入为 f ' (t ) 时f ' (t ) ? h (t ) =d d d ∫ h(τ ) dt f (t ? τ )dτ = dt ∫ h (τ ) f (t ? τ )dτ = dt y (t ) = y ' (t )∞ ∞ ?∞ ?∞即证明当系统的输入为 f ' (t ) 时，输出为 y ' (t ) 。 方法二： 根据倒数定义有：f ' (t ) = limt 0 →0f (t ? t 0 ) ? f (t ) t070 根据 LTI 系统的时不变性，可得：f (t ? t 0 ) → y (t ? t 0 )则有：f ' (t ) = limt 0 →0f (t ? t 0 ) ? f (t ) y(t ? t 0 ) ? y (t ) → lim = y ' (t ) t0 → 0 t0 t0即证明当系统的输入为 f ' (t ) 时，输出为 y ' (t ) 。 2-6 已知函数波形如图 2.2 所示，计算下面的卷积积分、并画出其波形。 （1） f 1 (t ) ? f 2 (t ) （4） f 2 (t ) ? f 4 (t ) （7） f 2 (t ) ? f 5 (t ) （10） f 7 (t ) ? f 8 (t ) （2） f 1 (t ) ? f 3 (t ) （5） f 4 (t ) ? f 5 (t ) （8） f 6 (t ) ? f 7 (t ) （3） f 1 (t ) ? f 2 (t ) ? f 3 (t ) （6） f 4 (t ) ? f 6 (t ) （9） f 5 (t ) ? f 8 (t )图 2.2【知识点窍】本题考察卷积求解法。 【逻辑推理】函数 f i (t ) 与函数 f j (t ) 相卷积后的值 y (t ) ，就是在变量 τ 由 ? ∞ 到 + ∞ 范围内， 对某一 t 值时乘积 f i (τ ) f j (t ? τ ) 曲线下的面积。或利用卷积积分的微分和积分性质以及冲激函数卷 积性质求解。即若71 f (t ) = f1 (t ) ? f 2 (t ) = f 2 (t ) ? f1 (t )则其微分 积分 含有冲激函数的卷积有：f f(1)(t ) = (t ) =f 1(1) (t ) ? f 2 (t ) = f 1 (t ) ? f 2(1) (t ) f 1(?1) (t ) ? f 2 (t ) = f 1 (t ) ? f 2( ?1) (t )(?1)f (t ) ? δ (t ) = f (t )f (t ) ? δ (t ? t 0 ) = f (t ? t 0 )f (t ) ? δ ' (t ) = f ' (t )f (t ) ? ε (t ) = f ( ?1) (t ) = ∫解： （１）如图可知， f 2 (t ) = δ (t + 1) + δ (t ? 1) 由含有冲激函数的卷积可得t ?∞f (τ )dτf 1 (t ) ? f 2 (t ) = f 1 (t ) ? [δ (t + 1) + δ (t ? 1)] = f 1 (t + 1) + f1 (t ? 1)其波形如图 2.3 所示。f1 (t ) ? f 2 (t ) f1 (t ) ? f 2 (t )1 0 -2 -1 0 图 2.3 （2）如图可知， f 3 (t ) = ?δ (t ? 1) + δ (t ? 2 ) ? δ (t ? 3) 由含有冲激函数的卷积可得 1 1 2 3 4 1tt2-1图 2.4f 1 (t ) ? f 3 (t ) = f 1 (t ) ? [? δ (t ? 1) + δ (t ? 2 ) ? δ (t ? 3)] = ? f 1 (t ? 11) + f1 (t ? 2) ? f 1 (t ? 3)其波形如图 2.4 所示。 （3）由卷积积分性质可知，72 f 1 (t ) ? f 2 (t ) ? f 3 (t ) = f 1 (t ) ? [δ (t + 1) + δ (t ? 1)] ? [? δ (t ? 1) + δ (t ? 2 ) ? δ (t ? 3)] = [ f 1 (t + 1) + f 1 (t ? 1)] ? [? δ (t ? 1) + δ (t ? 2 ) ? δ (t ? 3)] = ? f 1 (t ) + f 1 (t ? 1) ? f 1 (t ? 2 ) ? f 1 (t ? 2 ) + f 1 (t ? 3) ? f 1 (t ? 4) = ? f 1 (t ) + f 1 (t ? 1) ? 2 f 1 (t ? 2) + f 1 (t ? 3) ? f 1 (t ? 4 )其波形如图 2.5 所示。f 1 (t ) ? f 2 (t ) ? f 3 (t )1t-1 0 -1 -2 1 2 3 4 5图 2.5 （4）如图可知， f 2 (t ) = δ (t + 1) + δ (t ? 1) 由含有冲激函数的卷积可得f 2 (t ) ? f 4 (t ) = f 4 (t ) ? f 2 (t ) = f 4 (t ) ? [δ (t + 1) + δ (t ? 1)] = f 4 (t + 1) + f 4 (t ? 1)其波形如图 2.6 所示。f 2 (t ) ? f 4 (t )1 -1 0 1 2t图 2.6 （5）由卷积积分的积微性可知：f 4 (t ) ? f 5 (t ) = f 4(1) (t ) ? f 5(?1) (t ) = [δ (t ) ? δ (t ? 1)]? f 5( ?1) (t ) = f 5( ?1) (t ) ? f 5(?1) (t ? 1)73 由图可知?t f 5 (t ) = ? ?10 & t &1 t ≥1?1 2 t ? ?2 (?1) 即可求得 f 5 (t ) = ? ?t ? 1 ? ? 20 & t &1 t ≥1其波形如图 2.7 所示。f 4 (t ) ? f 5 (t )101 图 2.72t（6）由卷积积分的积微性可知：f 4 (t ) ? f 6 (t ) = f 4( ?1) (t ) ? f 6(1) (t ) = f 4( ?1) (t ) ? [2δ (t ) ? 2δ (t ? 1) + 2δ (t ? 2 ) ? 2δ (t ? 3)] = 2 f 4(?1) (t ) ? f 4(?1) (t ? 1) + f 4( ?1) (t ? 2) ? f 4(?1) (t ? 3)[]由图可知： f 4(?1) (t ) = tε (t ) ? (t ? 1)ε (t ? 1) 即得： f 4 (t ) ? f 6 (t ) = 2[tε (t ) ? 2(t ? 1)ε (t ? 1) + 2(t ? 2 )ε (t ? 2 ) ? 2(t ? 3)ε (t ? 3) + (t ? 4)ε (t ? 4 )] 其波形如图 2.8 所示。f 4 (t ) ? f 6 (t )201234t图 2.8 （7）由图可知： f 2 (t ) ? f 5 (t ) = [δ (t + 1) + δ (t ? 1)] ? f 5 (t ) = f 5 (t + 1) + f 5 (t ? 1) 其波形如图 2.9 所示。 （8）由图可知，f 6 (t ) ? f 7 (t ) = f 6(1) (t ) ? f 7(?1) (t ) = f 7( ?1) (t ) ? [2δ (t ) ? 2δ (t ? 1) + 2δ (t ? 2 ) ? 2δ (t ? 3)] = 2 f 7(?1) (t ) ? f 7(?1) (t ? 1) + f 7(?1) (t ? 2 ) ? f 7(?1) (t ? 3)74[] f 2 (t ) ? f 5 (t )2t-1 0 1 2图 2.9 由图可知： f 7(?1) (t ) = (t + 3)ε (t + 3) ? (t + 2 )ε (t + 2 ) 即得： f 6 (t ) ? f 7 (t ) = 2[(t + 3)ε (t + 3) ? 2(t + 2)ε (t + 2 ) + 2(t + 1)ε (t + 1) ? 2tε (t ) + (t ? 1)ε (t ? 1)] 其波形如图 2.10 所示。f 5 (t ) ? f 8 (t )3f 6 (t ) ? f 7 (t )22-3-2-10 图 2.101t1 20 1 2 图 2.11 3t（9）由卷积积分的积微性可知：f 5 (t ) ? f 8 (t ) = f 8 (t ) ? f 5 (t ) = f 8(1) (t ) ? f 5( ?1) (t ) = [δ (t ) + δ (t ? 1) ? 2δ (t ? 2 )] ? f 5( ?1) (t ) = f 5( ?1) (t ) + f 5(?1) (t ? 1) ? 2 f 5( ?1) (t ? 2)?t f 5 (t ) = ? ?1 0 & t &1 t ≥1由图可知?1 2 t ? ?2 (?1) 即可求得 f 5 (t ) = ? ?t ? 1 ? ? 20 & t &1 t ≥1其波形如图 2.11 所示。 （10）由卷积积分的积微性可知：f 7 (t ) ? f 8 (t ) = f 7(?1) (t ) ? f 8(1) (t ) = f 7( ?1) (t ) ? [δ (t ) + δ (t ? 1) ? 2δ (t ? 2)] = f 7( ?1) (t ) + f 7(?1) (t ? 1) ? 2 f 7( ?1) (t ? 2)75 由图可知： 即得：f 7(?1) (t ) = (t + 3)ε (t + 3) ? (t + 2 )ε (t + 2 )f 7 (t ) ? f 8 (t ) = (t + 3)ε (t + 3) ? 3(t + 1)ε (t + 1) + 2t ε (t )其波形如图 2.12 所示。f 7 (t ) ? f 8 (t )2t-3 -1 0 1图 2.12 2-7 利用冲激函数的取样性质，计算下列积分： （1）∫? π? δ ? t ? ? sin tdt ?∞ 4? ?∞（2）∫ δ (t + 3)e∞ ?∞∞ ?∞?tdt（3）∫ δ (1 ? t )(t∞ ?∞ 10 ?102+ 4 dt2)（4）sin 2t ∫ δ (t ) t dt10 ?10（5）∫ δ (2t ? 3)(2t∞+ t ? 5 dt)（6）∫? 1? 2 δ ' ? t + ? 2t + t ? 5 dt ? 4?2()（7）? t0 ? ε t ? ?δ (t ? t 0 )dt ∫?∞ ? 2? ?（8）∫ δ (t1 ?1? 4 dt)【知识点窍】本题考察冲激函数的取样性质。 【逻辑推理】 f (t )δ (t ? t 0 ) = f (t 0 )δ (t ? t 0 ) ； ∫ f (t ) δ (t ? t 0 )dt = f (t 0 ) ；∞ ?∞δ ' (t ) = ?δ ' (? t )nδ ( n) (t ) = (? 1) δ ( n) (? t )δ ' (t ? t 0 ) = ?δ ' [? (t ? t 0 )]f (t )δ ' (t ) = f (0)δ ' (t ) ? f ' (0 )δ (t )f (t )δ ' (t ? t 0 ) = f (t 0 )δ ' (t ? t 0 ) ? f ' (t 0 )δ (t ? t 0 )∫ ∫∞?∞ ∞ ?∞f (t )δ ' (t )dt = ? f ' (0 ) f (t )δ(n )(t )dt = (? 1) n f ( n) (0)76 ∫ f (t )δ (t ? t )dt = ? f (t ) ( ) ( ) ∫ f (t )δ (t ? t )dt = (?1) f (t )' ' ?∞ ∞ ?∞ 0 0 n n n 0 0∞解： （1）∫∞?∞π 2 ? π? δ ? t ? ? sin tdt = sin = 4? 4 2 ??t（2） （3） （4）∫ δ (t + 3)e∞ ?∞ ∞dt = e 3 + 4 dt = ∫ δ (t ? 1) t 2 + 4 dt = t 2 + 4∞ ?∞∞ ?∞∫ δ (1 ? t )(t?∞∞ ?∞2)()[]t =1=5sin 2t ∫ δ (t ) t dt = ∫2δ (t )sin 2t dt = 2 2t10 ?10（5）∫ δ (2t ? 3)(2t10 ?102+ t ? 5 dt = ∫)1 ? 3? 2 δ ? t ? ? 2t + t ? 5 dt 2 ? 2?()=2 ? 1 1? 3? 3 ?2×? + ? 5? = ? ? ? 2 2? 2 ? ? 2? ?（6）∫1? 2 d ? 2 δ ' ? t + ? 2t + t ? 5 dt = ? 2t + t ? 5 ?10 4 dt ? ?10()()t =?1 4= (? 4t ? 1)t= ? 1 = 04（7）∫∞?∞? t ? ?t ? ε ? t ? 0 ?δ (t ? t 0 )dt = ε ? 0 ? = 1 2? ? ? 2?（8） 2-8∞∫ (1 ?1δ t 2 ? 4 dt = ∫ δ [(t + 2 )(t ? 2 )]dt = 01 ?1)求图 2.13（a）所示系统的零状态响应 y (t ) ，并画出其波形。已知 f (t ) =k = ?∞∑ δ (t ? 2kT ), k = 0,±1, ±2, L, f (t ) 的波形如图 2.13（b）所示。图 2.13【知识点窍】本题考察系统的零状态响应求解法。 【逻辑推理】零状态响应通过求取系统的冲激响应与激励函数相卷积得到。 解：系统的单位冲激响应为77 h (t ) =∫ [δ (τ ) ? δ (τ ? T )]dt = ε (t ) ? ε (t ? T )t ?∞∞h (t ) 的波形如图 2.14（a）所示。故得零状态响应为y zs (t ) = f (t ) ? h(t ) =k = ?∞∑ δ (t ? 2kT ) ? h(t ) = ∑ h(t ? kT ) = 1k = ?∞∞y (t ) 的波形如图 2.14（b）所示。（a） 图 2.14 2-9（b）图 2.15 电路，已知 f (t ) = ε (t ), i (0 ) = 1 A, i ' (0 ) = 2 A / s 。求全响应 i (t ) 。图 2.15【知识点窍】本题考察系统的全响应求解法。 【逻辑推理】基尔霍夫定律列出系统的微分方程，系统的全响应是由零输入响应与零状态响应 组成；零输入响应通过经典法求取，零状态响应通过求取系统的冲激响应与激励函数相卷积得到。 解： （1）电路的微分方程为? 6? ? ?p+5+ p? ?i (t ) = f (t ) ? ?即(p2+ 5 p + 6 i (t ) = pf (t )p f (t ) = H ( p ) f (t ) p + 5p + 62)故 故得转移算子为i (t ) =78 H ( p) =p p ?2 3 = = + p + 5 p + 6 ( p + 2 )( p + 3) p + 2 p + 32（2）零输入响应的通解为 i x (t ) = A1e ?2t + A2e ?3t 将初始条件 i (0) = 1A, i ' (0) = 2 A / s 代入上式可得 A1 = 5 ， A2 = ?4 。 故得零输入响应为i x (t ) = 5e ?2t ? 4e ?3t ε (t )()（A）（3）电路的单位冲激响应为 h (t ) = ? 2e ?2t + 3e ?3t ε (t ) （A） （4）电路的零状态响应为()i f (t ) = f (t ) ? h(t ) = ε (t ) ? ? 2e ?2t + 3e ?3t ε (t )= ε (t ) ? ? 2 e ?2t ε (t ) + ε (t ) ? 3e ?3t ε (t ) = e ?2t ? e ?3t ε (t )（5）全响应为()()()()（A）i (t ) = i x (t ) + i f (t ) = 6e ?2t ? 5e ?3t ε (t )()（A）2-10 图 2.16（a）所示电路，激励 f (t ) 的波形如图 2.16（b）所示。求零状态响应 u c (t ) ，并画出波 形。图 2.16【知识点窍】系统的零状态响应可由激励函数和系统的单位冲激响应相卷积得到。 【逻辑推理】先求取系统的冲激响应，再通过冲激响应与激励函数相卷积即可求得。 解：该电路的微分方程为79 d 2u c + uc = f (t ) dt 2即(p2+ 1 u c = f (t ))转移算子为 故得单位冲激响应为H ( p) =1 p +12h (t ) = sin tε (t )故得u c (t ) = f (t ) ? h(t ) = f ' (t ) ? ∫ sin τε (τ )dτt ?∞= [δ (t ) ? δ (t ? 6π )] ? ∫ sin τ dτt 0= [δ (t ) ? δ (t ? 6π )] ? [? cos τ ]0t= [δ (t ) ? δ (t ? 6π )] ? [1 ? cos t ]ε (t ) = [1 ? cos t ]ε (t ) ? [1 ? cos (t ? 6π )]ε (t ? 6π )u c (t ) 的波形如图 2.17 所示。图 2.17 2-11 已知一线性时不变系统对激励 f (t ) = sin tε (t ) 的零状态响应 y (t ) 的波形如图 2.18 所示。 求该系 统的单位冲激响应 h (t ) ，并画出其波形。图 2.1880 【知识点窍】系统的零状态响应可由激励函数和系统的单位冲激响应相卷积得到。 【逻辑推理】零状态响应由由冲激响应与激励函数相卷积求得，由此利用卷积的积分与微分性 质求取冲激响应。 解： y (t ) = f (t ) ? h(t ) = sin t ε (t ) ? h(t ) ①dy(t ) d = sin t ε (t ) ? h(t ) = cos tε (t ) ? h(t ) dt dtd 2 y (t ) d = cos tε (t ) ? h(t ) = [δ (t ) ? sin t ε (t )] ? h (t ) dt 2 dt= h (t ) ? sin tε (t ) ? h(t )①式＋②式即得： ②h (t ) = y(t ) +d 2 y (t ) = y (t ) + δ (t ) ? 2δ (t ? 1) + δ (t ? 2) dt 2dy (t ) d 2 y (t ) h (t ) 的波形如图 2.19（c ）所示。图 2.19（a） （b）分别为 ， 的波形。 dt dt 2（a）（b） 图 2.19（c ）2-12 图 2.20 所示系统是由几个子系统组合而成，各子系统的冲激响应分别为h1 (t ) = ε (t ) h2 (t ) = δ (t ? 1)h3 (t ) = ?δ (t )（积分器） （单位延时器） （倒相器）求总系统的冲激响应 h (t ) 。 【知识点窍】线性系统的性质。 【逻辑推理】线性系统的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积。