第三节体积；内容要点；一、旋转体的体积；体积微元dV??[f(x)]2dx,旋转体的体积；ab二、平行截面面积为已知的立体的体积；体积微元dV?A(x)dx,所求立体的体积V??；ab例题选讲；例1求底半径为r,高为h的正圆锥体的体积.；x2y2例2计算由椭圆2?2?1围成的平面图形绕；ab2/3例3求星行线x?y2/3?a2/3(a；例4计算由连续曲线x?
第三节 体积 内容要点
一、旋转体的体积 体积微元dV??[f(x)]2dx, 旋转体的体积V???[f(x)]2dx. ab
二、平行截面面积为已知的立体的体积 体积微元dV?A(x)dx, 所求立体的体积 V??A(x)dx. ab例题选讲 例1 求底半径为r,高为h的正圆锥体的体积. x2y2例2 计算由椭圆2?2?1围成的平面图形绕x轴旋转而成的旋转椭球体的体积. ab2/3例3 求星行线 x?y2/3?a2/3(a?0)绕x轴旋构成旋转体的体积. 例4 计算由连续曲线x??(y)、直线y?c、y?d及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体的体积. 例5 求曲线xy?4,y?1,x?0所围成的图形绕y轴旋转构成旋转体的体积. 例6 求由曲线y?4?x及y?0所围成的图形绕直线x?3旋转构成旋转体 的体积. 例7 平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角?（图6-3-9），计算这平面截圆柱体所得立体的体积. 例8 求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积. 2课堂练习 1. 求由曲线y?x, y?2?x所围成的图形分别绕x轴和y轴旋转而成的旋转体的体积.
2. 求由曲线xy?a(a?0)与直线x?a,x?2a及y?0所围成的图形绕y?1旋转一周所生成的旋转体的体积. 22第四节 平面曲线的弧长 内容要点
一、平面曲线弧长的概念
二、平面曲线的弧长的计算 2直角坐标情形：y?f(x)x?[a,b]，弧长微元（弧微分）ds?1?y?dx，所求光滑曲线的弧长s??ba1?y?2dx (a?b)
?x??(t),(??t??)，弧长微元ds?(dx)2?(dy)2???2(t)???2(t)dt, ?y??(t)参数方程情形：?所求光滑曲线的弧长
s??????2(t)???2(t)dt.
极坐标情形：r?r(?)(?????), 弧长微元
ds?(dx)2?(dy)2?r2(?)?r?2(?)d?, 所求光滑曲线的弧长 s????r2(?)?r?2(?)d?.
例题选讲 22例1
求曲线y?x上相应于x从a到b的一段弧的长度. 3例2 两根电线杆之间的电线,由于其本身的重量，下垂成曲线形. 这样的曲线叫悬链线. 适当选取坐标系后，悬链线的方程为y?kcosh一段弧的长度. 3x, 其中k为常数. 计算悬链线上介于x??b与x?b之间k例3求圆x?y?R的周长. 例4 求星形线x?acost,y?asint的全长. 33222?x?a(t?sint) (a?0,0?t?2?)一支的弧长. ?y?a(1?cost)例6 证明正弦线y?asinx(0?x?2?)的弧长等于椭圆 x?cost?(0?t?2?)的周长.
?2y?1?asint?例5 求摆线 ????例7 求极坐标系下曲线r?a?sin?(a?0,0???3?)的长. 3??例8 求心形线r?a(1?cos?)的全长. 课堂练习 1.计算曲线y?3?xn0nsinxdx的弧长(0?x?n?). 2.求阿基米德螺线r?a? (a?0)上相应于?从0到2?的弧长.
水压力和引力 内容要点
一、变力沿直线所作的功
二、水压力
三、引力 例题选讲 例1 设40牛的力使弹簧从自然长度10厘米拉长成15厘米, 问需要作多大的功才能克服弹性恢复力, 将伸长的弹簧从15厘米处再拉长3厘米? 例2
把一个带?q电量的点电荷放在r轴上坐标原点处，它产生一个电场，这个电场对周围的电荷有作用力. 由物理学知道, 如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原点为r的地方, 那么电场对它的作用力的大小为 q(k是常数).
2r如图6-5-2所示，当这个单位正电荷 在电场中从 r?a处沿r轴移动到r?b处时, 计算电场力F对
F?k它所作的功. 例3 在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体. 在等温条件下, 由于气体的膨胀, 把容器中的一个活塞(面积为S)从点a处推移到b处. 计算在移动过程中, 气体压力所作的功. 例4 一圆柱形蓄水池高为5米, 底半径为3米, 池内盛满了水. 问要把池内的水全部吸出, 需作多少功? 例5 设有一直径为20m的半球形水池, 池内贮满水, 若要把水抽尽, 问至少作多少功. 例6 一个横放着的圆柱形水桶, 桶内盛有半桶水, 设桶的底半径为R, 水的 比重为?, 计算桶的一端面上所受的压力. 例7 将直角边各为a及2a的直角三角形薄板垂直地浸入水中，斜边朝下，直角边的边长与水面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边长，求薄板所受的侧压力. 例8 假设有一长度为l、线密度为?的均匀细棒，在其中垂线上距棒a单位处 有一质量为m的质点M，试计算该棒对质点M的引力. 例9 计算半径为a, 密度为?,均质的圆形薄板以怎样的引力吸引质量为m的质点P. 此质点位于通过薄板中心Q且垂直于薄板平面的垂直直线上, 最短距离PQ等于b. 课堂练习 1.有一圆台形的桶, 盛满了汽油, 桶高为3米, 上、下底半径分别为1米及2米, 试求将桶内汽油全部吸尽所需作的功(汽油密度??800千克/米) 2.一矩形水闸门, 宽20米, 高16米, 水面与闸门顶齐, 求闸门上所受的总压力.
