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时间：2017-11-13 02:20
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同济大学《高等数学》授课教案日(修改稿)
同济大学《高等数学》授课教案同济大学《高等数学》 授课教案2015 年 3 月 2 日（修改稿）总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案第一讲高等数学学习介绍、函数教学目的：了解新数学认识观，掌握基本初等函数的图像及性质；熟练复合函 数的分解。 重 难 点 ：数学新认识，基本初等函数，复合函数 教学程序 ：数学的新认识―&函数概念、性质（分段函数）―&基本初等函数―& 复合函数―&初等函数―&例子（定义域、函数的分解与复合、分段函数的图像） 授课提要： 前 言：本讲首先是《高等数学》的学习介绍，其次是对中学学过的函数进行 复习总结（函数本质上是指变量间相依关系的数学模型，是事物普遍联系的定量 反映。高等数学主要以函数作为研究对象，因此必须对函数的概念、图像及性质 有深刻的理解）。 一、新教程序言 1、为什么要重视数学学习 （1）文化基础――数学是一种文化，它的准确性、严格性、应用广泛性，是 现代社会文明的重要思维特征，是促进社会物质文明和精神文明的重要力量； （2）开发大脑――数学是思维训练的体操，对于训练和开发我们的大脑（左 脑）有全面的作用； （3）知识技术――数学知识是学习自然科学和社会科学的基础，是我们生活 和工作的一种能力和技术； （4）智慧开发――数学学习的目的是培养人的思维能力，这种能力为人的一 生提供持续发展的动力。 2、对数学的新认识 （1）新数学观――数学是一门特殊的科学，它为自然科学和社会科学提供思 想和方法，是推动人类进步的重要力量； （2）新数学教育观――数学教育（学习）的目的：数学精神和数学思想方 法，培养人的科学文化素质，包括发展人的思维能力和创新能力。 （3）新数学素质教育观――数学教育（学习）的意义：通过“数学素质”而 培养人的“一般素质”。[见教材“序言”] 二、函数概念 1、函数定义：变量间的一种对应关系（单值对应）。 （用变化的观点定义函数），记： y ? f ( x) （说明表达式的含义）总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案(1)定义域：自变量的取值集合（D）。 (2)值 域：函数值的集合，即 {y y ? f ( x), x ? D} 。 例 1、求函数 y ? ln(1 ? x 2 ) 的定义域？ 2、函数的图像：设函数 y ? f ( x) 的定义域为 D，则点集 {( x, y) y ? f ( x), x ? D} 就构成函数的图像。 例如：熟悉基本初等函数的图像。 3、分段函数：对自变量的不同取值范围，函数用不同的表达式。 例如：符号函数、狄立克莱函数、取整函数等。 分段函数的定义域：不同自变量取值范围的并集。 ?x 2 , x ? 0 例 2、作函数 f ( x) ? ? 的图像？ 2 x , x ? 0 ? ? x 2，x ? 0 例 3、求函数 f ( x) ? ? 的定义域及函数值 f (?1), f (0), f (1) ? ? 1，x ? 0 三、基本初等函数 熟记：五种基本初等函数的定义域、值域、图像、性质。 四、复合函数：设 y=f(u),u=g(x)，且与 x 对应的 u 使 y=f(u)有意义，则 y=f[g(x)] 是 x 的复合函数，u 称为中间变量。 说 明：(1)并非任意几个函数都能构成复合函数。 如： y ? ln u, u ? ? x 2 就不能构成复合函数。 (2)复合函数的定义域：各个复合体定义域的交集。 (3)复合函数的分解从外到内进行；复合时，则直接代入消去中间变量即可。 例 5、设 f ( x) ? x 2 , g ( x) ? 2 x , 求f ( g ( x)), g ( f ( x)) ? 例 6、指出下列函数由哪些基本初等函数（或简单函数）构成？ (1) y ? ln(sin x 2 ) (2) y ? e ?2 x (3) y ? 1 ? arctan2 x 五、初等函数：由基本初等函数经有限次复合、四则运算而成的函数，且用一 个表达式所表示。 说 明：（1）一般分段函数都不是初等函数，但 y ? x 是初等函数； （2）初等函数的一般形成方式：复合运算、四则运算。 思考题 ：1、 确定一个函数需要有哪几个基本要素？ [定义域、对应法则] 2、 思考函数的几种特性的几何意义？ [奇偶性、单调性、周期性、有界性] 3、任意两个函数是否都可以复合成一个复合函数？你是否可以用例子说明？[不能]总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案探究题 ：一位旅客住在旅馆里，图 1―5 描述了他的一次行动，请你根据图形给纵坐标赋予某一 个物理量后，再叙述他的这次行动.你能给图 1―5 标上 具体的数值，精确描述这位旅客的这次行动并用一个 函数解析式表达出来吗？小 结 ：函数本质上是指变量间相依关系的数 学模型，是事物普遍联系的定量反映；复合函 数反映了事物联系的复杂性；分段函数反映事 物联系的多样性。 作 业 ：P4（A：2-3）；P7（A：2-3）图 1―5 时间课堂练习（初等函数）【A 组】 1、求下列函数的定义域？ (1) y ? x 2 ? 1 (2) y ? e x (3) y ? log (x-1) 2 (4) y ?x ? ln( 4 ? x 2 ) x ?12、判定下列函数的奇偶性？ (1) y ? f ( x) ? f (? x) (2) y ? e x ? e ? x (3) y ? x 2n?1 (n为自然数） 3、作下列函数的图像？ x2 ?1 (1) y ? (2) y ? e ? x (3) y ? sin x x ?1 4、分解下列复合函数？ 1 (1) y ? x 2 ? 1 (2) y ? e sin x (3) y ? (4) y ? ln 2 (cosx) 3 1 ? sin x 【B 组】 1、证明函数 y ? ln(x ? x 2 ? 1) 为奇函数。 2、将函数 y ? x ? 1 ? 2x ? 1 改写为分段函数，并作出函数的图像？总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案1 1 3、设 f ( x ? ) ? 2 ? x 2 , 求f ( x) ？ x x 1 4、设 f ( x ) = ，求 f [ f ( x )] ， f ? f [ f ( x)]?？ 1? x 数学认识实验： 初等函数图像认识1、幂函数：（如 y ? x, y ? x 2 , y ? x 3 ） 2、指数与对数函数：（如 y ? e x , y ? ln x ）Y Y 2 31.5 210.5 1 X -2 -1 -0.5 1 2 X-2-11234-1 -13、三角函数与反三角函数：（ y ? cos x, y ? arccos x ） 1 4、多项式函数：（ y ? x 3 ? x 2 ? 3x ? 3 ） 3Y 3y1 3 2 x x 3x 3 3 202101-4X -3 -2 -1 1 2 3-2 -10246-1-205、分段函数：（ y ? x , y ? sgn x ）总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案110.80.50.60.4-2-1120.2-0.5-1-0.50.51-1总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案第二讲导数的概念（一）、极限与导数教学目的：复习极限的概念及求法；理解导数的概念，掌握用定义求导数方法。 重 难 点 ：求极限，导数定义及由定义求导法 教学程序 ：极限的定义及求法（例）―&导数的引入（速度问题）―&导数的概念 ―&导数与极限―&基本初等函数的导数（定义法）―&例子（简单） 授课提要： 前 言：在前面的教学中，我们已讨论了变量间的关系(函数)，本节将复习函数 的变化趋势(极限)，在此基础上讨论函数的变化率问题（即函数的导数）。导数 是高数的重点，它的本质是极限（比值的极限），在现实中有极丰富的应用。 一、理论基础――极 限（复习） 1、极限的概念（略讲函数在某点的极限定义） 2、极限的四则运算法则（略） 3、求函数的极限（几类函数的极限） （1）若 f ( x) 为多项式，则 lim f ( x) ? f ( x0 )x ? x0例 1：求下列极限 2 (1) lim( x ? 2 x ? 1)x ?1( x 2 ? 2 x ? 1) (2) lim x ?0( x 2 ? 2 x ? 1) (3) lim x?2f ( x) f ( x) f ( x0 ) （2）若 g ( x ) 为有理分式且 g ( x0 ) ? 0 ,则 lim （代入法） ? x ? x0 g ( x) g ( x0 ) 例 2：求下列极限 x ?1 x 2 ? 2x ? 2 x2 ?1 (1) lim (2) lim (3) lim x ?1 2 x ? 1 x ?0 x ?1 x ? 1 x2 ? 3 f ( x) （3）若分式 g ( x ) ,当 x ? x0 时， f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? 0 ，则用约去零因子法求极限 例 3：求下列极限x2 ?1 lim (1) x?1 x ? 1(2) lim x ?1x?8 ?3 x ?1(3) lim x ?1x 2 ? 2x ? 3 x ?1f ( x) （4）若分式 g ( x ) ,当 x ? ? 时，分子分母都是无穷大，则适用无穷小分出法 求极限。 例 4：求下列极限总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案x ?1 x2 ?1 x 2 ? 2x ? 1 lim lim (1) x?? 2 x 2 ? 1 (2) x?? 5 x 2 ? 1 (3) lim x ?? 2 x 2 ? 1 3、两个重要极限 1 sin x 1 x ?1 (1 ? ) ? e或 lim(1 ? x) x ? e （1） lim （2） lim x ?0 x ?? x ?0 x x 说明：其中 x 可以是 u ( x) 的形式，且当 x ? 0 时， u( x) ? 0 。例 5：求下列极限(1) limsin 3 x x ?0 x sin 3 x (2) lim x ? 0 sin 5 x(1 ? 3 x) (3) lim x ?01 x(1 ? ) x (4) lim x ?? x3二、导数定义（复习增量的概念） 引例 1、速度问题（自由落体运动 s ?1 2 gt ） 2引例 2、切线问题（曲线 y ? x 2 ） 以上两个事例具体含义各不相同，但从抽象的数量关系来看，都是要求函数 y 关于自变量 x 在某一点 x0 处的变化率，即计算函数增量与自变量增量比值的极 限，这种特殊的极限就是函数的导数。 解决问题的思路： 1、 自变量 x 作微小变化?x，求出函数在自变量这个小段内的平均变化率 ?y y? ，作为点 x0 处变化率的近似值； ?x?x ? 02、 对 y 求?x?0 的极限 lim ?y ，若它存在，这个极限即为点 x0 处变化率的?x精确值。 定 义：设函数 y ? f ( x) 在 x0 点及附近有定义，当 x 在 x0 点取得增量 ?x 时，相 ?y 应函数取得增量 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ，若当 ?x ? 0 时，比值 的极限存在， ?x dy x ? x 0 ，即 则称此极限值为 f ( x) 在 x0 处的导数或微商。记 f ?( x 0 )或 dx f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y f ?( x0 ) ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x ?y 说明：(1)比值 是函数 f ( x) 在 [ x0 , x0 ? ?x] 上的平均变化率；而 f ?( x0 ) 是 ?x f ( x) 在 x0 处的变化率，它反映函数在点 x0 随自变量变化的快慢程度；总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案(3)若 f ( x) 在（a,b)内每点可导，则称函数在（a,b）内可导，记 f ?( x) ，称 为导函数，简称导数。 (4)f?(x)是 x 的函数，而 f?(x0)是一个数值，f(x)在点 x0 处的导数 f?(x0)就是导函 数 f?(x)在点 x0 处的函数值。 三、导数与极限的关系 导数是一种特殊（比值）的极限，即有导数-?有极限，反之不成立。 四、基本初等函数的导数（定义） 由定义知求函数导数的步骤：（三步骤） （1）求增量；（2）求比值；（3）求极限。 例 6、由定义求函数 y ? C 的导数？ 例 7、由定义求函数 y ? sin x 的导数？（推导） 思考题 ： sin x 1、 lim 是否存在，为什么？[0] x ? ?? x 2、若曲线 y = x 3 在 ( x0 , y0 ) 处切线斜率等于 3 ，求点 ( x0 , y0 ) 的坐标。 π sin( ? x) ? 1 2 3、 已知 (sin x)' ? cos x ，利用导数定义求极限 lim 。[0] x ?0 x 探究题 ：从求变速直线运动物体的瞬间速度问题解决方法中，你对“极限法” 有什么体会？ [近似转化为精确的数学方法] 小 结 ：导数的本质从微观（局部）上研究非均匀量（如：速度、密度、电 流、电压等）的变化率问题，是处理非均匀量的“除法”；其思想方法：(1)在小 范围内以“匀”代“不匀”或“不变”代“变”，获得近似值；(2)利用极限思想 使“近似值”转化为“精确值”。从函数的观点看，导数是描述函数的局部线性 形态，即可导函数表示的曲线在局部都可以近似为一条直线（切线），凭着切线 的斜率，可以研究函数的整体性质（导数应用中的单调性、极值等）。 作 业 ：P22（A：1-3；B：3-4）总学时 64 学时（XRG）?y lim (2)若 ? x ?0 ?x 不存在（包括 ? ），则称 f ( x ) 在 x0 点不可导； 同济大学《高等数学》授课教案课堂练习（导数的概念一）【A 组】 1、求下列极限 ( x ? 1) 3 (2 x ? 1) 2 (1) lim x ?0 (2 x ? 3) 2x ?1 (2) lim 2 x ?1 x ? 11x2 ?1 (3) lim 2 x ?? 2 x ? x ? 3arcsin x arccos x （4） lim （5） lim(1 ? 2 x) x （6） lim x ?0 x ?? x ?0 2x 2x 3 2 a ( x ? 1) (2 x ? 1) 2、求极限 lim ？ 3、求极限： lim(1 ? ) bx ? d ？[ e ab ] 5 x ?? x ?? x (2 x ? 3)x 2 ? ax ? 2 ? x) ? 1 ，求 a 的值？ [2] x ?? x ?1 5、用导数定义，求函数 f ( x) ? x 2 ? 1 在 x=1 处的导数？ 6、设物体的运动方程为 s ? t 2 ? 3 ，求(1)物体在 t=2 秒和 t=3 秒间的平均速度？ (2)求物体在 t=2 秒时的瞬时速度？4、已知 lim(【B 组】x 1、设 f ( x) ? e , 求极限 lim t ?0f ( x ? t ) ? f ( x) ？ [ f ?( x) ? e x ] tx 2、设函数 f ( x) ? lim(1 ? ) t ( x ? 0)，求 f (ln 2) ？ [2] t ?? t ? 3、证明导数公式： ( x )? ? ?x? ?1 1 (9t ? 3t 2 ? t 3 ), 0 ? t ? 4.5 ，求 t=2,3,4 时 4、一药品进入人体 t 小时的效力 E ? 27 的效力 E 的变化率？ ?2 3 ? x ,x ?1 , 则f ( x)在x ? 1处 5、设 f ( x) ? ? 3 A 。 2 ? x , x ? 1 ? A、左右导数都存在 B、左导数存在，右导数不存在 C、右导数存在，左导数不存在 D、都不存在 f ( x ) ? f (a ) ? A （ A 为常数），试判断下列命题是否正确。[全部] 6. 若 lim x ?a x?a （1） f ( x) 在点 x ? a 处可导； （2） f ( x) 在点 x ? a 处连续； （3） f ( x ) ? f (a ) = A( x ? a ) ? o( x ? a ) ；总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案数学认识实验： 两个重要极限的图像认识 1、极限： limx?0sin x ?1 xY -1 -0.5 0.975 0.95 0.925 0.9 0.875 0.85 0.5 1 X1 2、极限： lim(1 ? ) x ? e x ?? xY 2.7 2.65 2.6 2.55 2.5 2.45 X 200 400 600 800 10003、等价无穷小的直观认识：（ x ? 0, x ~ sin x ~ tan x ）Y 21X -3 -2 -1 1 2 3-1-2总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案第三讲导数的概念（二）教学目的：熟悉导数基本公式；理解导数的几何意义，会求切线方程。 重 难 点 ：基本导数公式，导数的几何意义（求切线方程） 教学程序 ：复习导数定义―&基本导数公式―&例子（求导数）―&导数的几何意 义―&例子（切线方程）―&导数的物理意义（例子） 授课提要： 一、基本初等函数的导数 例 1、求 y ? x 2 的导数？（由导数的定义推导） 于是我们有公式： (C)? ? 0; ( x? )? ? ?x? ?1 ; (sin x)? ? cos x 同样，由定义可得基本初等函数的导数公式： 1 (cos x)? ? ? (ln x)? ? ; (e x )? ? e x x 二、导数的运算法则（u,v 为可导函数） 1、代数和： (u ? v)? ? u ? ? v? 2、数 乘： (ku)? ? ku ? 例 2、求下列函数的导数 1 (1) y ? 2 x 2 ? 3x ? 1 (2) y ? x 2 ? (3) y ? 3 sin x ? 1 x 例 3、求函数在给定点的导数值？ (1) y ? tan x, x ? ? (2) y ? 2e x ? 3x ? 2, x ? 1(4) y ? x 2 x三、导数的几何意义（作图说明） 结论： f ?( x0 ) 表示曲线 y=f(x)在点（x0,f(x0)）的切线斜率。 1 例 4、求曲线 y ? x ? 2 在点(1,0)处的切线方程？ x f (1) ? f (1 ? x) ? 1 ，求曲线 y=f(x)在点 例 5、设 f(x)为可导函数，且 lim x ?0 2x （1,f(1)）处的切线斜率？ [导数定义及几何意义] 四、导数的物理意义 结论：设物体运动方程为 S ? s(t ) ，则 s ?(t ) 表示物体在时刻 t 的瞬间速度。 例 6、设物体的运动方程为 s ? t 2 ? 2t ? 3 ，求物体在时刻 t=1 时的速度？总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案例 7、求曲线 y ?1 3 x ? x 2 ? x ? 3 上一点，使过该点的切线平行于直线 3 2 x ? y ? 2 ? 0 。[ x ? 3或x ? ?1 ]例 8、设某产品的成本满足函数关系： C( x) ? x 2 ? x ? 3 (x 为产量)，求 x=2 时 的边际成本，并说明其经济意义。 思考题 ： f ' ( x0 ) 与 [ f ( x0 )]'有无区别？[ f ' ( x0 ) ? f ?( x)x ? x0， [ f ( x0 )]'? 0 ]探究题 ：导数 f ?( x0 ) 的值可不可以为负值？举例说明。[可以] 小 结 ：导数的美学意义：局部线性之美（ y ? f ?( x0（ ) x ? x0 ) ? f ( x0 ) ）。它将 可导曲线在局部线性化，它是由函数局部性质研究函数整体性质的工具和方法。 作 业 ：P25（A：1）；P28（A：1，3）总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案课堂练习（导数概念二）【A 组】 1、求下列函数的导数 (1) y ? x 2 (2) y ? 2 x 3 (3) y ? 2 sin x3(4) y ? x 2 5 x 3(5) y ? 3 x ?1 x2、求下列函数的导数1? x2 ? x (1) y ? 1 ? x ? 3x (2) y ? (3) y ? x ? ln x (4) y ? e x ? 2 x x 3、求函数 y ? e ? 2 x 在 x=1 处的导数值？ ? 4、设 f ( x) ? x 2 ? 2 sin x ? 3, 求f ?(0), f ?( ) ? 2 2 5、设物体的运动方程为 s ? 2t ? 3t ? 1 ，求时刻 t=3 时的速度？ π 6、 抛物线 y = x 2 在何处切线与 Ox 轴正向夹角为 ，并且求该处切线的方程. 42 3【B 组】 1、一球体受力在斜面上向上滚动，在 t 秒末离开初始位置的距离为 s ? 3t ? t 2 ，问其初速度为多少？何时开始向下滚动？ x2 ?1 2、已知曲线 y ? 与 y ? 1 ? ln x 相交于点（1，1），证明两曲线在该点处 2 相切，并求出切线方程？ 数学认识实验： 导数的几何意义和美学价值 1、导数的定义（切线问题）yy ? f ( x)f ( x ? ?x)msec ??y ?xQmtan ??ydy dxf ( x)P?x ? dxdyxx ? ?xx2、导数的几何意义：（ y ? x , y ?(4) ?1 1 ; y ? ln x, y ?(4) ? ） 4 4总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案3212468103、导数的美学意义：曲线的局部线性化。 （1）在 x=0 处比较：曲线 y ? sin x 与切线 y ? x ； （2）在 x=1 处比较：曲线 y ? x 2 ? 1 与切线 y ? 2 x 。Y 1.5 14 Y 60.5 X -2 -1 -0.5-2 -1 1 2 3 X 212-1 -1.5-2总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案第四讲求导公式与求导法则（一）教学目的：掌握基本导数公式与导数运算法则，会求简单函数的导数。 重 难 点 ：基本导数公式与法则 教学程序 ：基本公式―&运算法则―&例子―&二阶导数的定义及求法 授课提要： 一、基本导数公式 由导数的定义，我们可以得到如下基本导数公式：(C )? ? 0; ( x)? ? 1; ( x ? )? ? ?x ? ?1 ; (e x ) ? ? (ln x)? ? 1 x (cot x)? ? ? csc 2 x(sin x)? ?(cosx)? ? ?(tanx)? ? sec 2二、导数的四则运算法则 设 u、v 为可导函数，则 ? ? 1、 ?u ? v ? ? u ? ? v ? 2、 ?ku ? ? ku ?( k ? 0) ? u ?v ? uv ? ?u? ? (v ? 0) 3、 ?uv ? ? u ?v ? uv ? 4、 ? ? ? v2 ?v? 例 1、求下列函数的导数 2 ? x2 (1) y ? 3x 2 ? x ? 1 (2) y ? (3) y ? ln x ? e x (4) y ? e x cos x x 例 2、求函数在给定点的导数值？ (1) y ? tan x, x ? ? (2) y ? 2e x ? 3x ? 2, x ? 1 例 3、设 y ? x 2 ln x, 求证：xy? ? 2 y ? x 2 例 4、已知曲线 y ? x ln x 的切线与直线 2 x ? 2 y ? 3 ? 0 垂直，求此切线方程？ 三、二阶导数 1、定义：若导函数 f ?( x) 再求导数，称为 f ( x) 的二阶导数。记： f ??( x) 2、求法：由定义知，求二阶导数的方法与求一阶导数的方法一致。 例 5、求下列二阶导数 1? x2 (1) y ? 3x 2 ? x ? 