已知椭圆C:x2a2+y2b2=1的右焦点为(2.0).离心率为63．(Ⅰ)求椭圆C的方程,(Ⅱ)若直线l与椭圆C相交于A.B两点.且以AB为直径的圆经过原点O.求证:点O到直线AB的距离为定值,的条件下.求△OAB面积的最大值． 题目和参考答案——精英家教网——
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已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点为（2，0），离心率为63．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l与椭圆C相交于A，B两点，且以AB为直径的圆经过原点O，求证：点O到直线AB的距离为定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求△OAB面积的最大值．
考点：椭圆的应用
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（Ⅰ）根据椭圆的右焦点为（2，0），离心率为63，求出c，a，可求b，即可求出椭圆C的方程；（Ⅱ）分类讨论，设出直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合以AB为直径的圆D经过坐标原点，根据点到直线的距离公式，即可得证；（Ⅲ）分类讨论，求出|AB|的最大值，即可求△OAB面积的最大值．
（Ⅰ）解：∵椭圆的右焦点为（2，0），离心率为63，∴c=2e=ca=63，∴a=3，b=1，∴椭圆C的方程为x23+y2=1；（Ⅱ）证明：直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，消元可得（1+3k2）x2+6kmx+3m2-3=0∴x1+x2=-6km1+3k2，x1x2=3m2-31+3k2∵以AB为直径的圆D经过坐标原点，∴OA•OB=0∴x1x2+y1y2=0，∴（1+k2）3m2-31+3k2-km×6km1+3k2+m2=0∴4m2=3（k2+1）∴原点O到直线的距离为d=|m|k2+1=32当直线AB斜率不存在时，由椭圆的对称性可知x1=x2，y1=-y2，∵以AB为直径的圆D经过坐标原点，∴OA•OB=0∴x1x2+y1y2=0，∴x12-y12=0∵x12+3y12=3，∴|x1|=|y1|=32∴原点O到直线的距离为d=|x1|=32综上，点O到直线AB的距离为定值；（Ⅲ）解：直线AB斜率存在时，由弦长公式可得|AB|=1+k2|x1-x2|=(1+k2)(36k2-12m2+12)(1+3k2)2=3+129k2+1k2+6≤3+126+29k2•1k2=2，当且仅当k=±33时，等号成立，∴|AB|≤2，直线AB斜率不存在时，|AB|=|y1-y2|=3＜2，∴△OAB面积=12|AB|d≤12×2×32=32，∴△OAB面积的最大值为32．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．
科目：高中数学
某高中毕业学年，在高校自主招生期间，把学生的平时成绩按“百分制”折算，排出前n名学生，并对这n名学生按成绩分组，第一组[75，80），第二组[80，85），第三组[85，90），第四组[90，95），第五组[95，100]，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数为60．（Ⅰ）请在图中补全频率分布直方图；（Ⅱ）若Q大学决定在成绩高的第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试．①若Q大学本次面试中有B、C、D三位考官，规定获得两位考官的认可即面试成功，且面试结果相互独立，已知甲同学已经被抽中，并且通过这三位考官面试的概率依次为12、13，15，求甲同学面试成功的概率；②若Q大学决定在这6名学生中随机抽取3名学生接受考官B的面试，第3组中有ξ名学生被考官B面试，求ξ的分布列和数学期望．
科目：高中数学
（1）16的四次方根是±2；（2）集合A={x|y=x}，B={y|y=2&x2-1，x∈R}则A∩B=B；（3）若|log3a|=|log3b|，且a≠b，a＞0，b＞0则ab=1；（4）若函数f（x+1）是偶函数，则f（x）的图象关于直线x=1对称；其中正确的序号是$\end{array}$．
科目：高中数学
下面给出四个命题：①若a≥b＞-1，则a1+a≥b1+b；②a＜-1是一元二次方程ax2+2x+1=0有一个正根和一个负根的充分不必要条件；③在数列{an}中，a1＜a2＜a3是数列{an}为递增数列的必要不充分条件；④方程(x+y-2)x2+y2-9=0表示的曲线是一个圆和一条直线．其中为真命题的是（　　）
A、①②③B、①③④C、②④D、①②③④
科目：高中数学
在直三棱柱（侧面垂直于底面的三棱柱）ABC-A1B1C1中，以AB、BC为邻边作平行四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AA1记线段CD、A1B1的中心分别是P、E连接AE、BP，得到如图所示的几何体（1）若AA1=a，图甲给出了异面直线之间的距离的一种算法框图（其中异面直线的公垂线是指两异面直线都垂直且相交的直线）请利用这种方法求异面直线AE和BP之间的距离；（2）若AA1=2，在线段A1P上是否存在一点F，使得平面AFB⊥平面A1BP？若存在，指出点F的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；（3）若AA1=a，在线段A1C上有一M，过点M做垂直于平面A1ACC1的直线l，与直三棱柱ABC-A1B1C1的其他侧面相交于N，过CM=x，MN=y，求函数y=f（x）的解析式，并据此求出线段MN的长度最大值．
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“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，则以下四个命题：（1）M的元素都不是P的元素；（2）M中有不属于P元素；（3）M中有P的元素；（4）M的元素不都是P的元素，其中真命题的个数有（　　）
A、1个B、2个C、3个D、4个
科目：高中数学
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科目：高中数学
定积分∫1-1|x|dx=．
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直线l：y=mx+1，双曲线C：3x2-y2=1，问是否存在m的值，使l与C相交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点．
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假设存在m值满足条件，设A、B坐标分别为（x1，y1）（x2，y2），由2-y2＝1得：（3-m2）x2-2mx-2=0，则3-m2≠0，且△=4m2-4（3-m2）（-2）＞0，得m2＜6且m2≠3①，由韦达定理有：1+x2＝2m3-m2，1x2＝-23-m2，因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB，即，即x1x2+y1y2=0，所以x1x2+（mx1+1）（mx2+1）=0，即（1+m2）x1x2+m（x1+x2）+1=0，所以（1+m2）2+m2+1=0，解得m=±1，故存在m=1或m=-1使l与C相交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点．
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本题考点：
直线与圆锥曲线的关系；圆的一般方程．
考点点评：
本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、圆的性质，考查转化思想，解决本题的关键是正确理解“以AB为直径的圆过原点”并能合理转化．
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已知直线l:y=2x-10与圆C：x^2+y^2-4x+2y+m=0相交于A,B两点,求：当以AB为直径的圆过原点时,求实数m的值.
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∵A、B都在直线l上,∴可令点A、B的坐标分别是（a,2a－10）、（b,2b－10）.联立：y＝2x－10、x^2＋y^2－4x＋2y＋m＝0,消去y,得：x^2＋（2x－10）^2－4x＋2（2x－10）＋m＝0,∴x^2＋4x^2－40x＋100－4x＋4x－20＋m＝0,　∴5x^2－40x＋80＋m＝0.显然,a、b是方程5x^2－40x＋80＋m＝0的两根,∴由韦达定理,有：a＋b＝40/5＝8、ab＝（80＋m）/5.∵AB是△OAB的外接圆直径,∴OA⊥OB,∴向量OA·向量OB＝0.而向量OA＝（a,2a－10）、向量OB＝（b,2b－10）,∴ab＋（2a－10）（2b－10）＝0,∴ab＋4ab－20（a＋b）＋100＝0,∴5［（80＋m）/5］－20×8＋100＝0,∴80＋m－60＝0,∴m＝－20.∴满足条件的m的值是－20.
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编辑：作业帮
时间： 05:28:46
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