从近几年的真题来看，数学线性代数出题没有过多的变化，2014年的考研学子们，如何做到在千军万马中胜出，需要我们提前准备，更要做到心中有数，下面跨考教育数学教研室张老师就考研中线性代数部分的复习重点在考前再给大家梳理一遍。
　　一、行列式与矩阵
　　第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节，有必要熟练掌握。
　　行列式的核心内容是求行列式，包括具体行列式的计算和抽象行列式的计算，其中具体行列式的计算又有低阶和高阶两种类型;主要方法是应用行列式的性质及按行列展开定理化为上下三角行列式求解。对于抽象行列式的求值，考点不在求行列式，而在于相关性质，矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵运算的运算规律、运算性质、矩阵可逆的判定及求逆、矩阵的秩的性质、初等矩阵的性质等。
　　二、向量与线性方程组
　　向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。相比之下，行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节;后两章特征值、特征向量、二次型的内容则相对独立，可以看作是对核心内容的扩展。
　　向量与线性方程组的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。
　　解线性方程组可以看作是出发点和目标。线性方程组(一般式)
　　还具有两种形式：(1)矩阵形式，(2)向量形式 。
　　1)齐次线性方程组与线性相关、无关的联系
　　齐次线性方程组 可以直接看出一定有解，因为当变量都为零时等式一定成立;印证了向量部分的一条性质“零向量可由任何向量线性表示”。
　　齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：①有唯一零解;②有非零解。当齐次线性方程组有唯一零解时，是指等式中的变量只能全为零才能使等式成立，而当齐次线性方程组有非零解时，存在不全为零的变量使上式成立;但向量部分中判断向量组是否线性相关无关的定义也正是由这个等式出发的。故向量与线性方程组在此又产生了联系：齐次线性方程组 是否有非零解对应于系数矩阵的列向量组是否线性相关。可以设想线性相关无关的概念就是为了更好地讨论线性方程组问题而提出的。
　　2)齐次线性方程组的解与秩和极大无关组的联系
　　同样可以认为秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的。秩的定义是“极大线性无关组中的向量个数”。经过 “秩 → 线性相关无关 → 线性方程组解的判定”的逻辑链条，就可以判定列向量组线性相关时，齐次线性方程组有非零解，且齐次线性方程组的解向量可以通过r个线性无关的解向量(基础解系)线性表示。
　　3)非齐次线性方程组与线性表示的联系
　　非齐次线性方程组是否有解对应于向量是否可由列向量组线性表示，使等式成立的一组数就是非齐次线性方程组的解。
　　三、特征值与特征向量
　　相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重点，但却是一个考试重点。其原因是解决相关题目要用到线代中的大量内容――既有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关，“牵一发而动全身”。本章知识要点如下：
　　1.特征值和特征向量的定义及计算方法就是记牢一系列公式和性质。
　　2.相似矩阵及其性质，需要区分矩阵的相似、等价与合同：
　　3.矩阵可相似对角化的条件，包括两个充要条件和两个充分条件。充要条件1是n阶矩阵有n个线性无关的特征值;充要条件2是任意r重特征根对应有r个线性无关的特征向量。
　　4.实对称矩阵及其相似对角化，n阶实对称矩阵必可正交相似于对角阵。
　　四、二次型
　　本章所讲的内容从根本上讲是第五章《特征值和特征向量》的一个延伸，因为化二次型为标准型的核心知识为“对于实对称矩阵A存在正交矩阵C使得A可以相似对角化”，其过程就是上一章相似对角化在为实对称矩阵时的应用。
　　本章知识要点如下：
　　1.二次型及其矩阵表示。
　　2.用正交变换化二次型为标准型。
　　3.正负定二次型的判断与证明。
　　第一章 行列式
　　1、行列式的定义
　　2、行列式的性质
　　3、特殊行列式的值
　　4、行列式展开定理
　　5、抽象行列式的计算
　　第二章 矩阵
　　1、矩阵的定义及线性运算
　　2、乘法
　　3、矩阵方幂
　　4、转置
　　5、逆矩阵的概念和性质