1 (2) y ? (3) y ? ln x ? e x (4) y ? xex x 3、二阶导数的物理意义总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案设物体的运动规律为： s ? s(t ) ，则 s ??(t ) 表示物体在时刻 t 的加速度。 例 6、设物体的运动方程为： s ? 3t 3 ? 2t ? 2 ，求 t=2 时的速度和加速度？ 思考题 ： 1. 思考下列命题是否成立？ (1)若 f ( x) ， g ( x ) 在点 x0 处都不可导，则 f ( x ) ? g ( x ) 点 x0 处也一定不可导.答：命题不成立.? 0, x ? 0, ? x, x ? 0, g ( x) = ? ? x, x ? 0 , ?0, x ? 0, f ( x) ， g ( x) 在 x = 0 处均不可导，但其和函数 f ( x) + g ( x) = x 在 x = 0 处可导.如： f ( x) = ?(2)若 f ( x) 在点 x0 处可导, g ( x) 在点 x0 处不可导，则 f ( x) + g ( x) 在点 x0 处一定 不可导.答：命题成立. 原因：若 f ( x) + g ( x) 在 x0 处可导，由 f ( x) 在 x0 处点可导知g ( x) =[ f ( x) + g ( x ) ] ? f ( x ) 在 x0 点处也可导，矛盾.探究题 ： 某产品的需求方程和总成本函数分别为 P ? 0.1x ? 80 ， C ( x) ? 5000? 20x ，其 中 x 为销售量， P 为价格。求边际利润，并计算 x ? 150 和 x ? 400 时的边际利 润，解释所得结果的经济意义。[导数的经济意义] 小 结 ：导数的物理意义更深层次反映了导数的本质：研究非匀速物体运动的 变化率。 s ?(t ) 指路程对时间的变化率， s ??(t ) 指速度对时间的变化率。二阶导数的 几何意义：反映曲线的凹向。 作 业 ：P30（A：1-2）小知识 ：数学的三次危机 第一次数学危机：无理数的产生。（单位正方形的对角线长） 第二次数学危机：微积分的产生和完善。（极限和无穷小的定义） 第三次数学危机：集合论的产生。（罗素悖论）总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案课堂练习（导数公式与法则一）【A 组】 1、求下列导数 (1) y ? 3x 2 ? ln x ? 32 3(2) y ?2 x(3) y ? x ln x(4) y ? (sin x) 22、曲线 y ? x e x 在何处有水平切线？ [x=-2/3] 3、已知曲线 y ? x ln x 的切线与直线 2 x ? 2 y ? 3 ? 0 垂直，求此切线方程？[e] 4、求下列二阶导数 1 (1) y ? 3x 2 ? ln x (2) y ? (3) y ? x ln x x 【B 组】 f ( xn ) ？ 1、设曲线 y ? x n 在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点为(xn,0)，求极限 nlim ? ??f (3x) ? 3，求 f ?(0) ？ [1] x ?0 x f ( x 0 ? h ) ? f ( x 0 ? 2 h) 3、设 f ?( x0 ) ? 2 ，求 lim ？ [-2] h ?0 h 4、已知 f ( x) ? x 2? ( x) ， ? ( x) 二阶连续可导，求 f ??(0) ？ [ 2? (0) ]2、若 f (0) ? 0, lim5、设某种汽车刹车后运动规律为 S ? 19.2t ? 0.4t 3 ，假设汽车作直线运动，求 汽车在 t ? 4 秒时的速度和加速度。 数学认识实验： 函数与导函数的图像比较（ y ? x 3 , y ? ? 3x 2 , y?? ? 6 x ）Y 642X -2 -1 -2 1 2总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案第五讲 求导法则（二）、连续与导数教学目的：了解函数的连续性的概念，理解连续与导数的关系。 重 难 点 ：基本导数公式，连续的几何直观、连续与可导的关系 教学程序 ：复习基本导数公式、法则―&连续概念（极限定义）―&连续的条件 ―&初等函数的连续性―&可导与连续（例）―&连续函数的极限（例子） 授课提要： 一、复习基本导数公式和法则 举 例：（略） 二、连续的概念（作图直观理解） 1、定 义：设函数 y ? f ( x) 在 x0 点及附近有定义，当 x ? x0 时,有f ( x) ? f ( x0 ) ，则称 f(x)在 x0 点连续。说明：连续是一种特殊的极限。连续?有极限，反之不成立。 例 1、试证 y ? x 在 x=0 处连续？ 三、函数连续的条件 （１）f(x)在 x0 点及附近有定义 （２）f(x)在 x0 点的极限存在 （３）极限值等于函数值。?x 2 , x ? 0 例 2、讨论函数 y ? ? 在 x=0 处的连续性？ ? 1, x ? 0四、初等函数的连续性 初等函数在定义区间内都是连续的。其图像是一条连绵不断的曲线。五、可导与连续 1、可导与连续的图象特征 （1）连续函数的图像是一条连绵不断的曲线。（作图示例） （2）可导函数的图像不仅连绵不断，并且曲线具有平滑性（无尖点、折点） 2、可导与连续的关系 定理：若函数 f(x)在 x0 点可导，则 f(x)在点 x0 连续；反之，结论不成立。 例 3、试证函数 y ? sin x 在 x=0 点连续但不可导。 例 4、试证函数 y ? 3 x 2 在 x=0 点连续但不可导,但切线存在。总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案3、极限、连续、可导之间的关系?x 2 , x ? 0 可导?连续?有极限；反之不一定成立。如 f ( x) ? ? 在 x=0 处。 1 , x ? 0 y ?y=|x| y y= 3 x ? 1 -1 x1 -1 ?x六、连续函数的极限 若 f(x)在 x0 点连续，则 lim f ( x) ? f ( x0 )x ? x0OO例 5、求下列极限 （1） lim x 2x ?1(2) lim cos xx ??（3） lim x ?0ln(1 ? x ) x(4)limx ?0x x?4 ?2?1 ? cos x ,x ? 0 ? 例 6、讨论 f ( x) ? ? x 2 在 x=0 处的连续性？ 2 ? x ? 1 , x ? 0 ?思考题 ： 1．如果 f ( x ) 在 x0 处连续，问| f ( x ) |在 x0 处是否连续？ [连续] 2． 如果 f ( x ) 在 x0 处可导，问| f ( x ) |在 x0 处是否可导？ [不一定]x2 ?1 的间断点，并判断其类型。 ( x ? 1) x 探究题 ：作图说明函数不可导点的类型。[不连续点、尖点、折点]3．求函数 f ( x) ? 小 结 ：连续函数的美学意义：和谐与奇异之美。连续体现的是自然和谐、社 会发展的生生不息；间断则表现为不规则和与众不同，体现了自然界的丰富多彩 和社会发展中的跳跃性。作 业 ：P34（A：1-2）；复习题（2-5）总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案课堂练习（求导公式与法则二）【A 组】 1、求下列函数的导数1 ? ln x x 2、求函数 y ? x 3 ln x 在 x=1 处的导数值？ x ?1 x ?1(1) y ? 2 x 2 ? 3x ? 1(2) y ? x 2 ?(3) y ? x ln x(4) y ?3、求曲线 y ?7 3x 3 ? 2 x ? 1 在点（-1，0）处的切线方程？ [ k ? ] 2 3 x ?21 1? x2 ?1 4、试定义 f(0)的值，使函数 f ( x) ? 在 x=0 处连续？[ f (0) ? ] 2 2 x 1 ? 2 ? x sin , x ? 0 5、设 f ( x) ? ? ，问 a 为何值时，函数在 x=0 处连续？[2] x x ? ? a?e ,x ? 0【B 组】?x 2 , x ? 1 1、作函数 y ? ? 的图像？ 1 , x ? 1 ?f ( x) ? 2 ，求 f ?(2) ？ [2] x?2 x ? 2 [ f ( x)]3 ? 1 3、设 f(x)有连续导数， f ?(2) ? 2, f (2) ? 1，求 lim ？ [12] x ?2 x?2 ? x2 , x ? 1 4、设 f ( x) ? ? ，问 a,b 为何值时，函数 f(x)处处连续、可导？ ?ax ? b, x ? 1 3 x ?1 5、x=1 是函数 y ? 的（ B ） x ?1 （A）连续点 （B）可去间断点 （C）跳跃间断点 （D）无穷间断点 a *6、若 f(x)在[0，a]上连续，且 f(0)=f(a)，试证：方程 f ( x) ? f ( x ? ) 在 2 （0，a）内至少有一个实根。 a [提示：作新函数，在[ 0, ]上使用零点存在定理] 22、设函数 f(x)在 x=2 处连续，且 lim总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案数学认识实验： 不可导点的类型 1、连续而不可导的点（尖、折点）（如： y ? sin x 在x ? k?，y ? 3 x 2 在x ? 0 ）120.81.50.610.40.20.5-7.5-5-2.52.557.5-3-2-11232、不连续点为不可导点：312 10.5-3-2-1 -1 -2 -3123-2 -1 1 2-0.5-1Y 11.5 10.50.5-2-1 -0.512X-0.5 -1 -1.5510152025-1总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案第六讲定积分的概念教学目的：了解定积分的概念，理解定积分的几何意义。 重 难 点 ：作为面积的定积分概念 教学程序 ：提出问题―&解决问题（思想）―&定积分定义―&定积分的几何意义 （例子）―&定积分的性质（简单） 授课提要： 前 言：在自然科学、工程技术和经济学的许多问题中，经常会遇到各种平面 图形的面积计算。对于三角形、四边形及直多边形和圆的面积，可以用初等数学 的方法计算，但由任一连续围成的图形的面积就不会计算。下面讨论由连续曲线 所围成的平面图形的面积的计算方法。 一、问题引入 1、曲边梯形的定义 所谓曲边梯形是指有三条直线段，其中两条相互平行，第三条与这两条相互 垂直，第四条边为一条连续曲线所围成的四边形。（如图所示） 2、引 例：如何求曲线 y ? x 2 , x ? 0, x ? 1, y ? 0 所围成的面积？(特殊曲边梯形) （1）分析问题 若将曲边梯形与矩形比较，差异在于矩形的四边都是直的，而曲边梯形有一 条边是曲的。 设想：用矩形近似代替曲边梯形。为了减少误差，把曲边梯形分成许多小曲 边梯形，并用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积。当分割越细，所得的近 似值越接近准确值，通过求小矩形面积之和的极限，就求得了曲边梯形得面积。 （2）解决问题（思路） y 第一步：分割 y=x2 第二步：近似代替 第三步：求和 第四步：取极限 0 x 1 二、定积分的定义 现实中许多实例，尽管实际意义不同，但解决问题的方法是一样的：按“分 割取近似，求和取极限”的方法，将所求的量归结为一个和式极限。我们称这种 “和式极限”为函数的定积分。 定 义： ? f ( x)dx ? lim ? f (? i )?xib a n ?? i ?1 n（说明定积分中各符号的称谓）总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案由定积分的定义知，以上实例可以表示成定积分：面积 A ? ? x 2 dx01说 明：定积分是一个特殊的和式极限，因此，它是一个常量，它只与被积函 数 f(x)、积分区间[a,b]有关，而与积分变量用何字母表示无关。 三、定积分的几何意义（作 图） 当函数 f(x)在[a,b]上连续时，定积分可分成三种形式： 1、若在[a,b]上， f ( x) ? 0 ，则定积分表示由曲线 f(x)，直线 x=a,x=b,y=0 所围 成的曲边梯形的面积 A，即 ? f ( x)dx ? Aa b2、若在[a,b]上， f ( x) ? 0 ，则定积分表示由曲线 f(x)，直线 x=a,x=b,y=0 所围 成的曲边梯形的面积 A 的相反数，即 ? f ( x)dx ? ? Aa b3、若在[a,b]上，f(x)可正可负，则定积分表示 x 轴上方图形的面积 A1 与下方 图形的面积 A2 之差，即 ? f ( x)dx ? A1 ? A2a b结论：定积分的几何意义：“有号面积”， 即 A ? ? f ( x) dx 。ab例 1、用定积分几何意义判定下列积分的正负： （1） ? e x dx0 2（2） ? ? sin xdx? 20例 2、用定积分表示由曲线 y=x2+1,直线 x=1,x=3 和 y=0 所围成的图形面积？ 四、定积分的性质（简略） （1） ? f ( x)dx ? 0a a（2） ? f ( x)dx ? ?? f ( x)dx （3） ? dx ? b ? aa babab（4）积分中值定理： 设函数 f(x)在以 a，b 为上下限的积分区间上连续，则在 a，b 之间至少存在 b 一个?（中值），使 ? a f (x )dx =f(?)(b－a)y 积分中值定理有以下的几何解释：若 f(x)在[a，b]上连 y =f ( x ) 续且非负，定理表明在[a，b]上至少存在一点?，使得以 [a，b]为底边、曲线 y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积，与同 底、高为 f(?)的矩形的面积相等，如图所示．因此从几何角 f(?) 度看，f(?)可以看作曲边梯形的曲顶的平均高度；从函数值 角度上看，f(?)理所当然地应该是 f(x)在[a，b]上的平均值． O a ? 因此积分中值定理这里解决了如何求一个连续变化量的平均值问题．x b思考题 ： 1、 用定积分的定义计算定积分 ? cdx ,其中 c 为一定常数。[矩形的面积]a b总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案2、 如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义求下列积分的值：（1 ）?1 ?1? 1 xdx , （2） ? ?RR R 2 ? x 2 dx , （3） ? 20 cos xdx , （4） ? ? x dx . 1探究题 ：用定积分的符号、定义、结果、方法等说明“什么是定积分”？ 小 结 ：定积分的本质：从宏观（整体）研究非均匀量的“改变量”问题。是 处理非均匀量的“乘法”；其思想方法：(1)在小范围内以“不变”代“变”，获 得近似值；(2)利用极限思想使“近似值”转化为“精确值”。其中，“分”是为 了“匀”的需要，而“求和”是整体量的要求。 作 业 ：P40（A：1-3）总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案课堂练习（定积分的概念）【A 组】 一、判定正误： 1、定积分 ?a f ( x)dx 表示曲边梯形的面积。（b bF）2、定积分 ?a f ( x)dx 的值与被积函数 f(x)、积分区间[a,b]及积分变量 x 有关。F 3、 ?1 ln xdx ? 0 （2T） 4、 [ ?a f ( x)dx]? ? f ( x) （bF）二、用定积分表示面积： (1)曲线 y ? x 3 , 直线x ? ?1, x ? 1及y ? 0所围成的平面？ (2)由方程 x 2 ? y 2 ? 4 所确定的圆的面积？ 三、 用定积分的定义计算定积分 ? cdx ,其中 c 为一定常数。a b【B 组】? ] 0 4 二、由定积分的几何意义求直线 y ? 2 x ? 1, x ? 1, x ? 2, y ? 0 所围成的平面图 形的面积？ 三、用定积分的定义求曲线 y ? x 2 ? 1, x ? 1, x ? 2, y ? 0 所围成的平面图形的 面积？一、由定积分的几何意义计算： ? 1 ? x 2 dx ？ [1数学认识实验： 定积分思想的几何直观 1、函数 y ? x 2 在[0,1]上所围成的面积分析： （1）步长为 0.1 的分割。（n=10）Y 1 0.8 0.6 0.4 0.2 X0.20.40.60.81总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案（2）步长为 0.05 的分割。（n=20）Y 1 0.8 0.6 0.4 0.2 X0.20.40.60.81（3）步长为 0.01 的分割。（n=100）Y 1 0.8 0.6 0.4 0.2 X0.20.40.60.81总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案第七讲定积分与导数教学目的：掌握原函数的概念及 N-L 公式。 重 难 点 ：作为路程的定积分、微积分基本定理 教学程序 ：复习定积分概念（和式极限）―&原函数―&N-L 公式（求路程） 推导―&N―L 公式（计算方法）―&定积分的计算（简单） 授课提要： 前 言：定积分是一个重要的概念，如果用定义来计算，计算复杂且不易，所 以必须寻找新的计算方法。下面将研究定积分与导数的关系。 一、原函数的概念 定 义：若在某一区间上有 F ?( x) ? f ( x) ，则称 F(x)是 f(x)的一个原函数。 如：已知 ( x 2 )? ? 2 x ，所以 x 2 是 2x 的一个原函数，同理， x 2 ? 1 也是它的原函 数。（说明：原函数不唯一） *二、变上限函数 设函数 f(x)在[a,b]上连续，且 x ? [a, b] ，则称函数 ? f (t )dt 为变上限函数。记a xxp( x) ? ? f (t )dt 。它有如下性质：a(1) p(a) ? 0, p(b) ? ? f (t )dt ；ab(2)若 f ( x) 在[a,b]上连续，则 p( x) 在[a,b]上可导，且有 p?( x) ? f ( x) 。 由性质(2)及原函数的定义知，p(x)是 f(x)的一个原函数。 定 理（原函数存在定理）若 f(x)在[a,b]上连续，则其原函数一定存在，且原 函数可表示为 F ( x) ? ? f (t )dta xd x ? sin tdt ？ 例 1、求 ( ? cos 2 tdt ) ？ 例 2、求 lim 0 2 x ?0 dx 0 x 三、N－L 公式（直观推导） 设一辆汽车作变速直线运动（如图），从时刻 a 到 b，求其经过的路程？ （1）若已知路程函数 s ? s(t ) ，则 s ? s(b) ? s(a) ；x（2）若已知速度函数 v ? v(t ) ，则由定积分有 s ? ? v(t )dt ? s(b) ? s(a) ；ab（3）s(t)与 v(t)有如下关系： s?(t ) ? v(t ) ，即 s(t)是 v(t)的一个原函数。总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案一般地，有如下定理： 设函数 f(x)在区间[a,b]上连续，F(x)是 f(x)的一个原函数，则?baf ( x)dx ? F (b) ? F (a)说 明：(1)N－L 公式揭示了定积分与原函数（不定积分）间的联系，给 定积分的计算提供了有效而简便的方法。 (2)由定义知求定积分的步骤：①求原函数 ②求原函数的增量 例 3、求下列定积分：2 1 （3） ? (3 x 2 ? )dx 1 0 0 x 例 4、求由曲线 y ? sin x ，直线 x=0，x=π ，y=0 所围成的图形面积？ 例 5、求曲线 y ? x 2 ? 1, x ? 1, x ? 2, y ? 0 所围成的平面图形的面积？ 例 6、设物体的速度 v ? 2 sin t ，求时段 [0, ? ] 的距离？（1） ? x 2 dx1（2） ? sin xdx?思考题 ： d x ( sin tdt ) ? ? ? 1、 dt ? 1答：因为?x 1sin tdt 是以 x 为自变量的函数，故d x sin tdt =0. dt ? 12、 (? f ( x)dx)? ? ?12答：因为?2 1f ( x)dx 是常数，故 (? f ( x)dx)? ? 0 .123、d b f ( x ) dx ? ？ dx ? a答：因为?b af ( x)dx 的结果中不含 x ，故d b f ( x)dx ? 0. dx ? a4、d x cos t 2 dx ? ？ ? a dx d x cos t 2 dx ? cos x 2 . ? a dx答：由变上限定积分求导公式，知小 结 ：N―L 公式的意义：将矛盾的“微分”与“积分”统一起来，是哲学中 的“对立统一”规律的具体表现，是微观与宏观的辨证统一。其美学价值：宏观 上的统一之美。 作 业 ：P46（A：1）；（B：1）总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案课堂练习（定积分与导数）【A 组】 1、计算下列定积分： 2 ? 2 1 x 1 （1） ? (3x 2 ? ? 2)dx （2） ? (e x ? cos 2 )dx （3） ? ( x ? ) 2 dx 1 0 1 x 2 x 2 1 1 2? （4） ? 2 dx （5） （6） | sin x | dx x ( 1 ? x ) dx 1 x ?0 ?0 1 2、求曲线 y ? , x ? 1, x ? 2, y ? 0 所围成的图形的面积？ x 3、设 ? （2 x ? k )dx ? 3 ，求 k 的值？ [2] 4、设 ? f (t )dt ? ln(x 2 ? 1)，求f ( x)？ [两边求导数]0 0 x 1【B 组】 1、设 6 ? ? f (t )dt ? 2 x ，求 a 的值？ [3]a xd sin x t [ e dt ] ？ [ e sin x cos x ] dx ?0 1 1 1 2 n ?1 3、用定积分求极限： lim ( 1 ? ? 1 ? ? ... ? 1 ? ) （ ? 1 ? x dx ） 0 n?? n n n n 2n 1 x lim *4、利用定积分的性质求极限： n?? ?0 1 ? x dx ？（估值定理、夹值定理） x dt ? 0 在(0,1)内有唯一实根。 *5、证明方程 3x ? 1 ? ? 0 1? t22、求导数：*6、设 f(x)在[0，4]上连续，且 ??x 2 ?20f (t )dt ? x ? 3 ，则 f(2)= 1/4。数学认识实验： 定积分： ? sin xdx ? 0 的几何直观??Y 10.5-3-2-1 -0.5123X-1总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案第八讲 习题课（导数与定积分）教学目的：系统化本单元内容，掌握基本概念与方法。 一、基本概念及方法： 1、极限的概念，求极限的方法； 2、导数的概念，导数公式及运算法则 3、导数的几何、物理及经济意义 4、定积分的概念，定积分的几何、物理意义（经济意义） 5、用 N-L 公式求定积分 二、基本题型： 1、求下列极限 sin 3 x x2 ? x ?1 x 2 ? 2x ? 3 x2 ? x ?1 （1） lim （2） lim （3） lim （4） lim 2 x ? 0 x ? 1 x ?1 x ? ? 2x x ?1 2x 2x 2、求下列导数 1 （1） y ? 2 x 2 ? x ? 2 （2） y ? 2e x ? cos x （3） y ? ? ln x ? sin x x 3、求下列导数 1 x2 ? 4 （1） y ? （2） y ? sin 2 x ? ln x （3） y ? ( x ? ) 2 x x?2 4、求下列积分 2 2 2 ? （1） ? (2 x ? 1)dx （2） ? (2 sin x ? 1)dx （3） ? 2 dx 1 x 1 0 3 5、求曲线 y ? x ? 1在点（1，2）处的切线方程？ 6、求 S ? 2t 3 ? t ? 3 在 t=2 时的速度？ 1 7、设某产品的成本函数 C ( x) ? x 3 ? x ? 1 ，求其边际成本？ 3 2 8、求曲线 y ? x ? 1, x ? 0, x ? 2, y ? 0 所围成的图形的面积？ ? 9、已知物体的速度为 v(t ) ? 2 cost ，求时段 [0, ] 经过的路程？ 2 2 2 ?x , x ? 