C语言作业，编写一个程序完成以下八个数字的从小到大排序。（10.3.6.12.7.8.5.4）。_百度知道
C语言作业，编写一个程序完成以下八个数字的从小到大排序。（10.3.6.12.7.8.5.4）。
C语言作业，编写一个程序完成以下八个数字的从小到大排序。（10.3.6.12.7.8.5.4）。求大神帮助
我有更好的答案
#include&stdio.h&void&sorted(int&a[],int&n){&//选择法排序&小-&大&&&&int&i,j,k,t;&&&&for(i=0;i&n-1;i++){&&&&&&&&k=i;&&&&&&&&for(j=i+1;j&n;j++){&&&&&&&&&&&&if(a[k]&a[j])k=j;}&&&&&&&&&if(k!=i){t=a[k];a[k]=a[i];a[i]=t;}}}int&main(){&&&&int&n=8,i;&&&&int&a[]={10,3,6,12,7,8,5,4};&&&&printf(&排序前的数组：&);&&&&for(i=0;i&n;i++)printf(&%d&&,a[i]);printf(&\n&);&&&&&&&&&&sorted(a,n);printf(&排序后的数组：&);&&&&for(i=0;i&n;i++)printf(&%d&&,a[i]);printf(&\n&);&&&&&&&&return&0;}
是从小到大排序么
还有那个排序前和排序后是怎么填
你运行一下程序看看不就知道啦
采纳率：74%
来自团队：
#include&&stdio.h&//冒泡排序(升序)void&bubble_sort(int&a[],int&n){&&&&int&i,j;&&//j表示趟数,i表示每i趟两两比较的次数&&&&int&&//临时变量&&&&for(j=0;j&n-1;j++)&&&&&&&&for(i=0;i&n-1-j;i++)&&&&&&&&{&&&&&&&&&&&&if(a[i]&&&a[i+1])&&&&&&&&&&&&{&&&&&&&&&&&&&&&&tmp=a[i];&&&&&&&&&&&&&&&&a[i]=a[i+1];&&&&&&&&&&&&&&&&a[i+1]=&&&&&&&&&&&&}&&&&&&&&}}int&main(){ int&a[8]={10,3,6,12,7,8,5,4}; bubble_sort(a,8); for(int&i=0;i&8;i++) {
printf(&%d&&,a[i]); } printf(&\n&); return&0;}运行结果如下：
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小学数学奥数 1--6 年级培优讲座、习题集、与答案完整版计数问题排列组合讲义1、“IMO”是国际数学奥林匹克的缩写，把这 3 个字母用 3 种不同颜色来写，现有 5 种不同颜色的笔，问共有多少钟不同的写法？分析：从 5 个元素中取 3 个的排列：P（5、3）=5×4×3=602、从数字 0、1、2、3、4、5 中任意挑选 5 个组成能被 5 除尽且各位数字互异的五位数，那么共可以组成多少个不同的五位数？分析：个位数字是 0：P（5、4）=120；个位数字是 5：P（5、4）－P（4、3）=120－24=96，（扣除 0 在首位的排列）合计 120＋96 =216另：此题乘法原理、加法原理结合用也是很好的方法。3、用 2、4、5、7 这 4 个不同数字可以组成 24 个互不相同的四位数，将它们从小到大排列，那么 7254 是第多少个数？分析：由已知得每个数字开头的各有 24÷4=6 个，从小到大排列 7 开头的从第 6×3＋1=19 个开始，易知第 19 个是 7245，第 20 个 7 254。4、有些四位数由 4 个不为零且互不相同的数字组成，并且这 4 个数字的和等于 12，将所有这样的四位数从小到大依次排列，第 24 个这样的四位数是多少？分析：首位是 1：剩下 3 个数的和是 11 有以下几种情况：⑴2＋3＋6=11，共有 P（3、3）=6 个；⑵2＋4＋5=11，共有 P（3、3）=6 个；首位是 2：剩下 3 个数的和是 10 有以下几种情况：⑴1＋3＋6=10，共有 P（3、3）=6 个；⑵1＋4＋5=10，共有 P（3、3）=6 个；以上正好 24 个，最大的易知是 2631。5、用 0、1、2、3、4 这 5 个数字，组成各位数字互不相同的四位数，例如 1023、2341 等，求全体这样的四位数之和。分析：这样的四位数共有 P（4、1）×P（4、3）=96 个1、2、3、4 在首位各有 96÷4=24 次，和为（1＋2＋3＋4）×1000×24=240000； 1、2、3、4 在百位各有 24÷4×3=18 次，和为（1＋2＋3＋4）×100×18=18000； 1、2、3、4 在十位各有 24÷4×3=18 次，和为（1＋2＋3＋4）×10×18=1800； 1、2、3、4 在个位各有 24÷4×3=18 次，和为（1＋2＋3＋4）×1×18=180；总和为 240000＋18000＋1800＋180=2599806、计算机上编程序打印出前 10000 个正整数：1、2、3、……、10000 时，不幸打印机有毛病，每次打印数字 3 时，它都打印出 x， 问其中被错误打印的共有多少个数？分析：共有 10000 个数，其中不含数字 3 的有：五位数 1 个，四位数共 8×9×9×9=5832 个，三位数共 8×9×9=648 个，二位数共 8×9=72 个，一位数共 8 个，不含数字 3 的共有 1＋5832＋648＋72＋8=6561 所求为 10000－ 个7、在 1000 到 9999 之间，千位数字与十位数字之差（大减小）为 2，并且 4 个数字各不相同的四位数有多少个？分析：1□3□结构：8×7=56，3□1□同样 56 个，计 112 个； 2□4□结构：8×7=56，4□2□同样 56 个，计 112 个； 3□5□结构：8×7=56，5□3□同样 56 个，计 112 个； 4□6□结构：8×7=56，6□4□同样 56 个，计 112 个； 5□7□结构：8×7=56，7□5□同样 56 个，计 112 个； 6□8□结构：8×7=56，8□6□同样 56 个，计 112 个； 7□9□结构：8×7=56，9□7□同样 56 个，计 112 个； 2□0□结构：8×7=56， 以上共 112×7×56=840 个8、如果从 3 本不同的语文书、4 本不同的数学书、5 本不同的外语书中选取 2 本不同学科的书阅读，那么共有多少种不同的选择？分析：因为强调 2 本书来自不同的学科，所以共有三种情况：来自语文、数学：3×4=12；来自语文、外语：3×5=15；来自数学、 外语：4×5=20；所以共有 12＋15＋20=479、某条铁路线上，包括起点和终点在内原来共有 7 个车站，现在新增了 3 个车站，铁路上两站之间往返的车票不一样，那么，这样 需要增加多少种不同的车票？分析：方法一：一张车票包括起点和终点，原来有 P（7、2）=42 张，（相当于从 7 个元素中取 2 个的排列），现在有 P（10、2）= 90，所以增加 90－42=48 张不同车票。方法二：1、新站为起点，旧站为终点有 3×7=21 张，2、旧站为起点，新站为终点有 7×3=21 张，3、起点、终点均为新站有 3×2=6 张，以上共有 21＋21＋6=48 张10、7 个相同的球放在 4 个不同的盒子里，每个盒子至少放一个，不同的放法有多少种？分析：因为 7=1＋1＋1＋1＋1＋1＋1，相当于从 6 个加号中取 3 个的组合，C（6、3）=20 种11、从 19、20、21、22、……、93、94 这 76 个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法总数是多少？分析：76 个数中，奇数 38 个，偶数 38 个 有 703＋703=1406 种偶数＋偶数=偶数：C（38、2）=703 种，奇数＋奇数=偶数：C（38、2）=703 种，以上共12、用两个 3，一个 1，一个 2 可组成若干个不同的四位数，这样的四位数一共有多少个？分析：因为有两个 3，所以共有 P（4、4）÷2=12 个13、有 5 个标签分别对应着 5 个药瓶，恰好贴错 3 个标签的可能情况共有多少种？分析：第一步考虑从 5 个元素中取 3 个来进行错贴，共有 C（5、3）=10，第二步对这 3 个瓶子进行错贴，共有 2 种错贴方法，所以 可能情况共有 10×2=20 种。14、有 9 张同样大小的圆形纸片，其中标有数码“1”的有 1 张，标有数码“2”的有 2 张，标有数码“3”的有 3 张，标有数码“4” 的有 3 张，把这 9 张圆形纸片如呼所示放置在一起，但标有相同数码的纸片不许*在一起。 ⑴如果 M 处放标有数码“3”的纸片，一共有多少种不同的放置方法？ ⑵如果 M 处放标有数码“2”的纸片，一共有多少种不同的放置方法？分析：⑴如果 M 处放标有数码“3”的纸片，只有唯一结构：在剩下的 6 个位置中，3 个“4”必须隔开，共有奇、偶位 2 种放法，在剩下 的 3 个位置上“1”有 3 种放法（同时也确定了“2”的放法）。 由乘法原理得共有 2×3=6 种不同的放法。⑵如果 M 处放标有数码“2”的纸片，有如下几种情况：结构一： 3 个“3”和 3 个“4”共有 2 种放法，再加上 2 和 1 可以交换位置，所以共有 2×2=4 种；结构二：3 个“4”有奇、偶位 2 种选择（相应的“1”也定了，只能*着已有的“3”，加上 2 和 3 可以交换，所以共有 2×2=4 种；结构三：3 个“3”有奇、偶位 2 种选择，“1”有唯一选择，只能*到已有的“4”，加上 2 和 4 可以交换位置，所以共有 2×2=4 种，以上共有 4＋4＋4=12 种不同的放法。15、一台晚会上有 6 个演唱节目和 4 个舞蹈节目。问：⑴如果 4 个舞蹈节目要排在一起，有多少种不同的安排顺序？⑵如果要求每 两个舞蹈节目之间至少安排一个演唱节目，一共有多少种不同的安排顺序？分析：⑴4 个舞蹈节目要排在一起，好比把 4 个舞蹈在一起看成一个节目，这样和 6 个演唱共有 7 个节目，全排列 7！，加上 4 个 舞蹈本身也有全排 4！，所以共有 7！×4！=120960 种。⑵4 个舞蹈必须放在 6 个演唱之间，6 个演唱包括头尾共有 7 个空档，7 个空档取出 4 个放舞蹈共有 P（7、4），加上 6 个演 唱的全排 6！，共有 P（7、4）×6！=604800 种。行程问题讲义1、甲、乙两地相距 6 千米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行 80 米，后一半时间平均每分钟行 70 米。问他走后一半路 程用了多少分钟？分析：解法１、全程的平均速度是每分钟（80+70）/2=75 米，走完全程的时间是