　　6、伴随矩阵
　　7、分块矩阵及其运算
　　8、矩阵的初等变换与初等矩阵
　　9、矩阵的等价
　　10、矩阵的秩
　　第三章 向量
　　1、向量的概念及其运算
　　2、向量的线性组合与线性表出
　　3、等价向量组
　　4、向量组的线性相关与线性无关
　　5、极大线性无关组与向量组的秩
　　6、内积与施密特正交化
　　7、n维向量空间(数学一)
　　第四章 线性方程组
　　1、线性方程组的克莱姆法则
　　2、齐次线性方程组有非零解的判定条件
　　3、非齐次线性方程组有解的判定条件
　　4、线性方程组解的结构
　　第五章 矩阵的特征值和特征向量
　　1、矩阵的特征值和特征向量的概念和性质
　　2、相似矩阵的概念及性质
　　3、矩阵的相似对角化
　　4、实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵
　　第六章 二次型
　　1、二次型及其矩阵表示
　　2、合同变换与合同矩阵
　　3、二次型的秩
　　4、二次型的标准型和规范型
　　5、惯性定理
　　6、用正交变换和配方法化二次型为标准型
　　7、正定二次型及其判定
(责任编辑：王淼)
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线性代数发展史
关于线性发展的历史，计算单元为(组)，，。
线性代数发展史基本简介
由于研究关联着多个因素的量所引起的问题，则需要考察。如果所研究的关联性是的，那么称这个问题为线性问题。历史上的第一个问题是关于解的问题，而线性方程组理论的发展又促成了作为工具的论和理论的创立与发展，这些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。最初的线性方程组问题大都是来源于生活实践，正是实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。另外，近现代数学分析与几何学等数学分支的要求也促使了线性代数的进一步发展。
线性代数有三个基本计算单元：(组)，矩阵，行列式，研究它们的性质和相关定理，能够求解线性方程组，实现行列式与和线性变换，构建向量空间和欧式空间。的两个基本方法是构造（分解）和代数法，基本思想是（降解）和同构变换。
线性代数发展史行列式
出现于的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具。行列式是由和日本数学家发明的。 1693 年4 月，莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列式，并给出方程组的为零的条件。同时代的日本数学家关孝和在其著作《解伏题元法》中也提出了行列式的概念与算法。
1750 年，瑞士数学家(G.Cramer,) 在其著作《线性代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的。稍后，数学家贝祖(E.Bezout,) 将确定每一项符号的方法进行了系统化，利用概念指出了如何判断一个有非。
总之，在很长一段时间内，行列式只是作为解的一种，并没有人意识到它可以独立于线性方程组之外，单独形成一门理论加以研究。
在行列式的发展史上，第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组求解相分离的人，是法国数学家范德蒙(A-T.Vandermonde,) 。范德蒙自幼在父亲的指导下学习音乐，但对数学有浓厚的兴趣，后来终于成为科学院院士。特别地，他给出了用二阶子式和它们的来展开的法则。就对行列式本身这一点来说，他是这门理论的奠基人。 1772 年，在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则，推广了他的展开行列式的方法。
继范德蒙之后，在行列式的理论方面，又一位做出突出贡献的就是另一位法国大数学家。 1815 年，柯西在一篇论文中给出了行列式的第一个系统的、几乎是近代的处理。其中主要结果之一是行列式的定理。另外，他第一个把行列式的元素排成方阵，采用双足标记法；引进了行列式的术语；给出了相似行列式概念；改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了一个证明等。
19 世纪的半个多世纪中，对行列式理论研究始终不渝的作者之一是詹姆士·西尔维斯特(J.Sylvester,) 。他是一个活泼、敏感、兴奋、热情，甚至容易激动的人，然而由于是犹太人的缘故，他受到的不平等对待。西尔维斯特用火一般的热情介绍他的学术思想，他的重要成就之一是改进了从一个 次和一个 次的中消去 x 的方法，他称之为配析法，并给出形成的为零时这两个多项式有公共根这一结果，但没有给出证明。