1 10、设 f ( x) ? ? , 求? f ( x)dx ? [可加性] 0 ?2 x, x ? 1 11、设 f(x)在[a,b]上连续，则曲线 y=f(x)，直线 x=a，x=b 及 y=0 所围成的曲边 梯形的面积为 。[ ? f ( x) dx ]a b总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案三、提示与提高： 1、无穷小的定义与性质 定 义：若 lim ? ( x) ? 0(lim ? ( x) ? 0) ,则称 ? ( x)当x ? x0 ( x ? ?) 时为无穷小。x ? x0 x ??性 质：有界函数与无穷小的乘积为无穷小。 sin x sin x 例 1、求极限 lim ， lim ？ x?0 x?? x x 2、无穷小的比较：（略） 当 x ? 0 时，有 x与sin x, tan x, arcsin x, arctanx, ln(1 ? x), e x ? 1 等价；1 (nx) 2 与1 ? cos nx等价 ； 当 x ? 0 时， ax与n 1 ? ax ? 1等价; n 2 1 例 2、当 x ? 0 时，比较 1 ? cos x与 x 2 的阶？ 2 3、闭区间上连续函数的性质 （1）有界定理；（2）最值定理；（3）零点定理；（4）介值定理 例 3、设 f(x)在[0，2]上连续，且 f(0)=f(2),证明方程 f ( x) ? f ( x ? 1) 在[0，1] 上至少有一实根。 4、函数间断点的分类（略） 5、定积分的性质（1） ? f ( x)dx ? 0 ； ? f ( x)dx ? ?? f ( x)dxa a baba（2）若在[a,b]上有 f ( x) ? g ( x) ，则 ? f ( x)dx ? ? g ( x)dxa abb特别地，若在[a,b]上有 f ( x) ? 0 ，则 ? f ( x)dx ? 0 （3）对任意实数 C 有 ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dxa a c b cba b（4）设函数 f(x)在[a,b]上的最大、最小值分别为 M、m，则有m(b ? a) ? ? f ( x)dx ? M (b ? a)ab（5）设 f(x)在[a,b]上连续，则其在[a,b]上的平均值 1 b y? f ( x)dx b ? a ?a 例 3、比较大小： ? x 2 dx 与 ? x 3 dx0 0 1 12 ?2 x, x ? 1 例 4、求定积分： ? f ( x)dx ，其中 f ( x) ? ? 0 ? 1, x ? 1例 5、求 f ( x) ? 3x 2 ? 2x 在区间[1,3]上的平均值？总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案第九讲 求导法则（三）、复合函数求导（一）教学目的：掌握基本导数公式和四则运算法则，会求一般函数的导数。 重 难 点 ：四则运算法则、复合函数的连锁法则 教学程序 ：基本初等函数的导数公式（复习）―&导数四则运算法则―&例子 授课提要： 前面我们学习了导数的概念及简单函数求导，本节将系统学习函数求导方法。 一、复习基本初等函数的导数公式（重点） （板书略） 二、复习导数四则运算法则（重点） 设 u(x),v(x)为可导函数，则 u u ?v ? uv ? (1) (u ? v)? ? u ? ? v? (2) (uv)? ? u ?v ? uv? (3) ( )? ? v v2 例 1、求下列函数的导数 1 x ?1 (1) y ? 2 x 2 ? 3x ? 1 (2) y ? x 2 ? ? ln x (3) y ? x ln x (4) y ? x x ?1 例 2、求 y ? tan x 的导数？（由商的导数公式推导） 于是有 (tanx)? ? sec 2 x 同理： (cot x)? ? ? csc2 (sec x)? ? (csc x)? ? ? csc x cot x sin x ? 在x ? 处的导数值？ 例 3、求函数 y ? 1 ? cos x 2 例 4、求过点（1，2）且与曲线 y ? 2 x ? x 2 相切的直线方程？ 三、复习复合函数的概念及分解 说明：复合函数分解一般从外向内分解，分解至基本初等函数或简单函数即可 例 5、分解下列函数 （1） y ? (2 x ? 1) 3 （2） y ? sin(2 x ? 1) （3） y ? ln(ln(2 x ? 1)) 四、复合函数的求导法则 设 y ? f [u ( x)] 是关于 x 的复合函数，则 dy dy du ? ? ? ? 或y ? x ? f (u )u ( x ) dx du dx 说明：（1）求复合函数的导数，首先分清楚函数的复合结构，求出每一层次简 单函数的导数，再使用连锁法则，就得到复合函数的导数； （2）复合函数的分解一般按由外向内的顺序进行。总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案例 6、求下列导数（先分解后求导） (1) y ? sin 3x (2) y ? (2 x ? 1) 3 (3) y ? e x ?1 (4) y ? x 2 e 2 x?1 例 7、设 y ? f ( x) 在 x0 可导，且 f ?( x0 ) ? 2 ，记 ? (t ) ? f ( x0 ? at) ，其中 a 为 常数，求 ? ?(0) ？ x ? 3t x ) , 求f ?(1) ？ [5e] 例 8、设 f (t ) ? lim t 2 ( x ?? x 思考题 ： 1、设 y ? x x ，求 y ? ？[利用指数恒等式： x ? e ln x ] dy dy ? 2 x cos x 2 f ?(sin x 2 ) ] 2、 设 y ? f (u),u ? sin x 2 , 求 ？[ dx dx 小 结 ：掌握复合函数求导的连锁法则；对复合函数求导明确：（1）熟练基本 导数公式；（2）恰当分解复合函数；（3）正确使用“连锁法则”。 作 业 ：P55（A：1-2；B：2）；P58（A：1） 思考题 ： 1. 给定一个初等函数，只用求导法一定能求出其导函数吗？为什么？答：一定能求出其导函数。 因为任何一个基本初等函数我们都可以求其导函数，而初等函数是由基本初等函数经过 有限次四则运算及有限次的复合运算形成，据复合函数的求导法则、导数的四则运算法则知 给定一个初等函数,只用求导法一定能求出其导函数。2总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案课堂练习（求导法则三、复合函数一）【A 组】 1、求下列函数的导数 (1) y ? ( x ? 2)2 2? 2、设 f ( x) ? x 2 ? cos 2 x ? 3, 求f ?(0), f ?( ) ? 2 2 3、在曲线 y ? x 上取两点 x1=1,x2=3，过这两点引割线，问曲线上哪点的切线 平行于所引割线？ 4、求下列函数的导数(1) y ? ln ln x (2) y ? sin n x cosnx (3) y ? ln 5、求函数 y ? 2sin ln x 在 x=1 处的导数值？ 6、已知曲线 y ? x ln x 的切线与直线 2 x ? 2 y ? 3 ? 0 垂直，求此切线方程？23x 2 ? 2 x ? 1 (2) y ? x2(3) y ? x 2 e x(4) y ?x sin x 1 ? cos xx ? 1? x2 (4) y ? esin x x【B 组】 1、证明可导的偶函数的导数是奇函数。 1 2、设 [ f ( x 3 )]? ? ，求 f ?(1) ？ [1/3] x ? x2 , x ? 1 3、设 f ( x) ? ? ，问 a,b 为何值时，函数 f(x)处处连续、可导？ ?ax ? b, x ? 1 cos x ? , f ?( x0 ) ? 2, (0 ? x0 ? )，求 f ( x0 ) ？ [ 3 ] 4、设 f ( x) ? 1 ? sin x 2 [ f ( x)]3 ? 1 5、设 f(x)有连续导数， f ?(2) ? 2, f (2) ? 1，求 lim ？[12] x ?2 x?2总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案数学认识实验： 函数与导函数的图像课题六、函数及导函数的图像主页下页下面举例说明函数与导函数的图像间的关系 例一、函数f(x)的图像如下曲线,在图上标出下列值: f ( 4) 如图所示: yf(4); (2) f(4)-f(2);(1) (3)f ( 4) ? f (1) 4 ?11f ( 2) f (4) ? f (2) f (4) ? f (1)f (1)?f ( x)01234x解析：f ( 4) ? f (1) ? tan ? 4 ?1上图中有如下顺序： 0 ? f ?(2) ? f (3) ? f (2) ? f ?(3)总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案课题六、函数及导函数的图像f x上页下页例二、作 f ( x) ? x( x ?1) 的图像，利用它画出f’(x)的图像. 如下图所示:3解析：当 当1 x ? (?? , ) 221 x ? ( ,?? ) 2时，有 f’(x)&0; 时，有 f’(x)&0.1X -1 1 2f' x所以f’(x)可能的图形如右图：-14212X-2-4总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案第十讲 复合函数（二）、高阶导数教学目的：熟练掌握复合函数求导，会求函数的二阶导数。 重 难 点 ：复合函数求导、二阶导数 教学程序 ：复合函数的求导法则（复习）―&例子―&高阶导数定义―&例子 ―&二阶导数的物理意义―&求高阶导数 授课提要： 一、复习复合函数求导（ y ? ? f ?(u ) g ?( x)或 例 1、求下列函数的导数 （2） y ? ln ln(2 x) （3） y ? ( x ? cos2x) 5 dy 例 2、设 y ? f (sin x), f ?( x) ? 2 x ，求 ？ [ sin 2 x ] dx dy 例 3、设 y ? f (ln x)e f ( x )，求 ? [略] dx 1 dy 例 4、设 f ?( x) ? , y ? f (cos x), 求 ？[ ? tan x ] x dx （1） y ? ln(x ? x 2 ? 1) 二、高阶导数的概念 函数 y=f(x)的 n-1 阶导数的导数称为函数的 n 阶导数。 说明：求高阶导数就是反复利用求一阶导数的方法即可。 例 5、求下列函数的二阶导数？ (1) y ? e x ? ln x ? 2 (2) y ? x 2 sin 3x (3) y ? x ln x 例 6、设 f ( x) ? xe x，求f ???(ln 2) ？ 例 7、求 y ? sin x 和 y ? x n 的 n 阶导数？ 1 n! 例 8、求 y ? 的 n 阶导数？ [ y ( n ) ? (?1) n n ?1 ] x x 2x 1 1 ? 例 9、求 y ? 2 的 n 阶导数？[ y ? ] x ?1 x ?1 x ?1 三、二阶导数的物理意义（复习） 设物体的运动方程为 s(t)，则 s ??(t ) 表示物体在时刻 t 的加速度。 ? ? 例 10、设物体的运动规律为： S ? 3 sin( 2t ? )，求 t ? 时的速度和加速度？ 3 4总学时 64 学时（XRG）dy dy du ? ? ） dx du dx 同济大学《高等数学》授课教案探究题 ：（股票走势）设 B(t ) 代表某日某公司在时刻 t 的股票价格，试根据以 下情形判定 B(t ) 的一阶、二阶导数的正、负号： （1）股票价格上升得越来越快；[ B?(t ) ? 0, B??(t ) ? 0 ] （2）股票价格接近最低点。 [ B?(t ) ? 0, B??(t ) ? 0 ] 思考题 ：某公司的一次广告促销活动中，销量提高了，但销量关于时间的曲线是凹的，这表明该公司的经营情况如何？为什么？若曲线是凸的呢？[表明销量增长速度很快]小 结 ：理解高阶导数的“递归定义法”（即，高一阶导数是通过低一阶导数 求导而来）；一阶导数的符号可以反映事物是增长还是减少；二阶导数的符号则 说明增长或减少的快慢。 作 业 ：P59（A：2-3；B：1）总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案课堂练习（复合函数求导二）【A 组】 1、求下列导数 （1） y ? (2x ? 1) 2 ln x （2） y ? 2、求下列函数的二阶导数 (1) y ? x 2 ln x (2) y ? e 2 x ? cos3x (3) y ? ln(x ? x 2 ? 1) 3、验证函数 y ? c1 cos x ? c2 sin x满足关系式： y ?? ? y ? 0 4、设物体的运动规律为 s ? e 2t ? 3t ，求物体在 t=0 时的速度和加速度？ 5、设函数 f(x)为偶函数，且 f ?( x0 ) ? 2 ，求 f ?(? x0 ) ？ f (1) ? f (1 ? x) ? 1 ，则曲线 6、设周期函数 f(x)在 R 内可导，周期为 4，又 lim x ?0 2x y=f(x)在点（5,f(5)）的切线斜率为 2 。 【B 组】dy ？ [1] dx f ( x 0 ? h ) ? f ( x 0 ? 2 h) 2、若 f ?( x0 ) ? 2 ，求 lim ？ [6] h ?0 h 2x 3、求 y ? 2 的 n 阶导数？[变形] x ?1 sin 3 x x（3） y ? (sin 5x) 51、设 y ? f (ln x)，f ?( x) ? e x，求总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案第十一讲隐函数求导、对数求导法教学目的：掌握隐函数的求导方法，了解对数求导法。 重 难 点 ：隐函数的求导法 教学程序 ：隐函数的概念―&隐函数的求导方法（举例说明）―&对数求导法 （例子）―&参数方程的导数―&例子 授课提要： 一、隐函数概念 自变量 x 与因变量 y 的函数关系由方程 F ( x, y) ? 0 所确定的函数称为隐函数。 如： e x? y ? 2xy, x 2 ? y 2 ? 25 等所确定的 y 是 x 的隐函数。 说明：有些隐函数可化成显函数，但更多的不能化成显函数；同时应明确并非 任意一个方程都能确定一个隐函数。 二、隐函数的求导 隐函数求导方法：在方程的两边各项分别对 x 求导，视 y 为 x 的函数，按复合 函数的求导法则求导，最后解出 y'即可。 例 1、求隐函数 e x? y ? xy 的导数？ 例 2、求隐函数 x 2 ? 3xy ? y 2 ? 5 的导数？ 例 3、求隐函数 e y ? y sin x ? e 在点（0，1）的导数值？ [1/e] 说明：隐函数的导数 y ? 一般是含 x 和 y 的表达式。 5 1 例 4、求曲线 x ? x 2 y 2 ? 3 y ? 在点（1，1）处的切线方程？ 2 2 三、对数求导法 对于幂指函数 y ? u v (其中 u,v 是 x 的函数），或由多项式乘除运算和乘 方、开方所得函数的求导，其方法：应先对方程两边取对数，然后用隐函数求导 法求导数。（即先取对数，后求导数） 例 5、求函数 y ? (sin x) x 的导数？ x x ) 的导数? 例 6、求函数 y ? ( 1? x 例 7、求导数： x y ? y x总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案*四、参数方程的导数 ? x ? ? (t ) 设函数 ? ，且函数 x ? ? (t ) 的反函数存在，由复合函数求导公式得： ? y ? ? (t ) dy dy dx ? ?(t ) ? / ? dx dt dt ? ?(t ) 说明：参数方程的导数 y ? 一般是含参变量 t 的表达式。 ? x ? sin 2t dy 例 8、求函数 ? 的导数 ？ dx ? y ? cost ? t 思考题 ： 1、如何求 y ? x x 的导数？ [两次取对数后再求导数] 2、求 y ? x y 的导数？ [先区对数再求导数] 3 3、一球形细胞以 400?m /天增长体积，当 3 的半径为 10?m 时，其半径增长速 dr dr dv dv dv 1 ? ? ? / ? 400 / 4?r 2 ? ] 度是多少？ [ dt dv dt dt dr ? 小 结 ：隐函数求导的关键：（1）明确方程中 y 是 x 的函数，即 y ? y ( x) ； （2）方程中各项最终是关于 x 求导；（3）解出 y ? （一般是含 x, y 的表达式）。 参数方程的导数：其公式是由复合函数求导法则推导得来。x作 业 ：P62（A：2-3；B：1-2）总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案课堂练习（隐函数求导）【A 组】 1、求下列隐函数的导数 (1) x cos y ? sin(x ? y) (2) y ? 5 ? xe y 2、求由方程(3) xy 2 ? x 2 y ? y 4 ? 0y2 ? y 2 ? x 2 所确定的函数 y 在点（0，1）处的导数？ x? y dy y cos x ? e x ? y 3、求由方程 e x? y ? y sin x ? 0 所确定的隐函数的导数 ？[ x ? y ] dx e ? sin x 4、设物体的运动方程为： s ? e ?kt sin wt（k , w为常数） ，求(1)物体任意时刻的 速度和加速度？(2)何时速度为 0？(3)何时加速度为 0？ *5、求下列导数 t ? ?x ? t ? et ? x?2 1 （1） ? （2） ? y? ? ? y ? t sin t 1? t ?【B 组】dy 1、设函数 y=y(x)由方程 sin(x 2 ? y 2 ) ? e x ? xy 2 ? 0 所确定，求 dx ？2、求隐函数 y＝tan(x ? y) 的二阶导数？ 3、确定 a,b,c 的值，使抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 与曲线 y ? e x 在 x=0 处 相交， 并具有相同的一、二阶导数。 dy ? 4、设 y ? log f ( x ) g ( x)，其中 f ( x), g ( x)对x可导，求 dx 1? x 5、设 f ( x) ? ln 。 ，则f ??(0) ? 1? x2 *6、证明：曲线 x ? y ? 1上任一点的切线所截二坐标轴的截距之和等于 1。 *7、已知 y ( n?2) ? 1 ? 23 x ，求 y ( n ) 。总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案归纳总结 ： 初等函数的导数 1、根据导数的定义求导数 设函数 y ? f ( x) 在 x0 点及附近有定义，求函数在 x0 的导数步骤： （1）求函数增量： ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ； ?y （2）求比值： ； ?x f ( x) ? f ( x0 ) ?y （3）求极限： f ?( x0 ) ? lim 或 f ?( x0 ) ? lim 。 ?x ?0 ?x x ? x0 x ? x0 2、基本导数公式（常用）(c)? ? 0; ( x ? )? ? ?x ? ?1 ; (e x ) ? ? 1 ; x (tanx)? ? sec 2 (ln x)? ?(sin x)? ?(cosx)? ? ?(sec x)? ?(arcsin x)? ?1 1? x2;(arctanx)? ?1 ; 1? x23、四则运算法则（ u , v 可导）u u ?v ? uv ? (u ? v)? ? u ? ? v? ； (uv)? ? u ?v ? uv? ； ( ) ? ? v v24、复合函数的导数 设函数 y ? f (u), u ? ? ( x) 复合成函数 y ? f [? ( x)] ，则 dy dy du ? ? y ? ? f ?(u) ? ? ?( x) 或 dx du dx 5、隐函数的导数 设函数 y ? f ( x) 是由方程 F ( x, y) ? 0 所确定的隐函数，则 F? y ? ? ? x , ( Fy? ? 0) Fy? 6、参数方程的导数? x ? ? (t ) 设函数是由参数方程 ? 确定，则 ? y ? ? (t ) dy ? ?(t ) ? dx ? ?(t )总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案第十二讲 习题课（函数求导的方法）教学目的：系统化本单元内容，系统掌握函数的求导方法。 一、函数求导的基本方法： 1、由定义求导（三步骤）； 2、基本初等函数的导数公式与法则； 3、复合函数的求导方法（连锁法则）； 4、隐函数的求导方法、对数求导法、*参数方程的导数 5、求函数的高阶导数。 二、基本题型： 1、求下列导数 （1） y ? 2 x 2 ? x ? 2 2、求下列导数 （1） y ? (2x ? 1) 2 ln x （2） y ? 3、求下列函数的二阶导数 (1) y ? x 2 ln x (2) y ? e 2 x ? cos2 x (3) y ? ln(x ? x 2 ? 1) 4、设物体的运动规律为 s ? e 2t ? 3t ，求物体在 t=0 时的速度和加速度？ 5、设 f ( x) ? xe x ，求 f ??(ln 2) ？ dy 6、设 y ? f (ln x)，f ?( x) ? e x，求 ？ dx f (1 ? x) ? f (1) ? 1 ，求曲线在点 (1,2) 处 7、设 f ( x) 为可导的偶函数，且 lim x ?0 2x 的切线方程？ 8、求下列隐函数的导数 (1) x cos y ? sin(x ? y) (2) y ? 5 ? xe y (3) xy 2 ? x 2 y ? y 4 ? 0sin 3 x x（2） y ? 2e x ? cos x（3） y ?1 ? ln x ? sin x x（3） y ? (sin 5x) 5y2 ? y 2 ? x 2 所确定的函数 y 在点（0，1）处的导数？ x? y 10、求函数 y ? (sin x) x 的导数？ ) ，求 f ?(0) ？ 11、已知 f ( x) ? x( x ? 1)(x ? 2)?( x ? 20089、求由方程总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案三、微积分的发展史（ 年） 我绝对相信历史事实是一种出色的教育指南―― M.Kline1615 年，德国的开卜勒发表《酒桶的立体几何学》，研究了圆锥曲线旋转体的体积。 1635 年，意大利的卡瓦列利发表《不可分连续量的几何学》，书中避免无穷小量，用不 可分量制定了一种简单形式的微积分。 1637 年，法国的笛卡尔出版《几何学》，提出了解析几何，把变量引进数学，成为“数 学中的转折点”。 1638 年，法国的费马开始用微分法求极大、极小问题。 1638 年，意大利的伽利略发表《关于两种新科学的数学证明的论说》，研究距离、速 度、加速度之间的关系，提出了无穷集合的概念，这本书被认为是伽利略重要的科学成就。