微分方程 第一节 微分方程的基本概念 内容要点 一、微分方程的概念 我们把未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程. 类似地，未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程，
本章我们只讨论常微分方程. 常微分方程的一般形式是： F(x,y,y?,y???,y其中x为自变量，y?y(x)是未知函数. 如果能从方程(1.5)中解出最高阶导数，就得到微分方程y(n)(n))?0,
?f(x,y,y?,?,y(n?1)).
以后我们讨论的微分方程组主要是形如(1.6)的微分方程，并且假设(1.6)式右端的函数f在所讨论的范围内连续. 如果方程(1.6)可表为如下形式：
y(n)?a1(x)y(n?1)???an?1(x)y??an(x)y?g(x)
则称为n阶线性微分方程. 其中a1(x),a2(x),?, an(x)和g(x)均为自变量x的已知函数. 不能表示成形如上式的微分方程，统称为非线性微分方程. 在研究实际问题时，首先要建立属于该问题的微分方程，然后找出满足该微分方程的函数（即解微分方程），就是说，把这个函数代入微分方程能使方程称为恒等式，我们称这个函数为该微分方程的解. 更确切地说，设函数y??(x)在区间I上有n阶连续导数，如果在区间I上，有F(x,?(x),??(x),???(x)?,?(n)(x))?0,则称函数y??(x)为微分方程在区间I上的解.
二、微分方程的解 微分方程的解可能含有也可能不含有任意常数. 一般地，微分方程的不含有任意常数的解称为微分方程的特解. 含有相互独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相等的解称为微分方程的通解（一般解）. 所谓通解的意思是指，当其中的任意常数取遍所有实数时，就可以得到微分方程的所有解（至多有个别例外）. 注：这里所说的相互独立的任意常数，是指它们不能通过合并而使得通解中的任意常数的个数减少. 许多实际问题都要求寻找满足某些附加条件的解，此时，这类附加条件就可以用来确定通解中的任意常数，这类附加条件称为初始条件，也称为定解条件. 例如，条件(1.2)和(1.4)分别是微分方程(1.1)和(1.3)的初始条件. 带有初始条件的微分方程称为微分方程的初值问题. 微分方程的解的图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线. 例题选讲 例1设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却. 根据冷却定律：物体温度的变化率与物体和当时空气温度之差成正比，设物体的温度T与时间t的函数关系为T?T(t)，则可建立起函数T(t)满足的微分方程
dT??k(T?20)其中k(k?0)为比例常数. dt这就是物体冷却的数学模型. 例2设一质量为m的物体只受重力的作用由静止开始自由垂直降落. 根据牛顿第二定律：物体所受的力F等于物体的质量m与物体运动的加速度?成正比，即F?m?，若取物体降落的铅垂线为x轴，其正向朝下，物体下落的起点为原点，并设开始下落的时间是t?0，物体下落的距离x与时间td2x的函数关系为x?x(t)，则可建立起函数x(t)满足的微分方程 ?g，其中g为重力加速度常数. dt2这就是自由落体运动的数学模型. 例3试指出下列方程是什么方程，并指出微分方程的阶数. 2dy(1)?x2?y;
dy?dy?(2)x???2?4x?0; dx?dx?d2y?dy?(3)x2?2???5xy?0; (4)cos(y??)?lny?x?1. dx?dx?22例4求曲线族x?Cy?1满足的微分方程，其中C为任意常数. 例5验证函数y?(x2?C)sinx(C为任意常数)是方程dy?ycotx?2xsinx?0的通解, 并求满足初dx始条件y|x??2?0的特解. 课堂练习 d2x21．验证函数x?C1coskt?C2sinkt是微分方程?kx?0的解. 并求满足初始条件2dtdxx|t?0?A,?0的特解. dtt?0第二节
可分离变量的微分方程 内容要点
一、可分离变量的微分方程 设有一阶微分方程dy?F(x,y),如果其右端函数能分解成F(x,y)?f(x)g(x)，即有dxdy其中f(x),g(x)都是连续函数. 根据这种方程的?f(x)g(y).则称方程为可分离变量的微分方程，dx特点，我们可通过积分来求解. 求解可分离变量的方程的方法称为分离变量法. 二、齐次方程：形如dy?y??f??的一阶微分方程称为齐次微分方程，简称齐次方程.. dx?x?例题选讲 dy?2xy的通解. dx2例2求微分方程dx?xydy?ydx?ydy的通解. 22例3 已知 f?(sinx)?cos2x?tanx, 当0?x?1时，求f(x). 例1求微分方程例4 设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却. 试求物体温度随时间t的变化规律. 例5在一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的37?C按照牛顿冷却定律开始下降．假设两个小时后尸体温度变为35?C，并且假定周围空气的温度保持20?C不变，试求出尸体温度T随时间t的变化规律．又如果尸体被发现时的温度是30?C，时间是下午4点整，那么谋杀是何时发生的？ 