分钟，走前一半路程速度一定是 80 米， 时间是 .5 分钟，后一半路程时间是 80-37.5=42.5 分钟解法 2：设走一半路程时间是 x 分钟，则 80*x+70*x=6*1000，解方程得：x=40 分钟因为 80*40=3200 米，大于一半路程 3000 米，所以走前一半路程速度都是 80 米，时间是 .5 分钟，后一半路程时间是 40 +（40-37.5）=42.5 分钟答：他走后一半路程用了 42.5 分钟。2、小明从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路、一半下坡路。小明上学走两条路所用的时间一样多。已 知下坡的速度是平路的 1.5 倍，那么上坡的速度是平路的多少倍？分析：解法 1：设路程为 180，则上坡和下坡均是 90。设走平路的速度是 2，则下坡速度是 3。走下坡用时间 90/3=30，走平路一共 用时间 180/2=90，所以走上坡时间是 90-30=60 下坡速度的 45/60=0.75 倍。 走与上坡同样距离的平路时用时间 90/2=45 因为速度与时间成反比，所以上坡速度是解法 2：因为距离和时间都相同，所以平均速度也相同，又因为上坡和下坡路各一半也相同，设距离是 1 份，时间是 1 份，则下坡时 间=0.5/1.5=1/3，上坡时间=1-1/3=2/3，上坡速度=（1/2）/（2/3）=3/4=0.75解法 3：因为距离和时间都相同，所以：1/2*路程/上坡速度+1/2*路程/1.5=路程/1，得：上坡速度=0.75答：上坡的速度是平路的 0.75 倍。3、一只小船从甲地到乙地往返一次共用 2 小时，回来时顺水，比去时的速度每小时多行驶 8 千米，因此第二小时比第一小时多行驶 6 千米。那么甲、乙两地之间的距离是多少千米？分析：解法１，第二小时比第一小时多走 6 千米，说明逆水走 1 小时还差 6/2=3 千米没到乙地。顺水走 1 小时比逆水多走 8 千米， 说明逆水走 3 千米与顺水走 8-3=5 千米时间相同，这段时间里的路程差是 5-3=2 千米，等于 1 小时路程差的 1/4，所以顺水速度是每小时 5*4=20 千米（或者说逆水速度是 3*4=12 千米）。甲、乙两地距离是 12*1+3=15 千米解法２，顺水每小时比逆水多行驶 8 千米，实际第二小时比第一小时多行驶 6 千米，顺水行驶时间=6/8=3/4 小时，逆水行驶时间=2 -3/4=5/4，顺水速度：逆水速度=5/4：3/4=5：3，顺水速度=8*5/（5-3）=20 千米/小时，两地距离=20*3/4=15 千米。答：甲、乙两地距离之间的距离是 15 千米。4、一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔 5 分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走 15 分钟。有一个人 从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站。他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站。在路上他又遇到了 10 辆迎面开来的电车。到达甲站时， 恰好又有一辆电车从甲站开出。问他从乙站到甲站用了多少分钟？分析：骑车人一共看到 12 辆车，他出发时看到的是 15 分钟前发的车，此时第 4 辆车正从甲发出。骑车中，甲站发出第 4 到第 12 辆 车，共 9 辆，有 8 个 5 分钟的间隔，时间是 5*8=40（分钟）。答：他从乙站到甲站用了 40 分钟。5、甲、乙两人在河中游泳，先后从某处出发，以同一速度向同一方向游进。现在甲位于乙的前方，乙距起点 20 米，当乙游到甲现在的位置时，甲将游离起点 98 米。问：甲现在离起点多少米？分析：甲、乙速度相同，当乙游到甲现在的位置时，甲也又游过相同距离，两人各游了（98-20）/2=39（米），甲现在位置：39+20 =59（米）答：甲现在离起点 59 米。6、甲、乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲每小时行 56 千米，乙每小时行 48 千米，两车在离两地中点 32 千米处相遇。问： 东西两地的距离是多少千米？分析：解法 1：甲比乙 1 小时多走 8 千米，一共多走 32*2=64 千米，用了 64/8=8 小时，所以距离是 8*（56+48）=832（千米）解法 2：设东西两地距离的一半是 X 千米，则有：48*（X+32）=56*（X-32），解得 X=416，距离是 2*416=832（千米）解法 3：甲乙速度比=56：48=7：6，相遇时，甲比乙多行=（7-6）/（7+6）=1/13，两地距离=2*32/（1/13）=832 千米。答：东西两地间的距离是 832 千米。7、李华步行以每小时 4 千米的速度从学校出发到 20.4 千米外的冬令营报到。0.5 小时后，营地老师闻讯前往迎接，每小时比李华多 走 1.2 千米。又过了 1.5 小时，张明从学校骑车去营地报到。结果 3 人同时在途中某地相遇。问：骑车人每小时行驶多少千米？分析：老师速度=4+1.2=5.2（千米），与李相遇时间是老师出发后（20.4-4*0.5）/（4+5.2）=2（小时），相遇地点距离学校 4*（0. 5+2）=10（千米），所以骑车人速度=10/（2+0.5-2）=20（千米）答：骑车人每小时行驶 20 千米。8、快车和慢车分别从甲、乙两地同时开出，相向而行，经过 5 小时相遇。已知慢车从乙地到甲地用 12.5 小时，慢车到甲地停留 0. 5 小时后返回，快车到乙地停留 1 小时后返回，那么两车从第一次相遇到第二次相遇需要多少时间？分析：解法１，快车 5 小时行过的距离是慢车 12.5-5=7.5 小时行的距离，慢车速度/快车速度=5/7.5=2/3。两车行 1 个单程用 5 小 时，如果不停，再次相遇需要 5*2=10 小时，如果两车都停 0.5 小时，则需要 10.5 小时再次相遇。快车多停 30 分钟，这段路程快车与慢 车一起走，需要 30/（1+2/3）=18（分钟）所以 10.5 小时+18 分钟=10 小时 48 分钟解法 2：回程慢车比快车多开半小时，这半小时慢车走了 0.5/12.5=1/25 全程，两车合起来少开 1/25，节省时间=5*1/25=0.2 小时， 所以，从第一次相遇到第二次相遇需要=5*2+1-0.2=10.8 小时。答：两车从第一次相遇到第二次相遇需要 10 小时 48 分钟。9、某校和某工厂之间有一条公路，该校下午 2 时派车去该厂接某劳模来校作报告，往返需用 1 小时。这位劳模在下午 1 时便离厂步 行向学校走来，途中遇到接他的汽车，便立刻上车驶向学校，在下午 2 时 40 分到达。问：汽车速度是劳模步行速度的几倍？解：汽车走单程需要 60/2=30 分钟，实际走了 40/2=20 分钟的路程，说明相遇时间是 2：20，2 点 20 分相遇时，劳模走了 60+20=80 分钟，这段距离汽车要走 30-20=10 分钟，所以车速/劳模速度=80/10=8答：汽车速度是劳模步行速度的 8 倍。10、已知甲的步行的速度是乙的 1.4 倍。甲、乙两人分别由 A，B 两地同时出发。如果相向而行，0.5 小时后相遇；如果他们同向而行，那么甲追上乙需要多少小时？分析：两人相向而行，路程之和是 AB，AB=速度和*0.5；同向而行，路程之差是 AB，AB=速度差*追及时间。速度和=1.4+1=2.4，速 度差=1.4-1=0.4。所以：追及时间=速度和/速度差*0.5=2.4/0.4*0.5=3（小时）答：甲追上乙需要 3 小时。11、猎狗发现在离它 10 米的前方有一只奔跑着的兔子，马上紧追上去。兔跑 9 步的路程狗只需跑 5 步，但狗跑 2 步的时间，兔却跑 3 步。问狗追上兔时，共跑了多少米路程？分析：狗跑 2 步时间里兔跑 3 步，则狗跑 6 步时间里兔跑 9 步，兔走了狗 5 步的距离，距离缩小 1 步。狗速=6*速度差，路程=10*6= 60（米）答：狗追上兔时，共跑了 60 米。12、张、李两人骑车同进从甲地出发，向同一方向行进。张的速度比李的速度每小时快 4 千米，张比李早到 20 分钟通过途中乙地。 当李到达乙地时，张又前进了 8 千米。那么甲、乙两地之间的距离是多少千米？分析：解法 1，张速度每小时 8/（20/60）=24（千米），李速度每小时 24-4=20（千米），张到乙时超过李距离是 20*（20/60）=20 /3（千米）所以甲乙距离=24*（20/3/4）=40（千米）解法 2：张比李每小时快 4 千米，现共多前进了 8 千米，即共骑了 8/4=2 小时，张从甲到乙用了 2*60-20=100 分钟，所以甲乙两地距 离=（100/20）*8=40 千米。答：甲、乙两地之间的距离是 40 千米。13、上午 8 时 8 分，小明骑自行车从家里出发；8 分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家 4 千米的地方追上了他；然后爸爸立刻回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上他的时候，离家恰好是 8 千米。问这时是几时几分？分析：爸爸第一次追上小明离家 4 千米，如果等 8 分钟，再追上时应该离家 8 千米，说明爸爸 8 分钟行 8 千米，爸爸一共行了 8+8= 16 分钟，时间是 8 点 8 分+8 分+16 分=8 点 32 分。答：这时 8 点 32 分。14、龟兔进行 10000 米赛跑，兔子的速度是乌龟的速度的 5 倍。当它们从起点一起出发后，乌龟不停地跑，兔子跑到某一地点开始 睡觉，兔子醒来时乌龟已经领先它 5000 米；兔子奋起直追，但乌龟到达终点时，兔子仍落后 100 米。那么兔子睡觉期间，乌龟跑了多少 米？分析：兔子跑了 00 米，这段时间里乌龟跑了 =1980 米，兔子睡觉时乌龟跑了 =8020 米答：兔子睡觉期间乌龟跑了 8020 米。15、一辆大轿车与一辆小轿车都从甲地驶往乙地。大轿车的速度是小轿车速度的 0.8 倍。已知大轿车比小轿车早出发 17 分钟，但在 两地中点停了 5 分钟后，才继续驶往乙地；在小轿车出发后中途没有停，直接驶往乙地，最后小轿车却比大轿车早 4 分钟到达乙地。又 知大轿车是上午 10 时从甲地出发的，求小轿车追上大轿车的时间。分析：解法 1，大车如果中间不停车，要比小车多费 17-5+4=16 分钟，大车用的时间与小车用的时间之比是速度比的倒数，即 1/0.8 =5/4，所以大车行驶时间是 16/（5-4）*5=80 分钟，小车行驶时间是 80-16=64 分钟，走到中间分别用了 40 和 32 分钟。大车 10 点出发， 到中间点是 10 点 40 分，离开中点是 10 点 45 分，到达终点是 11 点 25 分。小车 10 点 17 分出发，到中间点是 10 点 49 分，比大车晚 4 分；到终点是 11 点 21 分，比大车早 4 分。所以小车追上大车的时间是在从中间点到终点之间的正中间，11 点 5 分。解法 2：大轿车的速度是小轿车速度的 0.8 倍，大轿车的用时是小轿车用时的 1/0.8=1.25 倍，大轿车比小轿车多用时 17-5+4=16 分 钟，大轿车行驶时间=16*（1.25/0.25）=80 分钟，小轿车行驶时间=16/（0.25）=64 分钟，小轿车比大轿车实际晚开 17-5=12 分钟，追 上需要=12*0.8/（1-0.8）=48 分钟，48+17=65 分=1 小时 5 分，所以，小轿车追上大轿车的时间是 11 时 5 分答：小轿车追上大轿车的时间是 11 点 5 分。第二讲义1、某解放车队伍长 450 米，以每秒 1.5 米的速度行进。一战士以每秒 3 米的速度从排尾到排头并立即返回排尾，那么这需要多少时间？分析：从排尾到排头用的时间是 450/（3-1.5）=300 秒，从排头回排尾用的时间是 450/（3+1.5）=100 秒，一共用了 300+100=400 秒答：需要 400 秒。2、铁路旁的一条平行小路上，有一行人与一骑车人同进向南行进，行人速度为每小时 3.6 千米，骑车人速度为每小时 10.8 千米。 这时，有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用 22 秒钟，通过骑车人用 26 秒钟。这列火车的车身总长是多少米？分析：设火车速度是每秒 X 米。行人速度是每秒 3.6*=1（米），骑车人速度是每秒 1.8*=3（米）根据已知 条件列方程：（X-1）*22=（X-3）*26，解得：X=14（米），车长=（14-1）*22=286（米）分析２，骑车人速度是行人速度的 10。8/3。6=3 倍，22 秒时火车通过行人（设行人这 22 秒所走的路程为 1），车尾距骑车人还有 2 倍行人 22 秒所走的路程，即距离 2；26 秒（即又过 4 秒）时，火车通过骑车人，骑车人行=4*（3/22）=6/11，火车行 2+6/11=28/11，火 车与骑车人的速度比为 28/11：6/11=14：3；火车速度=14*10.8/3=504 千米/小时；火车车长=（）*22/ 米。答：这列火车的车身总长是 286 米。3、一列客车通过 250 米长的隧道用 25 秒，通过 210 米长的隧道用 23 秒。