年，牛顿（ 年）先于莱布尼茨（ 年）制定了微积分，莱 布尼茨（ 年）早于牛顿（ 年）发表了有关微积分的著作。 1684 年，德国的莱布尼茨发表了关于微分法的著作《关于极大极小以及切线的新方 法》。 1686 年，德国的莱布尼茨发表了关于积分法的著作。 1691 年，瑞士的约.贝努利出版《微分学初步》，这促进了微积分在物理学和力学上的 应用及研究。 1696 年，法国的洛比达发明求不定式极限的“洛比达法则”。 1697 年，瑞士的约.贝努利解决了一些变分问题，发现最速下降线和测地线。 1704 年，英国的牛顿发表《三次曲线枚举》、《利用无穷级数求曲线的面积和长度》、 《流数法》。 1711 年，英国的牛顿发表《使用级数、流数等的分析》。 1715 年，英国的布.泰勒发表《增量方法及其他》。 1731 年，法国的克雷洛出版《关于双重曲率的曲线的研究》，这是研究空间解析几何和 微分几何的最初尝试。总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案第十三讲函数的单调性教学目的：掌握函数单调性的判别法，会求函数的单调区间。 重 难 点 ：单调性判别法 教学程序 ：简介微分中值定理―&复习单调性的定义―&单调性的判定（导数） ―&求单调区间（例子）――&归纳总结解题步骤 授课提要： 一、拉格郎日中值定理 若函数 f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点 ? ， f (b) ? f (a) ，或 f (b) ? f (a) ? f ?(? )( b ? a) 。（作图说明） 使 f ?(? ) ? y b?aP A x O a B?b说明：(1)此定理是微积分学的重要定理，它准确地表达了函数在一个闭区间上 的平均变化率和函数在该区间内某点的导数间的关系，它是用函数的局部性来研 究函数的整体性的重要工具。 (2)此定理是充分而不必要的。 例 1、验证：函数 f ( x) ? x 3 ? 5x 2 ? x ? 2 是否满足拉格郎日的条件，若满足， 求出 ? ？ [任取闭区间] ? 例 2、证明： arcsin x ? arccos x ? [用 Lagrange 定理] 2 二、罗比达法则（叙述）0 ? 1、使用条件：（1）属于 或 的不定式；（2）导数的极限存在； 0 ? 2、使用方法：先求导数，后求极限；满足条件时可连续使用。例 2、求下列极限 sin 2 x （1） lim x ?0 x（2） limx ?3x 2 ? 2x ? 3 x?3（3） limx 2 ? 2x ? 1 x ?? 3x 2 ? 1总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案1（4） lim(1 ? 2 x) xx ?01 1 （5） lim( ? x ) x ?0 x e ?1（6） limx?asin x ? sin a x?a三、函数的单调性及判定（一阶导数） 1、复习单调性的概念：（略） 2、作图说明函数的单调性与导数的正负有关：（作图演示） 3、单调性判定定理： 设 f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导 (1)若 f ?( x) ? 0 ,则 f(x)在（a,b）内单调增加； (2)若 f ?( x) ? 0 ,则 f(x) 在（a,b）内单调减少； (3)若 f ?( x) ? 0 ,则在（a,b）内，f(x)=C。 1 例 3、判定 y ? 的单调性？ x 例 4、判定函数 y ? x 3 的单调性？ 四、求函数单调区间 1、驻点的概念（一阶导数为 0 的点） 2、求函数 y=f(x)的单调区间的步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求出 f ( x) ? 0 的点和 f ?( x) 不存在的点，并以这些点为分界点将定义域 区间分成若干部分区间； (3)列表讨论函数在各部分区间上的单调性。 例 5、求函数 y ? x 3 ? 6 x 2 ? 9 x ? 5 的单调区间？ 例 6、求函数 y ? 3 ( x ? 1) 2 的单调区间？ 例 7、证明：当 x ? 0时，e x ? 1 ? x （作辅助函数） 思考题： 1、用洛必达法则求极限时应注意什么？[注意使用条件] 2、试用 Lagrange 中值定理证明函数单调性的判定定理。 小 结 ：微分中值定理是连接函数“局部性质与整体性质”的桥梁。体现了局 部与整体本质上的内部联系。作 业 ：P72（A：1）总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案课堂练习（函数的单调性）【A 组】 1、证明函数 y ? x 2 ? 1 在区间（0，+∞）内单调递增？ 2、求函数 y ? x 3 ? 6 x 2 ? 9 x ? 5 的驻点？ 3、求函数 y ? x ? e x 的单调区间？ 4、证明不等式： x ? ln(1 ? x), ( x ? 0) 5、判定正误： (1)若 f(x)在(a,b)内单调递增，则-f(x)在（a,b）内单调递减。（ T (2)若 f ?( x0 ) ? 0 ，则 x0 必为驻点。 （ T ））(3)若 x0 为函数 f(x)的驻点，则曲线 f(x)在点（x0，f(x0)）处的切线方程为 （ T ） y ? f ( x0 )【B 组】 1、证明函数 f ( x) ? e ? x 在（-∞，0）内单调递增。 2、设函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx在(??,??)内单调递增，确定 a, b 间的关系？ 3 3、证明：函数 y ? x ? 2x ? 1 在 (??,??) 内有唯一实根。 f ( x) 4、设 f(x)具有二阶导数，且 f ??( x) ? 0, f (0) ? 0，证明：当 x ? 0时， x 单调增加。 5、设函数 f ( x) 有连续的二阶导数，且 f (0) ? 0, f ?(0) ? 1, f ??(0) ? ?2 ， f ( x) ? x 求极限： lim ？ [-1] x ?0 x2 x dt ? 0在(0,1)内有唯一实根。 *6、求证：方程 3x ? 1 ? ? 0 1? t4 提示：作新函数，用根存在定理和单调性证明。2总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案数学认识实验： 微分中值定理的几何直观 1、比较罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的几何意义10.750.50.5 0.252 -0.5468-2-1 -0.25 -0.512-1-0.75? x ? g (t ) 当函数以参数方程 ? , (a ? t ? b) 给定，曲线上点 ( g (? ), f (? )) 的切线斜 ? y ? f (t ) dy f ?(? ) f (b) ? f (a ) 率为 ，端点连线的斜率为 ， 于 是 由 Lagrange 定 理 得 ? dx g ?(? ) g (b) ? g (a ) Cauchy 定理。y P T BA x Og(a) ?g(b)2、单调性与导数正负的几何直观25 206 815410 52-1 -5123-2-1 -2123总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案第十四讲函数的极值教学目的：理解极值的定义，掌握函数极值的求法。 重 难 点 ：极值概念及求法 教学程序 ：极值的概念―&极值存在的必要条件―&极值存在的充分条件（第一、 第二充分条件）―&求函数的极值（例子）――&归纳总结解题步骤 授课提要： 一、函数的极值 1、定 义：（略）（作图直观理解） 说明：(1)极值是一个局部概念； (2)极值点是函数增减或减增的分界点。 2、极值存在的必要条件 若函数 f(x)在 x0 点取极值，则 f ?( x0 ) ? 0或f ?( x0 ) 不存在。 说明：(1)若 f ?( x0 ) ? 0 , x0 不一定是极值点。如： y ? x 3 在 x=0 处。 (2)若 f ?( x0 ) 不存在， x0 也可能是极值点。如： y ?| x | 在 x=0 处。 二、极值存在的第一充分条件（一阶导数法：略） 1 例 1、求函数 y ? x 3 ? x 2 ? 3x ? 3 的极值点和极值？ 3 2 3 3 例 2、求 y ? x ? x 的单调区间和极值？ 2 三、极值存在的第二充分条件（二阶导数法） 设 f(x)在 x0 点有一、二阶导数，且 f ?( x0 ) ? 0, f ??( x0 ) ? 0 ，则 (1)若 f ??( x0 ) ? 0 ,则 f(x0)为极小值； (2)若 f ??( x0 ) ? 0 ,则 f(x0)为极大值。 1 例 3、求函数 y ? x 3 ? x 的极值？ 3 例 4、求函数 y ? x 4 的极值？ 四、求函数极值的一般步骤 (1)确定函数定义域； (2)求函数导数，确定驻点和导数不存在的点； (3)用极值的第一或第二充分条件确定极值点； (4)把极值点代入原函数 f(x)，求出极值并指明是极大还是极小。总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案说明：利用第一、二充分条件都可判定函数的极值，但必须注意适用范围。 1 ? 例 5、试问 a 为何值时，函数 f ( x) ? a sin x ? sin 3x在x ? 处取得极值？ 3 3 是极大值还是极小值？并求极值？ 思考题 ： 1、可能极值点有哪几种？ [驻点或 f ?( x) 不存在的点] 2、如何判定可能极值点是否为极值点？[两个极值存在的充分条件] 小 结 ：函数的极值是指函数的局部性质（小范围），体现了事物的“相对 性”。 作 业 ：P72（A：2；B：2）总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案课堂练习（函数的极值）【A 组】 1、求函数 f ( x) ? 4x 3 ? 3x 2 ? 6x ? 2 的极值？ 2、求下列函数的单调区间和极值； (1) f ( x) ? 2x 3 ? 6x 2 ? 18x ? 7 (2) f ( x) ? x ? 1 ? x 3、设函数 y ? x 3 ? ax2 ? bx 在 x=1 处有极值-2，求 a,b 的值？ 4、求函数 f ( x) ? x ? ln(1 ? x) 的极值？ 5、判定正误： (1)若 x0 为极值点，且曲线在 x0 处有切线，则切线平行于 x 轴。[ T ] (2)若函数 y=f(x)在(a,b)内可导，且有唯一驻点，则此驻点必是极值点。[F] (3)若可导函数 f(x)在(a,b)内只有唯一驻点 x0,则 f(x0)就是 f(x)的最值。[F] 【B 组】 1、求函数 f ( x) ? ( x ? 1) 2 ( x ? 1) 3 的极值？ 2、设 y=y(x)由方程 2 y 3 ? 2 y 2 ? 2 xy ? x 2 ? 1所确定，求 y=y(x)的驻点，并判别 其是否为极值点？[二阶导数法] 3、已知 y=f(x)对一切 x 满足 xf ??( x) ? 2x[ f ?( x)]2 ? 1 ? e ? x , 若f ?( x0 ) ? 0( x0 ? 0), 则 （B） A、f(x0)是 f(x)的极大值 B、f(x0)是 f(x)的极小值 C、点（x0,f(x0))是拐点 D、都不是数学认识实验： 导函数的图像与极值总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案课题六、函数及导函数的图像上页下页例五、已知某函数的导函数图像如下，讨论原函数的极值. 解：（如图）Yf ?( x) ? 0 为0的点(驻点)是-1，1。2 X -2 -1 -2 -4 -6 -8 1 2当 x ? (??,?1)时，f ?( x) ? 0，即f ( x) ?; 当 x ? (?1,1)时，f ?( x) ? 0，即f ( x) ?; 当 x ? (1,??)时，f ?( x) ? 0，即f ( x) ?; 由极值第一充分条件知 函数的极小值为点x=-1; 极大值点为x=1。 其大致图像如右图Y 21-2-1 -112X-2课题六、函数及导函数的图像上页主页例六、已知某函数的导函数图像如下，讨论原函数的单调区间. 解：（如图）y 60 40 20 xf ?( x) ? 0 为0的点(驻点)是-2，0，2。当 x ? (??,?2)时，f ?( x) ? 0，即f ( x) ?; 当 x ? (?2,0)时，f ?( x) ? 0，即f ( x) ?; 当 x ? (0,2)时，f ?( x) ? 0，即f ( x) ?; 当x ? (2， ? ?)时，f ?( x) ? 0，即f ( x) ?; 故函数的递增区间为(?2,0), (2,??) 递减区间为 (??,?2), (0,2) 其大致图像如右图-3-2-1 -20 -40 -60123Y 10 5 X-3-2-1 -5 -10 -15123总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案第十五讲曲线的凹凸性教学目的：理解凹凸性的定义，会求曲线的凹凸区间及拐点。 重 难 点 ：求曲线的凹凸区间 教学程序 ：凹凸性的概念―&凹凸性的判定―&求凹凸区间及拐点―&应用 授课提要： 一、凹凸的概念 1、在区间 [0,1] 上作函数 y ? x, y ? x 2 , y ? x 的图像。（比较曲线的变化） 说明：对函数的研究来说，仅有单调性、极值是不够的。 2、定义：（略）（通过曲线与切线的位置关系定义） 说明：(1)注意拐点的定义（凹与凸的分界点，即二阶驻点）； (2)凹凸性可看成二阶导数的应用。 二、凹凸性判定 定 理：若函数 y ? f ( x) 在 ( a, b) 内有二阶导数，且对于任意 x ? (a, b) 有 （1） f ??( x) ? 0 ，则 y ? f ( x) 在 ( a, b) 内是凹的； （2） f ??( x) ? 0 ，则 y ? f ( x) 在 ( a, b) 内是凸的； （3）凹与凸的分界点，称为拐点。 例 1、求曲线 y ? x 3 ? 9x 2 ? 48x ? 52 的凹凸区间和拐点？ 例 2、求曲线 y ? 3 x 的凹凸区间和拐点？ 三、求曲线凹凸区间的步骤（比较求单调区间与极值的步骤） （1）求 f ?( x), f ??( x) ； （2）求二阶驻点和二阶奇点； （3）分段（区间）讨论凹凸性、确定拐点。 例 3、求曲线 y ? 3x 4 ? 4 x 3 ? 1 的单调和凹凸区间，极值与拐点？ 四、凹凸性的应用 （1）由曲线的凹凸性可知函数增长和减少的快慢程度。 例 4、某公司的一次广告促销活动中，销量提高了，但销量关于时间的曲线是 凹的，这表明该公司的经营情况如何？为什么？若曲线是凸的呢？[表明销量增 长速度很快]总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案（2）了解曲线的凹凸性便于作函数的图像。 例 5、作函数 y ? x 3 ? 9x 2 ? 48x ? 52 的图像？ 思考题 ： 1、画出 f ( x) ? x ? sin x 的图像，说明函数递增最快的点和递增最慢的点？ [参见教材 P76] 小 结 ：曲线的凹凸性表明函数的递增（或递减）的快慢程度，它是指一阶导 函数的单调性。 作 业 ：P77（A：1-2；B：1）总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案课堂练习（曲线的凹凸性）【A 组】 1、求下列曲线的凹凸区间及拐点： （1） f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 2x ? 1 1 （2） f ( x) ? x ? ( x ? 0) x 2、求曲线 y ? 3x 4 ? 4x 3 ? 1的单调和凹凸区间，极值与拐点？ 3、已知点（1，2）为曲线 y ? ax3 ? bx2 的拐点，求 a,b 的值？ 【B 组】x ?1 有三个拐点，且其在一条直线上。 x2 ?1 2、作下列函数的图像： （1） y ? ( x ? 1)(x ? 2) 2 （2） y ? 3x 4 ? 4 x 3 ? 11、证明曲线 f ( x) ?43221-3 -2 -1 -2 1 2 3-2-1 -112-4-6-2总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案第十六讲函数的最值教学目的：理解最值的概念，会求简单实际问题的最值。 重 难 点 ：求函数的最值 教学程序 ：最值的概念―&最值求法（比较法）―&两种特殊情况的最值―&实际 问题的最值（例子）――&数学建模介绍（最优化） 授课提要： 一、最值的定义（略） 说明：最值是一个全局概念，是针对整个区间而言的。 二、求连续函数 f(x)在[a,b]上最值的一般方法（比较法）。 例 1、求函数 y ? x 4 ? 2x 2 ? 5 在[-2，2]上的最值？ 三、两种特殊情况下求最值： (1)若 f(x)在区间[a,b]上连续、单调，则 f(a),f(b)一定是最值； (2)若 f(x)在某一区间上仅有唯一驻点，且该驻点是极值点，则此极值点 一定是最值点。 例 2、求 y ? e ? x 在[1，2]上和 R 上的最值？ 例 3、求 y ? x 3 ? x 在[0，2]上的最值？ 四、最值应用 在用导数研究实际问题的最值时，若所建立的函数在区间(a,b)内只有唯 一驻点，又根据具体问题的实际意义，可以判定(a,b)内必有最大（最小）值， 且唯一驻点就是最值点，勿需进行数学判定。 例 4、用边长为 48cm 的正方形铁皮作一个无盖铁盒，问在四周截去多大的四个 相同的小正方形后，才能使所作的铁盒容积最大？ 例 5、若长方形周长一定时，何时面积最大？ 说明：求实际问题的最值时，很重要一点是确定所建立函数关系的定义域。 例 6、设总成本和总收入由下式给出 C( x) ? 1.1x ? 300 ，R( x) ? ?0.003x 2 ? 5x ， 其中 0 ? x ? 1000 ，求获得最大利润的产量 x? 五、最优化问题及数学建模（p71，例 15）2总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案求出某些量的最大和最小对于许多实际问题都很重要，如求时间最短、利润 最大、成本最低等。相应地，大学生数学建模竞赛题几乎都是优化问题，或必须 用优化思想、方法去分析解决问题。 例 7、乐山大佛通高 71 米，若乘船观赏大佛的游人眼睛在大佛脚底水平线下 1 米，为得到观赏大佛的最佳视角（应使视角最大），这时游人离大佛（中心线） 有多远的水平距离？[8.5 米] 思考题 ： 画图说明闭区间上连续函数 f ( x) 的极值与最值之间的关系。[局部与整体] 小 结 ：函数的最值指函数的区间特性。对于某个区间，它是绝对的，对于不同 的区间，它是相对的；体现了“绝对性”与“相对性”的辨证统一。 作 业 ：P82（A：1-3）；P78（最优化问题）。总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案课堂练习（函数的最值）【A 组】 1、求下列最值：16 2 (2) f ( x) ? x ? x , x ? [1,3] 2、某企业生产每批某产品 x 单位的总成本 c( x) ? 3 ? x ，得到的总收入(1) f ( x) ? x ? 2 x , x ?[0,4]R( x) ? 6x ? x 2 ，为提高经济效益，每批生产多少时，才能使总利润最大？ 3t *3、某项目的利润有两个方案可供选择，它们的关系分别为： L1 (t ) ? ， t ?1 t2 L2 (t ) ? ? 1 ，其中 t 为时间，问 t=1 时，哪个方案最优？[二阶导数] t ?1【B 组】 1、设 y=y(x)由方程 2 y 3 ? 2 y 2 ? 2 xy ? x 2 ? 1所确定，求 y=y(x)的驻点，并判别 其是否为极值点？ 2500 2、某公司在市场上推出一种产品时发现需求量由方程 x ? 2 确定，总收益 p R ? xp ，且生产 x 单位的成本为 C ? 0.5 x ? 500 ，求获得最大利润的单位价格 p？ 3、将 10 分成两个正数，使其平方和最小？ 4、试求内接于半径为 8 厘米的圆的周长最大的矩形的边长？ 数学认识实验： 函数的极值与最值几何直观 1、最值与极值：1 0.5-2-1 -0.5 -1122、从二阶导函数的图像讨论曲线的凹凸性：总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案课题六、函数及导函数的图像Y上页主页例七、已知某函数的二阶导函数图像如下，讨论原函数的凹凸 区间及拐点. 解：（如图） f ??( x) ? 0为0的点是0，1。 当 x ? (??,0)时，f ??( x) ? 0，即f ( x)为?; 当 x ? (0,1)时，f ??( x) ? 0，即f ( x)为?; 当 x ? (1， ? ?)时，f ??( x) ? 0，即f ( x)为?;40 30 20 10 -1.5 -1 -0.5 0.5 1Y1.52X故函数的凹区间为 (??,0), (1,??) 凸区间为 (0,1) ,拐点x=0,x=1. 其大致图像如右图21X -2 -1 -1 1 2总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案第十七讲微 分（一）教学目的：理解微分的概念，会求初等函数的微分。 重 难 点 ：微分的定义、微分的形式不变性 教学程序 ：问题引进―&微分定义―&可导与可微―&微分公式―&复合函数的 微分（形式不变性）―&求微分举例 授课提要： 一、微分定义 1、问题：一块正方形铁皮受温度变化的影响， 其边长由 x0 变化到 x0 ? ?x 时，其面积改变了多少？2 解： ?s ? ( x0 ? ?x) 2 ? x0 ? 2x0 ?x ? (?x) 2 当 ?x 较小时， ?s ? 2 x0 ?x 。x0?x2、定义：设函数 y=f(x)在 x0 点可导，则称 f ?( x0 )?x 为函数 f(x)在点 x0 的微 分，记 dy，即 dy ? f ?( x0 )?x ，一般地， dy ? f ?( x)?x 。 若令 y ? x ,则 dy ? dx ? ?x ,所以 dx ? ?x ,即 dy ? f ?( x)dx 。(dx 称为自变量的 微分) 说明：（1）函数的微分等于函数的导数乘上自变量的微分。 （2）说明微分、微商符号的含义。 例 1、设 y ? x 2 ,当 x ? 2, ?x ? 0.1 时，求 dy 和△y? 例 2、求下列函数的微分： (1) y ? ln sin x (2) x ? e y ? cos xy (3) f ( x) ? (1 ? x 2 ) 3 二、可微与可导之间的关系 定理：若函数 f(x)在某点可微，则函数在这点可导；反之，结论成立。 说明：此定理仅对一元函数成立。 例 3、讨论函数 y=|x-1|在 x=1 处的可微性？（可导性） 三、微分的几何意义 设 y=f(x)，则 dy 等于曲线在点（x,y）处的切线的纵坐标的增量。（作图） 四、微分基本公式 由 dy ? f ?( x)dx 和导数基本公式得到微分基本公式。（略） 五、复合函数的微分 设 y=f(u),u=g(x)复合而成函数 y=f[g(x)]，则 dy ? f ?(u) g ?( x)dx ? f ?(u)du 说明：不论 u 是中间变量还是自变量，微分的形式都可表示为: dy ? f ?(u)du （一阶微分的形式不变性）总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案例 4、填空 (1) d ?......? ? xdx (2) d ?...... ? ? cos2xdx (3) d ?......? ? e 2 x dx (4) d ?......? ?2(5) d ?......? ? e x dx2 ? ?....... ?dx (6) d ?ln(3x ? 2)? ? ?........?d (3x ? 2) ? ?........?dx 例 5、求下列函数的微分： (1) y ? 3x 2 ? cos2x ? ln 2x ? 3 (2) y ? cos x ? 2e 2 x (3) y ? (2 x ? 1) 5 x 例 6、求函数 y ? 在 x=0 和 x=1 处的微分？ 1? x2 思考题 ： 1、回答下列问题： (1)f(x)在点 x0 的微分是否是一个函数？ [是] (2)f(x)在(a,b)上可微，f(x)的微分随哪些变量变化？ [ x, dx, f ?( x) ] (3)du 与△u 是否相等？ [u 为中间变量时不相等] 2、可导与可微有何关系？其几何意义分别表示什么？有何区别？[等价] 3、 f ?x ? 在一点可微，可导，连续间有何关系？ 小 结 ：微分的本质：函数增量的线性主部，是函数局部线性化的依据。 作 业 ：P87（A：1-3）1 dx x2总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案课堂练习（微分一）【A 组】 1、填空1 dx (3) d ?...... ? ? e 2 x?1dx (4) d ?......? ? 12 dx x x 2x 2 (5) d ?...... ? ? e d (2x) ? ?.......?dx (6) d cos x ? ?........?d (cosx) ? ?........?dx 2、当 x 从 0 变到 0.01 时，求函数 y=ex 的近似值？ 3、求下列函数的微分 1 ? sin 2 x 2 2 (1) y ? 3x ( x ? cos x) (2) y ? (3) y ? (2 x ? 1) 3 cos x ?y ?y , lim , dy 分别表示什么含义？ 