继之后，在行列式理论方面最多产的人就是德国数学家(J.Jacobi,) ，他引进了，即“”，指出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用，给出了函数行列式的公式。雅可比的著名论文《论行列式的形成和性质》标志着行列式的建成。由于行列式在、几何学、理论、二次型理论等多方面的应用，促使行列式理论自身在19世纪也得到了很大发展。整个19 世纪都有行列式的新结果。除了一般行列式的大量定理之外，还有许多有关特殊行列式的其他定理都相继得到。
线性代数发展史矩阵
是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于而发明了这个述语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。
英国数学家(A.Cayley,) 一般被公认为是矩阵论的创立者，因为他首先把矩阵作为一个独立的提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。凯莱同研究下的不变量相结合，首先引进以简化记号。 1858 年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了关于矩阵的理论。文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。另外，还给出了方阵的和特征根（）以及有关矩阵的一些基本结果。凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭，大学毕业后留校讲授数学，三年后他转从律师职业，工作卓有成效，并利用业余时间研究数学，发表了大量的数学论文。
1855 年，埃米特(C.Hermite,) 证明了别的数学家发现的一些类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来 ，克莱伯施(A.Clebsch,) 、布克海姆(A.Buchheim) 等证明了的特征根性质。泰伯(H.Taber) 引入的概念并给出了一些有关的结论。
在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯(G.Frobenius,) 的贡献是不可磨灭的。他讨论了最小问题，引进了、不变因子和因子、、矩阵的、等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。 1854 年，约当研究了化为标准型的问题。 1892 年，(H.Metzler) 引进了矩阵的概念并将其写成矩阵的的形式。、西尔和的著作中还讨论了无限阶矩阵问题，这主要是适用方程发展的需要而开始的。
矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论。而矩阵论又可分为矩阵方程论、论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。矩阵及其理论现已广泛地应用于现代科技的各个领域。
线性代数发展史方程组
线性方程组的解法，早在中国古代的数学著作《九章算术 方程》章中已作了比较完整的论述。其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的施行行变换从而消去未知量的方法，即。在西方，线性方程组的研究是在 17 世纪后期由开创的。他曾研究含两个未知量的三个线性方程组组成的方程组。在 18 世纪上半叶研究了具有二、三、四个未知量的线性方程组，得到了现在称为的结果。不久也发表了这个法则。 18世纪下半叶，法国数学家贝祖对线性方程组理论进行了一系列研究，证明了 元有非的条件是等于零。
19 世纪，英国数学家(H.Smith) 和(C-L.Dodgson) 继续研究线性方程组理论，前者引进了方程组的增广和非增广矩阵的概念，后者证明了 个未知数 个方程的方程组相容的是和增广相同。这正是现代方程组理论中的重要结果之一。
大量的科学技术问题，最终往往归结为解线性方程组。因此在线性方程组的数值解法得到发展的同时，线性方程组解的结构等理论性工作也取得了令人满意的进展。现在，线性方程组的数值解法在中占有重要地位。
线性代数发展史二次型