已知在客车的前方有一列行驶方向与它相同的货车，车身长为 320 米，速度每秒 17 米。求列车与华车从相遇到离开所用的时间。分析：客车速度是每秒（250-210）/（25-23）=20 米，车身长=20*23-210=250 米客车与火车从相遇到离开的时间是（250+320）/（20-17）=190（秒）答：客车与火车从相遇到离开的时间是 190 秒。4、铁路旁有一条小路，一列长 110 米的火车以每小时 30 千米的速度向北缓缓驶去。14 小时 10 分钟追上向北行走的一位工人，15 秒种后离开这个工人；14 时 16 分迎面遇到一个向南走的学生，12 秒后离开这个学生。问工人与学生将在何时相遇？分析：解法 1：工人速度是每小时 30-0.11/（15/3600）=3.6 千米 学生速度是每小时（0.11/12/3600）-30=3 千米 14 时 16 分到两人相遇需要时间（30-3.6）*6/60/（3.6+3）=0.4（小时）=24 分钟 14 时 16 分+24 分=14 时 40 分解法 2：（车速-工速）*15=车长=（车速+学速）*12,那么 工速+学速=（车速+学速）-（车速-工速）=（1/12-1/15）*车长而 14 点 10 分火车追上工人，14 点 16 分遇到学生时，工人与学生距离恰好是 （车速-工速）*6=6/15*车长 这样，从此时到工人学生相遇用时 （6/15*车长）/[（1/12-1/15）*车长]=（6/15）/（1/12-1/15）=24 分答：工人与学生将在 14 时 40 分相遇。5、东、西两城相距 75 千米。小明从东向西走，每小时走 6.5 千米；小强从西向东走，每小时走 6 千米；小辉骑自行车从东向西， 每小时骑行 15 千米。3 人同时动身，途中小辉遇见小强又折回向东骑，这样往返，直到 3 人在途中相遇为止。问：小辉共走了多少千米？分析：3 人相遇时间即明与强相遇时间，为 75/（6.5+6）=6 小时，小辉骑了 15*6=90 千米答：小辉共骑了 90 千米。6、设有甲、乙、两 3 人，他们步行的速度相同，骑车的速度也相同，骑车的速度是步行速度的 3 倍。现甲从 A 地去 B 地，乙、丙从 B 地去 A 地，双方同时出发。出发时，甲、乙为步行，丙骑车。途中，当甲、丙相遇时，丙将车给甲骑，自己改为步行，3 人仍按各自原 有方向继续前进；当甲、乙相遇时，甲将车给乙骑，自己重又步行，3 人仍按各自原有方向继续前进。问：3 人之中谁最先达到自己的目 的地？谁最后到达目的地？分析：如图，甲与乙在 M 点相遇，甲走了 AM，同时乙也走了同样距离 BN。当甲与乙在 P 点相遇时，乙一共走了 BP，甲还要走 PB，而丙只 走了 MA。所以 3 人步行的距离，甲=AM+PB，乙=BP，丙=MA。甲最远，最后到；丙最短，最先到。分析２，由于每人的步行速度和骑车速度都相同，所以，要知道谁先到、谁后到，只要计算一下各人谁步行最长，谁步行最短。将 整个路程分成 4 份，甲丙最先相遇，丙骑行 3 份，步行 1 分；甲先步行了 1 份，然后骑车与乙相遇，骑行 2*3/4=3/2 份，总步行 4-3/2= 5/2 份；乙步行 1+（2-3/2）=3/2，骑行 4-3/2=5/2 份，所以，丙最先到，甲最后到。答：丙最先到达自己的目的地，甲最后到达自己的目的地。7、有甲、乙、丙 3 人，甲每分钟走 100 米，乙每分钟走 80 米，丙每分钟走 75 米。现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇后 6 分钟后，甲又与丙相遇。那么，东、西两村之间的距离是多少米？分析：甲、乙相遇时，乙比丙多走的路程，正好是甲、丙 6 分钟的路程之和=（100+75）*6，乙比丙每分钟多走（80-75）米，因此 甲、乙相遇时走了：[（100+75）*6/（80-75）]分钟，两村的距离是（100+80）*[（100+75）*6/（80-75）]=37800（米）答：东、西两村之间的距离是 37800 米。8、甲、乙、丙 3 人进行 200 米赛跑，当甲到达终点后，乙离终点还有 20 米，丙离终点还有 25 米。如果甲、乙、丙赛跑的速度始终 不变，那么，当乙到达终点时，丙离终点还有多少米？（答案保留两位小时。）分析：乙跑 200-20=180 米比丙多跑 25-20=5 米，所以乙到达终点时，丙比乙少跑 200/180*5=5（5/9）=5.56（米）答：当乙到达终点时，丙离终点还有 5.56 米。9、张、李、赵 3 人都从甲地到乙地。上午 6 时，张、李两人一起从甲地出发，张每小时走 5 千米，李每小时走 4 千米。赵上午 8 时 从甲地出发。傍晚 6 时，赵、张同时到过乙地。那么赵追上李的时间是几时？分析：甲、乙距离是 5*12=60（千米），赵的速度是 60/10=6（千米），赵追上李时走了（4*2）/（6-4）=4（小时），这时的时间 是 8+4=12（点）分析２，赵晚走 2 小时，此时张已走出 5*2=10 千米，李走出 4*2=8 千米，从上午 8 时到下午 18：00 时，共 10 个小时，赵、张同时 到达乙地，赵每小时比张多走 10/10=1 千米，那么赵比李每小时多走 1+1=2 千米，追上需要 8/2=4 小时，即追上为 12：00 时。答：赵追上李的时间是 12 时。10、快、中、慢 3 辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人。这 3 辆车分别用 6 分钟、10 分钟、12 分钟追上骑 车人。现在知道快车每小时走 24 千米，中车每小时走 20 千米，那么，慢车每小时走多少千米？分析：快车 6 分钟行 24*=2400（米），中车 10 分钟行 20*=3333（1/3）（米） 骑车人速度每分钟行（3333（1/3）-2400）/（10-6）=700/3（米） 慢车 12 分钟行 *6+700/3*12=3800（米），每小时行 =190000（米）=19（千米）分析２，6 分钟快车追上骑车人时，中车与它们还相差 6*（24-20）/60=0.4 千米，10 分钟时，中车又开了 4*20/60=4/3 千米，追上 骑车人，说明骑车人 4 分钟骑了 4/3-0.4=14/15 千米，即骑车人速度=（14/15）*（60/4）=14 千米/小时，因为快车用 6 分钟追上骑车人，由此可知原本三辆汽车落后骑车人 6*（24-14）/60=1 千米，12 分钟时，骑车人离三车出发点 1+14*12/60=3.8 千米，所以，慢车速度= （3.8/12）*60=19 千米/小时。答：慢车每小时行 19 千米。11、客车和货车分别从甲、乙两站同进相向开出，第一次相遇在离甲站 40 千米的地方，相遇后两车仍以原速度继续前进。客车到达乙站、货车达到甲站后均立即返回，结果它们又在离乙站 20 千米的地方相遇。求甲、乙两站之间的距离。分析：第一次相遇一共走了全程 S，其中客车走 40 千米 S+20=3*40，解得 S=100（千米）第二次相遇两车一共又走了 3 个全程 2S，其中客车走（S+20）千米所以答：甲、乙两站之间的距离是 100 千米。12、甲、乙、丙是 3 个车站。乙站到甲、丙两站的距离相等。小明和小强分别从甲、丙两站同时出发，机向而行。小明过乙站 100 米后与小强相遇，然后两人又继续前进。小明走到两站立即返回，经过乙站后 300 米又追上小强。问：甲、丙两站的距离是多少米？分析：第一次相遇，小明走：全程的一半+100 米从第一次相遇点再到追上小强时离乙站 300 米，300-100=200 米，小明又走：全程+200 米，可知第二段距离是第一段距离的 2 倍。小强第二段也应该走第一段的 2 倍，100+300=400 米，所以第一段走 400/2=200 米。乙丙距 离=200+100=300 米，甲丙距离=2*300=600 米。答：甲、丙两站距离是 600 米。13、甲、乙两地之间有一条公路。李明从甲地出发步行去乙地，同时张平从乙地出发骑摩托车去甲地，80 分钟后两人在途中相遇。张平到达甲地后马上折回乙地，在第一次相遇后又经过 20 分钟在途中追上李明。张平达到乙地后又马上折回甲地，这样一直下去。问：当李明到达乙在，张平共追上李明多少次？分析：设李 20 分钟走 1 份距离，则 80 分钟走 4 份张 20 分钟后追上李，李这时走了 4+1 份距离，张 202 分钟走 4+5=9 份，所以速度比：李速度/张速度=1/9。李走完单程时张应该走 9 个单程，追上的次数是（9-1）/2=4（次）答：当李明到达乙地时，张平共追上李明 4 次。14、甲、乙两车分别从 A，B 两地出发，在 A，B 之间不断往返行驶。已知甲车的速度是每小时 15 千米，乙车的速度是每小时 35 千 米，并且甲、乙两车第三次相遇（两车同时到达同一地点即称相遇）的地点与第四次相遇的地点恰好相距 100 千米，那么两地之间的距 离等于多少千米？分析：甲速度/乙速度=15/35=3/7，第三次相遇时两车一共行驶 5 个 AB，其中甲行 5*3/10=1（5/10）AB，第四次相遇时两车一共行驶 7 个 AB，其中甲行 7*3/10=2（1/10）AB，这两点的距离是 5/10-1/10=4/10AB=100（千米） 所以 AB=100*10/4=250（千米）答：两地之间的距离是 250 千米。15、两名游泳运动员在长为 30 米的游泳池里来回游泳，甲的速度是每秒游 1 米，乙的速度是每秒游 0.6 米，他们同时分别从游泳池 的两端出发，来回共游了 5 分钟。如果不计转向的时间，那么在这段时间内两人共相遇多少次？分析：5 分钟两人一共游了（1+0.6）*5*60=480 米第一次迎面相遇，两人一共游了 30 米；以后两人和起来每游 2*30=60 米，就迎面相遇一次，480=30+60*7+30，迎面相遇了 8 次。甲比乙多游了（1-0.6）*5*60=120 米，甲第一次追上乙时，比乙多游 30 米；以后每 多游 2*30=60 米，就又追上追上乙一次，120=30+60+30，甲一共追上乙 2 次 两人相遇次数=8+2=10 次。分析２，甲的速度是每秒游 1 米，一个来回 60 秒=1 分钟，5 分钟共游了 5 个来回；乙的速度是每秒游 0.6 米，一个来回 100 秒，5 分钟共游了 5*60/100=3 个来回；画图很容易可以看出共相遇了几次。答：在这段时间内两人共相遇 10 次。计算问题多位数与小数讲义1.计算：+19.91+1.991.解析：+19.91+1.991 =.1+0.9+19.91+0.09+1.991+0.009-(9+0.9+0.09+0.009) =+2-9.999 =.001 =2.计算：7142.85÷3.7÷2.7×1.7×0.7.解析：7142.85÷3.7÷2.7×1.7×0.7 =7142.85÷37÷27×17×7 =7142.85×7÷999×17 =49999.95÷999×17 =50.05×17 =850.853.光的速度是每秒 30 万千米，太阳离地球 1 亿 5 千万千米.问：光从太阳到地球要用几分钟？（答案保留一位小数.）解析：÷300000÷60=150÷3÷6=50÷6≈8.33≈8.3（分）光从太阳到地球要用约 8.3 分钟。4.已知 105.5+[(40+□÷2.3) ×0.5-1.53] ÷(53.6÷26.8×0.125)=187.5,那么□所代表的数是多少？ 解析：105.5+[(40+□÷2.3) ×0.5-1.53] ÷(53.6÷26.8×0.125) =105.5+（20+□÷4.6-1.53）÷(2×26.8÷26.8×0.125) =105.5+(18.47+□÷4.6) ÷0.25 =105.5+18.47÷0.25+□÷4.6÷0.25 =105.5+73.88+□÷1.15 因为 105.5+73.88+□÷1.15＝187.5 所以□=(187.5-105.5-73.88) ×1.15=8.12×1.15=8.12+0.812+0.406=9.338 答：□=9.3385.22.5-(□×32-24×□) ÷3.2=10 在上面算式的两个方框中填入相同的数，使得等式成立。那么所填的数应是多少？