4、当自变量 x 有改变量△x 时，问△y, ?x ?x ?0 ?x(1) d ?......? ? axdx (2) d ?......? ???【B 组】 1、作两个图，分别表示 dy ? ?y 和 dy ? ?y ？ 2、设 f(x)可微，求 y ? f (e x )e f ( x) 的微分？ 3、设 y ? ln sin x ，则 dy ?d x=dx 。数学认识实验： 函数微分量与增量的图像比较 1、微分量与增量：yy ? f ( x)f ( x ? ?x)Qmsec ??y ?xmtan ??yPdy dxdy?x ? dxf ( x)xx ? ?xx2、微分思想：“以直代曲”的几何意义。总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案在上图中，在 x 的附近，可以用切线 PT 代替曲线 PQ，即 f ( x) ? f ?( x)?x 3、用多项式近似函数（泰勒公式）：（ y ? sin x ） 近似多项式：（在 x=0 处展开） 1 1 1 5 1 1 2 1 y ? x, y ? x ? x 3 , y ? x ? x 3 ? x , y ? x ? x3 ? x ? x7 6 6 120 6 120 504042-6-4-2246-2-4总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案第十八讲微 分（二）教学目的：熟悉凑微分式，了解微分的简单应用。 重 难 点 ：凑微分式，微分的应用 教学程序 ：凑微分式（填空）―&微分的应用―&近似计算―&例子 授课提要： 一、凑微分式 例 1、填空：?d (2x ? 1) (1) dx ? ?........(2) xdx ? ?........ ?d ( x 2 )(4) cos xdx ? ?........ ?d (sin x) (6)1 ?d (arctan x) dx ? ?........ 1? x21 ?d (ln x) dx ? ?........ x 1 ?d ( 1 ) (5) 2 dx ? ?........ x x(3)(7) sec2 xdx ? ?........ ?d (tanx)二、微分应用 1、利用微分求导数（微分的形式不变性） 对于隐函数的求导，我们可以在方程的两边求微分，通过求微商而求出导数。 例 2、求由方程 x 2 ? xy ? e y ? 1 所确定的隐函数的导数？ 例 3、求由方程 x ? e y ? cos xy 所确定的隐函数的导数？ 2、近似公式 由微分的定义知，当 | ?x | 较小时，有 ?y ? dy ，于是有 近似公式： ?y ? f ?( x0 )?x；f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )?x 例 4、求近似值： sin 290 ？ 例 5、球壳外径为 20 厘米，厚度为 2 毫米，求球壳体积的近似值？ 在上面公式中，取 x0 ? 0, ?x ? x，于是：f ( x) ? f (0) ? f ?(0) x. 例 6、当 x 较小时，证明下列公式： (1) e x ? 1 ? x (2) ln(1 ? x) ? x *3、泰勒公式（选讲） 设函数 f(x)在 x=0 点有直到 n+1 阶的连续导数，则 1 1 1 f ( x) ? f (0) ? f ?(0) x ? f ??(0) x 2 ? ... ? f ( n ) (0) x n ? f ( n?1) (? ) x n?1 (0 ? ? ? x) 2! n! (n ? 1)!总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案e x ?1 ? x3 例 7、用泰勒公式求极限： lim ? [1/2] x ?0 sin 6 x 3 x6 ? o( x 6 ) 提示： e x ? 1 ? x 3 ? 2 探究题 ：某一反馈放大电路，设其开环电路的放大倍数为 A ，闭环电路的放大倍数为 A 4 ，当 A ? 10 时，由于受环境温度变化的影 A f ，它们二者的函数关系为： A f ? 1 ? 0.01 A 响， A 变化了 10%，求 A f 的变化是多少？ A f 的相对变化量又是多少？3小 结 ：掌握微分的应用――近似计算，熟练“凑微分”式子。 作 业 ：P87（A：5；B：2-3）总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案课堂练习（微分二）【A 组】 1、填空 (1) dx ? ?........ ?d (ax ? b) (4) d ?......? ? axdx (2) 2xdx ? ?........ ?d ( x 2 ) (3) e x dx ? ?........ ?d (e ? x ) 1 (6) d ?......? ? x 2 dx(5) d ?...... ? ? e 2 x?1dx2、求 3 1.02 ， tan 440 的近似值？ 3、证明近似公式： x (1) sin x ? x (2) n 1 ? x ? 1 ? n 4、正方体铁箱外沿为 1 米，铁皮厚为 2 毫米，求装进液体体积的近似值？ 【B 组】 1、设函数在[0，1]上可微，对[0，1]上的任意 x 有 0&f(x)&1，且 f ?( x) ? 1， 试证在（0，1）内有且只有一个 x 使 f(x)=x. ? x ? f ?(t ) 2、设 ? ，其中 f(t)是二次可微函数，且 f ??(t ) ? 0 ，求 y 关于 x 的 ? y ? t f ( t ) ? f ( t ) ? 二阶微分？e x sin x ? x( x ? 1) 1 (极限为 ) ？ 3 x ?0 3 x 2 3 x x ? o( x 2 ), sin x ? x ? ? o( x 3 ) 提示： e x ? 1 ? x ? 2 6 y 4、求隐函数： e ? y sin x ? e 在点(0,1)的微分？3、用泰勒公式求极限： lim总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案第十九讲 习题课（导数的应用、微分）教学目的：系统化本单元内容，掌握基本概念与方法。 一、基本概念 拉格郎日定理、单调性、极值、最值、微分 二、基本法则 1、拉格郎日定理 2、洛比达法则（求极限的方法） 3、极值存在的充分条件 4、单调性的判别法 5、最值的求法 6、微分的应用 三、典型例题 1、求下列极限： loga (1 ? x) sin ax k lim(1 ? ) x lim (1) lim (2) (3) x ?0 x ?? x ?0 x x x 2、证明： arctanb ? arctana ? b ? a 。 3、证明： x ? ln(x ? 1)(x ? 0) 。 4、设 f(x)在定义域内可导，若 f(x)为偶函数，则 f'(x)为奇函数。 5、证明：方程 x 3 ? 3x ? 1 ? 0 在 (??,??) 内有 3 个实数根。 6、求函数 y ? x 3 ? 3x 的单调区间？ 1 7、求 f ( x) ? x 2 ? 2 的极值？ x 8、求曲线 f ( x) ? 3x 4 ? 4x 3 ? 1 的单调区间与极值，凹凸区间与拐点？ 9、容积为 16π 立方分米的圆柱形罐头盒，怎样设计才能使用料最省？ 10、设函数在[0，1]上可导，对[0，1]上的任意 x 有 0&f(x)&1，且 f ?( x) ? 1， 试证在（0，1）内有且只有一个 x 使 f(x)=x 11、填空 (1) dx ? ?........ ?d (ax ? b) (2) 2xdx ? ?........ ?d ( x 2 ) (3) e x dx ? ?........?d (e ? x )1 d ?......? ? 2 dx 2 x ?1 (4) d ?......? ? axdx (5) d ?...... (6) ? ? e dx x 12、证明近似公式：（当|x|较小时） (1) sin x ? x (2) e x ? 1 ? x （3） ln(1 ? x) ? x 13、求下列函数的微分： x2 ?1 2 x ?1 (1) y ? e (2) y ? (3) y ? x 2 e 2 x x ?1总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案14、已知 x 2 ? sin y ? ye x ? 1, y ? f ( x) ，求 dy ？ sin 6 x ? xf ( x) 6 ? f ( x) ? 0, 求 lim ?(36) 15、设 lim 3 x ?0 x ?0 x x2 (6 x ) 3 ? o( x 3 ) 提示： sin 6 x ? 6 x ? 6 四、提示与提高 1、洛比达法则求极限的注意事项 （1）只有满足定理条件时，才能使用。 x x ? sin x 例 1、求极限 lim ？（不满足条件） ， lim 2 x ?? x x ? 1 x?? （2）用一次法则后，若算式比较繁琐应进行化简；若算式中有非未定式， 应将其分离出来，并算出结果。 x ? arcsin x 例 2、求极限 lim ？ x ?0 tan 3 x 2、证明不等式的方法（拉格郎日定理、函数的单调性） 在使用函数单调性证明不等式中，若 f ?( x) 的符号不能明显确定，则 需进一步确定 f ?( x) 的单调性（即 f ??( x) 在某一部分区间上的符号。 tan x x ? 例 3、证明当 0 ? x1 ? x2 ? 时， 2 ? 2 2 tan x1 x1 3、求实际问题的最值时：（1）分析问题，建立目标函数，并确定定义域； （2）求解极值问题。 例 4、用长 200 的线构成一个正方形和一个圆形，问如何分配才能使其构成 的图形面积之和最小？总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案第二十讲 不定积分的概念、直接积分法教学目的：理解不定积分的概念，掌握基本积分公式及运算法则。 重 难 点 ：不定积分的概念、基本积分公式 教学程序 ：积分问题（微分的逆问题）―&原函数―&不定积分―&性质―&基本积 分公式―&直接积分法―&例子。 授课提要： 一、不定积分的概念 1、积分←→微分（互逆问题）如：已知 f ?( x) ? 2 x ，求 f(x)? 2、原函数定义：（略） 例 1、 f ( x) ? cos x ，求 F(x)？ 说明：一个函数的原函数不唯一，各原函数之间相差一个常数。 3、原函数存在定理：（闭区间上的连续函数一定有原函数） 结论：初等函数在其定义区间上一定有原函数。 4、不定积分：原函数的全体。记： ? f ( x)dx ? F ( x) ? C (说明符号意义) 说明：（1）由定义知，求不定积分就是求原函数再加上任意常数即可； （2）积分号“ ? ”是一种运算符号，它表示对已知函数求其全部原函数．所以 在不定积分的结果中不能漏写 C． 例 2、求不定积分： 1 (1) ? xdx ； (2) ? dx ； (3) ? e x dx x 二、不定积分的性质（体现了微分与积分在运算上的互逆性） (1) ( ? f ( x)dx )? ? f ( x) (2) ? F ?( x )dx ? F ( x) ? C 例 3、判断正误：(1) ? F ?( x)dx ? F ( x) ； (3) d ? xf ( x 2 )dx ?xf ( x 2 ) }
同济大学《高等数学》授课教案日(修改稿)
同济大学《高等数学》授课教案同济大学《高等数学》 授课教案2015 年 3 月 2 日（修改稿）总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案第一讲高等数学学习介绍、函数教学目的：了解新数学认识观，掌握基本初等函数的图像及性质；熟练复合函 数的分解。 重 难 点 ：数学新认识，基本初等函数，复合函数 教学程序 ：数学的新认识―&函数概念、性质（分段函数）―&基本初等函数―& 复合函数―&初等函数―&例子（定义域、函数的分解与复合、分段函数的图像） 授课提要： 前 言：本讲首先是《高等数学》的学习介绍，其次是对中学学过的函数进行 复习总结（函数本质上是指变量间相依关系的数学模型，是事物普遍联系的定量 反映。高等数学主要以函数作为研究对象，因此必须对函数的概念、图像及性质 有深刻的理解）。 一、新教程序言 1、为什么要重视数学学习 （1）文化基础――数学是一种文化，它的准确性、严格性、应用广泛性，是 现代社会文明的重要思维特征，是促进社会物质文明和精神文明的重要力量； （2）开发大脑――数学是思维训练的体操，对于训练和开发我们的大脑（左 脑）有全面的作用； （3）知识技术――数学知识是学习自然科学和社会科学的基础，是我们生活 和工作的一种能力和技术； （4）智慧开发――数学学习的目的是培养人的思维能力，这种能力为人的一 生提供持续发展的动力。 2、对数学的新认识 （1）新数学观――数学是一门特殊的科学，它为自然科学和社会科学提供思 想和方法，是推动人类进步的重要力量； （2）新数学教育观――数学教育（学习）的目的：数学精神和数学思想方 法，培养人的科学文化素质，包括发展人的思维能力和创新能力。 （3）新数学素质教育观――数学教育（学习）的意义：通过“数学素质”而 培养人的“一般素质”。[见教材“序言”] 二、函数概念 1、函数定义：变量间的一种对应关系（单值对应）。 （用变化的观点定义函数），记： y ? f ( x) （说明表达式的含义）总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案(1)定义域：自变量的取值集合（D）。 (2)值 域：函数值的集合，即 {y y ? f ( x), x ? D} 。 例 1、求函数 y ? ln(1 ? x 2 ) 的定义域？ 2、函数的图像：设函数 y ? f ( x) 的定义域为 D，则点集 {( x, y) y ? f ( x), x ? D} 就构成函数的图像。 例如：熟悉基本初等函数的图像。 3、分段函数：对自变量的不同取值范围，函数用不同的表达式。 例如：符号函数、狄立克莱函数、取整函数等。 分段函数的定义域：不同自变量取值范围的并集。 ?x 2 , x ? 0 例 2、作函数 f ( x) ? ? 的图像？ 2 x , x ? 0 ? ? x 2，x ? 0 例 3、求函数 f ( x) ? ? 的定义域及函数值 f (?1), f (0), f (1) ? ? 1，x ? 0 三、基本初等函数 熟记：五种基本初等函数的定义域、值域、图像、性质。 四、复合函数：设 y=f(u),u=g(x)，且与 x 对应的 u 使 y=f(u)有意义，则 y=f[g(x)] 是 x 的复合函数，u 称为中间变量。 说 明：(1)并非任意几个函数都能构成复合函数。 如： y ? ln u, u ? ? x 2 就不能构成复合函数。 (2)复合函数的定义域：各个复合体定义域的交集。 (3)复合函数的分解从外到内进行；复合时，则直接代入消去中间变量即可。 例 5、设 f ( x) ? x 2 , g ( x) ? 2 x , 求f ( g ( x)), g ( f ( x)) ? 例 6、指出下列函数由哪些基本初等函数（或简单函数）构成？ (1) y ? ln(sin x 2 ) (2) y ? e ?2 x (3) y ? 1 ? arctan2 x 五、初等函数：由基本初等函数经有限次复合、四则运算而成的函数，且用一 个表达式所表示。 说 明：（1）一般分段函数都不是初等函数，但 y ? x 是初等函数； （2）初等函数的一般形成方式：复合运算、四则运算。 思考题 ：1、 确定一个函数需要有哪几个基本要素？ [定义域、对应法则] 2、 思考函数的几种特性的几何意义？ [奇偶性、单调性、周期性、有界性] 3、任意两个函数是否都可以复合成一个复合函数？你是否可以用例子说明？[不能]总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案探究题 ：一位旅客住在旅馆里，图 1―5 描述了他的一次行动，请你根据图形给纵坐标赋予某一 个物理量后，再叙述他的这次行动.你能给图 1―5 标上 具体的数值，精确描述这位旅客的这次行动并用一个 函数解析式表达出来吗？小 结 ：函数本质上是指变量间相依关系的数 学模型，是事物普遍联系的定量反映；复合函 数反映了事物联系的复杂性；分段函数反映事 物联系的多样性。 作 业 ：P4（A：2-3）；P7（A：2-3）图 1―5 时间课堂练习（初等函数）【A 组】 1、求下列函数的定义域？ (1) y ? x 2 ? 1 (2) y ? e x (3) y ? log (x-1) 2 (4) y ?x ? ln( 4 ? x 2 ) x ?12、判定下列函数的奇偶性？ (1) y ? f ( x) ? f (? x) (2) y ? e x ? e ? x (3) y ? x 2n?1 (n为自然数） 3、作下列函数的图像？ x2 ?1 (1) y ? (2) y ? e ? x (3) y ? sin x x ?1 4、分解下列复合函数？ 1 (1) y ? x 2 ? 1 (2) y ? e sin x (3) y ? (4) y ? ln 2 (cosx) 3 1 ? sin x 【B 组】 1、证明函数 y ? ln(x ? x 2 ? 1) 为奇函数。 2、将函数 y ? x ? 1 ? 2x ? 1 改写为分段函数，并作出函数的图像？总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案1 1 3、设 f ( x ? ) ? 2 ? x 2 , 求f ( x) ？ x x 1 4、设 f ( x ) = ，求 f [ f ( x )] ， f ? f [ f ( x)]?？ 1? x 数学认识实验： 初等函数图像认识1、幂函数：（如 y ? x, y ? x 2 , y ? x 3 ） 2、指数与对数函数：（如 y ? e x , y ? ln x ）Y Y 2 31.5 210.5 1 X -2 -1 -0.5 1 2 X-2-11234-1 -13、三角函数与反三角函数：（ y ? cos x, y ? arccos x ） 1 4、多项式函数：（ y ? x 3 ? x 2 ? 3x ? 3 ） 3Y 3y1 3 2 x x 3x 3 3 202101-4X -3 -2 -1 1 2 3-2 -10246-1-205、分段函数：（ y ? x , y ? sgn x ）总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案110.80.50.60.4-2-1120.2-0.5-1-0.50.51-1总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案第二讲导数的概念（一）、极限与导数教学目的：复习极限的概念及求法；理解导数的概念，掌握用定义求导数方法。 重 难 点 ：求极限，导数定义及由定义求导法 教学程序 ：极限的定义及求法（例）―&导数的引入（速度问题）―&导数的概念 ―&导数与极限―&基本初等函数的导数（定义法）―&例子（简单） 授课提要： 前 言：在前面的教学中，我们已讨论了变量间的关系(函数)，本节将复习函数 的变化趋势(极限)，在此基础上讨论函数的变化率问题（即函数的导数）。导数 是高数的重点，它的本质是极限（比值的极限），在现实中有极丰富的应用。 一、理论基础――极 限（复习） 1、极限的概念（略讲函数在某点的极限定义） 2、极限的四则运算法则（略） 3、求函数的极限（几类函数的极限） （1）若 f ( x) 为多项式，则 lim f ( x) ? f ( x0 )x ? x0例 1：求下列极限 2 (1) lim( x ? 2 x ? 1)x ?1( x 2 ? 2 x ? 1) (2) lim x ?0( x 2 ? 2 x ? 1) (3) lim x?2f ( x) f ( x) f ( x0 ) （2）若 g ( x ) 为有理分式且 g ( x0 ) ? 0 ,则 lim （代入法） ? x ? x0 g ( x) g ( x0 ) 例 2：求下列极限 x ?1 x 2 ? 2x ? 2 x2 ?1 (1) lim (2) lim (3) lim x ?1 2 x ? 1 x ?0 x ?1 x ? 1 x2 ? 3 f ( x) （3）若分式 g ( x ) ,当 x ? x0 时， f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? 0 ，则用约去零因子法求极限 例 3：求下列极限x2 ?1 lim (1) x?1 x ? 1(2) lim x ?1x?8 ?3 x ?1(3) lim x ?1x 2 ? 2x ? 3 x ?1f ( x) （4）若分式 g ( x ) ,当 x ? ? 时，分子分母都是无穷大，则适用无穷小分出法 求极限。 例 4：求下列极限总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案x ?1 x2 ?1 x 2 ? 2x ? 1 lim lim (1) x?? 2 x 2 ? 1 (2) x?? 5 x 2 ? 1 (3) lim x ?? 2 x 2 ? 1 3、两个重要极限 1 sin x 1 x ?1 (1 ? ) ? e或 lim(1 ? x) x ? e （1） lim （2） lim x ?0 x ?? x ?0 x x 说明：其中 x 可以是 u ( x) 的形式，且当 x ? 0 时， u( x) ? 0 。例 5：求下列极限(1) limsin 3 x x ?0 x sin 3 x (2) lim x ? 0 sin 5 x(1 ? 3 x) (3) lim x ?01 x(1 ? ) x (4) lim x ?? x3二、导数定义（复习增量的概念） 引例 1、速度问题（自由落体运动 s ?1 2 gt ） 2引例 2、切线问题（曲线 y ? x 2 ） 以上两个事例具体含义各不相同，但从抽象的数量关系来看，都是要求函数 y 关于自变量 x 在某一点 x0 处的变化率，即计算函数增量与自变量增量比值的极 限，这种特殊的极限就是函数的导数。 解决问题的思路： 1、 自变量 x 作微小变化?x，求出函数在自变量这个小段内的平均变化率 ?y y? ，作为点 x0 处变化率的近似值； ?x?x ? 02、 对 y 求?x?0 的极限 lim ?y ，若它存在，这个极限即为点 x0 处变化率的?x精确值。 定 义：设函数 y ? f ( x) 在 x0 点及附近有定义，当 x 在 x0 点取得增量 ?x 时，相 ?y 应函数取得增量 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ，若当 ?x ? 0 时，比值 的极限存在， ?x dy x ? x 0 ，即 则称此极限值为 f ( x) 在 x0 处的导数或微商。记 f ?( x 0 )或 dx f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y f ?( x0 ) ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x ?y 说明：(1)比值 是函数 f ( x) 在 [ x0 , x0 ? ?x] 上的平均变化率；而 f ?( x0 ) 是 ?x f ( x) 在 x0 处的变化率，它反映函数在点 x0 随自变量变化的快慢程度；总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案(3)若 f ( x) 在（a,b)内每点可导，则称函数在（a,b）内可导，记 f ?( x) ，称 为导函数，简称导数。 (4)f?(x)是 x 的函数，而 f?(x0)是一个数值，f(x)在点 x0 处的导数 f?(x0)就是导函 数 f?(x)在点 x0 处的函数值。 三、导数与极限的关系 导数是一种特殊（比值）的极限，即有导数-?有极限，反之不成立。 四、基本初等函数的导数（定义） 由定义知求函数导数的步骤：（三步骤） （1）求增量；（2）求比值；（3）求极限。 例 6、由定义求函数 y ? C 的导数？ 例 7、由定义求函数 y ? sin x 的导数？（推导） 思考题 ： sin x 1、 lim 是否存在，为什么？[0] x ? ?? x 2、若曲线 y = x 3 在 ( x0 , y0 ) 处切线斜率等于 3 ，求点 ( x0 , y0 ) 的坐标。 π sin( ? x) ? 1 2 3、 已知 (sin x)' ? cos x ，利用导数定义求极限 lim 。