81 图 2.20解： h (t ) = h1 (t ) + δ (t ) ? h2 (t ) ? h1 (t ) ? h3 (t )= ε (t ) + δ (t ) ? δ (t ? 1) ? ε (t ) ? [? δ (t )] = ε (t ) ? ε (t ? 1)2-13 在图 2.21 所示系统中， h1 (t ) = δ (t ? 1) ， h2 (t ) = ε (t ) ? ε (t ? 3) ， f (t ) =ε (t ) ? ε (t ? 1) 。求响应 y (t ) ，并画出其波形。图 2.21图 2.22【知识点窍】线性系统的性质。 【逻辑推理】线性系统的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积。 解： f 1 (t ) = f (t ) + f (t ) ? h1 (t ) + f (t ) ? h1 (t ) ? h1 (t )= [ε (t ) ? ε (t ? 1)] + [ε (t ) ? ε (t ? 1)] ? δ (t ? 1) + [ε (t ) ? ε (t ? 1)]? δ (t ? 1) ? δ (t ? 1) = [ε (t ) ? ε (t ? 1)] + [ε (t ? 1) ? ε (t ? 2 )] + [ε (t ? 2 ) ? ε (t ? 3)] = ε (t ) ? ε (t ? 3) y (t ) = f1 (t ) ? h2 (t ) = [ε (t ) ? ε (t ? 3)] ? [ε (t ) ? ε (t ? 3)] = tε (t ) ? 2(t ? 3)ε (t ? 3) + (t ? 6)ε (t ? 6) y (t ) 的波形如图 2.22 所示。2-14 求图 2.23 所示系统的单位冲激响应 h (t ) 。 【知识点窍】系统模拟图与微分方程之间变换。 82 【逻辑推理】由系统模拟图求取系统的微分方程。图 2.23解： h ' (t ) = δ (t ) ?∫ h(τ )dτt ?∞h ' ' (t ) = δ ' (t ) ? h(t )即 即h ' ' (t ) + h(t ) = δ ' (t )(p2+ 1 h(t ) = pδ (t ))1 1 p 故得 H ( p ) = 2 = 2 + 2 p + 1 p + j1 p ? j1故h (t ) =1 ? j1t e + e j1t = cos tε (t ) 2()2-15 已知系统的单位冲激响应 h (t ) = sin tε (t ) ，波形如图 2.24（a）所示，激励的波形如习题图 2.24 （b）所示。求零状态响应 y (t ) 。图 2.24【知识点窍】系统的零状态响应可由激励函数和系统的单位冲激响应相卷积得到。 【逻辑推理】利用卷积积分的积微性进行求取冲激响应与激励函数的卷积。 解：将 h (t ) 积分两次，有：h (?1) (t ) = ∫ sin τε (t )dτ = (1 ? cos t )ε (t )t 0h (? 2) (t ) = ∫ (1 ? cosτ )ε (t )dτ = (t ? sin t )ε (t )t 083 将 f (t ) 微分两次，有f ' ' (t ) = δ (t ) ? 2δ (t ? 2π ) + δ (t ? 4π )故得y (t ) = h (t ) ? f (t ) = h ( ?2) (t ) ? f ' ' (t )= (t ? sin t )ε (t ) ? [δ (t ) ? 2δ (t ? 2π ) + δ (t ? 4π )] = (t ? sin t )ε (t ) ? 2[(t ? 2π ) ? sin (t ? 2π )]ε (t ? 2π ) + [(t ? 4π ) ? sin (t ? 4π )]ε (t ? 4π ) y (t ) 的波形如图 2.25 所示。图 2.25 2-16 如图 2.26（a）所示系统，已知 h1 (t ) = δ (t ? 1) ， h2 (t ) = ?2δ (t ? 1) ， f (t ) = sin tε (t ) ， y f (t ) 的图形如图 2.26（b）所示，求 h3 (t ) 。图 2.26【知识点窍】线性系统的性质与零状态响应的卷积求解。 【逻辑推理】线性系统的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积，零状态响应由由冲激响应与激 励函数相卷积求得。 解：求系统的冲激响应 h (t ) 。 因有 f (t ) = sin tε (t ) ，则得到 y f (t ) = sin tε (t ) ? h(t ) ①84 又因有d2 d sin t ε (t ) = cos tε (t ) = δ (t ) ? sin tε (t ) 2 dt dt d2 sin t ε (t ) + sin t ε (t ) dt 2 ②故得 δ (t ) =又因有d 2 y f (t ) dt 2=d2 sin t ε (t ) ? h (t ) dt 2 d 2 y f (t ) dt 2 = sin t ε (t ) ? h (t ) + d2 sin t ε (t ) ? h (t ) dt 2 ③①式＋③式得： y f (t ) +? d2 ? = ?sin tε (t ) + 2 sin t ε (t )? ? h (t ) dt ? ?将②式代入上式，即 y f (t ) +d 2 y f (t ) dt 2= δ (t ) ? h(t ) = h(t )故得 h (t ) = y f (t ) + δ (t ) ? 2δ (t ? 1) + δ (t ? 2 ) 。 h (t ) 的波形如图 2.27 所示 又有 h (t ) = δ (t ) + h1 (t ) ? h1 (t ) + h2 (t ) + h3 (t )= δ (t ) + δ (t ? 1) ? δ (t ? 1) ? 2δ (t ? 1) + h3 (t ) = δ (t ) + δ (t ? 2 ) ? 2δ (t ? 1) + h3 (t )故得 h3 (t ) = h (t ) ? [δ (t ) ? 2δ (t ? 1) + δ (t ? 2)]= y f (t ) + δ (t ) ? 2δ (t ? 1) + δ (t ? 2) ? [δ (t ) ? 2δ (t ? 1) + δ (t ? 2 )] = y f (t )图 2.2785 http://www.benxiao.com第三章 连续时间信号与系统的频域分析３．１ 学习重点 1、 了解函数正交的条件及完备正交函数集的概念。 2、 能用傅立叶级数的定义式、 基本性质求解周期信号的频谱、 频谱宽度，会画频谱图；理 解连续周期信号频谱的特点，相位谱的作用。 3、 能用傅立叶级数的定义式、 基本性质求解非周期信号的频谱，会画频谱图，求信号的频 谱宽度。 4、 掌握常用周期信号的傅立叶变换和非周期信号的傅立叶变换，理解周期信号与非周期信 号之间的关系。 5、 熟练掌握傅里叶变换的性质，并会灵活应用。 6、 理解功率信号与功率谱、 能量信号与能量谱的概念，会在时域和频域两个域中求解功率 信号的功率和能量信号的能量。 7、 熟练利用傅里叶变换对称特性、 部分分式展开法、 傅里叶变换性质和常见信号的傅里叶 变换对，求傅立叶反变换。 8、 深刻理解频域系统函数 H ( jω ) 的定义，物理意义，会求解并应用。 9、 掌握系统零状态响应、 零输入响应和全响应的频域求解方法；连续周期信号响应的频域 分析方法。 10、 理解无失真传输系统，及无失真传输的条件。 11、 理解理想滤波器的定义、 传输特性等。 12、 了解抽样信号的频谱及其求解，理解抽样定理。 13、 了解调制与解调的基本定理与应用。 14、 用 MATLAB 进行连续时间信号与系统的频域分析95 ３．２ 教材习题同步解析 ３．１ 如图 ３．１ 所示信号 f (t ) ，求指数型与三角型傅里叶级数，并画出频谱图。 图 ３．１ 【知识点窍】信号指数型与三角型傅里叶级数的写法，频谱图画法。 【逻辑推理】三角型的傅里叶级数为 f (t ) =a0 + a1 cos ω 0 t + a 2 cos 2ω 0t + L + b1 sin ω 0t + b2 sin 2ω 0t + L 2 ∞ a = 0 + ∑ (a n cos nω 0t + bn sin nω 0t ) 2 n=1式中 a 0 , an , bn 称为傅里叶系数，分别代表了信号 f (t ) 的直流分量，余弦分量和正经弦分量的振荡幅度， 其值分别由下式确定：2 T + t0 f (t )dt T ∫t0 2 T +t0 a n = ∫ f (t ) cos nω 0tdt T t0 2 T + t0 bn = ∫ f (t ) sin nω0 tdt T t0 a0 =信号指数型为： n = 1,2,L n = 1,2, Ljn ω t f (t ) = ∑ Fn e0∞n = ?∞Fn = Fn e j? n 96 1 t0 +T f (t )e ? jnω0 t dt T ∫t0 n = 0,±1,±2, L Fn =解： （１）由图 ３．１（ａ）可知，该信号的解析式为： f (t ) = 1 ?１） 傅里叶系数 1 t T0≤ t ≤T a0 =2 T2 ∫ f (t )dt = T ∫T 0T01 ? 2? 1 2? ? T ? = 1 ?1 ? t ? dt = ?T ? T? 2T ? T ? ?an =2 T 2 T? 1 ? f (t ) cos nω0 tdt = ∫ ? 1 ? t ? cos nω0 tdt ∫ 0 T T 0? T ? 2 T 2 T = ∫ cos nω 0tdt ? 2 ∫ t cos nω0 tdt T 0 T 0 2 sin nω0 t = T nω 0T?02 T2∫T0t d sin nω 0 t nω0T 2 2 ? T = sin nω 0T ? t sin nω0 t 0 ? ∫ sin nω 0tdt ? 2 ? 0 ? ? nω 0T nω 0T ? T d cos nω t 1 2 0 sin 2nπ + 2 ∫0 nπ nω0T ? nω 0 2 T = ? 2 2 2 cos nω 0t 0 = 0 n = 1,2, L n ω0 T =[]T=2π ω0bn =2 T =2 ∫ f (t ) sin nω tdt = T ∫T 0 0T0? 1 ?1? ? T? t ? sin nω0 tdt ?2 T∫T0sin nω 0tdt ?T2 T2∫TT0t sin nω0 tdt2 cos nω 0t = T ? nω 0 2 = nω 0T 2 =?02 T2∫T0t d cos nω 0 t ? nω 0T ?t cos nω t ? cos nω tdt ? 0 0 0 ∫0 ? ? ? ?T d sin nω t 2 2 0 cos 2 nπ ? 2 ∫ 0 nω 0T nω 0T nω0 1 2 1 T = ? 2 2 2 sin nω 0t 0 = nπ n ω 0 T nπ[]n = 1, 2, LT=2π ω0该信号的三角傅里叶级数为 f (t ) =1 ∞ 1 +∑ sin nω 0t 2 n=1 nπ97 其频谱图如图 ３．２（ａ）所示。 An1 2 1 π0 11 2π2 （ａ） 31 3πω Fn1 6π-31 4π-21 π-11 21 π11 4π2 31 6πω 0 （ｂ） 图 ３．２ ２）指数型 Fn =1 T = =∫t0 +Tt0f (t ) e ? jnω0 t dt =1 T ? 1 ? ? jnω 0t 1 T 1 dt = ∫ e? jnω0t dt ? 2 ?1? t ? e ∫ 0 0 T ? T ? T T∫T0te? jnω0 t dt1 1 ?e ? jnω0 t T ? ? ? 0 ? ? ? ? jnω0T ? jnω0T 2∫T0tde? jnω0 tT ? jn ω t 1 1 1 ? ? jnω0 t T ? jnω T e 0 + + te ? ∫ e 0 dt ? 2 ? 0 0 ? ? ? jnω0T jnω0T jnω0T ?1 1 1 = e ? jnω0 T + + ? jnω0T jnω0T jnω0T 2 = = 1 1 ? jnω T + 2 2 2 2? e 0 ? jnω0T j n ω0 T 1 j 2 nπ? ? jnω0 T T ? 1 ? e ? jnω0 t ? ?Te 0 ? jnω0 ? ? 1 1 ? j 2 nπ ? ? 1? ? = j 2nπ + n 2π 2 ? ?1 ? e ?() n = ±1, ±2,LF0 = 1 T∫ f (t ) dt = T ∫0T1T0? 1 ?1? ? T1 ? t ? dt = 2 ?该信号的指数型傅里叶级数为 f (t ) =n = ?∞∑∞1 jn ω t e 0 j 2nπ98 其频谱图如图 ３．２（ｂ）所示。 （２）由图 ３．１（ｂ）可知，其周期为 T = 2π ，其频 ω 0 = 1 ，信号的解析式为： ? cos t ? ? f (t ) = ? ?0 ? ??π π ≤t ≤ 2 2 π 3π ≤t≤ 2 2１）由图可知，该函数为偶函数，故 bn = 0 。由题可傅里叶系数为 2 a0 = T an =∫π 2 π ? 2 π4 cos tdt = T∫π 20cos tdt =4 2 = T π cos t cos ntdt 2 2 4 π cos t cos nω 0 tdt = ∫ T ?2 T =π 2 0∫π 202 [cos (n + 1)t + cos(n ? 1)t ]dt T∫ 2? 1 π 1 π ? 2 nπ = ? sin + sin cos ?= ? 2 T ?n + 1 2(n + 1) n ? 1 2(n ? 1) ? n ?1π 2()n = 1,2,L该信号的三角傅里叶级数为 f (t ) =其频谱图如图 ３．３（ａ）所示。 ２）指数型 1 ∞ 2 nπ +∑ 2 cos sin nt π n=1 n ? 1 π 2()Fn =1 T∫π 2 π ? 2f (t ) e ? jnω0 t dt =2 2 2 cos te ? jnt dt = ∫ T 0 Tπ∫ 2 (e0π 21? jt+ e jt ) e? jnt dt 1 ? j n ?1 t + e ( ) ? j ( n ? 1) Tπ π 2 01 π 1 ? j n +1 t ? j n ?1 t ? j n +1 t = ∫ 2 ?e ( ) + e ( ) ? dt = e ( ) ? ? 0 T ? j ( n + 1) T =ππ 2 0 ? j ( n +1 ) ? j (n ?1 ) 1 1 1 1 2 2 e + + e + ? j ( n + 1) T j ( n + 1) T ? j ( n ?1) T j ( n ? 1) Tn = 0, ±1, ±2,Ljn ω t f (t ) = ∑ Fn e0∞n = ?∞其频谱图如图 ３．３（ｂ）所示。 99 An1 π11 2 2 3π202 ? 15π（ａ） 462 35π ω Fn1 35π-6 -41 3π ? 1 15π-21 4-11 π1 41 21 3π 1 ? 15π41 35π6ω 0（ｂ） 图 ３．３ （3）由图 3.1（c ）所示，方波信号在一个周期内的解析式为?E ? ? f (t ) = ? 2 ? ?E ? ? 2分别求得傅里叶系数?T 2 ≤ t & 0 0≤ t ≤T 2an =2 0 ?E? 2 T2 ? E ? cos n ω tdt + ? ? ? ? ? cos nω 0tdt T 0 T ∫? 2 ? 2 ? T ∫0 ? 2 ? E T 2 (sin nω0 t ) 0 = ? (sin nω 0t ) 0 = 0 ?T 2 nω 0T[ []bn =2 T E? ?E? 2? sin n ω tdt + ? ? ? ? ? sin nω 0 tdt 0 ∫? T2 ? 2 ? ∫ T 0 ? 2? E T 2 = (? cos nω 0t ) 0 + (cos nω 0t ) 0 ?T 2 nω 0T E = [2 cos(nπ ) ? 2] 2πn 2 T0]100 即? 2E ?? bn = ? nπ ? ?0故得信号的傅里叶级数展开式为n为奇数 n为偶数f (t ) = ?2E ? 1 1 1 ? ? sin ω 0t + sin 3ω 0t + sin 5ω 0t + L + sin nω0 t + L? π ? 3 5 n ? n = 1,3,5, L它只含有 1、3、5、……等奇次谐波分量。其频谱图如图 3.4（a）所示。 ２）指数型 1 Fn = T2 T ? E ? ? jnω0 t ? E? e dt + ∫ 2 ? ? ? e ? jnω0 t dt ? ∫?T2 ? 0 T ? 2? ?2? T 2 E ? ? jnω0 t 0 ? = e ? e ? jnω0 t ? ? ? T 2 0 ? -jnω0T ?0()()E = -jnω0T =其指数型表达式为 jnω 0T jnω0T ? ? ? 2 2 1 ? e ? e + 1? ? ? ? E [ 2 ? 2cos nπ ] -j2π nf (t ) =其频谱图如图 ３．４（ｂ）所示。 E [ 2 ? 2cos nπ ]e jnω 0t n = ? ∞ ? j 2π n∑∞An2E π2E 3π2E 5π52E 7πω0 1 3 7 （ａ） 101 E π E 7π E 5π E 3πFnE π E 3πE 5π5E 7π7ω 013（ｂ） 图 ３．４ （３）由图 ３．１（ｄ）所示，该函数为奇谐函数，其只含有基波和奇次谐波的正弦、余弦项，而不包含偶次 谐波项，级数中的系统分别为 a0 = 0 an = bn = 0 n为偶数 n 为奇数时， an = 4 22 t cos nω0tdt ∫ T ∫0 T T T ? 8 ? 2 2 = 2 ?t sin nω0t 0 ? ∫0 sin nω0tdt ? T nω0 ? ? T 4 8 2 = sin nπ + 2 2 2 cos nω0t 0 Tnω0 T n ω0 f ( t ) cos nω0tdt = =? 16 4 =? 2 2 2 2 T n ω0 nπ2 T T4 TT 2 0Tbn =4 2 4 2 f ( t ) sin nω0tdt = ∫ 2 t sin nω0tdt ∫ T 0 T 0 T T T ? ?8 ? 2 2 = 2 ?t cos nω0t 0 ? ∫0 cos nω0tdt ? T nω0 ? ? T ?4 8 = cos nπ + 2 2 2 sin nω0t 02 Tnω0 T n ω0 = ?4 8 2 cos nπ + 2 2 2 sin nπ = Tnω0 T n ω0 nπ 102 An = an + bn222 2 ? ? 2 ? ?? 2 ? = ? ? ?? ? + 1? ? nπ ? ? ? ?? nπ ? ? =故得信号的傅里叶级数展开式为2 2 2 4+n π 2 nπ2n = 1,3,5, Lf (t ) = ?4 ? 1 1 ? cos ω0t + cos3ω0t + cos5ω0t + L ? 2 ? π ? 9 25 ?2? 1 1 ? + ? sin ω0t + sin3ω0t + sin5ω0t + L ? π? 3 5 ?其频谱图如图 ３．５ 所示。 An2 2 π 42 + π 2 2 9π 42 + 9π 2 2 2 25π542 + 25π 2ω0 1 3 图 ３．５ ３．２ 已知某 ＬＴＩ 系统的单位冲激响应为 h (t ) = e ?4t ε (t ) ，对下列输入信号，求输出响应 y (t ) 的傅里叶级数 表示式。 （１） f (t ) = cos 2πt （２） f (t ) = δ (t ? t 0 ) 【知识点窍】主要考察 ＬＴＩ 系统的系统频率特性 【逻辑推理】输出响应的傅里叶变换为激励的傅里叶变换与系统频率特性乘积，而系统频率特性就是 系统的单位冲激响}