解析：22.5-(□×32-24×□) ÷3.2 =22.5-□×(32-24) ÷3.2 =22.5-□×8÷3.2 =22.5-□×2.5 因为 22.5-□×2.5=10，所以□×2.5=22.5-10，□=(22.5-10) ÷2.5=5 答：所填的数应是 5。6.计算：0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+0.17+0.19+0.21+…+0.99.解析：0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+0.17+0.19+0.21+…+0.99 =(0.1+0.9) ×5÷2+(0.11+0.99) ×45÷2 =2.5+24.75 =27.257.计算：37.5×21.5×0.112+35.5×12.5×0.112.解析：37.5×21.5×0.112+35.5×12.5×0.112 =0.112×（37.5×21.5+35.5×12.5） =0.112×（12.5×3×21.5+35.5×12.5） =0.112×12.5×（3×21.5+35.5） =0.112×12.5×100 =1250×（0.1+0.01+0.002） =125+12.5+2.5 =1408.计算：3.42×76.3+7.63×57.6+9.18×23.7.解析：3.42×76.3+7.63×57.6+9.18×23.7 =7.63×（34.2+57.6）+9.18×23.7 =7.63×91.8+91.8×2.37 =(7.63+2.37) ×91.8 =10×91.8 =9189.计算：(32.8×91-16.4×92-1.75×656) ÷(0.2×0.2).解析：(32.8×91-16.4×92-1.75×656) ÷(0.2×0.2) =(16.4×2×91-16.4×92-16.4×40×1.75) ÷(0.2×0.2) =16.4×(182-92-70) ÷(0.2×0.2) =16.4×20÷0.2÷0.2 =82×100 =820010.计算：(2+3.15+5.87) ×(3.15+5.87+7.32)-(2+3.15+5.87+7.32) ×(3.15+5.87).解析：(2+3.15+5.87) ×(3.15+5.87+7.32)-(2+3.15+5.87+7.32) ×(3.15+5.87) =(2+3.15+5.87) ×(3.15+5.87+7.32)-2×(3.15+5.87) -(3.15+5.87+7.32) ×(3.15+5.87) =(3.15+5.87+7.32) ×(2+3.15+5.87-3.15-5.87) -2×(3.15+5.87) =(3.15+5.87+7.32) ×2-2×(3.15+5.87) =(3.15+5.87) ×2+7.32 ×2-2×(3.15+5.87) =7.32×2 =14.6411.求和式 3+33+333+…+33…3（10 个 3）计算结果的万位数字.解析：个位 10 个 3 相加，和为 30，向十位进 3； 十位 9 个 3 相加，和为 27，加上个位的进位 3 得 30，向百位进 3； 百位 8 个 3 相加，和为 24，加上十位的进位 3 得 27，向千位进 2；千位 7 个 3 相加，和为 21，加上百位的进位 2 得 23，向万位进 2； 万位 6 个 3 相加，和为 18，加上千位的进位 2 得 20，万位得数是 0。 答：计算结果的万位数字是 0。12.计算：19+199+1999+…+199…9（1999 个 9）.解析：19+199+1999+…+199…9（1999 个 9） =(20-1)+(200-1)+(2000-1)+…+(200…0（1999 个 0）-1) =22…20（1999 个 2）-1999×1 =22…2(1996 个 2)022113.算式 99…9（1992 个 9）×99…9（1992 个 9）+199…9（1992 个 9）的计算结果的末位有多少个零？解析：99…9（1992 个 9）×99…9（1992 个 9）+199…9（1992 个 9） =99…9（1992 个 9）×（100…0-1）（1992 个 0）+199…9（1992 个 9） =99…9（1992 个 9） 0（1992 个 0） - 99…9（1992 个 9）+199…9（1992 个 9） =99…9（1992 个 9） 0（1992 个 0）+100…0（1992 个 0） =100…0（3984 个 0）14.计算：33…3（10 个 3）×66…6（10 个 6）.解析：33…3（10 个 3）×66…6（10 个 6） =33…3（10 个 3）×3×22…2（10 个 2） =99…9（10 个 9）×22…2（10 个 2） =(100…0（10 个 0）-1) ×22…2（10 个 2） =22…2（10 个 2）00…0（10 个 0）-22…2（10 个 2） =22…2（9 个 2）177（9 个 7）815.求算式 99…9（1994 个 9）×88…8（1994 个 8）÷66…6（1994 个 6）的计算结果的各位数字之和.解析：99…9（1994 个 9）×88…8（1994 个 8）÷66…6（1994 个 6） =9×11…1（1994 个 1）×8×11…1（1994 个 1）÷6÷11…1（1994 个 1） =9×8÷6×11…1（1994 个 1）=12×11…1（1994 个 1） =（10+2）×11…1（1994 个 1） =11…1（1995 个 1）+22…2（1994 个 1） =13333…3（1993 个 1） 2 各位数字之和=1+1993×3+2=5982 答：计算结果的各位数字之和 5982。组合问题构造与论证讲义1、有一把长为 9 厘米的直尺，你能否在上面只标出 3 条刻度线，使得用这把直尺可以量出从 1 至 9 厘米中任意整数厘米的长度？分析：可以。（1）标 3 条刻度线，刻上 A，B，C 厘米（都是大于 1 小于 9 的整数），那么，A，B，C，9 这 4 个数中，大减小两两之 差，至多有 6 个：9-A，9-B，9-C，C-A，C-B，B-A，加上这 4 个数本身，至多有 10 个不同的数，有可能得到 1 到 9 这 9 个不同的数。（2） 例如刻在 1，2，6 厘米处，由 1，2，6，9 这 4 个数，以及任意 2 个的差，能够得到从 1 到 9 之间的所有整数：1，2，9-6=3，6-2=4，61=5，6，9-2=7，9-1=8，9。（3）除 1，2，6 之外，还可以标出 1，4，7 这 3 个刻度线：1，9-7=2，4-1=3，4，9-4=5，7-1=6，7，9-1= 8，9。另外，与 1，2，6 对称的，标出 3，7，8；与 1，4，7 对称的，标出 2，5，8 也是可以的。2、一个三位数，如果它的每一位数字都不超过另一个三位数对应数位上的数字，那么就称它被后下个三位数“吃掉”。例如，241 被 352 吃掉，123 被 123 吃掉（任何数都可以被与它相同的数吃掉），但 240 和 223 互相都不能被吃掉。现请你设计 6 个三位数，它们当 中任何一个都不能被其它 5 个数吃掉，并且它们的百位数字只允许取 1，2，3，4。问这 6 个三位数分别是多少？分析：6 个三位数都不能互吃，那么其中任意两个数，都不能同时有 2 个数位相同。由于百位只取 1，2，十位只取 1，2，3，所以， 只能让 3 个数百位是 1，另外 3 个数百位数是 2。百位是 1 的 3 个数，分别配上十位 1，2，3；百位是 2 的 3 个数同样。这样先保证前两 位没有完全一样的。即：11*，12*，13*，21*，22*，23*。11*最小，个位应取取最大的，4，它要求另外 5 个数个位均小于 4。114 12*较小，个位应取 3，它要求前两位能吃 12*的数，个位小于 3。123 3*的数个位小于 2。132 13*个位取 2，就不能吃前两数，同时它要求前两位能吃 1 22*个位取 2 即可。222 23*各位必须取 1。23121*较小，个位应取 3，才能不被 23*和 22*吃。213所以这 6 个数是 114，123，132，213，222，231。3、盒子里放着红、黄、绿 3 种颜色的铅笔，并且规格也有 3 种：短的、中的和长的。已知盒子的铅笔，3 种颜色和 3 种规格都齐全。 问是否一定能从中选出 3 支笔，使得任意 2 支笔在颜色和规格上各不相同？分析：如果能选出 3 支笔，使得任意 2 支笔在颜色和规格上各不相同，则这 3 支笔必须包含红、黄、绿，短、中、长这 6 个因子， 即不能有重复因子出现。但是这种情况并不能保证出现。例如，盒子中有 4 种笔：红短，黄短，绿中，绿长，3 种颜色和 3 种规格都齐全， 由于红和黄只出现 1 次，必须选，但是这时短已经出现 2 次，必然无法满足 3 支笔 6 个因子的要求。所以，不一定能选出。4、一个立方体的 12 条棱分别被染成白色和红色，每个面上至少要有一条边是白色的，那么最少有多少条边是白色的？分析：立方体的 12 条棱位于它的 6 个面上，每条棱都是两个相邻面的公用边，因此至少有 3 条边是白色的，就能保证每个面上至少 有一条边是白色。如图就是一种。5、国际象棋的皇后可以沿横线、竖线、斜线走，为了控制一个 4×4 的棋盘至少要放几个皇后？分析：2×2 棋盘，1 个皇后放在任意一格均可控制 2×2=4 格；3×3 棋盘，1 个皇后放在中心格里即可控制 3×3=9 格；4×4 棋盘， 中心在交点上，1 个皇后不能控制两条对角线，还需要 1 个皇后放在拐角处控制边上的格。所以至少要放 2 个皇后。如图所示。6、在如图 10-1 所示表格第二行的每个空格内，填入一个整数，使它恰好表示它上面的那个数字在第二行中出现的次数，那么第二行中的 5 个数字各是几？分析：设第二行从左到右填入 A，B，C，D，E，则 A+B+C+D+E=5 若 E 大于 0，如 E=1，则 B=1，A+C+D=3，小于 4，矛盾，可得：E=0， A 大于 0 小于 4；若 D 大于 0，如 D=1，则 B 大于 0，因 A 大于 0，则 A 和 C 无法填写，所以 D=0，A 必等于 2； A=2，可知 B+C=3，只有 当 B=1，C=2 时，ABCDE=21200，符合要求。所以第二行的 5 个数字是 2，1，2，0，0。7、在 100 个人之间，消息的传递是通过电话进行的，当甲与乙两个人通话时，甲把他当时所知道的信息全部告诉乙，乙也把自己所知道的全部信息告诉甲。请你设计一种方案，使得只需打电话 196 次，就可以使得每个人都知道其他所有人的信息。分析：给 100 个人分别编号 1-100，他们知道的消息也编上相同的号码。（1）2-50 号每人给 1 号打 1 次电话，共 49 次，1，50 号 得到 1-50 号消息。同时，52-100 号每人给 51 号打 1 次电话，共 49 次，51，100 号得到 51-100 号消息。 （2）1 号和 51 号通 1 次电话， 50 号和 100 号通 1 次电话，这时 1，50，51，100 号这 4 个人都知道了 1-100 号消息。 （3）2-49 号，52-99 号，每人与 1 号（或者 50， 51，100 号中的任意 1 人）通 1 次话，这 96 人也全知道了 1-100 号消息。 这个方案打电话次数一共是（49+49）+2+96=196（次）。8、有一张 8×8 的方格纸，每个方格都涂上红、蓝两色之一。能否适当涂色，使得每个 3×4 小长方形（不论横竖）的 12 个方格中都恰有 4 个红格和 8 个蓝格？分析：能。3×4=12，有 4 红 8 蓝，即红 1 蓝 2，横竖方向都按这个规律染成下图的样子。9、桌上放有 1993 枚硬币，第一次翻动 1993 枚，第二次翻动其中的 1992 枚，第三次翻动其中的 1991 枚，……，依此类推，第 199 3 次翻动其中的一枚。能否恰当地选择每次翻动的硬币，使得最后所有的硬币原先朝下的一面都朝上？分析：可以。 按要求一共翻动 1+2+3+……+×997，平均每个硬币翻 997 次，是奇数。