[0] x ?0 x 探究题 ：从求变速直线运动物体的瞬间速度问题解决方法中，你对“极限法” 有什么体会？ [近似转化为精确的数学方法] 小 结 ：导数的本质从微观（局部）上研究非均匀量（如：速度、密度、电 流、电压等）的变化率问题，是处理非均匀量的“除法”；其思想方法：(1)在小 范围内以“匀”代“不匀”或“不变”代“变”，获得近似值；(2)利用极限思想 使“近似值”转化为“精确值”。从函数的观点看，导数是描述函数的局部线性 形态，即可导函数表示的曲线在局部都可以近似为一条直线（切线），凭着切线 的斜率，可以研究函数的整体性质（导数应用中的单调性、极值等）。 作 业 ：P22（A：1-3；B：3-4）总学时 64 学时（XRG）?y lim (2)若 ? x ?0 ?x 不存在（包括 ? ），则称 f ( x ) 在 x0 点不可导； 同济大学《高等数学》授课教案课堂练习（导数的概念一）【A 组】 1、求下列极限 ( x ? 1) 3 (2 x ? 1) 2 (1) lim x ?0 (2 x ? 3) 2x ?1 (2) lim 2 x ?1 x ? 11x2 ?1 (3) lim 2 x ?? 2 x ? x ? 3arcsin x arccos x （4） lim （5） lim(1 ? 2 x) x （6） lim x ?0 x ?? x ?0 2x 2x 3 2 a ( x ? 1) (2 x ? 1) 2、求极限 lim ？ 3、求极限： lim(1 ? ) bx ? d ？[ e ab ] 5 x ?? x ?? x (2 x ? 3)x 2 ? ax ? 2 ? x) ? 1 ，求 a 的值？ [2] x ?? x ?1 5、用导数定义，求函数 f ( x) ? x 2 ? 1 在 x=1 处的导数？ 6、设物体的运动方程为 s ? t 2 ? 3 ，求(1)物体在 t=2 秒和 t=3 秒间的平均速度？ (2)求物体在 t=2 秒时的瞬时速度？4、已知 lim(【B 组】x 1、设 f ( x) ? e , 求极限 lim t ?0f ( x ? t ) ? f ( x) ？ [ f ?( x) ? e x ] tx 2、设函数 f ( x) ? lim(1 ? ) t ( x ? 0)，求 f (ln 2) ？ [2] t ?? t ? 3、证明导数公式： ( x )? ? ?x? ?1 1 (9t ? 3t 2 ? t 3 ), 0 ? t ? 4.5 ，求 t=2,3,4 时 4、一药品进入人体 t 小时的效力 E ? 27 的效力 E 的变化率？ ?2 3 ? x ,x ?1 , 则f ( x)在x ? 1处 5、设 f ( x) ? ? 3 A 。 2 ? x , x ? 1 ? A、左右导数都存在 B、左导数存在，右导数不存在 C、右导数存在，左导数不存在 D、都不存在 f ( x ) ? f (a ) ? A （ A 为常数），试判断下列命题是否正确。[全部] 6. 若 lim x ?a x?a （1） f ( x) 在点 x ? a 处可导； （2） f ( x) 在点 x ? a 处连续； （3） f ( x ) ? f (a ) = A( x ? a ) ? o( x ? a ) ；总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案数学认识实验： 两个重要极限的图像认识 1、极限： limx?0sin x ?1 xY -1 -0.5 0.975 0.95 0.925 0.9 0.875 0.85 0.5 1 X1 2、极限： lim(1 ? ) x ? e x ?? xY 2.7 2.65 2.6 2.55 2.5 2.45 X 200 400 600 800 10003、等价无穷小的直观认识：（ x ? 0, x ~ sin x ~ tan x ）Y 21X -3 -2 -1 1 2 3-1-2总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案第三讲导数的概念（二）教学目的：熟悉导数基本公式；理解导数的几何意义，会求切线方程。 重 难 点 ：基本导数公式，导数的几何意义（求切线方程） 教学程序 ：复习导数定义―&基本导数公式―&例子（求导数）―&导数的几何意 义―&例子（切线方程）―&导数的物理意义（例子） 授课提要： 一、基本初等函数的导数 例 1、求 y ? x 2 的导数？（由导数的定义推导） 于是我们有公式： (C)? ? 0; ( x? )? ? ?x? ?1 ; (sin x)? ? cos x 同样，由定义可得基本初等函数的导数公式： 1 (cos x)? ? ? (ln x)? ? ; (e x )? ? e x x 二、导数的运算法则（u,v 为可导函数） 1、代数和： (u ? v)? ? u ? ? v? 2、数 乘： (ku)? ? ku ? 例 2、求下列函数的导数 1 (1) y ? 2 x 2 ? 3x ? 1 (2) y ? x 2 ? (3) y ? 3 sin x ? 1 x 例 3、求函数在给定点的导数值？ (1) y ? tan x, x ? ? (2) y ? 2e x ? 3x ? 2, x ? 1(4) y ? x 2 x三、导数的几何意义（作图说明） 结论： f ?( x0 ) 表示曲线 y=f(x)在点（x0,f(x0)）的切线斜率。 1 例 4、求曲线 y ? x ? 2 在点(1,0)处的切线方程？ x f (1) ? f (1 ? x) ? 1 ，求曲线 y=f(x)在点 例 5、设 f(x)为可导函数，且 lim x ?0 2x （1,f(1)）处的切线斜率？ [导数定义及几何意义] 四、导数的物理意义 结论：设物体运动方程为 S ? s(t ) ，则 s ?(t ) 表示物体在时刻 t 的瞬间速度。 例 6、设物体的运动方程为 s ? t 2 ? 2t ? 3 ，求物体在时刻 t=1 时的速度？总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案例 7、求曲线 y ?1 3 x ? x 2 ? x ? 3 上一点，使过该点的切线平行于直线 3 2 x ? y ? 2 ? 0 。[ x ? 3或x ? ?1 ]例 8、设某产品的成本满足函数关系： C( x) ? x 2 ? x ? 3 (x 为产量)，求 x=2 时 的边际成本，并说明其经济意义。 思考题 ： f ' ( x0 ) 与 [ f ( x0 )]'有无区别？[ f ' ( x0 ) ? f ?( x)x ? x0， [ f ( x0 )]'? 0 ]探究题 ：导数 f ?( x0 ) 的值可不可以为负值？举例说明。[可以] 小 结 ：导数的美学意义：局部线性之美（ y ? f ?( x0（ ) x ? x0 ) ? f ( x0 ) ）。它将 可导曲线在局部线性化，它是由函数局部性质研究函数整体性质的工具和方法。 作 业 ：P25（A：1）；P28（A：1，3）总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案课堂练习（导数概念二）【A 组】 1、求下列函数的导数 (1) y ? x 2 (2) y ? 2 x 3 (3) y ? 2 sin x3(4) y ? x 2 5 x 3(5) y ? 3 x ?1 x2、求下列函数的导数1? x2 ? x (1) y ? 1 ? x ? 3x (2) y ? (3) y ? x ? ln x (4) y ? e x ? 2 x x 3、求函数 y ? e ? 2 x 在 x=1 处的导数值？ ? 4、设 f ( x) ? x 2 ? 2 sin x ? 3, 求f ?(0), f ?( ) ? 2 2 5、设物体的运动方程为 s ? 2t ? 3t ? 1 ，求时刻 t=3 时的速度？ π 6、 抛物线 y = x 2 在何处切线与 Ox 轴正向夹角为 ，并且求该处切线的方程. 42 3【B 组】 1、一球体受力在斜面上向上滚动，在 t 秒末离开初始位置的距离为 s ? 3t ? t 2 ，问其初速度为多少？何时开始向下滚动？ x2 ?1 2、已知曲线 y ? 与 y ? 1 ? ln x 相交于点（1，1），证明两曲线在该点处 2 相切，并求出切线方程？ 数学认识实验： 导数的几何意义和美学价值 1、导数的定义（切线问题）yy ? f ( x)f ( x ? ?x)msec ??y ?xQmtan ??ydy dxf ( x)P?x ? dxdyxx ? ?xx2、导数的几何意义：（ y ? x , y ?(4) ?1 1 ; y ? ln x, y ?(4) ? ） 4 4总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案3212468103、导数的美学意义：曲线的局部线性化。 （1）在 x=0 处比较：曲线 y ? sin x 与切线 y ? x ； （2）在 x=1 处比较：曲线 y ? x 2 ? 1 与切线 y ? 2 x 。Y 1.5 14 Y 60.5 X -2 -1 -0.5-2 -1 1 2 3 X 212-1 -1.5-2总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案第四讲求导公式与求导法则（一）教学目的：掌握基本导数公式与导数运算法则，会求简单函数的导数。 重 难 点 ：基本导数公式与法则 教学程序 ：基本公式―&运算法则―&例子―&二阶导数的定义及求法 授课提要： 一、基本导数公式 由导数的定义，我们可以得到如下基本导数公式：(C )? ? 0; ( x)? ? 1; ( x ? )? ? ?x ? ?1 ; (e x ) ? ? (ln x)? ? 1 x (cot x)? ? ? csc 2 x(sin x)? ?(cosx)? ? ?(tanx)? ? sec 2二、导数的四则运算法则 设 u、v 为可导函数，则 ? ? 1、 ?u ? v ? ? u ? ? v ? 2、 ?ku ? ? ku ?( k ? 0) ? u ?v ? uv ? ?u? ? (v ? 0) 3、 ?uv ? ? u ?v ? uv ? 4、 ? ? ? v2 ?v? 例 1、求下列函数的导数 2 ? x2 (1) y ? 3x 2 ? x ? 1 (2) y ? (3) y ? ln x ? e x (4) y ? e x cos x x 例 2、求函数在给定点的导数值？ (1) y ? tan x, x ? ? (2) y ? 2e x ? 3x ? 2, x ? 1 例 3、设 y ? x 2 ln x, 求证：xy? ? 2 y ? x 2 例 4、已知曲线 y ? x ln x 的切线与直线 2 x ? 2 y ? 3 ? 0 垂直，求此切线方程？ 三、二阶导数 1、定义：若导函数 f ?( x) 再求导数，称为 f ( x) 的二阶导数。记： f ??( x) 2、求法：由定义知，求二阶导数的方法与求一阶导数的方法一致。 例 5、求下列二阶导数 1? x2 (1) y ? 3x 2 ? x ? 1 (2) y ? (3) y ? ln x ? e x (4) y ? xex x 3、二阶导数的物理意义总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案设物体的运动规律为： s ? s(t ) ，则 s ??(t ) 表示物体在时刻 t 的加速度。 例 6、设物体的运动方程为： s ? 3t 3 ? 2t ? 2 ，求 t=2 时的速度和加速度？ 思考题 ： 1. 思考下列命题是否成立？ (1)若 f ( x) ， g ( x ) 在点 x0 处都不可导，则 f ( x ) ? g ( x ) 点 x0 处也一定不可导.答：命题不成立.? 0, x ? 0, ? x, x ? 0, g ( x) = ? ? x, x ? 0 , ?0, x ? 0, f ( x) ， g ( x) 在 x = 0 处均不可导，但其和函数 f ( x) + g ( x) = x 在 x = 0 处可导.如： f ( x) = ?(2)若 f ( x) 在点 x0 处可导, g ( x) 在点 x0 处不可导，则 f ( x) + g ( x) 在点 x0 处一定 不可导.答：命题成立. 原因：若 f ( x) + g ( x) 在 x0 处可导，由 f ( x) 在 x0 处点可导知g ( x) =[ f ( x) + g ( x ) ] ? f ( x ) 在 x0 点处也可导，矛盾.探究题 ： 某产品的需求方程和总成本函数分别为 P ? 0.1x ? 80 ， C ( x) ? 5000? 20x ，其 中 x 为销售量， P 为价格。求边际利润，并计算 x ? 150 和 x ? 400 时的边际利 润，解释所得结果的经济意义。[导数的经济意义] 小 结 ：导数的物理意义更深层次反映了导数的本质：研究非匀速物体运动的 变化率。 s ?(t ) 指路程对时间的变化率， s ??(t ) 指速度对时间的变化率。二阶导数的 几何意义：反映曲线的凹向。 作 业 ：P30（A：1-2）小知识 ：数学的三次危机 第一次数学危机：无理数的产生。（单位正方形的对角线长） 第二次数学危机：微积分的产生和完善。（极限和无穷小的定义） 第三次数学危机：集合论的产生。（罗素悖论）总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案课堂练习（导数公式与法则一）【A 组】 1、求下列导数 (1) y ? 3x 2 ? ln x ? 32 3(2) y ?2 x(3) y ? x ln x(4) y ? (sin x) 22、曲线 y ? x e x 在何处有水平切线？ [x=-2/3] 3、已知曲线 y ? x ln x 的切线与直线 2 x ? 2 y ? 3 ? 0 垂直，求此切线方程？[e] 4、求下列二阶导数 1 (1) y ? 3x 2 ? ln x (2) y ? (3) y ? x ln x x 【B 组】 f ( xn ) ？ 1、设曲线 y ? x n 在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点为(xn,0)，求极限 nlim ? ??f (3x) ? 3，求 f ?(0) ？ [1] x ?0 x f ( x 0 ? h ) ? f ( x 0 ? 2 h) 3、设 f ?( x0 ) ? 2 ，求 lim ？ [-2] h ?0 h 4、已知 f ( x) ? x 2? ( x) ， ? ( x) 二阶连续可导，求 f ??(0) ？ [ 2? (0) ]2、若 f (0) ? 0, lim5、设某种汽车刹车后运动规律为 S ? 19.2t ? 0.4t 3 ，假设汽车作直线运动，求 汽车在 t ? 4 秒时的速度和加速度。 数学认识实验： 函数与导函数的图像比较（ y ? x 3 , y ? ? 3x 2 , y?? ? 6 x ）Y 642X -2 -1 -2 1 2总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案第五讲 求导法则（二）、连续与导数教学目的：了解函数的连续性的概念，理解连续与导数的关系。 重 难 点 ：基本导数公式，连续的几何直观、连续与可导的关系 教学程序 ：复习基本导数公式、法则―&连续概念（极限定义）―&连续的条件 ―&初等函数的连续性―&可导与连续（例）―&连续函数的极限（例子） 授课提要： 一、复习基本导数公式和法则 举 例：（略） 二、连续的概念（作图直观理解） 1、定 义：设函数 y ? f ( x) 在 x0 点及附近有定义，当 x ? x0 时,有f ( x) ? f ( x0 ) ，则称 f(x)在 x0 点连续。说明：连续是一种特殊的极限。连续?有极限，反之不成立。 例 1、试证 y ? x 在 x=0 处连续？ 三、函数连续的条件 （１）f(x)在 x0 点及附近有定义 （２）f(x)在 x0 点的极限存在 （３）极限值等于函数值。?x 2 , x ? 0 例 2、讨论函数 y ? ? 在 x=0 处的连续性？ ? 1, x ? 0四、初等函数的连续性 初等函数在定义区间内都是连续的。其图像是一条连绵不断的曲线。五、可导与连续 1、可导与连续的图象特征 （1）连续函数的图像是一条连绵不断的曲线。（作图示例） （2）可导函数的图像不仅连绵不断，并且曲线具有平滑性（无尖点、折点） 2、可导与连续的关系 定理：若函数 f(x)在 x0 点可导，则 f(x)在点 x0 连续；反之，结论不成立。 例 3、试证函数 y ? sin x 在 x=0 点连续但不可导。 例 4、试证函数 y ? 3 x 2 在 x=0 点连续但不可导,但切线存在。总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案3、极限、连续、可导之间的关系?x 2 , x ? 0 可导?连续?有极限；反之不一定成立。如 f ( x) ? ? 在 x=0 处。 1 , x ? 0 y ?y=|x| y y= 3 x ? 1 -1 x1 -1 ?x六、连续函数的极限 若 f(x)在 x0 点连续，则 lim f ( x) ? f ( x0 )x ? x0OO例 5、求下列极限 （1） lim x 2x ?1(2) lim cos xx ??（3） lim x ?0ln(1 ? x ) x(4)limx ?0x x?4 ?2?1 ? cos x ,x ? 0 ? 例 6、讨论 f ( x) ? ? x 2 在 x=0 处的连续性？ 2 ? x ? 1 , x ? 0 ?思考题 ： 1．如果 f ( x ) 在 x0 处连续，问| f ( x ) |在 x0 处是否连续？ [连续] 2． 如果 f ( x ) 在 x0 处可导，问| f ( x ) |在 x0 处是否可导？ [不一定]x2 ?1 的间断点，并判断其类型。 ( x ? 1) x 探究题 ：作图说明函数不可导点的类型。[不连续点、尖点、折点]3．求函数 f ( x) ? 小 结 ：连续函数的美学意义：和谐与奇异之美。连续体现的是自然和谐、社 会发展的生生不息；间断则表现为不规则和与众不同，体现了自然界的丰富多彩 和社会发展中的跳跃性。作 业 ：P34（A：1-2）；复习题（2-5）总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案课堂练习（求导公式与法则二）【A 组】 1、求下列函数的导数1 ? ln x x 2、求函数 y ? x 3 ln x 在 x=1 处的导数值？ x ?1 x ?1(1) y ? 2 x 2 ? 3x ? 1(2) y ? x 2 ?(3) y ? x ln x(4) y ?3、求曲线 y ?7 3x 3 ? 2 x ? 1 在点（-1，0）处的切线方程？ [ k ? ] 2 3 x ?21 1? x2 ?1 4、试定义 f(0)的值，使函数 f ( x) ? 在 x=0 处连续？[ f (0) ? ] 2 2 x 1 ? 2 ? x sin , x ? 0 5、设 f ( x) ? ? ，问 a 为何值时，函数在 x=0 处连续？[2] x x ? ? a?e ,x ? 0【B 组】?x 2 , x ? 1 1、作函数 y ? ? 的图像？ 1 , x ? 1 ?f ( x) ? 2 ，求 f ?(2) ？ [2] x?2 x ? 2 [ f ( x)]3 ? 1 3、设 f(x)有连续导数， f ?(2) ? 2, f (2) ? 1，求 lim ？ [12] x ?2 x?2 ? x2 , x ? 1 4、设 f ( x) ? ? ，问 a,b 为何值时，函数 f(x)处处连续、可导？ ?ax ? b, x ? 1 3 x ?1 5、x=1 是函数 y ? 的（ B ） x ?1 （A）连续点 （B）可去间断点 （C）跳跃间断点 （D）无穷间断点 a *6、若 f(x)在[0，a]上连续，且 f(0)=f(a)，试证：方程 f ( x) ? f ( x ? ) 在 2 （0，a）内至少有一个实根。 a [提示：作新函数，在[ 0, ]上使用零点存在定理] 22、设函数 f(x)在 x=2 处连续，且 lim总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案数学认识实验： 不可导点的类型 1、连续而不可导的点（尖、折点）（如： y ? sin x 在x ? k?，y ? 3 x 2 在x ? 0 ）120.81.50.610.40.20.5-7.5-5-2.52.557.5-3-2-11232、不连续点为不可导点：312 10.5-3-2-1 -1 -2 -3123-2 -1 1 2-0.5-1Y 11.5 10.50.5-2-1 -0.512X-0.5 -1 -1.5510152025-1总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案第六讲定积分的概念教学目的：了解定积分的概念，理解定积分的几何意义。 重 难 点 ：作为面积的定积分概念 教学程序 ：提出问题―&解决问题（思想）―&定积分定义―&定积分的几何意义 （例子）―&定积分的性质（简单） 授课提要： 前 言：在自然科学、工程技术和经济学的许多问题中，经常会遇到各种平面 图形的面积计算。对于三角形、四边形及直多边形和圆的面积，可以用初等数学 的方法计算，但由任一连续围成的图形的面积就不会计算。下面讨论由连续曲线 所围成的平面图形的面积的计算方法。 一、问题引入 1、曲边梯形的定义 所谓曲边梯形是指有三条直线段，其中两条相互平行，第三条与这两条相互 垂直，第四条边为一条连续曲线所围成的四边形。（如图所示） 2、引 例：如何求曲线 y ? x 2 , x ? 0, x ? 1, y ? 0 所围成的面积？(特殊曲边梯形) （1）分析问题 若将曲边梯形与矩形比较，差异在于矩形的四边都是直的，而曲边梯形有一 条边是曲的。 设想：用矩形近似代替曲边梯形。为了减少误差，把曲边梯形分成许多小曲 边梯形，并用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积。当分割越细，所得的近 似值越接近准确值，通过求小矩形面积之和的极限，就求得了曲边梯形得面积。 （2）解决问题（思路） y 第一步：分割 y=x2 第二步：近似代替 第三步：求和 第四步：取极限 0 x 1 二、定积分的定义 现实中许多实例，尽管实际意义不同，但解决问题的方法是一样的：按“分 割取近似，求和取极限”的方法，将所求的量归结为一个和式极限。我们称这种 “和式极限”为函数的定积分。 定 义： ? f ( x)dx ? lim ? f (? i )?xib a n ?? i ?1 n（说明定积分中各符号的称谓）总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案由定积分的定义知，以上实例可以表示成定积分：面积 A ? ? x 2 dx01说 明：定积分是一个特殊的和式极限，因此，它是一个常量，它只与被积函 数 f(x)、积分区间[a,b]有关，而与积分变量用何字母表示无关。 三、定积分的几何意义（作 图） 当函数 f(x)在[a,b]上连续时，定积分可分成三种形式： 1、若在[a,b]上， f ( x) ? 0 ，则定积分表示由曲线 f(x)，直线 x=a,x=b,y=0 所围 成的曲边梯形的面积 A，即 ? f ( x)dx ? Aa b2、若在[a,b]上， f ( x) ? 0 ，则定积分表示由曲线 f(x)，直线 x=a,x=b,y=0 所围 成的曲边梯形的面积 A 的相反数，即 ? f ( x)dx ? ? Aa b3、若在[a,b]上，f(x)可正可负，则定积分表示 x 轴上方图形的面积 A1 与下方 图形的面积 A2 之差，即 ? f ( x)dx ? A1 ? A2a b结论：定积分的几何意义：“有号面积”， 即 A ? ? f ( x) dx 。ab例 1、用定积分几何意义判定下列积分的正负： （1） ? e x dx0 2（2） ? ? sin xdx? 20例 2、用定积分表示由曲线 y=x2+1,直线 x=1,x=3 和 y=0 所围成的图形面积？ 四、定积分的性质（简略） （1） ? f ( x)dx ? 0a a（2） ? f ( x)dx ? ?? f ( x)dx （3） ? dx ? b ? aa babab（4）积分中值定理： 设函数 f(x)在以 a，b 为上下限的积分区间上连续，则在 a，b 之间至少存在 b 一个?（中值），使 ? a f (x )dx =f(?)(b－a)y 积分中值定理有以下的几何解释：若 f(x)在[a，b]上连 y =f ( x ) 续且非负，定理表明在[a，b]上至少存在一点?