例6设降落伞从跳伞塔下落后, 所受空气阻力与速度成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时(t?0)速度为零, 求降落伞下落速度与时间的关系. 例7 有高为1米的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面积为1平方厘米. 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律. 例8 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中含有0.1%的C02, 为了降低车间内空气中C02的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含0.03%的C02的新鲜空气, 同时以同样的风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分钟后, 车间内C02百分比降低到多少? 例9求解微分方程 例10 求解微分方程dyyy???tan满足初始条件yx?1?的特解. dxxx6dxx?xy?y2222?dy2y?xy2. 例11求解微分方程 y?xdydy?xy. dxdx例12
求微分方程x(lnx?lny)dy?ydx?0.的通解:
抛物线的光学性质. 实例:车灯的反射镜面――旋转抛物面. ?例14设河边点O的正对岸为点A, 河宽OA?h, 两岸为平行直线, 水流速度为a, 有一鸭子从点A游向点O, 设鸭子(在静水中)的游速为b(b?a), 且鸭子游动方向始终朝着点O, 求鸭子游过的迹线的方程. 课堂练习 dyx?yx?y的通解. ?cos?cosdx22x2.方程??2y(t)?t2?y2(t)?dt?xy(x)是否为齐次方程? ?0???yy3.求齐次方程(x?ycos)dx?xcosdy?0的通解. xx1.求微分方程第三节
一阶线性微分方程 内容要点 一、一阶线性微分方程 dy?P(x)y?Q(x)的方程称为一阶线性微分方程. 其中函数P(x)、Q(x)是某一区间Idxdy上的连续函数. 当Q(x)?0,方程成为?P(x)y?0这个方程称为一阶齐次线性方程. 相应地，原dx形如方程称为一阶非齐次线性方程. 齐次方程的通解y?Ce??P(x)dx非齐次线性方程的通解为y?
二、伯努利方程：形如??Q(x)e.其中C为任意常数. ?P(x)dxdx?Ce??P(x)dx
?dy?P(x)y?Q(x)yn的方程称为伯努利方程，其中n为常数，且n?0,1. dx伯努利方程是一类非线性方程，但是通过适当的变换，就可以把它化为线性的. 事实上，在方程(3.7)1dy?P(x)y1?n?Q(x),或
?(y1?n)??P(x)y1?n?Q(x),于是，dx1?ndz1?n令z?y，就得到关于变量z的一阶线性方程?(1?n)P(x)z?(1?n)Q(x).利用线性方程的求dx两端除以y，得yn?n解方法求出通解后，再回代原变量，便可得到伯努利方程(3.7)的通解 ?(1?n)P(x)dx?(1?n)P(x)dx?y1?n?e?dx?C?. ??Q(x)(1?n)e???例题选讲 1sinx的通解. y?xxdy2y例2求方程??(x?1)5/2的通解. dxx?1例3 求微分方程xlnxdy?(y?lnx)dx?0满足所给初始条件y例1求方程y??例4 求解方程 x?e?1的特解.
dyd?d??y??(x), ?(x)是x的已知函数. dxdxdx例5求方程y3dx?(2xy2?1)dy?0的通解. 例6在一个石油精炼厂，一个存储罐装8000L的汽油，其中包含100g的添加剂. 为冬季准备，每升含2g添加剂的石油以40L/min的速度注入存储罐. 充分混合的溶液以45L/min的速度泵出. 在混合过程开始后20分钟罐中的添加剂有多少？ 例7
如图(见系统演示)所示, 平行于y轴的动直线被曲线y?f(x)与y?x(x?0)截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线f(x). 3dyydy4??(alnx)y2的通解. ?y?x2y的通解.
例9求方程dxxdxxdy例10求方程?x(y?x)?x3(y?x)2?1的通解. dx例8
求例11求解微分方程 dy1y??. 2dxxsin(xy)x课堂练习 三亿文库包含各类专业文献、各类资格考试、生活休闲娱乐、行业资料、外语学习资料、高等教育、中学教育、幼儿教育、小学教育、高数上册10等内容。　
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&&为什么这样求圆柱体体积不对？
为什么这样求圆柱体体积不对？
将圆柱体看成是由一个矩形绕一条直线旋转360°形成。那么我们就可以对角度积分，从而求出体积。可结果却是V=2丌S矩＝2丌ab，这与V=丌r＾2*h不同。这是为什么。
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在高数中有一个名称叫面积微元,它是啥子意思嘛?
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意思就是一个微小的面积单位,可以表示为dσ,也可以简单的表示为dxdy,具体应用是二元积分,就象一元积分中dx是x轴微元,
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