而每个硬币翻奇数次，结果都是把原来朝下的一面翻上来。因为：1993×997=1993+（1992+1）+（1991+2）+……+（997+996）所以，可以这样翻动： 第 1 次翻 1993 个， 每个全翻 1 次； 第 2 次与第 1993 次（最后 1 次）一共翻 1993 次，等于又把每个翻了一遍； 第 3 次与第 1992 次（倒数第 2 次），第 4 次与第 1991 次，……，第 997 次与第 998 次也一样，都可以把每个硬币全翻 1 次。这样每个都翻动了 997 次，都把原先朝下的一面翻成 朝上。10、能否在 5×5 方格表的各个小方格内分别填入数 1，2，……，24，25，使得从每行中都可以选择若干个数，这些数的和等于该行 中其余各数之和？分析：不能。假设可以使每行中都可以选择若干个数， 这些数的和等于该行中其余各数之和， 那么每行数的和一定为偶数， 行之和也必定为偶数。 5 1+2+3+……+25 的和是奇数，不符合要求，假设的情况不能出现。11、把图 10-2 中的圆圈任意涂上红色或蓝色。问：能否使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？分析：不能。 假设每条直线上的红圈数都是奇数，五角形有五条边，奇数之和是奇数，则五条线上的红圈，包括重复，共有奇数个。 另一方面，每个圈为两线交点，每个圆圈算了两次，总个数为偶数。两者矛盾，假设不成立。所以，不能使同一条直线上的红圈数都是奇数。12、在 99 枚外观相同的硬币中，要找出其中的某些伪币。已知每枚伪币与真币的重均相差奇数克，而所给硬币的总重量恰等于 99 枚真币的重量。今有能标明两盘重量之差的天平，证明：只要称一次即可辨别出预先选择的一枚硬币是否伪币。分析：已知每枚伪币与真币的重均相差奇数克，99 个硬币总重量恰等于 99 枚真币的重量，说明伪币数为偶数。 如果拿出 1 个真币， 剩下的 98 个里还是有偶数个伪币，随便分成两部分放天平上，重量之差必为偶数。 如果拿出 1 个伪币，剩下的 98 个里是有奇数个伪币， 随便分成两部分放天平上，重量之差必为奇数。 所以，只要把 98 个硬币分两部分在天平上称，显示出的重量差只要是奇数，拿出来的那个一定是伪币。13、在象棋比赛中，胜者得 1 分；败者扣 1 分；若为平局，则双方各得 0 分。今有若干名学生进行比赛，每两个人之间都赛一局。 现知，其中一个学生共得 7 分，另一个学生共得 20 分。试说明，在比赛过程中至少有过一次平局。分析：设 7 分者胜 X 局，负 Y 局；20 分者胜 M 局，负 N 局，则有 X-Y=7，M-N=20 假设没有 1 次平局，那么由于比赛局数相同，得到： X+Y=M+N，X+Y+M+N 为偶数。 另一方面，因为 X-Y=7，X 和 Y 两个数奇偶性不同，两者之和为奇数；又因为 M-N=20，可知 M 和 N 奇偶性相同，那么 M+N 为偶数。得出的结果是：X+Y+M+N 之和为奇数。矛盾。说明没有平局的假设不成立。所以，比赛过程中至少有一次平局。14、如图 10-3，在 3×3 的方格表中已经填入了 9 个整数。如果将表中同一行同一列的 3 个数加上相同的整数称为一次操作。问：你 能否通过若干次操作使得表中 9 个数都变为相同的数？分析：不能。 如果进行操作后，表中 9 个数能变为相同的数，其和必能整除 3；因为每次操作是同一行或同一列的 3 个数加上相同 的整数，增加的数也能整除 3。那么，原来表中的 9 个数的和也必能整除 3。把表中的 9 个数相加，2+3+5+13+11+7+17+19+23=100，100 不能整除 3，与假设矛盾，所以不能实现。15、今有长度为 1，2，3，……，198，199 的金属杆各一根，能否用上全部的金属杆，不弯曲其中的任何一根，把它们焊成接成（1） 一个正方体框架？（2）一个长方体框架？分析：（1）不能。 正方体有 12 条棱，金属杆长度之和能被 12 整除时，才能不弯曲任何一根焊成正方体框架。1+2+3+……+199=19 900，1+9+9=19，19 不能整除 3，所以长度之和不是 12 的整数倍。 （2）可以。 （1+198）+（2+197）+（3+196）+……+199，可以组成 100 个 199，所以可以构成一个长 199×12，宽 199×12，高 199 的长方体框架， 棱长共（199×12+199×12+199）×4=199×100；也可以构成一个长 199×20，宽 199×3，高 199×2 的长方体框架，棱长共（199×20+1 99×3+199×2）×4=199×100；等等。加法原理与乘法原理讲义1、如果两个四位数的差等于 8921，那么就说这两个四位数组成一个数对，问这样的数对共有多少个？分析：从两个极端来考虑这个问题： 最大为 21，最小为 21， 所以共有 =79 个，或 +1=79 个2、一本书从第 1 页开始编排页码，共用数字 2355 个，那么这本书共有多少页？分析：按数位分类： 一位数：1～9 共用数字 1*9=9 个； 二位数：10～99 共用数字 2*90=180 个； 三位数：100～999 共用数字 3*900=2700 个， 所以所求页数不超过 999 页， 三位数共有：=2166，2166÷3=722 个， 所以本 书有 722+99=821 页。3、上、下两册书的页码共有 687 个数字，且上册比下册多 5 页，问上册有多少页？分析：一位数有 9 个数位，二位数有 180 个数位，所以上、下均过三位数，利用和差问题解决：和为 687，差为 3*5=15，大数为： （687+15）÷2=351 个 （351- 189）÷3=54，54+99=153 页。4、从 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10 这 10 个数中，任取 5 个数相加的和与其余 5 个数相加的和相乘，能得到多少个不同的乘积。分析：从整体考虑分两组和不变：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55 从极端考虑分成最小和最大的两组为（1+2+3+4+5）+（6+7+8+9+10）= 15+40=55 最接近的两组为 27+28 所以共有 27-15+1=13 个不同的积。 另从 15 到 27 的任意一数是可以组合的。5、将所有自然数，自 1 开始依次写下去得到：11213……，试确定第 206788 个位置上出现的数字。分析：与前面的题目相似，同一个知识点： 一位数 9 个位置，二位数 180 个位置，三位数 2700 个位置，四位数 36000 个位置， 还 剩：-180-=167899，167899÷5=33579……4 所以答案为 679 的第 4 个数字 7.6、用 1 分、2 分、5 分的硬币凑成 1 元，共有多少种不同的凑法？分析：分类再相加：只有一种硬币的组合有 3 种方法；1 分和 2 分的组合：其中 2 分的从 1 枚到 49 枚均可，有 49 种方法；1 分和 5 分的组合：其中 5 分的从 1 枚到 19 枚均可，有 19 种方法；2 分和 5 分的组合：其中 5 分的有 2、4、6、……、18 共 9 种方法；1、2、5 分的组合：因为 5=1+2*2，10=2*5，15=1+2*7，20=2*10，……，95=1+2*47，共有 2+4+7+9+12+14+17+19+22+24+27+29+32+34+37+39+42+ 44+47=461 种方法，共有 3+49+19+9+461=541 种方法。7、在图中，从“华”字开始，每次向下移动到一个相邻的字可以读出“华罗庚学校”。那么共有多少种不同的读法？分析：按最短路线方法，给每个字标上数字即可，最后求和。 所以共有 1+4+6+4+1=16 种不同的读法。8、在所有的两位数中，十位数字比个位数字大的两位数共有多少个？分析：十位是 9 的有 9 个，十位是 8 的有 8 个，……十位是 1 的有 1 个，共有： 1+2+3+……+9=45 个。 或是在给定的两位数中，总是在
中，所以有 C(10、2)=45 个。9、按图中箭头所示的方向行走，从 A 点走到 B 点的不同路线共有多少条？分析：同样用上题的方法，标上数字，有 55 条。10、用红蓝两色来涂图中的小圆圈，要求关于中间那条竖线对称，问共有多少种不同的涂法？分析：按题意可知，1、4 对称，2、3 对称，这样 1、2、A、B、C、D、E 均有两种选择， 2×2×2×2×2×2×2=128 种。11、如图，把 A、B、C、D、E 这五个部分用 4 种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一 种颜色，那么，这幅图共有多少种不同的着色方法？分析：C－A－B－D－E，根据乘法原理有： 4×3×2×2×2=96 种。12、如图是一个中国象棋盘，如果双方准备各放一个棋子，要求它们不在同一行，也不在同一列，那么总共有多少种不同的放置方 法？分析：根据乘法原理，第一个棋子有 90 种放法，第二个棋子有 72 种放法，共有： 90×72=6480 种。此主题相关图片如下：13、在图中所示的阶梯形方格表的格子中放入 5 枚棋子，使得每行每列都只有 1 枚棋子，那么这样的放法有多少种？分析：对于第 1 列必有 1 枚棋子，这有上下两行选择，对于第 2 列必有 1 枚棋子，这有除第 1 枚外的两行选择， …… 对于第 5 枚 棋子，只有唯一选择， 所以共有 2×2×2×2×1=16 种。 此主题相关图片如下：14、有一种用六位数表示日期的方法是：从左到右的第一、第二位数表示年，第三、第四位数表示月，第五、第六位数表示日，例 如 890817 表示 1989 年 8 月 17 日。如果用这种方法表示 1991 年的日期，那么全年中有 6 个数都不同的日期共有多少天？分析：因为有 91，所以 1、9、10、11、12 不能出现，实际上 9102XX 也是不行的， 在剩下的 6 个月中，每个月都有 5 天，共 5*6=3 0 天， 例如：三月份：910324，910325，910326，910327，910328。15、如果一个四位数与三位数的和是 1999，并且四位数和三位数是由 7 个不同数字组成的，那么这样的四位数最多有多少个？分析：按题意给出这样一个算式： 由于 1 已定，相应的 8 也就不能用，对于 D 来说，有 2、3、4、5、6、7、9 共 7 种选择，每一种选择都有相应的 A, 对于 E 来说，在剩下的数中有 6 种选择，每一种选择都有相应的 B, 对于 F 来说，在剩下的数中有 4 种选择，每一种选择都有相应的 C, 根据乘法原理，共有 7×6×4=168 种。破译字母竖式讲义1． 在图 4-1 所示的算式中， 每一个汉字代表一个数字， 不同的汉字代表不同的数字． 那么“喜欢”这两个汉字所代表的两位数是多少？分析： 首先看个位，可以得到“欢”是 0 或 5，但是“欢”是第二个数的十位，所以“欢”不能是 0，只能是 5。 再看十位，“欢” 是 5，加上个位有进位 1，那么，加起来后得到的“人”就应该是偶数，因为结果的百位也是“人”，所以“人”只能是 2； 由此可知，“喜”等于 8。 所以，“喜欢”这两个汉字所代表的两位数就是 85。2．在图 4-2 所示的竖式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字．如果：巧+解+数+字+谜=30，那么“数字谜” 所代表的三位数是多少？分析：还是先看个位，5 个“谜”相加的结果个位还是等于“谜”，“谜”必定是 5（0 显然可以排出）； 接着看十位，四个“字” 相加再加上进位 2，结果尾数还是“字”，那说明“字”只能是 6； 再看百位，三个“数”相加再加上进位 2，结果尾数还是“数”， “数” 可能是 4 或 9； 再看千位，（1）如果“数”为 4，两个“解”相加再加上进位 1，结果尾数还是“解”，那说明“解”只能是 9；5+6+4 +9=24，30-24=6， “巧”等于 6 与“字”等于 6 重复，不能； （2）如果“数”为 9，两个“解”相加再加上进位 2，结果尾数还是“解”， 那说明“解”只能是 8；5+6+9+8=28，30-28=2，可以。