，使得以 [a，b]为底边、曲线 y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积，与同 底、高为 f(?)的矩形的面积相等，如图所示．因此从几何角 f(?) 度看，f(?)可以看作曲边梯形的曲顶的平均高度；从函数值 角度上看，f(?)理所当然地应该是 f(x)在[a，b]上的平均值． O a ? 因此积分中值定理这里解决了如何求一个连续变化量的平均值问题．x b思考题 ： 1、 用定积分的定义计算定积分 ? cdx ,其中 c 为一定常数。[矩形的面积]a b总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案2、 如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义求下列积分的值：（1 ）?1 ?1? 1 xdx , （2） ? ?RR R 2 ? x 2 dx , （3） ? 20 cos xdx , （4） ? ? x dx . 1探究题 ：用定积分的符号、定义、结果、方法等说明“什么是定积分”？ 小 结 ：定积分的本质：从宏观（整体）研究非均匀量的“改变量”问题。是 处理非均匀量的“乘法”；其思想方法：(1)在小范围内以“不变”代“变”，获 得近似值；(2)利用极限思想使“近似值”转化为“精确值”。其中，“分”是为 了“匀”的需要，而“求和”是整体量的要求。 作 业 ：P40（A：1-3）总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案课堂练习（定积分的概念）【A 组】 一、判定正误： 1、定积分 ?a f ( x)dx 表示曲边梯形的面积。（b bF）2、定积分 ?a f ( x)dx 的值与被积函数 f(x)、积分区间[a,b]及积分变量 x 有关。F 3、 ?1 ln xdx ? 0 （2T） 4、 [ ?a f ( x)dx]? ? f ( x) （bF）二、用定积分表示面积： (1)曲线 y ? x 3 , 直线x ? ?1, x ? 1及y ? 0所围成的平面？ (2)由方程 x 2 ? y 2 ? 4 所确定的圆的面积？ 三、 用定积分的定义计算定积分 ? cdx ,其中 c 为一定常数。a b【B 组】? ] 0 4 二、由定积分的几何意义求直线 y ? 2 x ? 1, x ? 1, x ? 2, y ? 0 所围成的平面图 形的面积？ 三、用定积分的定义求曲线 y ? x 2 ? 1, x ? 1, x ? 2, y ? 0 所围成的平面图形的 面积？一、由定积分的几何意义计算： ? 1 ? x 2 dx ？ [1数学认识实验： 定积分思想的几何直观 1、函数 y ? x 2 在[0,1]上所围成的面积分析： （1）步长为 0.1 的分割。（n=10）Y 1 0.8 0.6 0.4 0.2 X0.20.40.60.81总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案（2）步长为 0.05 的分割。（n=20）Y 1 0.8 0.6 0.4 0.2 X0.20.40.60.81（3）步长为 0.01 的分割。（n=100）Y 1 0.8 0.6 0.4 0.2 X0.20.40.60.81总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案第七讲定积分与导数教学目的：掌握原函数的概念及 N-L 公式。 重 难 点 ：作为路程的定积分、微积分基本定理 教学程序 ：复习定积分概念（和式极限）―&原函数―&N-L 公式（求路程） 推导―&N―L 公式（计算方法）―&定积分的计算（简单） 授课提要： 前 言：定积分是一个重要的概念，如果用定义来计算，计算复杂且不易，所 以必须寻找新的计算方法。下面将研究定积分与导数的关系。 一、原函数的概念 定 义：若在某一区间上有 F ?( x) ? f ( x) ，则称 F(x)是 f(x)的一个原函数。 如：已知 ( x 2 )? ? 2 x ，所以 x 2 是 2x 的一个原函数，同理， x 2 ? 1 也是它的原函 数。（说明：原函数不唯一） *二、变上限函数 设函数 f(x)在[a,b]上连续，且 x ? [a, b] ，则称函数 ? f (t )dt 为变上限函数。记a xxp( x) ? ? f (t )dt 。它有如下性质：a(1) p(a) ? 0, p(b) ? ? f (t )dt ；ab(2)若 f ( x) 在[a,b]上连续，则 p( x) 在[a,b]上可导，且有 p?( x) ? f ( x) 。 由性质(2)及原函数的定义知，p(x)是 f(x)的一个原函数。 定 理（原函数存在定理）若 f(x)在[a,b]上连续，则其原函数一定存在，且原 函数可表示为 F ( x) ? ? f (t )dta xd x ? sin tdt ？ 例 1、求 ( ? cos 2 tdt ) ？ 例 2、求 lim 0 2 x ?0 dx 0 x 三、N－L 公式（直观推导） 设一辆汽车作变速直线运动（如图），从时刻 a 到 b，求其经过的路程？ （1）若已知路程函数 s ? s(t ) ，则 s ? s(b) ? s(a) ；x（2）若已知速度函数 v ? v(t ) ，则由定积分有 s ? ? v(t )dt ? s(b) ? s(a) ；ab（3）s(t)与 v(t)有如下关系： s?(t ) ? v(t ) ，即 s(t)是 v(t)的一个原函数。总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案一般地，有如下定理： 设函数 f(x)在区间[a,b]上连续，F(x)是 f(x)的一个原函数，则?baf ( x)dx ? F (b) ? F (a)说 明：(1)N－L 公式揭示了定积分与原函数（不定积分）间的联系，给 定积分的计算提供了有效而简便的方法。 (2)由定义知求定积分的步骤：①求原函数 ②求原函数的增量 例 3、求下列定积分：2 1 （3） ? (3 x 2 ? )dx 1 0 0 x 例 4、求由曲线 y ? sin x ，直线 x=0，x=π ，y=0 所围成的图形面积？ 例 5、求曲线 y ? x 2 ? 1, x ? 1, x ? 2, y ? 0 所围成的平面图形的面积？ 例 6、设物体的速度 v ? 2 sin t ，求时段 [0, ? ] 的距离？（1） ? x 2 dx1（2） ? sin xdx?思考题 ： d x ( sin tdt ) ? ? ? 1、 dt ? 1答：因为?x 1sin tdt 是以 x 为自变量的函数，故d x sin tdt =0. dt ? 12、 (? f ( x)dx)? ? ?12答：因为?2 1f ( x)dx 是常数，故 (? f ( x)dx)? ? 0 .123、d b f ( x ) dx ? ？ dx ? a答：因为?b af ( x)dx 的结果中不含 x ，故d b f ( x)dx ? 0. dx ? a4、d x cos t 2 dx ? ？ ? a dx d x cos t 2 dx ? cos x 2 . ? a dx答：由变上限定积分求导公式，知小 结 ：N―L 公式的意义：将矛盾的“微分”与“积分”统一起来，是哲学中 的“对立统一”规律的具体表现，是微观与宏观的辨证统一。其美学价值：宏观 上的统一之美。 作 业 ：P46（A：1）；（B：1）总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案课堂练习（定积分与导数）【A 组】 1、计算下列定积分： 2 ? 2 1 x 1 （1） ? (3x 2 ? ? 2)dx （2） ? (e x ? cos 2 )dx （3） ? ( x ? ) 2 dx 1 0 1 x 2 x 2 1 1 2? （4） ? 2 dx （5） （6） | sin x | dx x ( 1 ? x ) dx 1 x ?0 ?0 1 2、求曲线 y ? , x ? 1, x ? 2, y ? 0 所围成的图形的面积？ x 3、设 ? （2 x ? k )dx ? 3 ，求 k 的值？ [2] 4、设 ? f (t )dt ? ln(x 2 ? 1)，求f ( x)？ [两边求导数]0 0 x 1【B 组】 1、设 6 ? ? f (t )dt ? 2 x ，求 a 的值？ [3]a xd sin x t [ e dt ] ？ [ e sin x cos x ] dx ?0 1 1 1 2 n ?1 3、用定积分求极限： lim ( 1 ? ? 1 ? ? ... ? 1 ? ) （ ? 1 ? x dx ） 0 n?? n n n n 2n 1 x lim *4、利用定积分的性质求极限： n?? ?0 1 ? x dx ？（估值定理、夹值定理） x dt ? 0 在(0,1)内有唯一实根。 *5、证明方程 3x ? 1 ? ? 0 1? t22、求导数：*6、设 f(x)在[0，4]上连续，且 ??x 2 ?20f (t )dt ? x ? 3 ，则 f(2)= 1/4。数学认识实验： 定积分： ? sin xdx ? 0 的几何直观??Y 10.5-3-2-1 -0.5123X-1总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案第八讲 习题课（导数与定积分）教学目的：系统化本单元内容，掌握基本概念与方法。 一、基本概念及方法： 1、极限的概念，求极限的方法； 2、导数的概念，导数公式及运算法则 3、导数的几何、物理及经济意义 4、定积分的概念，定积分的几何、物理意义（经济意义） 5、用 N-L 公式求定积分 二、基本题型： 1、求下列极限 sin 3 x x2 ? x ?1 x 2 ? 2x ? 3 x2 ? x ?1 （1） lim （2） lim （3） lim （4） lim 2 x ? 0 x ? 1 x ?1 x ? ? 2x x ?1 2x 2x 2、求下列导数 1 （1） y ? 2 x 2 ? x ? 2 （2） y ? 2e x ? cos x （3） y ? ? ln x ? sin x x 3、求下列导数 1 x2 ? 4 （1） y ? （2） y ? sin 2 x ? ln x （3） y ? ( x ? ) 2 x x?2 4、求下列积分 2 2 2 ? （1） ? (2 x ? 1)dx （2） ? (2 sin x ? 1)dx （3） ? 2 dx 1 x 1 0 3 5、求曲线 y ? x ? 1在点（1，2）处的切线方程？ 6、求 S ? 2t 3 ? t ? 3 在 t=2 时的速度？ 1 7、设某产品的成本函数 C ( x) ? x 3 ? x ? 1 ，求其边际成本？ 3 2 8、求曲线 y ? x ? 1, x ? 0, x ? 2, y ? 0 所围成的图形的面积？ ? 9、已知物体的速度为 v(t ) ? 2 cost ，求时段 [0, ] 经过的路程？ 2 2 2 ?x , x ? 1 10、设 f ( x) ? ? , 求? f ( x)dx ? [可加性] 0 ?2 x, x ? 1 11、设 f(x)在[a,b]上连续，则曲线 y=f(x)，直线 x=a，x=b 及 y=0 所围成的曲边 梯形的面积为 。[ ? f ( x) dx ]a b总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案三、提示与提高： 1、无穷小的定义与性质 定 义：若 lim ? ( x) ? 0(lim ? ( x) ? 0) ,则称 ? ( x)当x ? x0 ( x ? ?) 时为无穷小。x ? x0 x ??性 质：有界函数与无穷小的乘积为无穷小。 sin x sin x 例 1、求极限 lim ， lim ？ x?0 x?? x x 2、无穷小的比较：（略） 当 x ? 0 时，有 x与sin x, tan x, arcsin x, arctanx, ln(1 ? x), e x ? 1 等价；1 (nx) 2 与1 ? cos nx等价 ； 当 x ? 0 时， ax与n 1 ? ax ? 1等价; n 2 1 例 2、当 x ? 0 时，比较 1 ? cos x与 x 2 的阶？ 2 3、闭区间上连续函数的性质 （1）有界定理；（2）最值定理；（3）零点定理；（4）介值定理 例 3、设 f(x)在[0，2]上连续，且 f(0)=f(2),证明方程 f ( x) ? f ( x ? 1) 在[0，1] 上至少有一实根。 4、函数间断点的分类（略） 5、定积分的性质（1） ? f ( x)dx ? 0 ； ? f ( x)dx ? ?? f ( x)dxa a baba（2）若在[a,b]上有 f ( x) ? g ( x) ，则 ? f ( x)dx ? ? g ( x)dxa abb特别地，若在[a,b]上有 f ( x) ? 0 ，则 ? f ( x)dx ? 0 （3）对任意实数 C 有 ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dxa a c b cba b（4）设函数 f(x)在[a,b]上的最大、最小值分别为 M、m，则有m(b ? a) ? ? f ( x)dx ? M (b ? a)ab（5）设 f(x)在[a,b]上连续，则其在[a,b]上的平均值 1 b y? f ( x)dx b ? a ?a 例 3、比较大小： ? x 2 dx 与 ? x 3 dx0 0 1 12 ?2 x, x ? 1 例 4、求定积分： ? f ( x)dx ，其中 f ( x) ? ? 0 ? 1, x ? 1例 5、求 f ( x) ? 3x 2 ? 2x 在区间[1,3]上的平均值？总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案第九讲 求导法则（三）、复合函数求导（一）教学目的：掌握基本导数公式和四则运算法则，会求一般函数的导数。 重 难 点 ：四则运算法则、复合函数的连锁法则 教学程序 ：基本初等函数的导数公式（复习）―&导数四则运算法则―&例子 授课提要： 前面我们学习了导数的概念及简单函数求导，本节将系统学习函数求导方法。 一、复习基本初等函数的导数公式（重点） （板书略） 二、复习导数四则运算法则（重点） 设 u(x),v(x)为可导函数，则 u u ?v ? uv ? (1) (u ? v)? ? u ? ? v? (2) (uv)? ? u ?v ? uv? (3) ( )? ? v v2 例 1、求下列函数的导数 1 x ?1 (1) y ? 2 x 2 ? 3x ? 1 (2) y ? x 2 ? ? ln x (3) y ? x ln x (4) y ? x x ?1 例 2、求 y ? tan x 的导数？（由商的导数公式推导） 于是有 (tanx)? ? sec 2 x 同理： (cot x)? ? ? csc2 (sec x)? ? (csc x)? ? ? csc x cot x sin x ? 在x ? 处的导数值？ 例 3、求函数 y ? 1 ? cos x 2 例 4、求过点（1，2）且与曲线 y ? 2 x ? x 2 相切的直线方程？ 三、复习复合函数的概念及分解 说明：复合函数分解一般从外向内分解，分解至基本初等函数或简单函数即可 例 5、分解下列函数 （1） y ? (2 x ? 1) 3 （2） y ? sin(2 x ? 1) （3） y ? ln(ln(2 x ? 1)) 四、复合函数的求导法则 设 y ? f [u ( x)] 是关于 x 的复合函数，则 dy dy du ? ? ? ? 或y ? x ? f (u )u ( x ) dx du dx 说明：（1）求复合函数的导数，首先分清楚函数的复合结构，求出每一层次简 单函数的导数，再使用连锁法则，就得到复合函数的导数； （2）复合函数的分解一般按由外向内的顺序进行。总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案例 6、求下列导数（先分解后求导） (1) y ? sin 3x (2) y ? (2 x ? 1) 3 (3) y ? e x ?1 (4) y ? x 2 e 2 x?1 例 7、设 y ? f ( x) 在 x0 可导，且 f ?( x0 ) ? 2 ，记 ? (t ) ? f ( x0 ? at) ，其中 a 为 常数，求 ? ?(0) ？ x ? 3t x ) , 求f ?(1) ？ [5e] 例 8、设 f (t ) ? lim t 2 ( x ?? x 思考题 ： 1、设 y ? x x ，求 y ? ？[利用指数恒等式： x ? e ln x ] dy dy ? 2 x cos x 2 f ?(sin x 2 ) ] 2、 设 y ? f (u),u ? sin x 2 , 求 ？[ dx dx 小 结 ：掌握复合函数求导的连锁法则；对复合函数求导明确：（1）熟练基本 导数公式；（2）恰当分解复合函数；（3）正确使用“连锁法则”。 作 业 ：P55（A：1-2；B：2）；P58（A：1） 思考题 ： 1. 给定一个初等函数，只用求导法一定能求出其导函数吗？为什么？答：一定能求出其导函数。 因为任何一个基本初等函数我们都可以求其导函数，而初等函数是由基本初等函数经过 有限次四则运算及有限次的复合运算形成，据复合函数的求导法则、导数的四则运算法则知 给定一个初等函数,只用求导法一定能求出其导函数。2总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案课堂练习（求导法则三、复合函数一）【A 组】 1、求下列函数的导数 (1) y ? ( x ? 2)2 2? 2、设 f ( x) ? x 2 ? cos 2 x ? 3, 求f ?(0), f ?( ) ? 2 2 3、在曲线 y ? x 上取两点 x1=1,x2=3，过这两点引割线，问曲线上哪点的切线 平行于所引割线？ 4、求下列函数的导数(1) y ? ln ln x (2) y ? sin n x cosnx (3) y ? ln 5、求函数 y ? 2sin ln x 在 x=1 处的导数值？ 6、已知曲线 y ? x ln x 的切线与直线 2 x ? 2 y ? 3 ? 0 垂直，求此切线方程？23x 2 ? 2 x ? 1 (2) y ? x2(3) y ? x 2 e x(4) y ?x sin x 1 ? cos xx ? 1? x2 (4) y ? esin x x【B 组】 1、证明可导的偶函数的导数是奇函数。 1 2、设 [ f ( x 3 )]? ? ，求 f ?(1) ？ [1/3] x ? x2 , x ? 1 3、设 f ( x) ? ? ，问 a,b 为何值时，函数 f(x)处处连续、可导？ ?ax ? b, x ? 1 cos x ? , f ?( x0 ) ? 2, (0 ? x0 ? )，求 f ( x0 ) ？ [ 3 ] 4、设 f ( x) ? 1 ? sin x 2 [ f ( x)]3 ? 1 5、设 f(x)有连续导数， f ?(2) ? 2, f (2) ? 1，求 lim ？[12] x ?2 x?2总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案数学认识实验： 函数与导函数的图像课题六、函数及导函数的图像主页下页下面举例说明函数与导函数的图像间的关系 例一、函数f(x)的图像如下曲线,在图上标出下列值: f ( 4) 如图所示: yf(4); (2) f(4)-f(2);(1) (3)f ( 4) ? f (1) 4 ?11f ( 2) f (4) ? f (2) f (4) ? f (1)f (1)?f ( x)01234x解析：f ( 4) ? f (1) ? tan ? 4 ?1上图中有如下顺序： 0 ? f ?(2) ? f (3) ? f (2) ? f ?(3)总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案课题六、函数及导函数的图像f x上页下页例二、作 f ( x) ? x( x ?1) 的图像，利用它画出f’(x)的图像. 如下图所示:3解析：当 当1 x ? (?? , ) 221 x ? ( ,?? ) 2时，有 f’(x)&0; 时，有 f’(x)&0.1X -1 1 2f' x所以f’(x)可能的图形如右图：-14212X-2-4总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案第十讲 复合函数（二）、高阶导数教学目的：熟练掌握复合函数求导，会求函数的二阶导数。 重 难 点 ：复合函数求导、二阶导数 教学程序 ：复合函数的求导法则（复习）―&例子―&高阶导数定义―&例子 ―&二阶导数的物理意义―&求高阶导数 授课提要： 一、复习复合函数求导（ y ? ? f ?(u ) g ?( x)或 例 1、求下列函数的导数 （2） y ? ln ln(2 x) （3） y ? ( x ? cos2x) 5 dy 例 2、设 y ? f (sin x), f ?( x) ? 2 x ，求 ？ [ sin 2 x ] dx dy 例 3、设 y ? f (ln x)e f ( x )，求 ? [略] dx 1 dy 例 4、设 f ?( x) ? , y ? f (cos x), 求 ？[ ? tan x ] x dx （1） y ? ln(x ? x 2 ? 1) 二、高阶导数的概念 函数 y=f(x)的 n-1 阶导数的导数称为函数的 n 阶导数。 说明：求高阶导数就是反复利用求一阶导数的方法即可。 例 5、求下列函数的二阶导数？ (1) y ? e x ? ln x ? 2 (2) y ? x 2 sin 3x (3) y ? x ln x 例 6、设 f ( x) ? xe x，求f ???(ln 2) ？ 例 7、求 y ? sin x 和 y ? x n 的 n 阶导数？ 1 n! 例 8、求 y ? 的 n 阶导数？ [ y ( n ) ? (?1) n n ?1 ] x x 2x 1 1 ? 例 9、求 y ? 2 的 n 阶导数？[ y ? ] x ?1 x ?1 x ?1 三、二阶导数的物理意义（复习） 设物体的运动方程为 s(t)，则 s ??(t ) 表示物体在时刻 t 的加速度。 ? ? 例 10、设物体的运动规律为： S ? 3 sin( 2t ? )，求 t ? 时的速度和加速度？ 3 4总学时 64 学时（XRG）dy dy du ? ? ） dx du dx 同济大学《高等数学》授课教案探究题 ：（股票走势）设 B(t ) 代表某日某公司在时刻 t 的股票价格，试根据以 下情形判定 B(t ) 的一阶、二阶导数的正、负号： （1）股票价格上升得越来越快；[ B?(t ) ? 0, B??(t ) ? 0 ] （2）股票价格接近最低点。 [ B?(t ) ? 0, B??(t ) ? 0 ] 思考题 ：某公司的一次广告促销活动中，销量提高了，但销量关于时间的曲线是凹的，这表明该公司的经营情况如何？为什么？若曲线是凸的呢？[表明销量增长速度很快]小 结 ：理解高阶导数的“递归定义法”（即，高一阶导数是通过低一阶导数 求导而来）；一阶导数的符号可以反映事物是增长还是减少；二阶导数的符号则 说明增长或减少的快慢。 作 业 ：P59（A：2-3；B：1）总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案课堂练习（复合函数求导二）【A 组】 1、求下列导数 （1） y ? (2x ? 1) 2 ln x （2） y ? 2、求下列函数的二阶导数 (1) y ? x 2 ln x (2) y ? e 2 x ? cos3x (3) y ? ln(x ? x 2 ? 1) 3、验证函数 y ? c1 cos x ? c2 sin x满足关系式： y ?? ? y ? 0 4、设物体的运动规律为 s ? e 2t ? 3t ，求物体在 t=0 时的速度和加速度？ 5、设函数 f(x)为偶函数，且 f ?( x0 ) ? 2 ，求 f ?(? x0 ) ？ f (1) ? f (1 ? x) ? 1 ，则曲线 6、设周期函数 f(x)在 R 内可导，周期为 4，又 lim x ?0 2x y=f(x)在点（5,f(5)）的切线斜率为 2 。 【B 组】dy ？ [1] dx f ( x 0 ? h ) ? f ( x 0 ? 2 h) 2、若 f ?( x0 ) ? 2 ，求 lim ？ [6] h ?0 h 2x 3、求 y ? 2 的 n 阶导数？