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Copyright (C) 2017 Baidu已知函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1,证明存在两个_百度知道
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已知函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1,证明存在两个
η∈(0,1)已知函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1;(η)=1,使f'(ξ)f&#39,证明存在两个不同的点ξ
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这题少了一个跳板
跳板是有的…只是我会做，没放上去。谢谢了。
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设函数f（x）在区间[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且f（0）=f（1）=0，f（）=1．试证：（1）存在η∈（，1），使f（η）=η；（2）对于任意实数λ，必存在ξ∈（0，η），使得f′（ξ）-λ[f（ξ）-ξ]=1．
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（1）令g（x）=f（x）-x，则g（x）在[]连续，在可导，且g（1）=f（1）-1=0-1=-1＜0，∴由零点定理：，使得g（η）=0，即f（η）=η命题得证（2）设h（x）=e-λx[f（x）-x]，x∈[0，η]，则h（x）在[0，η]连续，在（0，η）可导，且h（0）=h（η）=0∴由洛尔定理可知，?ξ∈（0，η），使得h'（ξ）=0又h'（x）=e-λx[f'（x）-1-λ（f（x）-x）]∴由h'（ξ）=0，得：e-λξ[f'（ξ）-1-λ（f（ξ）-ξ）]=0∴f'（ξ）-λ（f（ξ）-ξ）=1命题得证
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第一问：将要证明的问题转化为函数g（x）=f（x）-x有零点，因为由f（x）在闭区间连续，在开区间可导，且有三个点的函数值，容易联想到要做的辅助函数式g（x）=f（x）-x第二问：要证明的等式f'（ξ）-λ（f（ξ）-ξ）=1，容易联想到需要第一问的结论，并且与函数的导数相关，那可以用到洛尔定理，因此需要构造的函数含有f（x）-x，再进一步构造出所需要的函数．
本题考点：
A:介值定理及其推论的运用 B:罗尔中值定理
考点点评：
此题的关键是构造所需要的函数，而所需要的函数要取决于所证明的结论．
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设f(x)在[0,π/2]上连续,在(0,π/2)内可导,且f(π/2)=0,试证存在一点ζ∈（0,π/2)使f（ζ）+tanζ*f ‘（ζ）=0
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f（ζ）+tanζ * f ‘（ζ）=0两边同乘以cosζ可得cosζf(ζ) + sinζf'(ζ)=0下面是证明：设g(x)=f(x)sin(x)所以g'(x)=f(x)cosx + f'(x)sinxg(0)=0,g(π/2)=0所以存在ζ∈(0,π/2)使得g'(ζ)=0而g'(ζ)=f(ζ)cosx+f'(ζ)sinζ=0因为cosζ≠0所以f(ζ)+f'(ζ)tanζ=0
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