所以“数字谜”代表的三位数是 965。3．在图 4-3 所示的加法算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字．请把这个竖式翻译成数字算式．分析：首先万位上“华”=1； 再看千位，“香”只能是 8 或 9，那么“人”就相应的只能是 0 或 1。但是“华”=1，所以，“人” 就是 0； 再看百位，“人”=0，那么，十位上必须有进位，否则“港”+“人”还是“港”。由此可知“回”比“港”大 1，这样就说明 “港”不是 9，百位向千位也没有进位。于是可以确定“香”等于 9 的； 再看十位，“回”+“爱”=“港”要有进位的，而“回”比“港” 大 1，那么“爱”就等于 8；同时，个位必须有进位； 再看个位，两数相加至少 12，至多 13，即只能是 5+7 或 6+7，显然“港”=5， “回” =6，“归”=7。 这样，整个算式就是：652。4．图 4-4 是一个加法竖式，其中 E，F，I，N，O，R S，T，X，Y 分别表示从 0 到 9 的不同数字，且 F，S 不等于零．那么这个算式的结果是多少？分析：先看个位和十位，N 应为 0，E 应为 5；再看最高位上，S 比 F 大 1；千位上 O 最少是 8；但因为 N 等于 0，所以，I 只能是 1， O 只能是 9；由于百位向千位进位是 2，且 X 不能是 0，因此决定了 T、R 只能是 7、8 这两个；如果 T=7，X=3，这是只剩下了 2、4、6 三 个数，无法满足 S、F 是两个连续数的要求。所以，T=8、R=7；由此得到 X=4；那么，F=2，S=3，Y=6。所以，得到的算式结果是 31486。5．在图 4-5 所示的减法算式中，每一个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字．那么 D+G 等于多少？分析：先从最高位看，显然 A=1，B=0，E=9；接着看十位，因为 E 等于 9，说明个位有借位，所以 F 只能是 8；由 F=8 可知，C=7；这 样，D、G 有 2、4，3、5 和 4、6 三种可能。所以，D＋G 就可以等于 6，8 或 10。6．王老师家的电话号码是一个七位数，把它前四位组成的数与后三位组成的数相加得 9063，把它前三位数组成的数与后四位数组成的数相加得 2529．求王老师家的电话号码．分析：我们可以用 abcdefg 来表示这个七位数电话号码。由题意知，abcd+efg=9063，abc+defg=2529； 首先从第一个算式可以看出，a=8，从第二个算式可以看出，d=1；再回到第一个算式，g=2，掉到第二个算式，c=7；又回到第一个算式， f=9，掉到第二个算式，b=3；那么，e=6。所以，王老师家的电话号码是 8371692。7．一个三位数，用它的三个数字组成一个最大的三位数，再用这三个数字组成一个最小的三位数，这两个数的差正好是原来的三位 数．求原来的三位数．分析：8．将一个四位数的各位顺序颠倒过来，得到一个新的四位数．如果新数比原数大 7902，那么在所有符合这样条件的四位数中，原数最大是多少？分析：用 abcd 来表示愿四位数，那么新四位数为 dcba，dcba-abcd=7902；由最高为看起，a 最大为 2，则 d=9；但个位上 10+a-d=2， 所以，a 只能是 1；接下来看百位，b 最大是 9，那么，c=8 正好能满足要求。所以，原四位数最大是 1989。9．（1）有一个四位数，它乘以 9 后的积恰好是将原来的四位数各位数字顺序颠倒而得的新四位数．求原来的四位数．（2）有一个四位数，它乘以 4 后的积恰好是将原来的四位数各位数字顺序颠倒而得的新四位数．求原来的四位数．分析：还是用 abcd 来代表原来的四位数： （1）abcd*9=dcba，四位数乘 9 不进位，显然 a=1、d=9； 再看百位，百位也没有进位，易得 b=0，c=8。 所以，原四位数为 1089。 （2）abcd*4=dcba，先看千位，因为没有进位，且 a 是偶数， 所以，a 只能是 2；那么，d=8； 再看百位，百位没有进位，b 只能是 0、1、2，分别试验可得 b=1、c=7。 所以，原四位数为 2178。10．已知图 4-6 所示的乘法竖式成立．那么 ABCDE 是多少？分析：由 1/7 的特点易知，ABCDE=42857。=428571。11．某个自然数的个位数字是 4，将这个 4 移到左边首位数字的前面，所构成的新数恰好是原数的 4 倍．问原数最小是多少？分析：由个位起逐个递推：4*4=16，原十位为 6；4*6+1=25，原百位为 5；4*5+2=22，原千位为 2； 4*2+2=10，原万位为 0； 1*4=4，正好。所以，原数最小是 102564。12． 在图 4-7 所示的竖式中， 相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字． 则符合题意的数“迎春杯竞赛赞” 是多少？分析：同第 10 题一样，也是利用 1/7 的特点。因为每个字母代表不同的数字，因此“好”只有 3 和 6 可选： 好=3，则：=428571；好=6，则：=857142；两个都能满足，所以，符合题意的数“迎春杯竞赛赞”可能是 428571 或 8 57142。13．在图 4-8 所示的算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字．请把这个竖式翻译成数字算式．分析：还是利用 1/7 的特点：=999999。14．在图 4-9 所示的除法竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字。那么被除数是多少？分析：15．JF，EC，GJ，CA，BH，JD，AE，GI，DG 已知每个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字，其中 A 代表 5，并且上面的 9 个数恰好是 7 的 1 倍至 9 倍，这里把一位数 7 记作 07．求 JDFI 所代表的四位数．分析：由 A=5 易得，C=3，那么，E=6；剩下：JF，GJ，BH，JD，GI，DG，分别为：07、14、21、28、42、49； 根据 21、28、42 及 1 4、42、49 这两组可以推得 J、G 分别是 2、4 中的一个，并且可以得到 BH=07； 进一步分析，GJ 肯定是 42，即 G=4，J=2；于是，F=8，D=1，I=9。所以，JDFI 代表的四位数为 2189。数字谜问题横式问题讲义1、□，□8，□97 在上面的 3 个方框内分别填入恰当的数字，可以使得这 3 个数的平均数是 150。那么所填的 3 个数字之和是多少？分析：150*3-8-97-5=340 所以 3 个数之和为 3+4+5=12。2、在下列各等式的方框中填入恰当的数字，使等式成立，并且算式中的数字关于等号左右对称： （1）12×23□=□32×21， （2）12×46□=□64×21， （3）□8×891=198×8□，（4）24×2□1=1□2×42， （5）□3××3□。分析：（1） 12*231=132*21 （2） 12*462=264*21 （3） 18*891=198*81 （4） 24*231=132*42 （5）43*3、在算式 2×□□□=□□□的 6 个空格中，分别填入 2，3，4，5，6，7 这 6 个数字，使算式成立，并且乘积能被 13 除尽。那么这 个乘积是多少？分析：2*273=5464、在下列算式的□中填上适当的数字，使得等式成立： （1）6□□4÷56=□0□， （2）7□□8÷37=□1□， （3）3□□3÷2□=□17， （4）8□□□÷58=□□6。分析：（1）
（4）5、在算式 40796÷□□□=□99……98 的各个方框内填入适当的数字后，就可以使其成为正确的等式。求其中的除数。分析：9...98。6、我学数学乐×我学数学乐=数数数学数数学学数学 在上面的乘法算式中，“我、学、数、乐”分别代表的 4 个不同的数字。如果“乐”代表 9，那么“我数学”代表的三位数是多少？分析：学=1，我=8，数=6，=7、□÷（□÷□÷□）=24 在上式的 4 个方框内填入 4 个不同的一位数，使左边的数比右边的数小，并且等式成立。分析：这样，我们可以先用字母代替数字，原等式写成：a/(b/c/d)=a/(b/c*d)=a*c*d/b，(a&b&c&d) 当 a=1 时，有 6*8/2=24，8*9/3=24； 当 a=2 时，有 4*9/3=12，6*8/4=12，8*9/6=12； 所以，满足要求的等式有：1÷（2÷6÷8）=24，1÷（3÷8÷9）=24，2÷（3÷4÷9）=24，2÷（4÷6÷8）=24，2÷（6÷8 ÷9）=24。8、（□＋□＋□＋□）÷（□＋□＋□）=□ 将 2，3，4，5，6，7，8，9 这 8 个数字分别填入上面算式的方框中，使等式成立。分析：将第一个括号内的和（即被除数）用 a 来代替，第二个括号内的和（即除数）用 b 来代替，等式右边（即商）用 c 来代替， 则：a÷b=c，即 a=b×c，a+b+c=44；b×c+b+c=44，（b+1）×（c+1）=45=3*15=5*9；c=2、b=14 或 c=4、b=8，由于 2+3+5=9&8，因此只 能 c=2、b=14；那么，3+4+7=14、3+5+6=14，所以，满足要求的等式有：（5＋6＋8＋9）÷（3＋4＋7）=2、（4＋7＋8＋9）÷（3＋5＋6）=29、○×○=□=○÷○ 将 0，1，2，3，4，5，6 这 7 个数字填在上面算式的圆圈和方格内，每个数字恰好出现一次，组成只有一位数和两位数的算式。问填在方格内的数是多少？分析：考察上面的等式，共需填入 5 个数，而 0~6 共有 7 个数字，因此必有两个地方是两位数；又 0 必定只能作为两个两位数中的一个的个位；因此，分析得到：3×4=12=60÷5，即填在方格内的数是 12。10、□×□=5□ 个数字已经填好。12+□－□=□把 1 至 9 这 9 个数字分别填入上面两个算式的各个方框中，使等式成立，这里有 3分析：根据第一个等式，只有两种可能：7*8=56，6*9=54；如果为 7*8=56，则余下的数字有：3、4、9，显然不行；而当 6*9=54 时， 余下的数字有：3、7、8，那么，12+3-7=8 或 12+3-8=7 都能满足。11、迎迎×春春=杯迎迎杯，数数×学学=数赛赛数，春春×春春=迎迎赛赛 在上面的 3 个算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。如果这 3 个等式都成立，那么，“迎+春+杯+数+ 学+赛”等于多少？分析：考察上面三个等式，可以从最后一个等式入手：能够满足：春春×春春=迎迎赛赛 的只有 88*88=7744，于是，春=8，迎=7，赛=4；这样，不难得到第一个为：77*88=6776，第二个为：55*99=5445； 所以，迎+春+杯+数+学+赛=7+8+6+5+9+4=39。12、迎+春×春=迎春，（迎+杯）×（迎+杯）=迎杯 在上面的两个横式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。那么“迎+春+杯”等于多少？分析：同样可以从第二个算式入手，发现满足要求的只有（8+1）*（8+1）=81，于是，迎=8；这样，第一个算式显然只有：8+9*9=89；所以，迎+春+杯=8+9+1=18。13、□2＋□2=□2，□2＋□2＋□2=□2＋□2 在上面两个算式的各个方框中填入 1 至 9 中的不同自然数，使这两个等式成立。那么第二个等式两端的结果是多少？分析：最直接的办法，写出 1~9 的平方数，并首先确定第一个：3^2+4^2=5^2，这样，容易得到第二个为：2^2+7^2+8^2=6^2+9^2=117。14、已知 A，B，C，D，E，F，G，H，L，K 分别代表 0 至 9 中的不同数字，且有下列 4 个等式成立： K个H D－K×L=F，E×E=HE，C÷K=G，H×H×……×H=B，求 A+C。