牛顿拉夫森NewtonRaphson迭代法 §3.4 牛顿迭代法牛顿迭代法也称为牛顿-拉夫森(Newton-Raphson)迭代法，它是数值分析中最重要的方法之一，它不仅适用于方程或方程组的求解，还常用于微分方程和积分方程求解。3.4.1 牛顿迭代法用迭代法解非线性方程时，如何构造迭代函数是非常重要的，那么怎样构造的迭代函数才能保证迭代法收敛呢？牛顿迭代法就是常用的方法之一，其迭代格式的来源大概有以下几种方式：1 设 ],[)(2baCxf?，对 )(xf在点 ],[0ba?作泰勒展开： !2)(')(' 00xfxf ??????略去二次项，得到 )(f的线性近似式： '?。由此得到方程 x0 的近似根(假定 ?)('0xf0)， )('00xf?即可构造出迭代格式(假定 )'kf0)： ')(1kkf??公式(3.4.1)这就是牛顿迭代公式，若得到的序列{ k}收敛于 ?，则 就是非线性方程的根。2 牛顿迭代法也称为牛顿切线法，这是由于 )(xf的线性化近似函数 )(xl＝ )('00xff??是曲线 y＝)(xf过点 ,0的切线而得名的，求 f的零点代之以求 l的零点，即切线 )(l与 轴交点的横坐标，如右图所示，这就是牛顿切线法的几何解释。实际上，牛顿迭代法也可以从几何意义上推出。利用牛顿迭代公式，由 kx得到1?kx，从几何图形上看，就是过点 )(,kxf作函数 )(xf的切线 kl，切线 kl与 轴的交点就是 k，所以有 1)()('???kkxff，整理后也能得出牛顿迭代公式： )('kkxf??。3 要保证迭代法收敛，不管非线性方程 0 的形式如何，总可以构造：)(x?)?作为方程求解的迭代函数。因为： (')('1' xff而且 )('x?在根 ?附近越小，其局部收敛速度越快，故可令： 0???若 ?'f0(即根 不是 ?)(xf0 的重根)，则由 )('得： )('1fk，因此可令 )('1xfk?，则也可以得出迭代公式： )('1kkxfx???。4 迭代法的基本思想是将方程 0)(f改写成等价的迭代形式 ?，但随之而来的问题却是迭代公式不一定收敛，或者收敛的速度较慢。运用前述加速技巧，对于简单迭代过程 )(1nnfx?，其加速公式具有形式： ????1)(nx)(11nx????，其中 )(1nnx??记 ??L，上面两式可以合并写成： Lfn?这种迭代公式称作简单的牛顿公式，其相应的迭代函数是： Lfx)()(??。需要注意的是，由于 L是 )('x?的估计值，若取 ?，则 '实际上便是)('xf的估计值。假设 0'?f，则可以用 )('xf代替上式中的 ，就可得到牛顿法的迭代公式： )('1nn???。牛顿迭代法实质上是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方程逐步归结为某种线性方程来求解。3.4.2 牛顿迭代法的收敛性牛顿迭代公式可以看成是由 )(')(xf???而获得的不动点迭代格式。这样就可以应用不动点迭代的收敛原则，只须证明在根 ?附近的迭代函数是一个压缩映象。由于： 22)]('[")]('["'1)(' fxffx???，这里的根 ?是单根，即 0?且 '?，于是：0)]('[")(' 2???f。那么由 )('的连续性可知，存在一个邻域 ,(????，对这个邻域内的一切 x，有：qx?'?，其中 O＜ ＜1，因此 )x?为区间 )上的一个压缩映象，于是有以下结论：定理 3.4.1 设 ],[(2baCf?， *是 0(?xf的精确解，且 0*)('?f，则存在*的 ?邻域 )*,(???x，对于任何迭代初值 ),????，迭代序列 }{nx收敛于 x。牛顿迭代法具有较高的收敛速度，它的收敛阶数为 p＝2；而牛顿迭代法的局部收敛性较强，只有初值充分地接近 ，才能确保迭代序列的收敛性。为了放宽对局部收敛性的限制，必须再增加条件建立以下收敛的充分条件。定理 3.4.2 设 ],[)(2baCxf?，且满足：在区间 ],[ba上，⑴ 0)(?baf；⑵ 0)('?f；⑶ "不变号；⑷ ,，满足条件： 0)("0?xf则牛顿迭代序列 }{nx，单调地收敛于方程 0)(?xf的唯一解 *x。由条件⑴至条件⑷可归结为四种情形：① 0)(?af， )(?bf， 'f， "?；② ， ， )(， )(?f；③ ， ， 0'x， x；④ )(f， )(f， f， 。对定理的几何意义作如下说明：条件⑴保证了根的存在性；条件⑵表明函数单调变化，在区间 ],[ba内有惟一的根；条件⑶表示函数图形在区间 ],[ba上的凹向不变。条件⑶和条件⑷一起保证了每一次迭代值都界于区间 ],[ba内。在不满足上述收敛充分条件时，有可能导致迭代值远离所求根的情况或死循环的情况(如下图所示)。【例 3.4.1】对于给定的正数 a，用牛顿法建立求平方根的收敛迭代公式。解 令 xf??2)(，( ＞0)，则 0)(?xf的正根就是 a。用牛顿法求解的迭代公式是：)(211 nnn x???， 公式(3.4.2)由于当 ＞0 时， f)('＞0， )('f＞0，故由收敛定理可知，对于任意满足条件 ax?0的初始近似值，由选代公式所产生的序列必定收敛于平方根 a。公式(3.4.2)是计算平方根的准确而有效的计算方法。3.4.3 牛顿迭代法的变形用牛顿法解方程，虽然在单根附近具有较快的收敛速度，但它有个明显的缺点，就是每次都要计算导数 )('xf，当 )(f比较复杂时，计算 )('xf可能很困难。下面介绍两种克服这种困难的方法，另外还介绍一种扩大牛顿迭代法初值选择范围的方法，它们统称为变形的牛顿迭代法。1 简化牛顿法为避免频繁地计算导数值 )('xf，可将它取为固定值，比如在牛顿迭代公式中用 )('0xf代替 )('nxf，即在迭代过程中始终保持分母不变，则有简化牛顿迭代公式(或固定斜率切线法)： '01fn???公式(3.4.3)其几何意义如下图所示，这时除第一次迭代仍为曲线的切线外，其余皆为该切线的平行线。简化牛顿法避免了每次计算导数值。更一般地，若取 Lxfn?)(',则迭代公式成为：Lfxnn)(1???，称为推广的简化切线法。这时 L值应满足下式： 1)(')(' ?xf?满足上式的 L为：2)('0?xf，可见当 L与 'f同号且满足上述不等式时，推广的简化切线法是收敛的。该迭代形式在参数法里也曾得到过。2 由牛顿法的收敛性定理知，牛顿法对初始值的选取要求是很高的。一般地说，牛顿法只有局部收敛性。当初始值取得离根太远时，迭代将不收敛，而一旦初始值进入收敛域内，牛顿法就有平方收敛的速度，为了扬长避短，扩大初始值选取的范围，下面介绍牛顿法的一种改进——牛顿下山法。将牛顿法的迭代公式修改为： )('1nnxfx????公式(3.4.3)其中， ?是一个参数， ?的选取应使 )(f＜ 成立，当 )(1?nxf＜ ?或 nx??1＜2?，就停止迭代，且取 1*??n，其中 1?， 2为事先给定的精度， 称为残量精确度，为根的误差限；否则再减 ，继续迭代。按上述迭代过程计算，实际上得到了一个以零为下界的严格单调下降的函数值序列，这个方法就称为牛顿下山法。 ?称为下山因子，要求满足0＜ ?1?， ??称为下山因子下界，为了方便，一般开始时可简单地取 1?，然后逐步分半减小，即可选取 ?， 21， ，…， ???，且使 )(1?nxf＜ )(nf成立。牛顿下山法计算步骤可归纳如下：⑴ 选取初始近似值 0x；⑵ 取下山因子 1??；⑶ 计算 1?n， )('nnf??⑷ 计算 )(xf，并比较 1?与 nxf的大小，分以下两种情况：① 若 1?n＜ (nf，则当 ＜ 2?时，则就取 1*??nx，计算过程结束；当nx??1＞ 2?时，则把 1?作为新的 n值，并重复回到⑶。②若 )(1?nf?)(nxf，则当 ??且 )(1?nxf＜ ，就取 n，计算过程结束；否则，若 ??，而 1??时，则把 加上一个适当选定的小正数，即取 ??1nx作为新的 nx值，并转向⑶重复计算；当 ??，且 )(1?nf??时，则将下山因子缩小一半，并转向⑶重复计算。牛顿下山法不但放宽了初值的选取，且有时对某一初值，虽然用牛顿法不收敛，但用牛顿下山法却有可能收敛。一般来说，牛顿下山法不再有平方收敛速度，它的优点在于可能将原来收敛域以外的初始值，经过几次迭代后拉入收敛域内。例如，已知方程 1)(3??xf＝0 的一个根为 ?*x1.32472，若取初值 0x＝0.6，用牛顿法计算得到的第一次近似值 9.7反而比 0更偏离根。若改用牛顿下山法，当取下山因子 521??时，可得 46.1x，修正后的迭代序列收敛。（沈建华 P138）（史万明 P48）3.4.4 弦截法1 单点弦截法为避免牛顿迭代法中导数的计算，可用平均变化率： 0)(xffn?来近似代替 )('nxf，于是得到如下迭代公式： )()()0001 fxfxff nnnn ?????公式(3.4.4)称为单点弦截法。单点弦截法具有明显的几何意义，它是用联结点 A( ， y)与点 B( nx， y)的直线，代替曲线求取与横轴交点作为近似值 1?的方法，以后再过( 0x， y)与( 1?nx， )两点，作直线求取与横轴的交点作为 2，等等。其中 ( 0x， y)是一个固定点，称为不动点，另一点则不断更换，故名单点弦截法。可以证明，单点弦截法具有收敛的阶 r＝1，即具有线性收敛速度。2 双点弦截法若把单点弦截法中的不动点( 0x， y)改为变动点( 1?nx， y)，则得到下面的双点弦截法的迭代公式：)())())( 1111 ???? ??? nnnnnn xffxxfxfx 公式(3.4.5)用弦截法求根的近似值，在几何上相当于过点( k， k)，和点( kx， )(kf)作弦，然后用弦与 轴的交点的横坐标 1?k作为 *的新的近似值。由于在双点弦截法中，构造的迭代公式在计算新的近似值 x时，不仅用到点 kx上的函数值 kxf，而且还用到点 1?k及其函数值，这就有可能提高迭代法的收敛速度。与牛顿法一样，如果函数 )(fy?在其根 *x附近具有直到二阶的连续导数，且 0'?，则弦截法具有局部收敛性，即当初始近似值充分接近于 时，按双点弦截法迭代公式得到的迭代序列收敛于根 。可以证明弦截法具有超线性收速度，且收敛阶数为P＝1.618。双点弦截法迭代公式与前面介绍的单点迭代法有明显的不同，就是在计算 1?nx时要用到前两步的计算结果 nx、 1?，所以在使用迭代公式前，必须先给出两个初始值 0、 ，因此，这种迭代法也称两步法，而单点迭代法称为一步法。
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中科院研究生院硕士研究生入学考试《信号与系统》文都考研纲
本《信号与系统》文都考研纲适用于中国科学院研究生院信号与信息处理等专业的硕士研究生入学考试。信号与系统是电子通信、控制科学与工程等许多学科专业的基础理论课程，它主要研究信号与系统理论的基本概念和基本分析方法。认识如何建立信号与系统的数学模型，通过时间域与变换域的数学分析对系统本身和系统输出信号进行求解与分析，对所得结果给以物理解释、赋予物理意义。要求考生熟练掌握《信号与系统》课程的基本概念与基本运算，并能加以灵活应用。
一、考试内容
（一）概论
1.信号的定义及其分类；
2.信号的运算；
3.系统的定义与分类；
4.线性时不变系统的定义及特征；
5.系统分析方法。
（二）连续时间系统的时域分析
1.微分方程的建立与求解；
2.零输入响应与零状态响应的定义和求解；
3.冲激响应与阶跃响应；
4.卷积的定义，性质，计算等。
（三）傅里叶变换
1.周期信号的傅里叶级数和典型周期信号频谱；
2.傅里叶变换及典型非周期信号的频谱密度函数；
3.傅里叶变换的性质与运算；
4.周期信号的傅里叶变换；
5.抽样定理；抽样信号的傅里叶变换；&
6.能量信号，功率信号，相关等基本概念；以及能量谱，功率谱，维纳－欣钦公式。
（四）拉普拉斯变换
1.拉普拉斯变换及逆变换；
2.拉普拉斯变换的性质与运算；
3.线性系统拉普拉斯变换求解；
4.系统函数与冲激响应；
5.周期信号与抽样信号的拉普拉斯变换；
（五）S域分析、极点与零点
1.系统零、极点分布与其时域特征的关系；
2.自由响应与强迫响应，暂态响应与稳态响应和零、极点的关系；
3.系统零、极点分布与系统的频率响应；
4.系统稳定性的定义与判断。
（六）连续时间系统的傅里叶分析
1.周期、非周期信号激励下的系统响应；
2.无失真传输；
3.理想低通滤波器；
4.佩利－维纳准则；
5.希尔伯特变换；
6.调制与解调。
（七）离散时间系统的时域分析
1.离散时间信号的分类与运算；
2.离散时间系统的数学模型及求解；
3.单位样值响应；
4.离散卷积和的定义，性质与运算等。
（八）离散时间信号与系统的Z变换分析
1.Z变换的定义与收敛域；
2.典型序列的Z变换；逆Z变换；
3.Z变换的性质；
4.Z变换与拉普拉斯变换的关系；
5.差分方程的Z变换求解；
6.离散系统的系统函数；
7.离散系统的频率响应；
8.数字滤波器的基本原理与构成。
（九）系统的状态方程分析
1.系统状态方程的建立与求解；
2.&S域流图的建立、求解与性能分析；
3.&Z域流图的建立、求解与性能分析；
点击下载：中科院研究生院2013年《信号与系统》考研大纲
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信号与系统(第二版)余成波主编清华大学出版社课后习题答案
http://www.benxiao.com 第一章 信号与系统的基本概念 １．１ 学习重点 1、 信号与系统的基本概念，信号的分类，会画信号的波形。 2、 常用基本信号 （连续时间信号和离散时间信号） 的时域描述方法、 特点以及性质， 并会灵活运用性质。 3、 信号的时域分解、 变换与时域运算，及其综合运用。 4、 深刻理解线性时不变系统的定义与性质，并会应用这些性质。 5、 利用 MATLAB 表示信号、 实现信号的基本运算。１．２ 教材习题同步解析 1.1 下列信号中哪些是周期信号，哪些是脉冲信号？哪些是能量信号，它们的能量各为多少？哪些 是功率信号，它们的平均功率各为多少？ （1） ε (t ) （3） （2） ε (t ) ? ε (t ? 1) （4） 3 cos (ω 0t + θ ) （6） e ? at cos ω 0 tε (t ) （8） cos1 ε (t ) 1+ t（5） 3e j (ω 0 +θ ) （7） 3t ε (t )ω 0t ωt + sin 0 4 5【 知识点窍】 本题考察周期信号、 脉冲信号、 能量信号、 功率信号的概念 【 逻辑推理】 时间间隔无穷大时， 周期信号都是功率信号，只存在有限时间内的信号是能量信 号。信号总能量为有限值而信号平均功率为零的是能量信号；信号平均功率为有限值而信号总能量 为无限大的是功率信号。 解： （1） ε (t ) 是功率信号，其平均功率：1 P = limE =∞ 1 T → ∞ 2T1 ∫ [ε (t )] dt = 2 T 2 ?T（2） ε (t ) ? ε (t ? 1) 是脉冲信号，其为能量信号，能量为：E = lim[ε (t ) ? ε (t ? 1)]2 dt = ∫0 [ε (t ) ? ε (t ? 1)]2 dt =1 T →∞ ∫?TT 1P=0（3）1 ε (t ) 是能量信号，其能量为： 1+ tE = lim∞? 1 ? 1 ? ? ε ( t ) dt = ε (t )? dt =1 ∫ ∫ ? 0 ?1 + t T →∞ ?T ?1 + t ? ? ? ? T221 P = lim T → ∞ 2T? 1 ? ε (t )? dt = 0 ∫?T ? ?1 + t ?T2（4） 3 cos (ω 0t + θ ) 是功率信号，其平均功率为：P = lim1 T → ∞ 2T2 ∫?T [3 cos (ω0 t + θ )] dt = Tlim →∞ T1 2T2∫T?T9cos 2(ω0 t + θ ) + 1 1 9 9 dt = lim ? ? 2T = T → ∞ 2 2T 2 22 0E = limT →∞ ?T∫ [3 cos(ω t + θ )] dt =∫ [3 cos (ω t + θ )] dt =∞T ∞ 0 ?∞（5） 3e j (ω 0 +θ ) 为功率信号，其平均功率为：P = 9e 2 j (ω0 +θ ) E = limT →∞ ?T( ∫ [3eTj ω 0 +θ ) 2] dt = lim 9eT→∞2 j (ω 0 +θ )2T = ∞（6） e ? at cos ω 0 tε (t ) 为能量信号，其能量为：E = limT →∞ ?T∫ [eT? atcos ω 0t ε (t ) dt = lim]2T →∞ 0∫Te ? 2at cos 2 ω0 tdt 12 ? ω0 ? 4a ?1 ? 2 ? a= limT →∞ 0∫Te ? 2atcos 2ω 0t + 1 1 dt = + 2 4a? ? ? ?P=0（7） 3t ε (t ) 既非能量信号又非功率信号，因其：P = lim1 T → ∞ 2T∫ [3tε (t )] dt = ∞T 2 ?T2 E = lim（8） cosT →∞ ?T∫ [3tε (t )] dt = ∫ [3tε (t )] dt =∞ T 2 ∞ 2 0ω 0t ωt + sin 0 为功率信号，其平均功率为 4 51 P = lim T → ∞ 2T ω t? ? ω 0t cos + sin 0 ? dt ∫?T ? 4 5 ? ? ωt ωt ω t? 1 T ? 2 ω0 t = lim cos + 2 cos 0 sin 0 + sin 2 0 ? dt ∫ ? T →∞ 2T ?T 4 4 5 5 ? ?T 22ω t ? ? 1 ? cos 0 ? ? 1 cos ω0 t + 1 9ω 0t ω t 5 dt = lim + sin ? sin 0 + ? ? ∫ ? T T →∞ 2T 2 20 20 2 ? ? ? ? ? ?T1 1 ? 1 1 ? = lim ? ? ? 2T + ? ? 2T ? T →∞ 2T 2 2T 2 ? ? =1E =∞1.2试画出下列各函数式表示的信号的波形。 （1） cos ωtε (t ) （3） cos[ω (t ? t 0 )]ε (t ) （5） ε (t 0 ? t ) （2） cos ωt ε (t ? t 0 )t0 & 0 t0 & 0t0 & 0（4） cos[ω (t ? t 0 )]ε (t ? t 0 ) （6） ε (t 0 ? 2t ) （8） ε [sin πt ] （10） 2 ?( n? 2) ε [n ? 2] （12） sin ? πn ?t0 & 0t0 & 0（7） ε (t 0 ? 2t ) ? ε (? t 0 ? 2t ) t 0 & 0 （9） 2 ?n ε [n ] （11） ? nε [n + 2]?1 ?5? ?【知识点窍】本题考察基本信号的绘制及自变量变换导致信号变换的概念 【逻辑推理】本题用到了基本信号的性质及信号的时域运算与变换。 解： （1） cos ωtε (t ) 函数式的信号的波形如图 1.1（c ）所示. 。 （2） cos ωt ε (t ? t 0 )t 0 & 0 函数式的信号的波形如图 1.2（b）所示. 。3 cos ωt1 … …?5π 2ω?3π 2ω?π 2ω-1π 2ω（a）3π 2ω5π 2ωtcos ωtε (t )1ε (t )1…π 2ω3π 2ω5π 2ωtt（b）-1 （c ） 图 1.1cos ωtε (t ? t 0 )1ε (t ? t 0 )1…t0 t0（a） 图 1.2π 2ωt-13π 2ω5π 2ωt（b）（3） cos[ω (t ? t 0 )]ε (t )t 0 & 0 函数式的信号的波形如图 1.3（b）所示. 。 t 0 & 0 函数式的信号的波形如图 1.4 所示. 。（4） cos[ω (t ? t 0 )]ε (t ? t 0 )4 cos ω (t ? t 0 )1 … …t0-1 （a）tcos [ω (t ? t 0 )]ε (t )1 …t0-1t（b） 图 1.3cos ω (t ? t 0 )1 …t0-1t图 1.4 （5） ε (t 0 ? t ) （6） ε (t 0 ? 2t )t 0 & 0 函数式的信号的波形如图 1.5（b）所示. 。 t 0 & 0 函数式的信号的波形如图 1.6 所示. 。5 ε (t + t 0 )1ε (t 0 ? t )1? t0（a）tt0（b） 图 1.5tε (t 0 ? 2t )1t0 2图 1.6t（7） ε (t 0 ? 2t ) ? ε (? t 0 ? 2t ) t 0 & 0 函数式的信号的波形如图 1.7（c ）所示. 。ε (? t 0 ? t )1ε (? t 0 ? 2t )1? t0（a）tt ?0 2（b）tε (t 0 ? 2t ) ? ε (? t0 ? 2t )1t ?0 2t0 2（c ） 图 1.76t （8） ε [sin πt ] 函数式的信号的波形如图 1.8（b）所示. 。sin πt1 … -2 -1 -1 （a） 1 2 3 …tε [sin π t ]1 … -2 -1 1 2 3 …t（b） 图 1.8 （9） 2 ?n ε [n ] 函数式的信号的波形如图 1.9（c ）所示. 。ε [n]1 0 1 … 2 12?n-1n-1 （a） 0 1 2…n（b）2 ?n ε [n ]1 … -1 0 1 2 （c ）7n 图 1.9 （10） 2 ?( n? 2) ε [n ? 2] 函数式的信号的波形如图 1.10 所示. 。2?( n?2) ε[n ?2]1 … -1 0 1 2 3n图 1.10 （11） ? nε [n + 2] 函数式的信号的波形如图 1.11 （c ）所示. 。?n… -11 0 1 2 … -2 -1ε [n + 2]n1 0 1… 2n（a）（b）? nε [n + 2]1 -1 0 1 2 …n（c ） 图 1.11 （12） sin ? πn ? 函数式的信号的波形如图 1.12 所示. 。?1 ?5? ?8 ?n… 1 0 2 … 1-1n图 1.12 1.3 试写出图 1.13 所示各信号的表达式。（a）图 1.13（b）【知识点窍】本题考察信号的概念。 【逻辑推理】本题用到了基本信号的性质及描述。 解： （a）由图 1.13（a）可得：?t ? 1 ? f (t ) = ?1 ?0 ?（b）由图 1.13（b）可得：1≤ t ≤ 2 2 &t ≤ 4 其它?t 2 0≤ t ≤ 2 ? f (t ) = ?2t ? 8 2&t ≤ 4 ?0 其它 ?1.4 已知信号 f (t ) 的波形如图 1.14 所示。试画出下列各信号的波形。 （1） f (2t ) （3） f (t ? 3) （2） f (t )ε (t ) （4） f (t ? 3)ε (t ? 3)9 （5） f (t + 2 ) （7） f (2 ? t )ε (2 ? t ) （9） f (t ? 1)[ε (t ) ? ε (t ? 2)]（6） f (2 ? t ) （8） f (? 2 ? t )ε (? t )图 1.14【知识点窍】本题考察信号的绘制及自变量变换导致信号变换的概念 【逻辑推理】本题用到信号的时域运算与变换。 解： （1） f (2t ) 信号的波形如图 1.15 所示。 （2） f (t )ε (t ) 信号的波形如图 1.16 所示。f (2t )1f (t )ε (t )1-101t-101t图 1.15 （3） f (t ? 3) 信号的波形如图 1.17 所示。 （4） f (t ? 3)ε (t ? 3) 信号的波形如图 1.18 所示。图 1.16f (t ? 3)1f (t ? 3)ε (t ? 3)1012345t012345t图 1.1710图 1.18 （5） f (t + 2 ) 信号的波形如图 1.19 所示。 （6） f (2 ? t ) 信号的波形如图 1.20 所示。 （7） f (2 ? t )ε (2 ? t ) 信号的波形如图 1.21 所示。 （8） f (? 2 ? t )ε (? t ) 信号的波形如图 1.22 所示。 （9） f (t ? 1)[ε (t ) ? ε (t ? 2)] 信号的波形如图 1.23 所示。f (t + 2 )1f (2 ? t )1-4-3-2-1 0t012345t图 1.19图 1.20ε (t + 2 )1ε (2 ? t )1-2-10t012t（a）（b）f (2 ? t )ε (2 ? t )1012345t（c）图 1.2111 ε (? t )1f (t ? 2 )10t0123（b）45t（a）f (? 2 ? t )1f (? 2 ? t )ε (? t )1-4-3-2-101t-4-3-2-101t（c） （d）图 1.22f (t ? 1)1f (t ? 1)ε (t )1-10123t-10123t（a）（b）f (t ? 1)ε (t ? 2)1f (t ? 1)[ε (t ) ? ε (t ? 2 )]1-10123t-10123t（c）（d）图 1.2312 图 1.24 1.5 已知信号 f (5 ? 2t ) 的波形如图 1.24 所示，试画出 f (t ) 的波形图，并加以标注。 【知识点窍】本题考察信号的简单处理。 【逻辑推理】在信号的简单处理中常有综合时移、折叠与展缩，可以针对相应波形分步处理。 通常，在处理与本题相同情况，采用展缩、折叠、时移顺序比较好。 解： f (5 ? 2t ) 是将 f (t ) 经过时移、折叠、展缩三种变换后得到的。三种变换的次序是可以任意 的，故一共有六种途径。下面用介绍其中四种方法求解。在求解过程中要特别注意冲激函数的展缩 变换。 方法一：时移→折叠→展缩5 ? ? f (5 ? 2t ) = f ? ? 2(t ? ) ? 2 ? ?折叠左时移5 25 5 ? ? f ? ? 2(t ? + ) ? = f (? 2t ) = f [2(? t )] 2 2 ? ?f (2t )展宽 1 倍1 ? ? f ? 2 × t ? = f (t ) 2 ? ?其波形依次如图 1.25（a） （b） （c ）所示。（a）（b） 图 1.25（c ）方法二：折叠→时移→展缩13 f (5 ? 2t )展宽 1 倍折叠? ? 5 ?? f (5 + 2t ) = f ? 2? t + ?? ? ? 2 ??右时移5 2? ? 5 5 ?? f ? 2? t + ? ? ? = f (2t ) ? ? 2 2 ??1 ? ? f ? 2 × t ? = f (t ) 2 ? ?其波形依次如图 1.26（a） （b） （c ）所示。（a）（b） 图 1.26（c ）方法三：展缩→折叠→时移f (5 ? 2t )展宽 1 倍1 ? ? f ? 5 ? 2 × t ? = f (5 ? t ) 2 ? ?折叠f (5 + t ) = f (t + 5) 右时移 5f (t )其波形依次如图 1.27（a） （b） （c ）所示。图 1.27 方法四：时移→展缩→折叠14 5 5 ? 左时移 ? 2 f (5 ? 2t ) = f ? ? 2(t ? ) ? 2 ? ?展宽 1 倍 5 5 ? ? f ? ? 2(t ? + ) ? = f (? 2t ) 2 2 ? ?1 ? 折叠 ? f ? ? 2 × t ? = f (? t ) 2 ? ?f (t )其波形依次如图 1.28（a） （b） （c ）所示。 由此可知，通常在求解时选择方法三为好。图 1.28 1.6 （1）已知离散时间信号 f [n] 如图 1.29（a）所示，试画出下列各信号的波形图，并加以标注。 （a） f [4 ? n] （b） f [2n + 1]? ?n ? ? f ? , n为3的倍数 （c ） f [n] = ? ? ? 3? ?0, n为其它 ?（2）对图 1.29（b）所示的信号 h (n ) ，试画出下列各信号的波形，并加以标注。 （a） h[2 ? n] （b） h[n + 2] （c ） h[n + 2] + h[? n ? 1]图 1.29【知识点窍】本题考察离散信号自变量变换导致信号变换的概念 【逻辑推理】本题用到离散信号的时域运算与变换。包括有时移、折叠、尺度变换（内插零和15 抽取） 。 解： （1） （a） f [4 ? n] 信号波形图如图 1.30（b）所示。f [n + 4]1f [4 ? n]11 2-5 -4 -3 -2 -1 0n1 20 1 2 3 4 5n（a） 图 1.30 （b） f [2n + 1] 信号波形图如图 1.31 所示。（b）f [2n + 1]-2-1 0123n图 1.31? ?n ? ? f ? , n为3的倍数 （c ） f [n] = ? ? 信号波形图如图 1.32 所示。 ? 3? ?0, n为其它 ?f [n]-3-101234912n如图 1.32 （2） （a） h[2 ? n] 信号波形图如图 1.33 所示。16 h[2 ? n]-206n图 1.33 （b） h[n + 2] 信号波形图如图 1.34 所示。h[n + 2]-62n图 1.34 （c ） h[n + 2] + h[? n ? 1] 信号波形图如图 1.35（c ）所示。h[n ? 1]h[? n ? 1]-35n-53n（a）（b）17 h[n + 2] + h[? n ? 1]1 2-6 3n（c ） 图 1.35 1.7 判断下列各信号是否是周期信号，如果是周期信号，求出它的基波周期。 （1） f (t ) = 2 cos 3t + π （3） f (t ) = e j(πt ?1) （5） f [n] =∞(4)（2） f [n] = cos 8πn （4） f [n] = ej n 8 ?π(7+2)()∑ [δ (n ? 3m) ? δ (n ? 1 ? 3m )]m= 0（6） f (n) = 2 cos?? πn ? ? πn ? ? πn π ? ? + sin ? ? ? 2 sin ? + ? ? 4? ? 8 ? ? 2 6?【知识点窍】本题考察周期信号的判别方法和复合信号的周期计算方法 【逻辑推理】包含几个不同频率余弦分量的复合，信号的周期 T 是各分量信号周期Ti (i = 1, 2,3, L) 的 整 数 倍， 即 T = mi ? t i = m i ?2π 。因此只要找到几个整数公因子的正整数 ωim1 , m2 , L, mn 使 ω1 : ω 2 : Lω n = m1 : m2 : L mn 成立，可判定该信号为周期信号。解：周期信号必须满足两个条件：定义域 t ∈ R ，有周期性。两个条件中缺少任何一个，则就不 是周期信号了。 （1） f (t ) = 2 cos 3t + π （2） f [n] = cos 8πn(2π 4 是周期信号，其周期 T = 3 s) )(? 2π ? + 2 是周期信号，其周期 N = ? ?? ? ?m = 7 7 ? 0?2π = 2s π（3） f (t ) = e j(πt ?1) 是周期信号，其周期 T =18 （4） f [n] = e （5） f [n] =j n 8 ?π()不是周期信号。∑ [δ (n ? 3m) ? δ (n ? 1 ? 3m )] 是周期信号，其周期 N = 3m= 0∞（6） f (n) = 2 cos?? πn ? ? πn ? ? πn π ? ? + sin ? ? ? 2 sin ? + ? 是周期信号，其中 ? 4? ? 8 ? ? 2 6?N 1 = 8 ， N 2 = 16 ， N 3 = 4则有信号 f [n] 的基波信号为 N = 161.8 （1） 设 f 1 (t ) 和 f 2 (t ) 都是周期信号， 其基波周期分别为 T1 和 T2 。 在什么条件下， 和式 f 1 (t ) + f 2 (t ) 是周期的？如果该信号是周期的，它的基波周期是什么？ （ 2 ）设 f 1 [n] 和 f 2 [n ] 都是周期信号，其基波周期分别为 N1 和 N 2 。在什么条件下，和式f1 [n] + f 2 [n ] 是周期的？如果该信号是周期的，它的基波周期是什么？【知识点窍】本题考察周期信号的判别方法和复合信号的周期计算方法 【逻辑推理】复合信号的基波周期为各分周期信号的周期的最小公倍数。 解： （1）因为 f 1 (t ) 和 f 2 (t ) 都是周期信号，其基波周期分别为 T1 和 T2 ，所以有f1 (t ) = f1 (t + n1T1 ) f 2 (t ) = f 2 (t + n 2T2 )n1为整数 n 2为整数故要使： f 1 (t ) + f 2 (t ) = f 1 (t + n1T1 ) + f 2 (t + n2T2 ) 是周期信号，则必须是：n1T1 = n 2T2 = T0即，当 f 1 (t ) 和 f 2 (t ) 的周期满足 期是 T 1 和 T 的最小公倍数。T2 n1 = = 有理数时，和式 f 1 (t ) + f 2 (t ) 是周期的，其基波周 T1 n 22（2） f 1 [n] 和 f 2 [n ] 都是周期信号，其基波周期分别为 N1 和 N 2 ，所以有f1 [n] = f1 [n + m1 N1 ] f 2 [n ] = f 2 [n + m2 N 2 ]19m1为整数 m2为整数 故要使： f 1 [n] + f 2 [n] = f 1 [n + m1 N1 ] + f 2 [n + m2 N 2 ] 是周期信号，则必须是：m1 N1 = m2 N 2 = N 0即，当 f 1 [n] 和 f 2 [n ] 的周期满足N2 = 有理数时，和式 f 1 [n] + f 2 [n ] 是周期的，其基波周期是 N1N 1 和 N 2 的最小公倍数。1.9已知系统的输入、输出和初始状态的关系式如下，它们是否线性系统，为什么？其中 y (t 0 ) 和y[n0 ] 分别代表连续系统和离散系统初始观察时刻 t 0 和 n 0 的唯一的初始状态， f (t ) 和 f [n] 分别代表连续系统和离散系统的输入， y (t ) 和 y[n] 分别代表连续系统和离散系统的输出。 （1） y (t ) = y(t 0 ) + f (t ) （3） y (t ) = ln y(t 0 ) + 3t 2 f (t ) （5） y (t ) = y(t 0 ) + f2（2） y[n] = y [n 0 ] + f [n] （4） y[n] = ny[n 0 ] +n = n0∑ f [n]2k(t )（6） y[n] = y 2 [n 0 ] + f （8） y[n] = sin （10） y[n] = f[n ]（7） y (t ) = sin t ? f (t ) （9） y (t ) =df (t ) dtnπ ? f [n ] 22[n ]【知识点窍】本题考察线性系统的判定。 【逻辑推理】对于线性连续系统，其满足条件是齐次性与叠加性，即若f1 (t ) → y1 (t )则有f 2 (t ) → y 2 (t )k 1 f1 (t ) + k 2 f 2 (t ) → k1 y1 (t ) + k 2 y 2 (t )对于线性离散系统则有k 1 f1 [k ] + k 2 f 2 [k ] → k1 y1 [k ] + k 2 y 2 [k ]其中 k 1, k 2 为任意常数。 解： （1）零输入响应和零状态响应均呈线性，根据线性系统的定义， 故该系统为线性系统。 （2）该系统为线性系统。 （3）零输入响应和零状态响应均不呈线性，根据线性系统的定义，20 故该系统不是线性系统。 （4）该系统不是线性系统。 （5）零状态响应不呈线性，根据线性系统的定义， 故该系统不是线性系统。 （6）零输入响应和零状态响应均不呈线性，根据线性系统的定义， 故该系统不是线性系统。 （7）该系统不是线性系统。 （8）该系统不是线性系统。 （9）该系统是线性系统。 （10）该系统不是线性系统。1.10已知系统的输入和输出关系式如下， 它们是否时不变系统， 为什么？其中 f (t ), f [n ], y(t ), y[n]的意义同题 1-9。 （1） y (t ) = f(t ) df (t ) （3） y (t ) =2（2） y[n] = f2[n ]dt（4） y[n] = f [n ] ? f [n ? 1] （6） y[n] = f [n ] ? f [n ? 1] （8） y[n] = ?nf [n] （10） y[n] = sin （12） y[n] =（5） y (t ) = f (t ) ? f (t ? 1) （7） y (t ) = tf (t ) （9） y (t ) = sin t ? f (t ) （11） y (t ) =nπ f [n] 2∫t?∞f (τ )dτn =?M∑ f [n ? k ]M【知识点窍】本题考察时不变系统的判定。 【逻辑推理】如果激励是 f (t ) （或 f [k ] ） ，系统产生的响应为 y (t ) （或 y[k ] ） ，当将激励的时 间延迟 τ 为 f (t ? τ ) （或 f [k ? τ ] ） ，则其输出响应也相同地延迟 τ 时间为 y (t ? τ ) （或 y[k ? τ ] ） ， 它们之间的变化规律仍保持不变，其波形保持不变。