也称为“二次形式”，P上的 n元二次齐次多项式称为数域 P上的n元二次型。二次型是我们教材的后继内容，为了我们后面的学习，这里对于二次型的发展历史我们也作简单介绍。二次型的系统研究是从 18 世纪开始的，它起源于对和的分类问题的讨论。将二次曲线和二次曲面的变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状，这个问题是在 18 世纪引进的。在其著作中给出结论：当方程是标准型时，二次曲面用二次项的符号来进行分类。然而，那时并不太清楚，在化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正项和负项。西尔维斯特回答了这个问题，他给出了 个变数的二次型的惯性定律，但没有证明。这个定律后被重新发现和证明。 1801 年，在《算术研究》中引进了二次型的、负定、半正定和半负定等术语。
二次型的进一步研究涉及二次型或的的概念。特征方程的概念隐含地出现在欧拉的著作中，在其关于组的著作中首先明确地给出了这个概念。而三个变数的二次型的的实性则是由(J-N.P.Hachette) 、和(S.D.Poisson,) 建立的。
在别人著作的基础上，着手研究化简变数的二次型问题，并证明了特征方程在的任何变换下不变性。后来，他又证明了 个变数的两个二次型能用同一个同时化成平方和。
1851 年，西尔维斯特在研究和的切触和相交时需要考虑这种二次曲线和二次曲面束的分类。在他的中他引进了因子和不变因子的概念，但他没有证明“不变因子组成两个二次型的不变量的完全集”这一结论。
1858 年，对同时化两个二次型成平方和给出了一个一般的方法，并证明，如果二次型之一是正定的，那么即使某些特征根相等，这个也是可能的。魏尔斯特拉斯比较系统的完成了二次型的理论并将其推广到。
线性代数发展史从解方程到群论
求根问题是方程理论的一个中心课题。 16 世纪，数学家们解决了三、的求根公式，对于更高次方程的求根公式是否存在，成为当时的数学家们探讨的又一个问题。这个问题花费了不少数学家们大量的时间和精力。经历了屡次失败，但总是摆脱不了困境。
到了 18 世纪下半叶，拉格朗日认真总结分析了前人失败的经验，深入研究了的根与置换之间的关系，提出了预解式概念，并预见到预解式和各根在排列置换下的形式不变性有关。但他最终没能解决高次方程问题。拉格朗日的弟子鲁菲尼 (Ruffini,) 也做了许多努力，但都以失败告终。高次方程的解的讨论，在杰出数学家那里取得了很大进展。阿贝尔 (N.K.Abel,) 只活了 27 岁，他一生贫病交加，但却留下了许多创造性工作。 1824 年，阿贝尔证明了次数大于四次的一般不可能有根式解。但问题仍没有彻底解决，因为有些特殊可以用根式求解。因此，高于四次的代数方程何时没有解，是需要进一步解决的问题。这一问题由法国数学家伽罗瓦全面透彻地给予解决。
伽罗瓦 (E.Galois,) 仔细研究了拉格朗日和阿贝尔的著作，建立了方程的根的“容许”置换，提出了置换群的概念，得到了代数方程用根式解的是置换群的自同构群可解。从这种意义上，我们说伽罗瓦是的创立者。伽罗瓦出身于巴黎附近一个富裕的家庭，幼时受到良好的家庭教育，只可惜，这位天才的数学家英年早逝， 1832 年 5 月，由于政治和爱情的纠葛，在一次决斗中被打死，年仅 21 岁。
的概念和结论是最终产生的第一个主要来源。抽象群产生的第二个主要来源则是(R.Dedekind,) 和(L.Kronecker,) 的有限群及有限的抽象定义以及(A.Kayley,) 关于有限抽象群的研究工作。另外，(F.Clein,) 和(J-H.Poincare,) 给出了无限和其他类型的无限群， 19 世纪 70 年代，李 (M.S.Lie,) 开始研究连续变换群，并建立了连续群的一般理论，这些工作构成抽象群论的第三个主要来源。
年，(W.vondyck,) 的论文把上述三个主要来源的工作纳入抽象群的概念之中，建立了（抽象）群的定义。到 19 世纪 80 年代，数学家们终于成功地概括出抽象群论的公理体系。
20 世纪 80 年代，群的概念已经普遍地被认为是数学及其许多应用中最基本的概念之一。它不但渗透到诸如几何学、、函数论、及其他许多数学分支中而起着重要的作用，还形成了一些新学科如拓扑群、、代数群等，它们还具有与群结构相联系的其他结构，如拓扑、解析流形、等，并在、、以及编码学、等方面，都有重要作用。
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2016年考研数学 线性代数 行列式 克莱姆法则
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2016年考研数学 线性代数 行列式 克莱姆法则
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