分析：考察 4 个算式，首先可以发现第二个为：5×5=25，或 6×6=36；如果是 5×5=25，则 E=5、H=2； 再看第 4 个算式，只能是：2×2×2=8，于是 K=3、B=8； 再看第三个算式，这是可以发现已经不行了。这样第二个就只能是 6*6=36，于是：E=6、H=3；再看第 4 个算式，只能是：3×3=9，于是 K=2、B=9；再看第三个算式，应该是：8÷2=4，于是：C=8、G=4； 最后看第一个算式，只有 7-2×1=5，于是：D=7、L=1、F=5； 那么，A=0，A+C=8。15、已知 a，b，c，d，e，f，g，h 分别代表 0 至 9 中的 8 个不同数字，并且 a≠0，e≠0，还知道有等式 abcd－efgh=1994,那么两个四位数 abcd 与 efgh 之和的最大值是多少？最小值是多少？分析：分析发现，c 只能是 9，g 只能是 0；那么，最大时：94，最小时：94； 所以，两数之和最大为：000，最小为：98还原与年龄讲义1. 某数加上 6，乘以 6，减去 6，除以 6，其结果等于 6，则这个数是多少？解答：（6×6+6）÷6-6=1，这个数是 1.2. 两个两位数相加，其中一个加数是 73，另一个加数不知道，只知道另一个加数的十位数字增加 5，个位数字增加 1，那么求得的 和的后两位数字是 72，问另一个加数原来是多少？解答：和的后两位数字是 72，说明另一个加数是 99。十位数字增加 5，个位数字增加 1，那么原来的加数是 99-51=48。3. 有砖 26 块，兄弟二人争着去挑。弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶到了。哥哥看弟弟挑的太多，就抢过一半。弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半。哥哥不服，弟弟只好给哥哥 5 块，这时哥哥比弟弟多挑 2 块。问最初弟弟准备挑多少块？解答：先看最后兄弟俩各挑几块：哥哥比弟弟多挑 2 块，这是一个和差问题，哥哥挑的块数=（26+2）÷2=14 块，弟弟=26-14=12 块；然后再还原：哥哥还给弟弟 5 块：哥哥=14-5=9 块，弟弟=12+5=17 块；弟弟把抢走的一半还给哥哥：哥哥=9+9=18 块，弟弟=17-9=8 块；哥哥把抢走的一半还给弟弟：弟弟原来是 8+8=16 块。4. 甲、乙、丙三人钱数各不相同，甲最多，他拿出一些钱给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果乙的钱最多；接着 乙拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果丙的钱最多；最后丙拿出一些钱给甲和乙，使甲和乙的钱数都比原来增加了两倍，结果三人钱数一样多了。如果他们三人共有 81 元，那么三人原来的钱分别是多少元？解答：三人最后一样多，那么每人都是 81÷3=27 元；还原：甲和乙把钱还给丙：每人增加 2 倍，就是原来的 3 倍，那么甲和乙都是 27/3=9 元，丙是 27+2*2*9=63 元；甲和丙把钱还给乙：甲=9/3=3 元，丙=63/3=21 元，乙=9+2*3+2*21=57 元；乙和丙把钱还给甲：乙=57/3=19 元，丙=21/3=7 元，甲=3+2*19+2*7==55 元。所以，三人原来的钱分别是 55、19 和 7 元。5. 甲、乙、丙三人各有糖豆若干粒，甲从乙处取来一些糖豆，使自己的糖豆增加了一倍；乙接着从丙处取来一些糖豆，使自己的糖 豆也增加了一倍；丙再从甲处取来一些糖豆，也使自己的糖豆增加了一倍。现在三人的糖豆一样多。如果开始时甲有 51 粒糖豆，那么乙 最开始有多少粒糖豆？解答：假设最后三个人一样多时都是 4 份糖豆，还原：丙再从甲处取来一些糖豆，也使自己的糖豆增加了一倍：丙=4/2=2 份，甲=4+2=6 份；乙接着从丙处取来一些糖豆，使自己的糖豆也增加了一倍：乙=4/2=2 份，丙=2+2=4 份；甲从乙处取来一些糖豆，使自己的糖豆增加了一倍：甲=6/2=3 份，乙=2+3=5 份；即甲、乙、丙原来各有 3、5、4 份。所以，如果开始时甲有 51 粒糖豆，那么乙最开始有（51/3）*5=85 粒6. 有一筐苹果，把它们三等分后还剩两个苹果；取出其中两份，将它们三等分后还剩两个；然后再取出其中两份，又将这两份三等 分后还剩 2 个。问：这筐苹果至少有几个？解答：因为要求至少多少个，所以我们可以先假设最后的每一份只有 1 个苹果。那么，第三次没有操作前的两份就有 1*3+2=5 个，2 汾是 5 个显然不对。我们再假设最后的每一份有 2 个苹果。还原：第三次取出的两份有 2*3+2=8 个，每份 8/2=4 个；第二次取出的两份有 4*3+2=14 个，每份 14/2=7 个；原有 7*3+2=23 个。7. 今年，父亲的年龄是儿子年龄的 5 倍；15 年后，父亲的年龄是儿子年龄的 2 倍。问：现在父子的年龄各是多少岁？解答：今年父亲的年龄是儿子年龄的 5 倍，即父亲的年龄比儿子的年龄 4 倍；15 年后，父亲的年龄是儿子年龄的 2 倍，即多一倍，说明儿子现在年龄的四倍等于儿子 15 年后时的年龄，那么，儿子今年的年龄=15/（4-1）=5 岁，父亲今年就是 5×5=25 岁。8. 有老师和甲、乙、丙 3 个学生，现在老师的年龄恰为 3 个学生的年龄之和；9 年后，老师年龄为甲、乙两个学生年龄之和；又 3 年后，老师年龄为甲、丙两学生年龄之和；再 3 年后，老师年龄为乙、丙两学生年龄之和。问：现在各人的年龄分别是多少岁？解答：老师=甲+乙+丙，老师+9=甲+9+乙+9，丙的年龄是 9 岁；老师+12=甲+12+丙+12，乙的年龄是 12 岁；老师+15=乙+15+丙+15，丙的年龄是 15 岁；所以，老师是 9+12+15=36 岁。9. 全家 4 口人，父亲比母亲大 3 岁，姐姐比弟弟大 2 岁。四年前他们全家的年龄之和是 58 岁，而现在是 73 岁。问：现在各人的年 龄分别是多少岁？解答：四个人四年共应增长了 4×4=16 岁，但实际上只增长了 15 岁，说明弟弟在 4 年前还没有出生。那么，弟弟今年应该是 3 岁；姐姐就 是 3+2=5 岁，父母的年龄和是 73-3-5=65 岁，根据和差问题，得到父亲是（65+3）/2=34 岁，母亲是 65-34=31 岁。10. 学生问老师多少岁，老师说：“当我像你这么大时，你刚 3 岁；当你像我这么大时，我已经 39 岁了。”求老师与学生现在的年 龄。解答：根据年龄差不变，39-3=36 正好是 3 倍的年龄差，所以，年龄差=（39-3）/3=12 岁。那么，学生现在年龄是 3+12=15 岁，老师现在年龄是 15+12=27 岁。11. 哥哥现在的年龄是弟弟当年年龄的 3 倍，哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，哥哥与弟弟现在的年龄和为 30 岁。问：哥哥 现在多少岁？解答：哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，假设哥哥与弟弟的年龄差为 1 份，哥哥现在的年龄是弟弟当年年龄的 3 倍，哥哥现在的年龄与弟弟当年的年龄相差他们年龄差的 2 倍，那么，哥哥现在的年龄是年龄差的 3 倍，即 3 份，弟弟现在的年龄是年龄差的两倍，即 2 份；而哥哥与弟弟现在的年龄和为 30 岁，所以，每一份为 30/（3+2）=6 岁，则哥哥现在 3*6=18 岁。12. 梁老师问陈老师有多少子女，她说：“现在我和爱人的年龄和是子女年龄和的 6 倍；两年前，我们的年龄和是子女年龄和的 10 倍；六年后，我们的年龄和是子女年龄和的 3 倍。”问陈老师有多少子女。解答：现在我和爱人的年龄和是子女年龄和的 6 倍，即多 5 倍；两年前，我们的年龄和是子女年龄和的 10 倍，即多 9 倍；六年后，我们的 年龄和是子女年龄和的 3 倍，即多 2 倍。如果是 2 个子女，5*9*2=90，显然不符合常理。如果是三个，将子女现在的年龄和看作一份，那么，每一份=（18*3-12）/3=14，即子女现在年龄和 14 岁，父母现在年龄和 6*14=8 4 岁，符合要求。所以，陈老师有 3 个子女。13. 今年是 1996 年。父母的年龄之和是 78 岁，兄弟的年龄之和是 17 岁。四年后，父亲的年龄是弟弟的 4 倍，母亲的年龄是哥哥的 年龄的 3 倍。那么当父亲的年龄是哥哥的年龄的 3 倍时是公元哪一年？解答：四年后，父母的年龄和是 78+8=86 岁，兄弟的年龄和是 17+8=25 岁，父=4*弟，母=3*兄，那么父+母=3*（弟+兄）+弟，所以弟弟是 1 1 岁，哥哥是 25-11=14 岁，父亲是 11*4=44 岁，母亲是 14*3=42 岁。显然，再过 1 年后父亲 45 岁，哥哥是 15 岁，父亲是哥哥年龄的 3 倍。所以，当父亲的年龄是哥哥的年龄的 3 倍时是 4=1=5 年后，即公元 2001 年。14. 甲、乙、丙三人现在年龄的和是 113 岁，当甲的岁数是乙的岁数的一半时，丙是 38 岁；当乙的岁数是丙的岁数的一半时，甲是 17 岁。那么乙现在是多少岁？解答：假设当甲的岁数是乙的岁数的一半时，甲是 x 岁，乙就是 2x 岁，丙 38 岁；当甲 17 岁的时候，乙是 17+x 岁，那么丙是乙的 2 倍， 就是 2*（17+x），由甲、丙的年龄差得到：38-x=2*（17+x）-17，所以，x=7。因为当甲 7 岁、乙 14 岁、丙 38 岁时，三人的年龄和是 7+14+38=59 岁，（113-59）/3=18，即从那时到现在经过了 18 年，所以乙现 在的年龄是 14+18=32 岁。15. 今年，祖父的年龄是小明的年龄的 6 倍。几年后，祖父的年龄将是小明年龄的 5 倍。又过几年以后，祖父的年龄将是小明年龄 的 4 倍。求：祖父今年是多少岁？解答：根据年龄差不变，今年祖父比小明多 5 倍，几年后，祖父比小明多 4 倍，又过几年，祖父比小明多 3 倍。3、4、5 最小公倍数是 60，所以年龄差是 60。再用差倍问题：今年小明是 60/(6-1)=12，祖父是 12*6=72。和差倍问题讲义1. 四年级有 4 个班，不算甲班其余三个班的总人数是 131 人；不算丁班其余三个班的总人数是 134 人； 乙、丙两班的总人数比甲、丁 两班的总人数少 1 人，问这四个班共有多少人？解答：由“不算甲班其余三个班的总人数是 131 人；不算丁班其余三个班的总人数是 134 人”得到 131+134=265，这 265 人包括 1 个甲班和 1 个丁班，以及 2 个乙班和 2 个丙的总和，又因为乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少 1 人，所以用 265-1=264 就刚 好是 3 个乙班和 3 个丙班之和，264÷3=88，就是说乙、丙两个班的和是 88 人，那么，甲、丁两个班的和就是 88+1=89 人。所以，四个 班的和是 88+89=177 人。2. 有四个数，其中每三个数的和分别是 45，46，49，52，那么这四个数中最小的一个数是多少？解答：把 4 个数全加起来就是每个数都加了 3 遍，所以，这四个数的和等于（45+46+49+52）÷3=64。用总数减去最大的三数之和， 就是这四个数中的最小数，即 64-52=12。3. 在一个两位数之间插入一个数字，就变成一个三位数。例如：在 72 中间插入数字 6，就变成了 762。有些两位数中间插入数字后 所得到的三位数是原来两位数的 9 倍，求出所有这样的两位数。解答：两位数中间插入数字后所得到的三位数是原来两位数的 9 倍，即这个数的个位乘以 9 以后的个位还等于原来的个位，那么个 位只能是 0 或 5。如果是 0，显然不行。因为 20×9=180，30×9=270，......所以个位只能是 5。试验得到：15，25，35，45 是满足要求 的数。4. 某班买来单价为 0.5 元的练习本若干，如果将这些练习本只给女生，平均每人可得 15 本；如果将这些练习本只给男生，平均每 人可得 10 本。那么，将这些练习本平均分给全班同学，每人应付多少钱解答：这题要求的是“平均分给全班同学，每人应付多少钱”，我们可以用设数法来求解。