即： 若 若f (t ) → y(t )则有f (t ? τ ) → y (t ? τ ) f [k ? τ ] → y[k ? τ ]f [k ] → y[k ] 则有21 解： （1）对于该系统有f 1 (t ) → y1 (t ) = f 1 (t )2则有：y1 (t ? τ ) = f 1 (t ? τ )2f 1 (t ? τ ) → y 2 (t ) = f 1 (t ? τ ) = y1 (t ? τ )2故该系统为时不变系统。 （2）对于该系统有f 1 [n] → y1 [n ] = f 1 [n]2则有：y1 [n ? k ] = f 1 [n ? k ]2f 1 [n ? k ] → y 2 [n ] = f 1 [n ? k ] = y1 [n ? k ]2故该系统为时不变系统。 （3）对于该系统有f 1 (t ) → y1 (t ) =则有：df 1 (t ) dty1 (t ? τ ) =df 1 (t ? τ ) df 1 (t ) = d (t ? τ ) dtf 1 (t ? τ ) → y 2 (t ) =故该系统为时不变系统。 （4）对于该系统有df 1 (t ? τ ) df 1 (t ) = = y1 (t ? τ ) dt dtf 1 [n] → y1 [n] = f 1 [n] ? f 1 [n ? 1]则有：y1 [n ? k ] = f 1 [n ? k ] ? f 1 [n ? k ? 1] f 1 [n ? k ] → y 2 [n ] = f 1[n ? k ] ? f1 [n ? k ? 1] = y1 [n ? k ]故该系统为时不变系统。22 （5）对于该系统有f1 (t ) → y1 (t ) = f1 (t ) ? f1 (t ? 1)则有：y1 (t ? τ ) = f1 (t ? τ ) ? f1 (t ? τ ? 1) f1 (t ? τ ) → y 2 (t ) = f1 (t ? τ ) ? f1 (t ? τ ? 1) = y1 (t ? τ )故该系统为时不变系统。 （6）对于该系统有f1 [n] → y1[n] = f1 [n ] ? f1 [n ? 1]则有：y1 [n ? k ] = f1[n ? k ] ? f1 [n ? k ? 1] f1 [n ? k ] → y 2 [n ] = f1 [n ? k ] ? f1 [n ? k ? 1] = y1 [n ? k ]故该系统为时不变系统。 （7）对于该系统有f1 (t ) → y1 (t ) = tf1 (t )则有：y1 (t ? τ ) = (t ? τ ) f1 (t ? τ ) f1 (t ? τ ) → y 2 (t ) = tf1 (t ? τ ) ≠ y1 (t ? τ )故该系统为时变系统。 （8）对于该系统有f1 [n] → y1 [n ] = ? nf1 [n]则有：y1 [n ? k ] = ?[n ? k ] f1 [n ? k ] f1 [n ? k ] → y 2 [n ] = ? nf1 [n ? k ] ≠ y1 [n ? k ]故该系统为时变系统。 （9）对于该系统有23 f1 (t ) → y1 (t ) = sin t ? f1 (t )则有：y1 (t ? τ ) = sin (t ? τ ) ? f1 (t ? τ ) f1 (t ? τ ) → y 2 (t ) = sin t ? f1 (t ? τ ) ≠ y1 (t ? τ )故该系统为时变系统。 （10）对于该系统有f 1 [n] → y1[n] = sin则有：nπ f 1[n] 2y1 [n ? k ] = sin[n ? k ]π f [n ? k ] 12 nπ f 1 [n ? k ] ≠ y1 [n ? k ] 2f 1 [n ? k ] → y 2 [n ] = sin故该系统为时变系统。 （11）对于该系统有f 1 (t ) → y1 (t ) = ∫则有：t?∞f 1 (τ )dτy1 (t ? t 1 ) = ∫ f 1 (t ? t ) → y2 (t ) = ∫故该系统为时不变系统。 （12）对于该系统有t ?∞t ?t1?∞f 1 (τ )dτt ?t 1 ?∞f 1 (τ ? t 1 )dτ = ∫f 1 (T )dT = y1 (t ? τ )f 1 [n] → y1[n] =则有：n= ? M∑ f [n ? k ]1My1 [n ? m ] = ∑ f 1[n ? m ? k ]n =? M + mM +mf 1 [n ? m ] → y 2 [n] =故该系统为时变系统。n= ? M∑ f [n ? m ? k ] ≠ y [n ? m]1 1M24 1.11一线性连续系统在相同的初始条件下，当输入为 f (t ) 时，全响应为 y (t ) = 2e ?t + cos 2t ，当输入 2 f (t ) 时，全响应 y (t ) = e ?t + 2 cos 2t 。求在相同的初始条件下，输入为 4 f (t ) 时的全响应。 【知识点窍】本题考察线性系统的响应函数的求法。 【逻辑推理】从一定初始条件和一定激励来求取系统响应，即求取描述该系统的常系数线性微 分方程。 解：设系统的零状态响应为 y zs (t ) ，零输入响应为 y zi (t ) 则有：y1 (t ) = y zs1 (t ) + y zi1 (t ) = 2e ? t + cos 2t y 2 (t ) = y zs 2 (t ) + y zi 2 (t ) = e ? t + 2 cos 2t因 f 1 (t ) = f (t ) ， f 2 (t ) = 2 f (t ) ，有 f 2 (t ) = 2 f 1 (t ) 根据已知条件以及 LTI 系统的性质，则有： ? ① ② ? y zi1 (t ) = y zi2 (t ) ? y zs 2 (t ) = 2 y zs1 (t )y zi1 (t ) = 3e ?t y zs1 (t ) = cos 2t ? e ?t将以上两式代入①、②中求得： 当激励为 4 f (t ) 时，系统的全响应为：y 3 (t ) = y zs3 (t ) + y zi3 (t ) = 4 y zs1 (t ) + y zi1 (t ) = 4 cos 2t ? e ?t + 3e ? t = 4 cos 2t ? e ? t()1.121.考虑具有下列输入输出关系的三个系统： 系统 1； 系统 2； 系统 3；y[n] = f [n ]y[n] = f [n ] + 1 1 f [n ? 1] + f [n ? 2] 2 4y[n] = f [2 n]（1）若它们按图 1.36 那样连接，求整个系统的输入输出关系。 （2）整个系统是线性吗？是时不变的吗？25 f [n]系统 1图 1.36系统 3y[n]2.如果图中三个系分别为 系统 1 和系统 3： 系统 2：y[n] = f [? n ] y[n] = af [n ? 1] + bf [n] + cf [n + 1]其中，a，b ，c 均为实数。求级联系统的输入输出关系。且 a，b，c 满足什么条件时： （1）整个 系统线性时不变。 （2）整个系统的输入输出关系与系统 2 相同。 （3）整个系统是因果的。 【知识点窍】本题考察线性系统与时不变系统的性质。 【逻辑推理】如果激励是 f (t ) （或 f [k ] ） ，系统产生的响应为 y (t ) （或 y[k ] ） ，当将激励的时 间延迟 τ 为 f (t ? τ ) （或 f [k ? τ ] ） ，则其输出响应也相同地延迟 τ 时间为 y (t ? τ ) （或 y[k ? τ ] ） ， 它们之间的变化规律仍保持不变，其波形保持不变。线性系统满足是齐次性与叠加性。 解：1.（1）整个系统输入输出关系y[n] = f [2n ] +1 1 f [2 n ? 1] + f [2n ? 2 ] 2 4（2）整个系统是线性的，是时变的。 2. 此时整个系统输入输出关系y[n] = af [n + 1] + bf [n ] + cf [n ? 1]（1）整个系统是线性时不变系统。 （2）若要整个系统的输入输出关系与系统 2 相同，则 a＝c 。 （3）整个系统是因果的，则响应不出现在激励作用之前，所以有 a＝0。 1.13 已知系统的输入和输出关系为： y (t ) = f (t ) ? f (t ? 1)试判断该系统（a）是否是线性的？（b）是否是时不变的？（c ）当输入 f (t ) 如图 1.37 所示时，画 出响应 y (t ) 的波形。 【知识点窍】本题考察线性系统与时不变系统的性质。 【逻辑推理】如果激励是 f (t ) （或 f [k ] ） ，系统产生的响应为 y (t ) （或 y[k ] ） ，当将激励的时 间延迟 τ 为 f (t ? τ ) （或 f [k ? τ ] ） ，则其输出响应也相同地延迟 τ 时间为 y (t ? τ ) （或 y[k ? τ ] ） ， 它们之间的变化规律仍保持不变，其波形保持不变。线性系统满足是齐次性与叠加性。26 解： （a）该系统是非线性的 （b）对此系统，输入为 f 1 (t ) 时，有f 1 (t ) → y1 (t ) = f 1 (t ) ? f (t ? 1)则有 y1 (t ? τ ) = f 1 (t ? τ ) ? f (t ? τ ? 1)f 1 (t ? τ ) → y 2 (t ) = f 1 (t ? τ ) ? f (t ? τ ? 1) = y1 (t ? τ )故该系统为时不变系统。 （c ）当输入 f (t ) 如图 1.37 所示时，响应 y (t ) 的波形如图 1.38（b） 。图 1.37f (t ? 1)2 1 1 -1（a）y (t )2 1 2 3t-1123t（b）图 1.38 1.14 一个 LTI 系统，当输入 f (t ) = ε (t ) 时，输出为 y (t ) = e ? t ε (t ) + ε (? 1 ? t ) ，求该系统对图 1.39所示输入 f (t ) 时的响应，并概略地画出其波形。图 1.39 27 【知识点窍】本题考察线性系统与时不变系统的性质。 【逻辑推理】如果激励是 f (t ) （或 f [k ] ） ，系统产生的响应为 y (t ) （或 y[k ] ） ，当将激励的时 间延迟 τ 为 f (t ? τ ) （或 f [k ? τ ] ） ，则其输出响应也相同地延迟 τ 时间为 y (t ? τ ) （或 y[k ? τ ] ） ， 它们之间的变化规律仍保持不变，其波形保持不变。线性系统满足是齐次性与叠加性。 解：由图 1.39 可得，输入 f 2 (t ) = ε (t ? 1) ? ε (t ? 2 ) = f 1 (t ? 1) ? f 1 (t ? 2) 当输入 f 1 (t ) = ε (t ) 时，输出为 y1 (t ) = e ? tε (t ) + ε (? 1 ? t ) 根据 LTI 系统的时不变特性，有：y1(t ? 1) = e ? (t ?1)ε (t ? 1) + ε (? t ) y1 (t ? 2 ) = e ? (t ?2 )ε (t ? 2) + ε (1 ? t )则当输入 f 2 (t ) = ε (t ? 1) ? ε (t ? 2 ) = f 1 (t ? 1) ? f 1 (t ? 2) 时，输出响应为y 2 (t ) = e ?( t?1)ε (t ? 1) ? e ?( t? 2)ε (t ? 2) + ε (? t ) ? ε (1 ? t )其波形图如图 1.40（d）y1 (t )1 -1 0 1y1 (t ? 1)t01t（a）（b）y1 (t ? 2)1y 2 (t )1012t012t（c ） 图 1.4028（d） 1.15一个 LTI 系统的输入 f (t ) 和输出 y (t ) 如图 1.41 所示。试求该系统对阶跃信号 ε (t ) 的响应。图 1.41【知识点窍】本题考察线性系统与时不变系统的性质。 【逻辑推理】如果激励是 f (t ) （或 f [k ] ） ，系统产生的响应为 y (t ) （或 y[k ] ） ，当将激励的时 间延迟 τ 为 f (t ? τ ) （或 f [k ? τ ] ） ，则其输出响应也相同地延迟 τ 时间为 y (t ? τ ) （或 y[k ? τ ] ） ， 它们之间的变化规律仍保持不变，其波形保持不变。线性系统满足是齐次性与叠加性。 解：见图 1.41，可以得到：f (t ) = ε (t ) + ε (t ? 1) ? ε (t ? 2) ? ε (t ? 3)系统对 ε (t ) 的响应称为阶跃响应，以 g (t ) 表示，于是对于 f (t ) 的响应 y (t ) 可以表示为：y (t ) = g (t ) + g (t ? 1) ? g (t ? 2 ) ? g (t ? 3)借助图解法可求出阶跃信号 ε (t ) 的响应 g (t ) 。 下面按照时间区间分别进行求解： （1） t : (0,1) 在 0&t&1 时，输入只有 ε (t ) ，此时g (t ) = y (t ) = sin πt按照时不变特性，可得（0&t&1）g (t ? 1) = sin π (t ? 1) ? g (t ? 2 ) = ? sin π (t ? 2) ? g (t ? 3) = ? sin π (t ? 3)（1&t&2） （2&t&3） （3&t&4）按上式， g (t ) , g (t ? 1) , ? g (t ? 2 ) , ? g (t ? 3) 示于图 1.42 上。29 图 1.42 （2） t : (1, 2) 在 1&t&2 时，输入 f (t ) 为：f (t ) = ε (t ) + ε (t ? 1)而输出信号 y (t ) 为y (t ) = g (t ) + g (t ? 1) = 0 g (t ) = ? g (t ? 1) = ? sin π (t ? 1)按照时不变特性，可得30（1&t&2） g (t ? 1) = ? sin π (t ? 2) （2&t&3） ? g (t ? 2 ) = sin π (t ? 3) ? g (t ? 3) = sin π (t ? 4)（3&t&4） （4&t&5）按上式， g (t ) , g (t ? 1) , ? g (t ? 2 ) , ? g (t ? 3) 在上述区间的图形示于图 1.43 上。图 1.43 （3） t : (2,3) 在 2&t&3 时，输入 f (t ) 为：f (t ) = ε (t ) + ε (t ? 1) ? ε (t ? 2 )31 图 1.44 输出信号 y (t ) 为y (t ) = g (t ) + g (t ? 1) ? g (t ? 2) = ? sin π (t ? 2 )按照上几节的结果，在 2&t&3 时：（2&t&3）g (t ? 1) = ? sin π (t ? 2) ? g (t ? 2) = sin π (t ? 2)故 按照时不变特性，可得（2&t&3） （2&t&3） （2&t&3）g (t ) = sin π (t ? 2 )g (t ? 1) = sin π (t ? 3) ? g (t ? 2 ) = ? sin π (t ? 4) ? g (t ? 3) = ? sin π (t ? 5)32（3&t&4） （4&t&5） （5&t&6） 按上式， g (t ) , g (t ? 1) , ? g (t ? 2 ) , ? g (t ? 3) 在上述区间的图形示于图 1.44 上。 （4） t : (3,4 ) 在 3&t&4 时，输入 f (t ) 为：f (t ) = ε (t ) + ε (t ? 1) ? ε (t ? 2) ? ε (t ? 3)输出信号 y (t ) 为y (t ) = g (t ) + g (t ? 1) ? g (t ? 2) ? g (t ? 3) = 0图 1.45 按照上几节的结果，在 3&t&4 时：g (t ? 1) = sin π (t ? 3) ? g (t ? 2) = sin π (t ? 2) ? g (t ? 3) = ? sin π (t ? 3)（3&t&4） （3&t&4） （3&t&4）33 故 按照时不变特性，可得g (t ) = ? sin π (t ? 3)（3&t&4）g (t ? 1) = ? sin π (t ? 4 ) （4&t&5） ? g (t ? 2 ) = sin π (t ? 5) ? g (t ? 3) = sin π (t ? 6)（5&t&6） （6&t&7）按上式， g (t ) , g (t ? 1) , ? g (t ? 2 ) , ? g (t ? 3) 在上述区间的图形示于图 1.45 上。 继续做下去，即可得到：g (t ) = sin πtε (t )1.16 某 LTI 离散系统，已知当激励为图 1.46（a）的信号 f 1 [n] （即单位序列 δ [n ] ）时，其零状态响应如图（b）所示。求： （1）当激励为图（c ）的信号 f 2 [n ] 时，系统的零状态响应； （2 ）当激励为 图（d）的信号 f 3 [n] 时，系统的零状态响应。图 1.46【知识点窍】本题考察 ＬＴＩ 离散系统的响应函数的求法。 【逻辑推理】利用了 ＬＴＩ 离散系统的线性性质与时不变性质。 解： （1）由图（c ）可知： f 2 [n ] = f 1 [n ? 1] + f 1 [n ? 2 ] + f 1 [n ? 3] 根据 LTI 系统的叠加性，当激励为信号 f 2 [n ] 时，系统的零状态响应：y zs 2 [n] = y zs1[n ? 1] + y zs1 [n ? 2] + y zs1 [n ? 3]由图（b）可得到：34 y zs1[n] = δ [n ? 1] + δ [n ? 2 ] + δ [n ? 3]进而：y zs1[n ? 1] = δ [n ? 2] + δ [n ? 3] + δ [n ? 4] y zs1[n ? 2] = δ [n ? 3] + δ [n ? 4] + δ [n ? 5] y zs1[n ? 3] = δ [n ? 4] + δ [n ? 5] + δ [n ? 6]所以有：y zs 2 [n] = y zs1 [n ? 1] + y zs1 [n ? 2] + y zs1 [n ? 3] = δ [n ? 2 ] + 2δ [n ? 3] + 3δ [n ? 4] ＋2δ [n ? 5] + δ [n ? 6]（2）由图（d）可知： f 3 [n] = f 1 [n ? 1] + 2 f 1 [n ? 2 ] + 3 f 1 [n ? 3] 根据 LTI 系统的叠加性，当激励为信号 f 3 [n] 时，系统的零状态响应：y zs 2 [n] = y zs1 [n ? 1] + 2 y zs1 [n ? 2] + 3 y zs1[n ? 3]由图（b）可得到：y zs1[n] = δ [n ? 1] + δ [n ? 2 ] + δ [n ? 3]进而：y zs1[n ? 1] = δ [n ? 2] + δ [n ? 3] + δ [n ? 