假设班上有 2 个女生，那么就是一共有 3 0 个练习本，这 30 本“只给男生，平均每人可得 10 本”，说明男生有 3 个。那么，分给全部按同学，每人得 30/（2+3）=6 本，因此每人应该付 6 本练习本的钱，即每人要付 3 元钱。5. 动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，则每只猴子可得 12 粒；如只分给第二群，则每只猴子可得 15 粒；如只分 给第三群，则每只猴子可得 20 粒，那么平均分给三群猴子，每只可得多少粒？解答：由题意可知，花生总数必定是 12、15、20 的倍数。同上题一样，我们也可以用设数法。假设共有花生 12*15*20 粒，那么第一群猴子有 15*20 只，第二群猴子有 12*20 只，第三群猴子有 12*15 只，即共有（15*20+12*20+12*15）只猴子，12*15*20/（15*20+12* 20+12*15）=5，所以平均分给三群猴子，每个猴子可得 5 粒。注：如果懂得最小公倍数，那么应该设花生总数为 60 粒，这样，计算就方便很多。6. 一个整数，减去它被 5 除后余数的 4 倍是 154，那么原来整数是多少？解答：被除数除以除数，余数肯定小于除数。所以，余数只可能是 0、1、2、3、4，那么，原来的整数只能是：154+4×0，154+4×1， 154+4×2，154+4×3，154+4×4 中的一个。经试验，结果是 162，154+4×2=162。7. 若干名家长（爸爸或妈妈，他们都不是老师）和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛，已知家长和老师共有 22 人，家长比老师多，妈妈比爸爸多，女老师比妈妈多 2 人，至少有 1 名男老师，那么在这 22 人中，爸爸有多少人？解答：家长比老师多，所以老师少于 22/2=11 人，即不超过 10 人；相应的，家长就不少于 12 人。在至少 12 个家长中，妈妈比爸爸多，所以妈妈要多于 12/2=6 人，即不少于 7 人。因为女老师比妈妈多 2 人，所以女老师不少于 9 人。但老师最多就 10 个，并且还至少 有 1 个男老师，所以老师必定是 9 个女老师和 1 个男老师，共 10 个。那么，在 12 个家长中，就有 7 个是妈妈。所以，爸爸有 12-7=5 人。8. 一次数学考试共有 20 道题，规定：答对一题得 2 分，答错一题扣 1 分，未答的题不计分。考试结束后，小明共得 23 分，他想知 道自己做错了几道题，但只记得未答的题的数目是个偶数。请你帮助小明计算一下，他答错了多少道题？解答：20 个题如果全部做对的话，总分是 20*2=40 分。绻淮道题的话就要在 40 分中扣除 2 分，而做错一道的话就要扣除 1+2=3 分（因为在 40 分中我们假设它是做对的，给了 2 分，实际是不但不能给，反而要扣 1 分）。小明得了 23 分，比总分少 40-23=17 分。因 为没有做的题是偶数，最小的偶数是 0，如果是 0 道题没答的话，那么 17 分就都是做错被扣的，但 17/3=5…2，所以不可能。同理 2 道 题没做也不可能。结果只能是 4 道题没做，17-2*4=9 分=3*3。所以答错 3 题。9. 某种商品的价格是：每一个 1 分钱，每五个 4 分钱，每九个 7 分钱，小赵的钱至多能买 50 个，小李的钱至多能买 500 个。小李 的钱比小赵的钱多多少分钱？解答：由“每一个 1 分钱，每五个 4 分钱，每九个 7 分钱”我们可以知道，九个 7 分钱是最便宜的，是最多的买法。那么，50÷9=5… 5，小赵应该有 5×7+4=39 分钱；500÷9=55…5，小李应该有 55×7+4=389 分钱。那么，小李的钱要比小赵多 389-39=350 分。10. 某幼儿园的小班人数最少，中班有 27 人，大班比小班多 6 人。春节分桔子 25 箱，每箱不超过 60 个，不少于 50 个，桔子总数 的个位数字是 7。若每人分 19 个，则桔子数不够，现在大班每人比中班每人多分一个，中班每人比小班每人多分一个，刚好分完。问这 时大班每人分多少桔子？小班有多少人。解答：首先，总人数不超过 27*3+6=87 人；其次，桔子的个数在 25×50=1250 和 25×60=1500 之间；现在大班每人比中班每人多分 一个，中班每人比小班每人多分一个，刚好分完。我们可以先从总数中拿出 6 个，让大班中的 6 个人先少拿一个，拿和中班一样多，这 样就变成平均都和中班的拿一样多，（1250-6）/87&14，所以，每人至少分 15 个，但至多分 18 个；再则，桔子总数的个位数字是 7，所 以只能是每人 17 个或 15 个；但 15 个显然不可能，因为任何数乘以 15 后个位只能是 5 就是 0。所以每人应该是 17 个桔子，即大班每人 17+1=18 个。（1250-6）/17=73......3，总人数应多于 73 人，74*17=1258，个位不是 1，要使个位为 1 需加个位为 3 的 17 的倍数，17* 9=153，所以，桔子总数为（）+6=1417 个，总人数 74+9=83 人。小班有（83-27-6）/2=25 人。11. 一个正方体木块放在桌子上，每一面都有一个数，位于对面两个数的和都等于 13，小张能看到顶面和两个侧面，看到的三个数和为 18；小李能看到顶面和另外两个侧面，看到的三个数的和为 24，那么贴着桌子的这一面的数是多少？解答：把小张和小李看到的数相加，就是完整的四个侧面和两次顶面之和，因为位于对面两个数的和都等于 13，那么四个侧面的数字和应为 13*2=26，由此可知顶面数字为（18+24-26）/2=8，那么贴着桌子的这一面的数就是 13-8=5。12。图 2-1 是一张道路图。A 处有一大群孩子，这群孩子向东或向北走，在从 A 开始的每个路口，都有一半人向北走，另一半人向东 走。如果先后有 60 个孩子到过路口 B，问：先后共有多少个孩子到过路口 C？解答：13. 比赛用的足球是由黑、白两色皮子缝制的，其中黑色皮子为正五边形，白色皮子为正六边形，并且黑色正五边形与白色正六边 形的边长相等。缝制的方法是：每块黑色皮子的 5 条边分别与 5 块白色皮子的边缝在一起；每块白色皮子的 6 条边中，有 3 条边与黑色 皮子的边缝在一起，另 3 条边则与其它白色皮子的边缝在一起。如果一个足球表面上共有 12 块黑色正五边形皮子，那么，这个足球应有白色正六边形皮子多少块？解答：12 块黑色正五边形皮子共有 12×5=60 条，这 60 条边每一条都是与白皮子缝合在一起的。而对于白皮子来说，每块 6 条边， 其中有 3 条边是与黑色皮子的边缝在一起，还有 3 条边则是与其它白色皮子的边缝在一起。因此，白皮子的边的总数就是黑皮子的边的 总数的 2 倍，即共有 60×2=120 条边。那么，共有 120/6=20 块白皮子。14. 5 个空瓶可以换 1 瓶汽水，某班同学喝了 161 瓶汽水，其中有一些是用喝剩下来的空瓶换的，那么他们至少要买汽水多少瓶？解答：这里给出一种思路：我们可以先买 161 瓶汽水，喝完以后用这 161 个空瓶去换汽水，能换到的瓶数在总数中去掉就是实际需 要购买的数量。161 个空瓶可以换回 161/5=32…1，即 32 瓶，那么实际上只需要买 161-32=129 瓶汽水。检验：先买 129 瓶，喝完后用其 中的 125 个空瓶（还留有 4 个空瓶）可以换 25 瓶汽水，喝完后用 25 个空瓶又可以换 5 瓶汽水，再喝完后用 5 个空瓶还可以换 1 瓶汽水， 最后用这个空瓶和开始留下的 4 个空瓶去再换一瓶汽水，这样总共喝了：129+25+5+1+1=161 瓶汽水。15. 现有三堆苹果，其中第一堆苹果个数比第二堆多，第二堆苹果个数比第三堆多。如果从每堆苹果中各取出一个，那么在剩下的 苹果中，第一堆个数是第二堆的三倍。如果从每堆苹果中各取出同样多个，使得第一堆还剩 34 个，则第二堆所剩下的苹果数是第三堆的 2 倍。问原来三堆苹果数之和的最大值是多少？解答：整数与数列讲义1、如图 1-1 所示的表中有 55 个数，那么它们的和加上多少才等于 1994？1 2 3 4 57 8 9 10 1113 19 14 20 15 21 16 22 17 2325 26 27 28 2931 37 32 38 33 39 34 40 35 4143 44 45 46 4749 50 51 52 5355 56 57 58 5961 62 63 64 65解答：它们的和=3×5+9×5+15×5+21×5+27×5+33×5+39×5+45×5+51×5+57×5+63×5 =（33×11）×5 =1815 [或者：它们的和=（31+32+33+34+35）×11=-答：它们的和加上 179 才等于 1994。2、计算：-997+996+995-994-993+……+108+107-106-105+104+193-102-101。解答：-997+996+995-994-993+……+108+107-106-105+104+193-102-101 =（-997）+（996+995-994-993）+……+（108+107-106-105）+（104+193-102-101） =4+4+……+4+4=［（）÷1+1］÷4×4 =9003、计算：（1+3+5+……+1989）-（2+4+6+……+1988）。解答：（1+3+5+……+1989）-（2+4+6+……+1988） =1+（3-2）+（5-4）+……+（） =1+1×（1989-1）÷2 =1+994 =9954、利用公式 l×l+2×2+……+n×n＝n×（n+1）×（2×n+1）÷6，计算：15×15+16×16+……+21×21。解答：15×15+16×16+……+21×21 =21×（21+1）×（2×21+1）÷6-14×（14+1）×（2×14+1）÷6 = =22965、计算：20×20-19×19+18×18-17×17+……+2×2-1×1。解答：20×20-19×19+18×18-17×17+……+2×2-1×1 =（20+19）×（20-19）+（18+17）×（18-17）+……+（2+1）×（2-1） =2106、计算：3333×5555+6×4444×2222。解答：3333×5555+6×4444×2222 =3×1111×5×1111+6×1111×4×2×1111 =15×1111×1111+48×1111×1111 =（15+48）×1111×1111 =63×1111×1111 =7×9×1111××7777 =（10000-1）×00-237、计算：×2×2。解答：×2×2 =×1993-（×2） =×2×（1992+1） =×2××（31992） =19938、两个十位数
的乘积中有几个数字是奇数解答：× =×（-1） =88889有 10 个奇数答：乘积中有 10 个数字是奇数。9、我们把相差为 2 的两个奇数称为连续奇数。已知自然数
是两个连续奇数的乘积，那么这两个奇数的和是多少？解答：=11111×11×3××33335，=66668答：这两个奇数的和是 66668。10、求和：l×2+2×3+3×4+……+9×10。解答：l×2+2×3+3×4+……+9×10 =（1×2×3+2×3×4-1×2×3+3×4×5+……+9×10×11-8×9×10）÷3 =9×10×11÷3 =3×10×11 =33011、计算：1×1+2×1×2+3×1×2×3+4×1×2×3×4+5×1×2×3×4×5+6×1×2×3×4×5×6+7×1×2×3×4×5×6×7+8×1×2 ×3×4×5×6×7×8。解答：1×1+2×1×2+3×1×2×3+4×1×2×3×4+5×1×2×3×4×5+6×1×2×3×4×5×6+7×1×2×3×4×5×6×7+8×1×2×3 ×4×5×6×7×8 =1！+2×2！+3×3！+4×4！+5×5！6×6！+7×7！+8×8！ =（2！-1！）+（3！-2！）+（4！-3！）+（5！-4！）+（6！-5！）+（7！-6！）+（8！-7！）+（9！-8！） =9！-1！ =1×2×3×4×5×6×7×8×9-1 =36287912、在两个数之间写上一个，用所连成的字串表示用前面的数}