4] y zs1[n ? 2] = δ [n ? 3] + δ [n ? 4] + δ [n ? 5] y zs1[n ? 3] = δ [n ? 4] + δ [n ? 5] + δ [n ? 6]所以有：y zs3 [n] = y zs1 [n ? 1] + 2 y zs1 [n ? 2] + 3 y zs1 [n ? 3] = δ [n ? 2 ] + 3δ [n ? 3] + 6δ [n ? 4 ] ＋5δ [n ? 5] + 3[n ? 6 ]1.17 线性非时变因果系统，当激励 f (t ) = ε (t ) 时，零状态响应 y zs (t ) = e ? t cos tε (t ) +cos t[ε (t ? π ) ? ε (t ? 2π )] 。求当激励 f (t ) = δ (t ) 时的响应 h (t ) 。【知识点窍】本题考察线性非时变因果系统响应函数的求法。 【逻辑推理】利用了 LTI 系统的微分性质。 解：根据 LTI 系统的微分性质，35 即当激励 f (t ) 产生的响应为 y (t ) ，则激励 当激励 f (t ) = ε (t ) 时，零状态响应为df (t ) dy (t ) 产生的响应即为 。 dt dty zs (t ) = e ?t cos tε (t ) + cos t [ε (t ? π ) ? ε (t ? 2π )]因 δ (t ) =dε (t ) ，所以有： dt当激励 f (t ) = δ (t ) 时的响应h (t ) =dy zs (t ) = ?e ? t cos tε (t ) ? e ?t sin tε (t ) + e ?t cos t δ (t ) dt ? sin t [ε (t ? π ) ? ε (t ? 2π )] + cos t [δ (t ? π ) ? δ (t ? 2π )]即有：? π? ?t h (t ) = δ (t ) ? 2e cos ? t ? ?ε (t ) ? sin t [ε (t ? π ) ? ε (t ? 2π )] ? δ (t ? π ) ? δ (t ? 2π ) 4? ?1.18 某线性时不变系统的初始状态不变。已知当激励为 f (t ) 时，全响应y1 (t ) = e ?t + cos πt当激励为 2 f (t ) 时，其全响应t&0y 2 (t ) = 2 cos πt求当激励为 3 f (t ) 时，系统的全响应。t&0【知识点窍】本题考察线性系统的响应函数的求法。 【逻辑推理】从一定初始条件和一定激励来求取系统响应，即求取描述该系统的常系数线性微 分方程。 解：设系统的零状态响应为 y zs (t ) ，零输入响应为 y zi (t ) 则有：y1 (t ) = y zs1 (t ) + y zi1 (t ) = e ? t + cos πtt&0 ① ② y 2 (t ) = y zs 2 (t ) + y zi2 (t ) = 2 cos πtt&0因 f 1 (t ) = f (t ) ， f 2 (t ) = 2 f (t ) ，有 f 2 (t ) = 2 f 1 (t ) 根据已知条件以及 LTI 系统的性质，则有：36 ?? y zi1 (t ) = y zi2 (t ) ? y zs 2 (t ) = 2 y zs1 (t )y zs1 (t ) = ?e ? t + cos πt y zi1 (t ) = 2e ?t t & 0 t &0将以上两式代入①、②中求得： 当激励为 3 f (t ) 时，系统的全响应为：y 3 (t ) = y zs3 (t ) + y zi3 (t ) = 3 y zs1 (t ) + y zi1 (t ) = 3 ? e ? t + cos πt + 2e ? t = 3 cos πt ? e ? t t&0()37 http://www.benxiao.com 第二章 连续时间系统的时域分析 ２．１ 学习重点 1、 建立系统的数学模型―― 时间系统进行时域分析。 2、 学会应用经典时域分析法求解微分方程。 3、 深刻理解系统的零状态响应为 y zs (t ) ，零输入响应为 y zi (t ) ，以及全响应， 会根据微分方程的特征根与已知系统的初始条件求解。 4、 深刻理解系统的冲激响应 h (t ) 以及阶跃响应 g (t ) 的意义，掌握其求解方法。 5、掌握卷积积分的定义、 性质和运算， 会应用卷积积分法求线性时不变系统的零状 态响应 y zs (t ) 。 6、 利用 MATLAB 进行 LTI 连续系统的时域分析 微分方程，描述系统激励 f (t ) 与响应 y (t ) 的关系，对连续２．２ 教材习题同步解析 2-1 列写图 2.1 所示中 i1 (t ), i 2 (t ), u0 (t ) 的微分方程。 【 知识点窍】 本题考察 系统方程的基尔霍夫定 律。 【逻辑推理】对任一点有 KCL ：∑ i(t ) = 0对任一回路有 KVL：∑ u (t ) = 0图 2.163解：因 u R1 = u L ，根据 VCR, 有 : Ri1 (t ) = L 2i1 (t ) =根据 KVL： 根据 VCR：di 2 (t ) dt⑴即di 2 (t ) dte(t ) = u R1 (t ) + u R 2 (t ) + u c (t ) ⑵ ⑶ ⑷ ⑸u R1 (t ) = R1i1(t ) = 2i1(t ) u R 2 (t ) = R2 (i1 (t ) + i2 (t )) = 2i1 (t ) + 2i2 (t )ic (t ) = i1 (t ) + i2 (t ) = C duc (t ) 1 duc (t ) = dt 2 dt⑶式和⑷式代入⑵式中，有： e(t ) = 4i1 (t ) + 2i 2 (t ) + u c (t )将⑴式代入⑹式中，得到： ⑹ e(t ) = 2di 2 (t ) + 2i 2 (t ) + u c (t ) dt ⑺ 对⑺式求一阶导，有：de(t ) d 2 i 2 (t ) di (t ) du (t ) =2 +2 2 + c 2 dt dt dt dt de(t ) d 2 i2 (t ) di (t ) =2 + 2 2 + 2i1 (t ) + 2i 2 (t ) 2 dt dt dt⑻ 将⑸式代入⑻式中，有： ⑼ 再将⑴式代入⑼式中，得到 i 2 (t ) 的微分方程为： 2d 2i 2 (t ) di 2 (t ) de(t ) + 3 + 2i 2 (t ) = 2 dt dt dt ⑽对⑹式求一阶导，得到： di (t ) di (t ) du (t ) de(t ) = 4 1 +2 2 + c dt dt dt dt di (t ) de(t ) = 4 1 + 6i1 (t ) + 2i2 (t ) dt dtd 2e (t ) d 2i1 (t ) di1 (t ) di 2 (t ) = 4 + 6 + 2 dt 2 dt 2 dt dt将⑴式、⑸式代入⑽式中，得到： ⑾对⑾式求导，得到： ⑿再将⑴式代入⑿式中，得到 i1 (t ) 的微分方程为： 64 d 2e (t ) d 2i1 (t ) di1 (t ) = 4 + 6 + 4i1 (t ) dt 2 dt 2 dt根据 KVL，有：e(t ) = u R1 (t ) + u 0 (t ) = 2i1 (t ) + u 0 (t )对⒀式求一阶导和二阶导，得到： ⒀ di (t ) du (t ) de(t ) =2 1 + 0 dt dt dtd 2e(t ) d 2i1 (t ) d 2u0 (t ) = 2 + dt 2 dt 2 dt 2⒀式子 × 2＋⒁式 × 3＋⒂式 × 2，消去 i1 (t ) ，整理后得到 u 0 (t ) 的微分方程为： ⒁ ⒂ d 2u 0 (t ) du 0 (t ) d 2 e(t ) de (t ) 2 + 3 + 2 u ( t ) = +3 + 2e(t ) 0 2 2 dt dt dt dt2-2 已知描述系统的微分方程如下： （1） y ' ' (t ) + 3 y ' (t ) + 2 y (t ) = 0 （2） y ' ' (t ) + 2 y' (t ) + 2 y (t ) = 0 （3） y ' ' (t ) + 2 y' (t ) + y (t ) = 0 当初始条件为 y (0 ) = 1, y ' (0 ) = 0 时，求零输入响应。 【知识点窍】本题考察常系数微分方程经典解法。 【逻辑推理】利用系统的特征方程，求出齐次解，代入初始状态求解。 解： （1）由原微分方程可得其特征方程为λ 2 + 3λ + 2 = 0可解得特征根为 微分方程齐次解为λ1 = ?1, λ2 = ?2y h (t ) = A1e ? t + A2 e ? 2t由初始状态为 y (0 ) = 1, y ' (0 ) = 0 ，则有：? A1 + A2 = 1 ? ?? A1 ? 2 A2 = 065 由联立方程可得 故系统的零输入响应为： A1 = 2, A2 = ?1y zi (t ) = 2e ? t ? e ?2 t （2）由原微分方程可得其特征方程为λ 2 + 2λ + 2 = 0可解得特征根为 微分方程齐次解为λ1, 2 = ?1 ± iy h (t ) = e ?t (C1 cos t + C2 sin t )由初始状态为 y (0 ) = 1, y ' (0 ) = 0 ，则有：?C1 = 1 ? ?? C 1 + C 2 = 0由联立方程可得 故系统的零输入响应为： C1 = 1, C2 = 1y zi (t ) = e ?t (cos t + sin t ) （3）由原微分方程可得其特征方程为λ 2 + 2λ + 1 = 0可解得特征根为 微分方程齐次解为λ1, 2 = ?1y h (t ) = C1e ?t + C2 te? t由初始状态为 y (0 ) = 1, y ' (0 ) = 0 ，则有：?C1 = 1 ? ?? C 1 + C 2 = 0由联立方程可得 故系统的零输入响应为： C1 = 1, C2 = 1y zi (t ) = e ? t + te ? t2-3 已知描述系统的微分方程如下： （1） y ' ' ' (t ) + 3 y ' ' (t ) + 2 y' (t ) = 066 （2） y ' ' ' (t ) + 2 y ' ' (t ) + y ' (t ) = 0 当初始状态为 y (0 ) = y ' (0 ) = y ' ' ' (0 ) = 1 时，求零输入响应。 【知识点窍】本题考察常系数微分方程经典解法。 【逻辑推理】利用系统的特征方程，求出齐次解，代入初始状态求解。 解： （1）由原微分方程可得其特征方程为λ 3 + 3λ 2 + 2λ = 0可解得特征根为 微分方程齐次解为λ1 = 0, λ2 = ?1, λ3 = ?2 yh (t ) = C1 + C2e ? t + C3e ?2t由初始状态为 y (0 ) = y ' (0 ) = y ' ' ' (0 ) = 1 ，则有：?C1 + C 2 + C 3 = 1 ? ?? C2 ? 2C3 = 1 ?C + 4C = 1 ? 2 3由联立方程可得 故系统的零输入响应为： C1 = 3, C 2 = ?3, C3 = 1y zi (t ) = 3 ? 3e ? t + e ?2t （2）由原微分方程可得其特征方程为λ 3 + 2λ 2 + λ = 0可解得特征根为 微分方程齐次解为λ1 = 0, λ2, 3 = ?1y h (t ) = C1e ?t + C2 te? t + C3由初始状态为 y (0 ) = y ' (0 ) = y ' ' ' (0 ) = 1 ，则有：?C1 + C 3 = 1 ? ?? C1 + C 2 = 1 ?C ? 2C = 1 ? 1 2由联立方程可得 故系统的零输入响应为： C1 = ?3, C 2 = ?2, C3 = 4y zi (t ) = ?3e ? t ? 2te ? t + 4 67 2-4已知某 LTI 系统的微分方程模型为y ' ' (t ) + y' (t ) ? 2 y (t ) = f (t )（1）用两种方法（微分方程法和卷积积分法）求该系统的阶跃响应 g (t ) ； （2）求系统对输入 f (t ) = e ? 2t cos 3t ε (t ) 的零状态响应。 【知识点窍】本题考察 ＬＴＩ 系统的微分方程的单位冲激响应和单位阶跃响应，及其关系；零状 态响应的卷积求解法。 【逻辑推理】求阶跃响应时可采取两种方法：直接求解微分方程零状态条件下的阶跃响应，或 利用冲激响应积分。 零状态响应通过求取系统的冲激响应与激励函数相卷积得到。 解： （1）方法一：微分方程法 由微分方程得特征根为λ1 = ?2, λ2 = 1由此可得阶跃响应形式为 对上式求一阶、二阶导数，得1? ? ? 2t t g (t ) = ? C1e + C2 e ? ?ε (t ) 2? ?g (t ) = ? 2C1e'(? 2t1? ? t ?2 t t + C2 e ε (t ) + ? C1e + C2 e ? ?δ (t ) 2? ?)g '' (t ) = 4C1e ?2t + C2 e t ε (t ) + ? 2C1e ?2t + C 2e t δ (t ) + ? 2C1e ? 2t((( ? + C e )δ (t ) + ? C et 2))? 2t?11? + C 2e t ? ?δ ' (t ) 2?将阶跃响应 g (t ) 及其一阶、二阶导数代入原方程，得：1? 1? ? ? ε (t ) + ? ? 3C1e ?2 t + 3C 2et ? ?δ (t ) + ? C1e? 2t + C 2e t ? ?δ ' (t ) = ε (t ) 2? 2? ? ?利用单位冲激函数的性质，得：1? 1 ? ? 2t t ? ? 3C1e + 3C2 e ? ?δ (t ) = ?3C1 + 3C 2 ? = 0 2? 2 ? 1? 1? ? ? ? 2t t ? C1e + C 2 e ? ?δ ' (t ) = ? C1 + C 2 ? ?δ ' (t ) ? (? 2C1 + C2 )δ (t ) = 0 2? 2? ? ?68 得1 ? = 0? 2 ? ? 2C 1 + C 2 = 0 ? ? C1 + C 2 ?1 1 , C2 = 。将其代入得阶跃响应 h (t ) 6 3则得系数 C1 =? 1 ? 2t 1 t 1 ? g (t ) = ? e + e ? ?ε (t ) 3 2? ?6方法二：卷积积分法 由微分方程求得特征根，进而可得冲激响应形式为h (t ) = C1e ?2t + C2 e t ε (t )对上式求一阶、二阶导数，得()h ' (t ) = ? 2C1e ?2t + C 2e t ε (t ) + C1e ?2t + C2 e t δ (t )()(t)h '' (t ) = 4C1e ?2 t + C2 e t ε (t ) + ? 2C1e ?2t + C 2e t δ (t ) + ? 2C1e ? 2t((( + C e )δ (t ) + (C e2 1)?2 t+ C2 e t δ ' (t )))将冲激响应 h (t ) 及其一阶、二阶导数代入原方程，即(? 3C e1?2t+ 3C2 e t δ (t) + C1e ?2t + C2 e t δ ' (t ) = δ (t ))()利用单位冲激函数的性质，得：(? 3C1 + 3C2 )δ (t ) + (C1 + C2 )δ ' (t ) ? (? 2C1 + C 2 )δ (t ) = δ (t )得 则得系数 C1 = ? , C2 = 将其代入得冲激响应 则系统的阶跃响应为C1 + C 2 = 01 3 1 。 3? ? ? C1 + 2C2 = 1?? 1 ?2t 1 t ? h (t ) = ? ? e + e ?ε (t ) 3 ? ? 3g (t ) = h(t ) ? ε (t )∞ ? 1 1 ? = ∫?∞ ? ? e ? 2τ + e τ ?ε (τ ) ε (t ? τ )dτ 3 ? ? 3 ? t? 1 1 ? ? = ? ∫ ? ? e ?2τ + eτ ?dτ ? ε (t ) 0 3 ? ? ? ? 369 1 ? ?1 = ? e ?2t + e t ?ε (t ) 3 ? ?6 0 1 1? ?1 = ? e ?2t + e t ? ?ε (t ) 3 2? ?6（2）当输入 f (t ) = e ? 2t cos 3t ε (t ) 时，系统的零状态响应为：ty zs (t ) = h(t ) ? f (t )∞ ? 1 1 ? = ∫?∞ ? ? e ?2τ + eτ ?ε (τ ) ? e ?2 (t?τ ) cos 3(t ? τ )ε (t ? τ )dτ 3 ? ? 3 t? 1 t1 ? = ∫ ?? e ? 2t cos 3(t ? τ )? dτ + ∫ e ? 2t e 3τ cos 3(t ? τ )dτ 0 03 ? 3 ? t 1 1 1 = ? e ? 2t ? sin 3(t ? τ ) + e ?2t ∫0 e 3τ cos 3(t ? τ )dτ 3 3 3 0 t1 1 1 1 ?1 ? = ? e ? 2t sin 3t + e ? 2t ? e 3t ? cos 3t + sin 3t ? 9 3 6 6 ?6 ? 1 1 1 = e t ? e ? 2t cos 3t ? e ?2 t sin 3t 18 18 18 1 = e t 1 ? e ? 3t cos 3t ? e ? 3t sin 3t 18[]2-5设一个 LTI 系统的输入和输出分别为 f (t ) 和 y (t ) ，试用两种方法证明：当系统的输入为 f ' (t )时，输出为 y ' (t ) 。 【知识点窍】本题考察 ＬＴＩ 系统的性质。 【逻辑推理】利用零状态响应与冲激响应的卷积关系或系统的时不变性。 证明：方法一： 令系统的单位响应为 h (t ) ，则有 y (t ) = f (t ) ? h(t ) 当系统的输入为 f ' (t ) 时f ' (t ) ? h (t ) =d d d ∫ h(τ ) dt f (t ? τ )dτ = dt ∫ h (τ ) f (t ? τ )dτ = dt y (t ) = y ' (t )∞ ∞ ?∞ ?∞即证明当系统的输入为 f ' (t ) 时，输出为 y ' (t ) 。 方法二： 根据倒数定义有：f ' (t ) = limt 0 →0f (t ? t 0 ) ? f (t ) t070 根据 LTI 系统的时不变性，可得：f (t ? t 0 ) → y (t ? t 0 )则有：f ' (t ) = limt 0 →0f (t ? t 0 ) ? f (t ) y(t ? t 0 ) ? y (t ) → lim = y ' (t ) t0 → 0 t0 t0即证明当系统的输入为 f ' (t ) 时，输出为 y ' (t ) 。 2-6 已知函数波形如图 2.2 所示，计算下面的卷积积分、并画出其波形。 （1） f 1 (t ) ? f 2 (t ) （4） f 2 (t ) ? f 4 (t ) （7） f 2 (t ) ? f 5 (t ) （10） f 7 (t ) ? f 8 (t ) （2） f 1 (t ) ? f 3 (t ) （5） f 4 (t ) ? f 5 (t ) （8） f 6 (t ) ? f 7 (t ) （3） f 1 (t ) ? f 2 (t ) ? f 3 (t ) （6） f 4 (t ) ? f 6 (t ) （9） f 5 (t ) ? f 8 (t )图 2.2【知识点窍】本题考察卷积求解法。 【逻辑推理】函数 f i (t ) 与函数 f j (t ) 相卷积后的值 y (t ) ，就是在变量 τ 由 ? ∞ 到 + ∞ 范围内， 对某一 t 值时乘积 f i (τ ) f j (t ? τ ) 曲线下的面积。或利用卷积积分的微分和积分性质以及冲激函数卷 积性质求解。即若71 f (t ) = f1 (t ) ? f 2 (t ) = f 2 (t ) ? f1 (t )则其微分 积分 含有冲激函数的卷积有：f f(1)(t ) = (t ) =f 1(1) (t ) ? f 2 (t ) = f 1 (t ) ? f 2(1) (t ) f 1(?1) (t ) ? f 2 (t ) = f 1 (t ) ? f 2( ?1) (t )(?1)f (t ) ? δ (t ) = f (t )f (t ) ? δ (t ? t 0 ) = f (t ? t 0 )f (t ) ? δ ' (t ) = f ' (t )f (t ) ? ε (t ) = f ( ?1) (t ) = ∫解： （１）如图可知， f 2 (t ) = δ (t + 1) + δ (t ? 1) 由含有冲激函数的卷积可得t ?∞f (τ )dτf 1 (t ) ? f 2 (t ) = f 1 (t ) ? [δ (t + 1) + δ (t ? 1)] = f 1 (t + 1) + f1 (t ? 1)其波形如图 2.3 所示。f1 (t ) ? f 2 (t ) f1 (t ) ? f 2 (t )1 0 -2 -1 0 图 2.3 （2）如图可知， f 3 (t ) = ?δ (t ? 1) + δ (t ? 2 ) ? δ (t ? 3) 由含有冲激函数的卷积可得 1 1 2 3 4 1tt2-1图 2.4f 1 (t ) ? f 3 (t ) = f 1 (t ) ? [? δ (t ? 1) + δ (t ? 2 ) ? δ (t ? 3)] = ? f 1 (t ? 11) + f1 (t ? 2) ? f 1 (t ? 3)其波形如图 2.4 所示。 （3）由卷积积分性质可知，72 f 1 (t ) ? f 2 (t ) ? f 3 (t ) = f 1 (t ) ? [δ (t + 1) + δ (t ? 1)] ? [? δ (t ? 1) + δ (t ? 2 ) ? δ (t ? 3)] = [ f 1 (t + 1) + f 1 (t ? 1)] ? [? δ (t ? 1) + δ (t ? 2 ) ? δ (t ? 3)] = ? f 1 (t ) + f 1 (t ? 1) ? f 1 (t ? 2 ) ? f 1 (t ? 2 ) + f 1 (t ? 3) ? f 1 (t ? 4) = ? f 1 (t ) + f 1 (t ? 1) ? 2 f 1 (t ? 2) + f 1 (t ? 3) ? f 1 (t ? 4 )其波形如图 2.5 所示。f 1 (t ) ? f 2 (t ) ? f 3 (t )1t-1 0 -1 -2 1 2 3 4 5图 2.5 （4）如图可知， f 2 (t ) = δ (t + 1) + δ (t ? 1) 由含有冲激函数的卷积可得f 2 (t ) ? f 4 (t ) = f 4 (t ) ? f 2 (t ) = f 4 (t ) ? [δ (t + 1) + δ (t ? 1)] = f 4 (t + 1) + f 4 (t ? 1)其波形如图 2.6 所示。f 2 (t ) ? f 4 (t )1 -1 0 1 2t图 2.6 （5）由卷积积分的积微性可知：f 4 (t ) ? f 5 (t ) = f 4(1) (t ) ? f 5(?1) (t ) = [δ (t ) ? δ (t ? 1)]? f 5( ?1) (t ) = f 5( ?1) (t ) ? f 5(?1) (t ? 1)73 由图可知?t f 5 (t ) = ? ?10 & t &1 t ≥1?1 2 t ? ?2 (?1) 即可求得 f 5 (t ) = ? ?t ? 1 ? ? 20 & t &1 t ≥1其波形如图 2.7 所示。f 4 (t ) ? f 5 (t )101 图 2.72t（6）由卷积积分的积微性可知：f 4 (t ) ? f 6 (t ) = f 4( ?1) (t ) ? f 6(1) (t ) = f 4( ?1) (t ) ? [2δ (t ) ? 2δ (t ? 1) + 2δ (t ? 2 ) ? 2δ (t ? 3)] = 2 f 4(?1) (t ) ? f 4(?1) (t ? 1) + f 4( ?1) (t ? 2) ? f 4(?1) (t ? 3)[]由图可知： f 4(?1) (t ) = tε (t ) ? (t ? 1)ε (t ? 1) 即得： f 4 (t ) ? f 6 (t ) = 2[tε (t ) ? 2(t ? 1)ε (t ? 1) + 2(t ? 2 )ε (t ? 2 ) ? 2(t ? 3)ε (t ? 3) + (t ? 4)ε (t ? 4 )] 其波形如图 2.8 所示。f 4 (t ) ? f 6 (t )201234t图 2.8 （7）由图可知： f 2 (t ) ? f 5 (t ) = [δ (t + 1) + δ (t ? 1)] ? f 5 (t ) = f 5 (t + 1) + f 5 (t ? 1) 其波形如图 2.9 所示。 （8）由图可知，f 6 (t ) ? f 7 (t ) = f 6(1) (t ) ? f 7(?1) (t ) = f 7( ?1) (t ) ? [2δ (t ) ? 2δ (t ? 1) + 2δ (t ? 2 ) ? 2δ (t ? 3)] = 2 f 7(?1) (t ) ? f 7(?1) (t ? 1) + f 7(?1) (t ? 2 ) ? f 7(?1) (t ? 3)74[] f 2 (t ) ? f 5 (t )2t-1 0 1 2图 2.9 由图可知： f 7(?1) (t ) = (t + 3)ε (t + 3) ? (t + 2 )ε (t + 2 ) 即得： f 6 (t ) ? f 7 (t ) = 2[(t + 3)ε (t + 3) ? 2(t + 2)ε (t + 2 ) + 2(t + 1)ε (t + 1) ? 2tε (t ) + (t ? 1)ε (t ? 1)] 其波形如图 2.10 所示。f 5 (t ) ? f 8 (t )3f 6 (t ) ? f 7 (t )22-3-2-10 图 2.101t1 20 1 2 图 2.11 3t（9）由卷积积分的积微性可知：f 5 (t ) ? f 8 (t ) = f 8 (t ) ? f 5 (t ) = f 8(1) (t ) ? f 5( ?1) (t ) = [δ (t ) + δ (t ? 1) ? 2δ (t ? 2 )] ? f 5( ?1) (t ) = f 5( ?1) (t ) + f 5(?1) (t ? 1) ? 2 f 5( ?1) (t ? 2)?t f 5 (t ) = ? ?1 0 & t &1 t ≥1由图可知?1 2 t ? ?2 (?1) 即可求得 f 5 (t ) = ? ?t ? 1 ? ? 20 & t &1 t ≥1其波形如图 2.11 所示。 （10）由卷积积分的积微性可知：f 7 (t ) ? f 8 (t ) = f 7(?1) (t ) ? f 8(1) (t ) = f 7( ?1) (t ) ? [δ (t ) + δ (t ? 1) ? 2δ (t ? 2)] = f 7( ?1) (t ) + f 7(?1) (t ? 1) ? 2 f 7( ?1) (t ? 2)75 由图可知： 即得：f 7(?1) (t ) = (t + 3)ε (t + 3) ? (t + 2 )ε (t + 2 )f 7 (t ) ? f 8 (t ) = (t + 3)ε (t + 3) ? 3(t + 1)ε (t + 1) + 2t ε (t )其波形如图 2.12 所示。f 7 (t ) ? f 8 (t )2t-3 -1 0 1图 2.12 2-7 利用冲激函数的取样性质，计算下列积分： （1）∫? π? δ ? t ? ? sin tdt ?∞ 4? ?∞（2）∫ δ (t + 3)e∞ ?∞∞ ?∞?tdt（3）∫ δ (1 ? t )(t∞ ?∞ 10 ?102+ 4 dt2)（4）sin 2t ∫ δ (t ) t dt10 ?10（5）∫ δ (2t ? 3)(2t∞+ t ? 5 dt)（6）∫? 1? 2 δ ' ? t + ? 2t + t ? 5 dt ? 4?2()（7）? t0 ? ε t ? ?δ (t ? t 0 )dt ∫?∞ ? 2? ?（8）∫ δ (t1 ?1? 4 dt)【知识点窍】本题考察冲激函数的取样性质。 【逻辑推理】 f (t )δ (t ? t 0 ) = f (t 0 )δ (t ? t 0 ) ； ∫ f (t ) δ (t ? t 0 )dt = f (t 0 ) ；∞ ?∞δ ' (t ) = ?δ ' (? t )nδ ( n) (t ) = (? 1) δ ( n) (? t )δ ' (t ? t 0 ) = ?δ ' [? (t ? t 0 )]f (t )δ ' (t ) = f (0)δ ' (t ) ? f ' (0 )δ (t )f (t )δ ' (t ? t 0 ) = f (t 0 )δ ' (t ? t 0 ) ? f ' (t 0 )δ (t ? t 0 )∫ ∫∞?∞ ∞ ?∞f (t )δ ' (t )dt = ? f ' (0 ) f (t )δ(n )(t )dt = (? 1) n f ( n) (0)76 ∫ f (t )δ (t ? t )dt = ? f (t ) ( ) ( ) ∫ f (t )δ (t ? t )dt = (?1) f (t )' ' ?∞ ∞ ?∞ 0 0 n n n 0 0∞解： （1）∫∞?∞π 2 ? π? δ ? t ? ? sin tdt = sin = 4? 4 2 ??t（2） （3） （4）∫ δ (t + 3)e∞ ?∞ ∞dt = e 3 + 4 dt = ∫ δ (t ? 1) t 2 + 4 dt = t 2 + 4∞ ?∞∞ ?∞∫ δ (1 ? t )(t?∞∞ ?∞2)()[]t =1=5sin 2t ∫ δ (t ) t dt = ∫2δ (t )sin 2t dt = 2 2t10 ?10（5）∫ δ (2t ? 3)(2t10 ?102+ t ? 5 dt = ∫)1 ? 3? 2 δ ? t ? ? 2t + t ? 5 dt 2 ? 2?()=2 ? 1 1? 3? 3 ?2×? + ? 5? = ? ? ? 2 2? 2 ? ? 2? ?（6）∫1? 2 d ? 2 δ ' ? t + ? 2t + t ? 5 dt = ? 2t + t ? 5 ?10 4 dt ? ?10()()t =?1 4= (? 4t ? 1)t= ? 1 = 04（7）∫∞?∞? t ? ?t ? ε ? t ? 0 ?δ (t ? t 0 )dt = ε ? 0 ? = 1 2? ? ? 2?（8） 2-8∞∫ (1 ?1δ t 2 ? 4 dt = ∫ δ [(t + 2 )(t ? 2 )]dt = 01 ?1)求图 2.13（a）所示系统的零状态响应 y (t ) ，并画出其波形。已知 f (t ) =k = ?∞∑ δ (t ? 2kT ), k = 0,±1, ±2, L, f (t ) 的波形如图 2.13（b）所示。图 2.13【知识点窍】本题考察系统的零状态响应求解法。 【逻辑推理】零状态响应通过求取系统的冲激响应与激励函数相卷积得到。 解：系统的单位冲激响应为77 h (t ) =∫ [δ (τ ) ? δ (τ ? T )]dt = ε (t ) ? ε (t ? T )t ?∞∞h (t ) 的波形如图 2.14（a）所示。故得零状态响应为y zs (t ) = f (t ) ? h(t ) =k = ?∞∑ δ (t ? 2kT ) ? h(t ) = ∑ h(t ? kT ) = 1k = ?∞∞y (t ) 的波形如图 2.14（b）所示。（a） 图 2.14 2-9（b）图 2.15 电路，已知 f (t ) = ε (t ), i (0 ) = 1 A, i ' (0 ) = 2 A / s 。求全响应 i (t ) 。图 2.15【知识点窍】本题考察系统的全响应求解法。 【逻辑推理】基尔霍夫定律列出系统的微分方程，系统的全响应是由零输入响应与零状态响应 组成；零输入响应通过经典法求取，零状态响应通过求取系统的冲激响应与激励函数相卷积得到。 解： （1）电路的微分方程为? 6? ? ?p+5+ p? ?i (t ) = f (t ) ? ?即(p2+ 5 p + 6 i (t ) = pf (t )p f (t ) = H ( p ) f (t ) p + 5p + 62)故 故得转移算子为i (t ) =78 H ( p) =p p ?2 3 = = + p + 5 p + 6 ( p + 2 )( p + 3) p + 2 p + 32（2）零输入响应的通解为 i x (t ) = A1e ?2t + A2e ?3t 将初始条件 i (0) = 1A, i ' (0) = 2 A / s 代入上式可得 A1 = 5 ， A2 = ?4 。 故得零输入响应为i x (t ) = 5e ?2t ? 4e ?3t ε (t )()（A）（3）电路的单位冲激响应为 h (t ) = ? 2e ?2t + 3e ?3t ε (t ) （A） （4）电路的零状态响应为()i f (t ) = f (t ) ? h(t ) = ε (t ) ? ? 2e ?2t + 3e ?3t ε (t )= ε (t ) ? ? 2 e ?2t ε (t ) + ε (t ) ? 3e ?3t ε (t ) = e ?2t ? e ?3t ε (t )（5）全响应为()()()()（A）i (t ) = i x (t ) + i f (t ) = 6e ?2t ? 5e ?3t ε (t )()（A）2-10 图 2.16（a）所示电路，激励 f (t ) 的波形如图 2.16（b）所示。求零状态响应 u c (t ) ，并画出波 形。图 2.16【知识点窍】系统的零状态响应可由激励函数和系统的单位冲激响应相卷积得到。 【逻辑推理】先求取系统的冲激响应，再通过冲激响应与激励函数相卷积即可求得。 解：该电路的微分方程为79 d 2u c + uc = f (t ) dt 2即(p2+ 1 u c = f (t ))转移算子为 故得单位冲激响应为H ( p) =1 p +12h (t ) = sin tε (t )故得u c (t ) = f (t ) ? h(t ) = f ' (t ) ? ∫ sin τε (τ )dτt ?∞= [δ (t ) ? δ (t ? 6π )] ? ∫ sin τ dτt 0= [δ (t ) ? δ (t ? 6π )] ? [? cos τ ]0t= [δ (t ) ? δ (t ? 6π )] ? [1 ? cos t ]ε (t ) = [1 ? cos t ]ε (t ) ? [1 ? cos (t ? 6π )]ε (t ? 6π )u c (t ) 的波形如图 2.17 所示。图 2.17 2-11 已知一线性时不变系统对激励 f (t ) = sin tε (t ) 的零状态响应 y (t ) 的波形如图 2.18 所示。 求该系 统的单位冲激响应 h (t ) ，并画出其波形。图 2.1880 【知识点窍】系统的零状态响应可由激励函数和系统的单位冲激响应相卷积得到。 【逻辑推理】零状态响应由由冲激响应与激励函数相卷积求得，由此利用卷积的积分与微分性 质求取冲激响应。 解： y (t ) = f (t ) ? h(t ) = sin t ε (t ) ? h(t ) ①dy(t ) d = sin t ε (t ) ? h(t ) = cos tε (t ) ? h(t ) dt dtd 2 y (t ) d = cos tε (t ) ? h(t ) = [δ (t ) ? sin t ε (t )] ? h (t ) dt 2 dt= h (t ) ? sin tε (t ) ? h(t )①式＋②式即得： ②h (t ) = y(t ) +d 2 y (t ) = y (t ) + δ (t ) ? 2δ (t ? 1) + δ (t ? 2) dt 2dy (t ) d 2 y (t ) h (t ) 的波形如图 2.19（c ）所示。图 2.19（a） （b）分别为 ， 的波形。 dt dt 2（a）（b） 图 2.19（c ）2-12 图 2.20 所示系统是由几个子系统组合而成，各子系统的冲激响应分别为h1 (t ) = ε (t ) h2 (t ) = δ (t ? 1)h3 (t ) = ?δ (t )（积分器） （单位延时器） （倒相器）求总系统的冲激响应 h (t ) 。 【知识点窍】线性系统的性质。 【逻辑推理】线性系统的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积。81 图 2.20解： h (t ) = h1 (t ) + δ (t ) ? h2 (t ) ? h1 (t ) ? h3 (t )= ε (t ) + δ (t ) ? δ (t ? 1) ? ε (t ) ? [? δ (t )] = ε (t ) ? ε (t ? 1)2-13 在图 2.21 所示系统中， h1 (t ) = δ (t ? 1) ， h2 (t ) = ε (t ) ? ε (t ? 3) ， f (t ) =ε (t ) ? ε (t ? 1) 。求响应 y (t ) ，并画出其波形。图 2.21图 2.22【知识点窍】线性系统的性质。 【逻辑推理】线性系统的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积。 解： f 1 (t ) = f (t ) + f (t ) ? h1 (t ) + f (t ) ? h1 (t ) ? h1 (t )= [ε (t ) ? ε (t ? 1)] + [ε (t ) ? ε (t ? 1)] ? δ (t ? 1) + [ε (t ) ? ε (t ? 1)]? δ (t ? 1) ? δ (t ? 1) = [ε (t ) ? ε (t ? 1)] + [ε (t ? 1) ? ε (t ? 2 )] + [ε (t ? 2 ) ? ε (t ? 3)] = ε (t ) ? ε (t ? 3) y (t ) = f1 (t ) ? h2 (t ) = [ε (t ) ? ε (t ? 3)] ? [ε (t ) ? ε (t ? 3)] = tε (t ) ? 2(t ? 3)ε (t ? 3) + (t ? 6)ε (t ? 6) y (t ) 的波形如图 2.22 所示。2-14 求图 2.23 所示系统的单位冲激响应 h (t ) 。 【知识点窍】系统模拟图与微分方程之间变换。 82 【逻辑推理】由系统模拟图求取系统的微分方程。图 2.23解： h ' (t ) = δ (t ) ?∫ h(τ )dτt ?∞h ' ' (t ) = δ ' (t ) ? h(t )即 即h ' ' (t ) + h(t ) = δ ' (t )(p2+ 1 h(t ) = pδ (t ))1 1 p 故得 H ( p ) = 2 = 2 + 2 p + 1 p + j1 p ? j1故h (t ) =1 ? j1t e + e j1t = cos tε (t ) 2()2-15 已知系统的单位冲激响应 h (t ) = sin tε (t ) ，波形如图 2.24（a）所示，激励的波形如习题图 2.24 （b）所示。求零状态响应 y (t ) 。图 2.24【知识点窍】系统的零状态响应可由激励函数和系统的单位冲激响应相卷积得到。 【逻辑推理】利用卷积积分的积微性进行求取冲激响应与激励函数的卷积。 解：将 h (t ) 积分两次，有：h (?1) (t ) = ∫ sin τε (t )dτ = (1 ? cos t )ε (t )t 0h (? 2) (t ) = ∫ (1 ? cosτ )ε (t )dτ = (t ? sin t )ε (t )t 083 将 f (t ) 微分两次，有f ' ' (t ) = δ (t ) ? 2δ (t ? 2π ) + δ (t ? 4π )故得y (t ) = h (t ) ? f (t ) = h ( ?2) (t ) ? f ' ' (t )= (t ? sin t )ε (t ) ? [δ (t ) ? 2δ (t ? 2π ) + δ (t ? 4π )] = (t ? sin t )ε (t ) ? 2[(t ? 2π ) ? sin (t ? 2π )]ε (t ? 2π ) + [(t ? 4π ) ? sin (t ? 4π )]ε (t ? 4π ) y (t ) 的波形如图 2.25 所示。图 2.25 2-16 如图 2.26（a）所示系统，已知 h1 (t ) = δ (t ? 1) ， h2 (t ) = ?2δ (t ? 1) ， f (t ) = sin tε (t ) ， y f (t ) 的图形如图 2.26（b）所示，求 h3 (t ) 。图 2.26【知识点窍】线性系统的性质与零状态响应的卷积求解。 【逻辑推理】线性系统的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积，零状态响应由由冲激响应与激 励函数相卷积求得。 解：求系统的冲激响应 h (t ) 。 因有 f (t ) = sin tε (t ) ，则得到 y f (t ) = sin tε (t ) ? h(t ) ①84 又因有d2 d sin t ε (t ) = cos tε (t ) = δ (t ) ? sin tε (t ) 2 dt dt d2 sin t ε (t ) + sin t ε (t ) dt 2 ②故得 δ (t ) =又因有d 2 y f (t ) dt 2=d2 sin t ε (t ) ? h (t ) dt 2 d 2 y f (t ) dt 2 = sin t ε (t ) ? h (t ) + d2 sin t ε (t ) ? h (t ) dt 2 ③①式＋③式得： y f (t ) +? d2 ? = ?sin tε (t ) + 2 sin t ε (t )? ? h (t ) dt ? ?将②式代入上式，即 y f (t ) +d 2 y f (t ) dt 2= δ (t ) ? h(t ) = h(t )故得 h (t ) = y f (t ) + δ (t ) ? 2δ (t ? 1) + δ (t ? 2 ) 。 h (t ) 的波形如图 2.27 所示 又有 h (t ) = δ (t ) + h1 (t ) ? h1 (t ) + h2 (t ) + h3 (t )= δ (t ) + δ (t ? 1) ? δ (t ? 1) ? 2δ (t ? 1) + h3 (t ) = δ (t ) + δ (t ? 2 ) ? 2δ (t ? 1) + h3 (t )故得 h3 (t ) = h (t ) ? [δ (t ) ? 2δ (t ? 1) + δ (t ? 2)]= y f (t ) + δ (t ) ? 2δ (t ? 1) + δ (t ? 2) ? [δ (t ) ? 2δ (t ? 1) + δ (t ? 2 )] = y f (t )图 2.2785 http://www.benxiao.com第三章 连续时间信号与系统的频域分析３．１ 学习重点 1、 了解函数正交的条件及完备正交函数集的概念。 2、 能用傅立叶级数的定义式、 基本性质求解周期信号的频谱、 频谱宽度，会画频谱图；理 解连续周期信号频谱的特点，相位谱的作用。 3、 能用傅立叶级数的定义式、 基本性质求解非周期信号的频谱，会画频谱图，求信号的频 谱宽度。 4、 掌握常用周期信号的傅立叶变换和非周期信号的傅立叶变换，理解周期信号与非周期信 号之间的关系。 5、 熟练掌握傅里叶变换的性质，并会灵活应用。 6、 理解功率信号与功率谱、 能量信号与能量谱的概念，会在时域和频域两个域中求解功率 信号的功率和能量信号的能量。 7、 熟练利用傅里叶变换对称特性、 部分分式展开法、 傅里叶变换性质和常见信号的傅里叶 变换对，求傅立叶反变换。 8、 深刻理解频域系统函数 H ( jω ) 的定义，物理意义，会求解并应用。 9、 掌握系统零状态响应、 零输入响应和全响应的频域求解方法；连续周期信号响应的频域 分析方法。 10、 理解无失真传输系统，及无失真传输的条件。 11、 理解理想滤波器的定义、 传输特性等。 12、 了解抽样信号的频谱及其求解，理解抽样定理。 13、 了解调制与解调的基本定理与应用。 14、 用 MATLAB 进行连续时间信号与系统的频域分析95 ３．２ 教材习题同步解析 ３．１ 如图 ３．１ 所示信号 f (t ) ，求指数型与三角型傅里叶级数，并画出频谱图。 图 ３．１ 【知识点窍】信号指数型与三角型傅里叶级数的写法，频谱图画法。 【逻辑推理】三角型的傅里叶级数为 f (t ) =a0 + a1 cos ω 0 t + a 2 cos 2ω 0t + L + b1 sin ω 0t + b2 sin 2ω 0t + L 2 ∞ a = 0 + ∑ (a n cos nω 0t + bn sin nω 0t ) 2 n=1式中 a 0 , an , bn 称为傅里叶系数，分别代表了信号 f (t ) 的直流分量，余弦分量和正经弦分量的振荡幅度， 其值分别由下式确定：2 T + t0 f (t )dt T ∫t0 2 T +t0 a n = ∫ f (t ) cos nω 0tdt T t0 2 T + t0 bn = ∫ f (t ) sin nω0 tdt T t0 a0 =信号指数型为： n = 1,2,L n = 1,2, Ljn ω t f (t ) = ∑ Fn e0∞n = ?∞Fn = Fn e j? n 96 1 t0 +T f (t )e ? jnω0 t dt T ∫t0 n = 0,±1,±2, L Fn =解： （１）由图 ３．１（ａ）可知，该信号的解析式为： f (t ) = 1 ?１） 傅里叶系数 1 t T0≤ t ≤T a0 =2 T2 ∫ f (t )dt = T ∫T 0T01 ? 2? 1 2? ? T ? = 1 ?1 ? t ? dt = ?T ? T? 2T ? T ? ?an =2 T 2 T? 1 ? f (t ) cos nω0 tdt = ∫ ? 1 ? t ? cos nω0 tdt ∫ 0 T T 0? T ? 2 T 2 T = ∫ cos nω 0tdt ? 2 ∫ t cos nω0 tdt T 0 T 0 2 sin nω0 t = T nω 0T?02 T2∫T0t d sin nω 0 t nω0T 2 2 ? T = sin nω 0T ? t sin nω0 t 0 ? ∫ sin nω 0tdt ? 2 ? 0 ? ? nω 0T nω 0T ? T d cos nω t 1 2 0 sin 2nπ + 2 ∫0 nπ nω0T ? nω 0 2 T = ? 2 2 2 cos nω 0t 0 = 0 n = 1,2, L n ω0 T =[]T=2π ω0bn =2 T =2 ∫ f (t ) sin nω tdt = T ∫T 0 0T0? 1 ?1? ? T? t ? sin nω0 tdt ?2 T∫T0sin nω 0tdt ?T2 T2∫TT0t sin nω0 tdt2 cos nω 0t = T ? nω 0 2 = nω 0T 2 =?02 T2∫T0t d cos nω 0 t ? nω 0T ?t cos nω t ? cos nω tdt ? 0 0 0 ∫0 ? ? ? ?T d sin nω t 2 2 0 cos 2 nπ ? 2 ∫ 0 nω 0T nω 0T nω0 1 2 1 T = ? 2 2 2 sin nω 0t 0 = nπ n ω 0 T nπ[]n = 1, 2, LT=2π ω0该信号的三角傅里叶级数为 f (t ) =1 ∞ 1 +∑ sin nω 0t 2 n=1 nπ97 其频谱图如图 ３．２（ａ）所示。 An1 2 1 π0 11 2π2 （ａ） 31 3πω Fn1 6π-31 4π-21 π-11 21 π11 4π2 31 6πω 0 （ｂ） 图 ３．２ ２）指数型 Fn =1 T = =∫t0 +Tt0f (t ) e ? jnω0 t dt =1 T ? 1 ? ? jnω 0t 1 T 1 dt = ∫ e? jnω0t dt ? 2 ?1? t ? e ∫ 0 0 T ? T ? T T∫T0te? jnω0 t dt1 1 ?e ? jnω0 t T ? ? ? 0 ? ? ? ? jnω0T ? jnω0T 2∫T0tde? jnω0 tT ? jn ω t 1 1 1 ? ? jnω0 t T ? jnω T e 0 + + te ? ∫ e 0 dt ? 2 ? 0 0 ? ? ? jnω0T jnω0T jnω0T ?1 1 1 = e ? jnω0 T + + ? jnω0T jnω0T jnω0T 2 = = 1 1 ? jnω T + 2 2 2 2? e 0 ? jnω0T j n ω0 T 1 j 2 nπ? ? jnω0 T T ? 1 ? e ? jnω0 t ? ?Te 0 ? jnω0 ? ? 1 1 ? j 2 nπ ? ? 1? ? = j 2nπ + n 2π 2 ? ?1 ? e ?() n = ±1, ±2,LF0 = 1 T∫ f (t ) dt = T ∫0T1T0? 1 ?1? ? T1 ? t ? dt = 2 ?该信号的指数型傅里叶级数为 f (t ) =n = ?∞∑∞1 jn ω t e 0 j 2nπ98 其频谱图如图 ３．２（ｂ）所示。 （２）由图 ３．１（ｂ）可知，其周期为 T = 2π ，其频 ω 0 = 1 ，信号的解析式为： ? cos t ? ? f (t ) = ? ?0 ? ??π π ≤t ≤ 2 2 π 3π ≤t≤ 2 2１）由图可知，该函数为偶函数，故 bn = 0 。由题可傅里叶系数为 2 a0 = T an =∫π 2 π ? 2 π4 cos tdt = T∫π 20cos tdt =4 2 = T π cos t cos ntdt 2 2 4 π cos t cos nω 0 tdt = ∫ T ?2 T =π 2 0∫π 202 [cos (n + 1)t + cos(n ? 1)t ]dt T∫ 2? 1 π 1 π ? 2 nπ = ? sin + sin cos ?= ? 2 T ?n + 1 2(n + 1) n ? 1 2(n ? 1) ? n ?1π 2()n = 1,2,L该信号的三角傅里叶级数为 f (t ) =其频谱图如图 ３．３（ａ）所示。 ２）指数型 1 ∞ 2 nπ +∑ 2 cos sin nt π n=1 n ? 1 π 2()Fn =1 T∫π 2 π ? 2f (t ) e ? jnω0 t dt =2 2 2 cos te ? jnt dt = ∫ T 0 Tπ∫ 2 (e0π 21? jt+ e jt ) e? jnt dt 1 ? j n ?1 t + e ( ) ? j ( n ? 1) Tπ π 2 01 π 1 ? j n +1 t ? j n ?1 t ? j n +1 t = ∫ 2 ?e ( ) + e ( ) ? dt = e ( ) ? ? 0 T ? j ( n + 1) T =ππ 2 0 ? j ( n +1 ) ? j (n ?1 ) 1 1 1 1 2 2 e + + e + ? j ( n + 1) T j ( n + 1) T ? j ( n ?1) T j ( n ? 1) Tn = 0, ±1, ±2,Ljn ω t f (t ) = ∑ Fn e0∞n = ?∞其频谱图如图 ３．３（ｂ）所示。 99 An1 π11 2 2 3π202 ? 15π（ａ） 462 35π ω Fn1 35π-6 -41 3π ? 1 15π-21 4-11 π1 41 21 3π 1 ? 15π41 35π6ω 0（ｂ） 图 ３．３ （3）由图 3.1（c ）所示，方波信号在一个周期内的解析式为?E ? ? f (t ) = ? 2 ? ?E ? ? 2分别求得傅里叶系数?T 2 ≤ t & 0 0≤ t ≤T 2an =2 0 ?E? 2 T2 ? E ? cos n ω tdt + ? ? ? ? ? cos nω 0tdt T 0 T ∫? 2 ? 2 ? T ∫0 ? 2 ? E T 2 (sin nω0 t ) 0 = ? (sin nω 0t ) 0 = 0 ?T 2 nω 0T[ []bn =2 T E? ?E? 2? sin n ω tdt + ? ? ? ? ? sin nω 0 tdt 0 ∫? T2 ? 2 ? ∫ T 0 ? 2? E T 2 = (? cos nω 0t ) 0 + (cos nω 0t ) 0 ?T 2 nω 0T E = [2 cos(nπ ) ? 2] 2πn 2 T0]100 即? 2E ?? bn = ? nπ ? ?0故得信号的傅里叶级数展开式为n为奇数 n为偶数f (t ) = ?2E ? 1 1 1 ? ? sin ω 0t + sin 3ω 0t + sin 5ω 0t + L + sin nω0 t + L? π ? 3 5 n ? n = 1,3,5, L它只含有 1、3、5、……等奇次谐波分量。其频谱图如图 3.4（a）所示。 ２）指数型 1 Fn = T2 T ? E ? ? jnω0 t ? E? e dt + ∫ 2 ? ? ? e ? jnω0 t dt ? ∫?T2 ? 0 T ? 2? ?2? T 2 E ? ? jnω0 t 0 ? = e ? e ? jnω0 t ? ? ? T 2 0 ? -jnω0T ?0()()E = -jnω0T =其指数型表达式为 jnω 0T jnω0T ? ? ? 2 2 1 ? e ? e + 1? ? ? ? E [ 2 ? 2cos nπ ] -j2π nf (t ) =其频谱图如图 ３．４（ｂ）所示。 E [ 2 ? 2cos nπ ]e jnω 0t n = ? ∞ ? j 2π n∑∞An2E π2E 3π2E 5π52E 7πω0 1 3 7 （ａ） 101 E π E 7π E 5π E 3πFnE π E 3πE 5π5E 7π7ω 013（ｂ） 图 ３．４ （３）由图 ３．１（ｄ）所示，该函数为奇谐函数，其只含有基波和奇次谐波的正弦、余弦项，而不包含偶次 谐波项，级数中的系统分别为 a0 = 0 an = bn = 0 n为偶数 n 为奇数时， an = 4 22 t cos nω0tdt ∫ T ∫0 T T T ? 8 ? 2 2 = 2 ?t sin nω0t 0 ? ∫0 sin nω0tdt ? T nω0 ? ? T 4 8 2 = sin nπ + 2 2 2 cos nω0t 0 Tnω0 T n ω0 f ( t ) cos nω0tdt = =? 16 4 =? 2 2 2 2 T n ω0 nπ2 T T4 TT 2 0Tbn =4 2 4 2 f ( t ) sin nω0tdt = ∫ 2 t sin nω0tdt ∫ T 0 T 0 T T T ? ?8 ? 2 2 = 2 ?t cos nω0t 0 ? ∫0 cos nω0tdt ? T nω0 ? ? T ?4 8 = cos nπ + 2 2 2 sin nω0t 02 Tnω0 T n ω0 = ?4 8 2 cos nπ + 2 2 2 sin nπ = Tnω0 T n ω0 nπ 102 An = an + bn222 2 ? ? 2 ? ?? 2 ? = ? ? ?? ? + 1? ? nπ ? ? ? ?? nπ ? ? =故得信号的傅里叶级数展开式为2 2 2 4+n π 2 nπ2n = 1,3,5, Lf (t ) = ?4 ? 1 1 ? cos ω0t + cos3ω0t + cos5ω0t + L ? 2 ? π ? 9 25 ?2? 1 1 ? + ? sin ω0t + sin3ω0t + sin5ω0t + L ? π? 3 5 ?其频谱图如图 ３．５ 所示。 An2 2 π 42 + π 2 2 9π 42 + 9π 2 2 2 25π542 + 25π 2ω0 1 3 图 ３．５ ３．２ 已知某 ＬＴＩ 系统的单位冲激响应为 h (t ) = e ?4t ε (t ) ，对下列输入信号，求输出响应 y (t ) 的傅里叶级数 表示式。 （１） f (t ) = cos 2πt （２） f (t ) = δ (t ? t 0 ) 【知识点窍】主要考察 ＬＴＩ 系统的系统频率特性 【逻辑推理】输出响应的傅里叶变换为激励的傅里叶变换与系统频率特性乘积，而系统频率特性就是 系统的单位冲激响}
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