[变形] x ?1 sin 3 x x（3） y ? (sin 5x) 51、设 y ? f (ln x)，f ?( x) ? e x，求总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案第十一讲隐函数求导、对数求导法教学目的：掌握隐函数的求导方法，了解对数求导法。 重 难 点 ：隐函数的求导法 教学程序 ：隐函数的概念―&隐函数的求导方法（举例说明）―&对数求导法 （例子）―&参数方程的导数―&例子 授课提要： 一、隐函数概念 自变量 x 与因变量 y 的函数关系由方程 F ( x, y) ? 0 所确定的函数称为隐函数。 如： e x? y ? 2xy, x 2 ? y 2 ? 25 等所确定的 y 是 x 的隐函数。 说明：有些隐函数可化成显函数，但更多的不能化成显函数；同时应明确并非 任意一个方程都能确定一个隐函数。 二、隐函数的求导 隐函数求导方法：在方程的两边各项分别对 x 求导，视 y 为 x 的函数，按复合 函数的求导法则求导，最后解出 y'即可。 例 1、求隐函数 e x? y ? xy 的导数？ 例 2、求隐函数 x 2 ? 3xy ? y 2 ? 5 的导数？ 例 3、求隐函数 e y ? y sin x ? e 在点（0，1）的导数值？ [1/e] 说明：隐函数的导数 y ? 一般是含 x 和 y 的表达式。 5 1 例 4、求曲线 x ? x 2 y 2 ? 3 y ? 在点（1，1）处的切线方程？ 2 2 三、对数求导法 对于幂指函数 y ? u v (其中 u,v 是 x 的函数），或由多项式乘除运算和乘 方、开方所得函数的求导，其方法：应先对方程两边取对数，然后用隐函数求导 法求导数。（即先取对数，后求导数） 例 5、求函数 y ? (sin x) x 的导数？ x x ) 的导数? 例 6、求函数 y ? ( 1? x 例 7、求导数： x y ? y x总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案*四、参数方程的导数 ? x ? ? (t ) 设函数 ? ，且函数 x ? ? (t ) 的反函数存在，由复合函数求导公式得： ? y ? ? (t ) dy dy dx ? ?(t ) ? / ? dx dt dt ? ?(t ) 说明：参数方程的导数 y ? 一般是含参变量 t 的表达式。 ? x ? sin 2t dy 例 8、求函数 ? 的导数 ？ dx ? y ? cost ? t 思考题 ： 1、如何求 y ? x x 的导数？ [两次取对数后再求导数] 2、求 y ? x y 的导数？ [先区对数再求导数] 3 3、一球形细胞以 400?m /天增长体积，当 3 的半径为 10?m 时，其半径增长速 dr dr dv dv dv 1 ? ? ? / ? 400 / 4?r 2 ? ] 度是多少？ [ dt dv dt dt dr ? 小 结 ：隐函数求导的关键：（1）明确方程中 y 是 x 的函数，即 y ? y ( x) ； （2）方程中各项最终是关于 x 求导；（3）解出 y ? （一般是含 x, y 的表达式）。 参数方程的导数：其公式是由复合函数求导法则推导得来。x作 业 ：P62（A：2-3；B：1-2）总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案课堂练习（隐函数求导）【A 组】 1、求下列隐函数的导数 (1) x cos y ? sin(x ? y) (2) y ? 5 ? xe y 2、求由方程(3) xy 2 ? x 2 y ? y 4 ? 0y2 ? y 2 ? x 2 所确定的函数 y 在点（0，1）处的导数？ x? y dy y cos x ? e x ? y 3、求由方程 e x? y ? y sin x ? 0 所确定的隐函数的导数 ？[ x ? y ] dx e ? sin x 4、设物体的运动方程为： s ? e ?kt sin wt（k , w为常数） ，求(1)物体任意时刻的 速度和加速度？(2)何时速度为 0？(3)何时加速度为 0？ *5、求下列导数 t ? ?x ? t ? et ? x?2 1 （1） ? （2） ? y? ? ? y ? t sin t 1? t ?【B 组】dy 1、设函数 y=y(x)由方程 sin(x 2 ? y 2 ) ? e x ? xy 2 ? 0 所确定，求 dx ？2、求隐函数 y＝tan(x ? y) 的二阶导数？ 3、确定 a,b,c 的值，使抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 与曲线 y ? e x 在 x=0 处 相交， 并具有相同的一、二阶导数。 dy ? 4、设 y ? log f ( x ) g ( x)，其中 f ( x), g ( x)对x可导，求 dx 1? x 5、设 f ( x) ? ln 。 ，则f ??(0) ? 1? x2 *6、证明：曲线 x ? y ? 1上任一点的切线所截二坐标轴的截距之和等于 1。 *7、已知 y ( n?2) ? 1 ? 23 x ，求 y ( n ) 。总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案归纳总结 ： 初等函数的导数 1、根据导数的定义求导数 设函数 y ? f ( x) 在 x0 点及附近有定义，求函数在 x0 的导数步骤： （1）求函数增量： ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ； ?y （2）求比值： ； ?x f ( x) ? f ( x0 ) ?y （3）求极限： f ?( x0 ) ? lim 或 f ?( x0 ) ? lim 。 ?x ?0 ?x x ? x0 x ? x0 2、基本导数公式（常用）(c)? ? 0; ( x ? )? ? ?x ? ?1 ; (e x ) ? ? 1 ; x (tanx)? ? sec 2 (ln x)? ?(sin x)? ?(cosx)? ? ?(sec x)? ?(arcsin x)? ?1 1? x2;(arctanx)? ?1 ; 1? x23、四则运算法则（ u , v 可导）u u ?v ? uv ? (u ? v)? ? u ? ? v? ； (uv)? ? u ?v ? uv? ； ( ) ? ? v v24、复合函数的导数 设函数 y ? f (u), u ? ? ( x) 复合成函数 y ? f [? ( x)] ，则 dy dy du ? ? y ? ? f ?(u) ? ? ?( x) 或 dx du dx 5、隐函数的导数 设函数 y ? f ( x) 是由方程 F ( x, y) ? 0 所确定的隐函数，则 F? y ? ? ? x , ( Fy? ? 0) Fy? 6、参数方程的导数? x ? ? (t ) 设函数是由参数方程 ? 确定，则 ? y ? ? (t ) dy ? ?(t ) ? dx ? ?(t )总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案第十二讲 习题课（函数求导的方法）教学目的：系统化本单元内容，系统掌握函数的求导方法。 一、函数求导的基本方法： 1、由定义求导（三步骤）； 2、基本初等函数的导数公式与法则； 3、复合函数的求导方法（连锁法则）； 4、隐函数的求导方法、对数求导法、*参数方程的导数 5、求函数的高阶导数。 二、基本题型： 1、求下列导数 （1） y ? 2 x 2 ? x ? 2 2、求下列导数 （1） y ? (2x ? 1) 2 ln x （2） y ? 3、求下列函数的二阶导数 (1) y ? x 2 ln x (2) y ? e 2 x ? cos2 x (3) y ? ln(x ? x 2 ? 1) 4、设物体的运动规律为 s ? e 2t ? 3t ，求物体在 t=0 时的速度和加速度？ 5、设 f ( x) ? xe x ，求 f ??(ln 2) ？ dy 6、设 y ? f (ln x)，f ?( x) ? e x，求 ？ dx f (1 ? x) ? f (1) ? 1 ，求曲线在点 (1,2) 处 7、设 f ( x) 为可导的偶函数，且 lim x ?0 2x 的切线方程？ 8、求下列隐函数的导数 (1) x cos y ? sin(x ? y) (2) y ? 5 ? xe y (3) xy 2 ? x 2 y ? y 4 ? 0sin 3 x x（2） y ? 2e x ? cos x（3） y ?1 ? ln x ? sin x x（3） y ? (sin 5x) 5y2 ? y 2 ? x 2 所确定的函数 y 在点（0，1）处的导数？ x? y 10、求函数 y ? (sin x) x 的导数？ ) ，求 f ?(0) ？ 11、已知 f ( x) ? x( x ? 1)(x ? 2)?( x ? 20089、求由方程总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案三、微积分的发展史（ 年） 我绝对相信历史事实是一种出色的教育指南―― M.Kline1615 年，德国的开卜勒发表《酒桶的立体几何学》，研究了圆锥曲线旋转体的体积。 1635 年，意大利的卡瓦列利发表《不可分连续量的几何学》，书中避免无穷小量，用不 可分量制定了一种简单形式的微积分。 1637 年，法国的笛卡尔出版《几何学》，提出了解析几何，把变量引进数学，成为“数 学中的转折点”。 1638 年，法国的费马开始用微分法求极大、极小问题。 1638 年，意大利的伽利略发表《关于两种新科学的数学证明的论说》，研究距离、速 度、加速度之间的关系，提出了无穷集合的概念，这本书被认为是伽利略重要的科学成就。
年，牛顿（ 年）先于莱布尼茨（ 年）制定了微积分，莱 布尼茨（ 年）早于牛顿（ 年）发表了有关微积分的著作。 1684 年，德国的莱布尼茨发表了关于微分法的著作《关于极大极小以及切线的新方 法》。 1686 年，德国的莱布尼茨发表了关于积分法的著作。 1691 年，瑞士的约.贝努利出版《微分学初步》，这促进了微积分在物理学和力学上的 应用及研究。 1696 年，法国的洛比达发明求不定式极限的“洛比达法则”。 1697 年，瑞士的约.贝努利解决了一些变分问题，发现最速下降线和测地线。 1704 年，英国的牛顿发表《三次曲线枚举》、《利用无穷级数求曲线的面积和长度》、 《流数法》。 1711 年，英国的牛顿发表《使用级数、流数等的分析》。 1715 年，英国的布.泰勒发表《增量方法及其他》。 1731 年，法国的克雷洛出版《关于双重曲率的曲线的研究》，这是研究空间解析几何和 微分几何的最初尝试。总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案第十三讲函数的单调性教学目的：掌握函数单调性的判别法，会求函数的单调区间。 重 难 点 ：单调性判别法 教学程序 ：简介微分中值定理―&复习单调性的定义―&单调性的判定（导数） ―&求单调区间（例子）――&归纳总结解题步骤 授课提要： 一、拉格郎日中值定理 若函数 f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点 ? ， f (b) ? f (a) ，或 f (b) ? f (a) ? f ?(? )( b ? a) 。（作图说明） 使 f ?(? ) ? y b?aP A x O a B?b说明：(1)此定理是微积分学的重要定理，它准确地表达了函数在一个闭区间上 的平均变化率和函数在该区间内某点的导数间的关系，它是用函数的局部性来研 究函数的整体性的重要工具。 (2)此定理是充分而不必要的。 例 1、验证：函数 f ( x) ? x 3 ? 5x 2 ? x ? 2 是否满足拉格郎日的条件，若满足， 求出 ? ？ [任取闭区间] ? 例 2、证明： arcsin x ? arccos x ? [用 Lagrange 定理] 2 二、罗比达法则（叙述）0 ? 1、使用条件：（1）属于 或 的不定式；（2）导数的极限存在； 0 ? 2、使用方法：先求导数，后求极限；满足条件时可连续使用。例 2、求下列极限 sin 2 x （1） lim x ?0 x（2） limx ?3x 2 ? 2x ? 3 x?3（3） limx 2 ? 2x ? 1 x ?? 3x 2 ? 1总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案1（4） lim(1 ? 2 x) xx ?01 1 （5） lim( ? x ) x ?0 x e ?1（6） limx?asin x ? sin a x?a三、函数的单调性及判定（一阶导数） 1、复习单调性的概念：（略） 2、作图说明函数的单调性与导数的正负有关：（作图演示） 3、单调性判定定理： 设 f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导 (1)若 f ?( x) ? 0 ,则 f(x)在（a,b）内单调增加； (2)若 f ?( x) ? 0 ,则 f(x) 在（a,b）内单调减少； (3)若 f ?( x) ? 0 ,则在（a,b）内，f(x)=C。 1 例 3、判定 y ? 的单调性？ x 例 4、判定函数 y ? x 3 的单调性？ 四、求函数单调区间 1、驻点的概念（一阶导数为 0 的点） 2、求函数 y=f(x)的单调区间的步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求出 f ( x) ? 0 的点和 f ?( x) 不存在的点，并以这些点为分界点将定义域 区间分成若干部分区间； (3)列表讨论函数在各部分区间上的单调性。 例 5、求函数 y ? x 3 ? 6 x 2 ? 9 x ? 5 的单调区间？ 例 6、求函数 y ? 3 ( x ? 1) 2 的单调区间？ 例 7、证明：当 x ? 0时，e x ? 1 ? x （作辅助函数） 思考题： 1、用洛必达法则求极限时应注意什么？[注意使用条件] 2、试用 Lagrange 中值定理证明函数单调性的判定定理。 小 结 ：微分中值定理是连接函数“局部性质与整体性质”的桥梁。体现了局 部与整体本质上的内部联系。作 业 ：P72（A：1）总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案课堂练习（函数的单调性）【A 组】 1、证明函数 y ? x 2 ? 1 在区间（0，+∞）内单调递增？ 2、求函数 y ? x 3 ? 6 x 2 ? 9 x ? 5 的驻点？ 3、求函数 y ? x ? e x 的单调区间？ 4、证明不等式： x ? ln(1 ? x), ( x ? 0) 5、判定正误： (1)若 f(x)在(a,b)内单调递增，则-f(x)在（a,b）内单调递减。（ T (2)若 f ?( x0 ) ? 0 ，则 x0 必为驻点。 （ T ））(3)若 x0 为函数 f(x)的驻点，则曲线 f(x)在点（x0，f(x0)）处的切线方程为 （ T ） y ? f ( x0 )【B 组】 1、证明函数 f ( x) ? e ? x 在（-∞，0）内单调递增。 2、设函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx在(??,??)内单调递增，确定 a, b 间的关系？ 3 3、证明：函数 y ? x ? 2x ? 1 在 (??,??) 内有唯一实根。 f ( x) 4、设 f(x)具有二阶导数，且 f ??( x) ? 0, f (0) ? 0，证明：当 x ? 0时， x 单调增加。 5、设函数 f ( x) 有连续的二阶导数，且 f (0) ? 0, f ?(0) ? 1, f ??(0) ? ?2 ， f ( x) ? x 求极限： lim ？ [-1] x ?0 x2 x dt ? 0在(0,1)内有唯一实根。 *6、求证：方程 3x ? 1 ? ? 0 1? t4 提示：作新函数，用根存在定理和单调性证明。2总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案数学认识实验： 微分中值定理的几何直观 1、比较罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的几何意义10.750.50.5 0.252 -0.5468-2-1 -0.25 -0.512-1-0.75? x ? g (t ) 当函数以参数方程 ? , (a ? t ? b) 给定，曲线上点 ( g (? ), f (? )) 的切线斜 ? y ? f (t ) dy f ?(? ) f (b) ? f (a ) 率为 ，端点连线的斜率为 ， 于 是 由 Lagrange 定 理 得 ? dx g ?(? ) g (b) ? g (a ) Cauchy 定理。y P T BA x Og(a) ?g(b)2、单调性与导数正负的几何直观25 206 815410 52-1 -5123-2-1 -2123总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案第十四讲函数的极值教学目的：理解极值的定义，掌握函数极值的求法。 重 难 点 ：极值概念及求法 教学程序 ：极值的概念―&极值存在的必要条件―&极值存在的充分条件（第一、 第二充分条件）―&求函数的极值（例子）――&归纳总结解题步骤 授课提要： 一、函数的极值 1、定 义：（略）（作图直观理解） 说明：(1)极值是一个局部概念； (2)极值点是函数增减或减增的分界点。 2、极值存在的必要条件 若函数 f(x)在 x0 点取极值，则 f ?( x0 ) ? 0或f ?( x0 ) 不存在。 说明：(1)若 f ?( x0 ) ? 0 , x0 不一定是极值点。如： y ? x 3 在 x=0 处。 (2)若 f ?( x0 ) 不存在， x0 也可能是极值点。如： y ?| x | 在 x=0 处。 二、极值存在的第一充分条件（一阶导数法：略） 1 例 1、求函数 y ? x 3 ? x 2 ? 3x ? 3 的极值点和极值？ 3 2 3 3 例 2、求 y ? x ? x 的单调区间和极值？ 2 三、极值存在的第二充分条件（二阶导数法） 设 f(x)在 x0 点有一、二阶导数，且 f ?( x0 ) ? 0, f ??( x0 ) ? 0 ，则 (1)若 f ??( x0 ) ? 0 ,则 f(x0)为极小值； (2)若 f ??( x0 ) ? 0 ,则 f(x0)为极大值。 1 例 3、求函数 y ? x 3 ? x 的极值？ 3 例 4、求函数 y ? x 4 的极值？ 四、求函数极值的一般步骤 (1)确定函数定义域； (2)求函数导数，确定驻点和导数不存在的点； (3)用极值的第一或第二充分条件确定极值点； (4)把极值点代入原函数 f(x)，求出极值并指明是极大还是极小。总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案说明：利用第一、二充分条件都可判定函数的极值，但必须注意适用范围。 1 ? 例 5、试问 a 为何值时，函数 f ( x) ? a sin x ? sin 3x在x ? 处取得极值？ 3 3 是极大值还是极小值？并求极值？ 思考题 ： 1、可能极值点有哪几种？ [驻点或 f ?( x) 不存在的点] 2、如何判定可能极值点是否为极值点？[两个极值存在的充分条件] 小 结 ：函数的极值是指函数的局部性质（小范围），体现了事物的“相对 性”。 作 业 ：P72（A：2；B：2）总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案课堂练习（函数的极值）【A 组】 1、求函数 f ( x) ? 4x 3 ? 3x 2 ? 6x ? 2 的极值？ 2、求下列函数的单调区间和极值； (1) f ( x) ? 2x 3 ? 6x 2 ? 18x ? 7 (2) f ( x) ? x ? 1 ? x 3、设函数 y ? x 3 ? ax2 ? bx 在 x=1 处有极值-2，求 a,b 的值？ 4、求函数 f ( x) ? x ? ln(1 ? x) 的极值？ 5、判定正误： (1)若 x0 为极值点，且曲线在 x0 处有切线，则切线平行于 x 轴。[ T ] (2)若函数 y=f(x)在(a,b)内可导，且有唯一驻点，则此驻点必是极值点。[F] (3)若可导函数 f(x)在(a,b)内只有唯一驻点 x0,则 f(x0)就是 f(x)的最值。[F] 【B 组】 1、求函数 f ( x) ? ( x ? 1) 2 ( x ? 1) 3 的极值？ 2、设 y=y(x)由方程 2 y 3 ? 2 y 2 ? 2 xy ? x 2 ? 1所确定，求 y=y(x)的驻点，并判别 其是否为极值点？[二阶导数法] 3、已知 y=f(x)对一切 x 满足 xf ??( x) ? 2x[ f ?( x)]2 ? 1 ? e ? x , 若f ?( x0 ) ? 0( x0 ? 0), 则 （B） A、f(x0)是 f(x)的极大值 B、f(x0)是 f(x)的极小值 C、点（x0,f(x0))是拐点 D、都不是数学认识实验： 导函数的图像与极值总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案课题六、函数及导函数的图像上页下页例五、已知某函数的导函数图像如下，讨论原函数的极值. 解：（如图）Yf ?( x) ? 0 为0的点(驻点)是-1，1。2 X -2 -1 -2 -4 -6 -8 1 2当 x ? (??,?1)时，f ?( x) ? 0，即f ( x) ?; 当 x ? (?1,1)时，f ?( x) ? 0，即f ( x) ?; 当 x ? (1,??)时，f ?( x) ? 0，即f ( x) ?; 由极值第一充分条件知 函数的极小值为点x=-1; 极大值点为x=1。 其大致图像如右图Y 21-2-1 -112X-2课题六、函数及导函数的图像上页主页例六、已知某函数的导函数图像如下，讨论原函数的单调区间. 解：（如图）y 60 40 20 xf ?( x) ? 0 为0的点(驻点)是-2，0，2。当 x ? (??,?2)时，f ?( x) ? 0，即f ( x) ?; 当 x ? (?2,0)时，f ?( x) ? 0，即f ( x) ?; 当 x ? (0,2)时，f ?( x) ? 0，即f ( x) ?; 当x ? (2， ? ?)时，f ?( x) ? 0，即f ( x) ?; 故函数的递增区间为(?2,0), (2,??) 递减区间为 (??,?2), (0,2) 其大致图像如右图-3-2-1 -20 -40 -60123Y 10 5 X-3-2-1 -5 -10 -15123总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案第十五讲曲线的凹凸性教学目的：理解凹凸性的定义，会求曲线的凹凸区间及拐点。 重 难 点 ：求曲线的凹凸区间 教学程序 ：凹凸性的概念―&凹凸性的判定―&求凹凸区间及拐点―&应用 授课提要： 一、凹凸的概念 1、在区间 [0,1] 上作函数 y ? x, y ? x 2 , y ? x 的图像。（比较曲线的变化） 说明：对函数的研究来说，仅有单调性、极值是不够的。 2、定义：（略）（通过曲线与切线的位置关系定义） 说明：(1)注意拐点的定义（凹与凸的分界点，即二阶驻点）； (2)凹凸性可看成二阶导数的应用。 二、凹凸性判定 定 理：若函数 y ? f ( x) 在 ( a, b) 内有二阶导数，且对于任意 x ? (a, b) 有 （1） f ??( x) ? 0 ，则 y ? f ( x) 在 ( a, b) 内是凹的； （2） f ??( x) ? 0 ，则 y ? f ( x) 在 ( a, b) 内是凸的； （3）凹与凸的分界点，称为拐点。 例 1、求曲线 y ? x 3 ? 9x 2 ? 48x ? 52 的凹凸区间和拐点？ 例 2、求曲线 y ? 3 x 的凹凸区间和拐点？ 三、求曲线凹凸区间的步骤（比较求单调区间与极值的步骤） （1）求 f ?( x), f ??( x) ； （2）求二阶驻点和二阶奇点； （3）分段（区间）讨论凹凸性、确定拐点。 例 3、求曲线 y ? 3x 4 ? 4 x 3 ? 1 的单调和凹凸区间，极值与拐点？ 四、凹凸性的应用 （1）由曲线的凹凸性可知函数增长和减少的快慢程度。 例 4、某公司的一次广告促销活动中，销量提高了，但销量关于时间的曲线是 凹的，这表明该公司的经营情况如何？为什么？若曲线是凸的呢？[表明销量增 长速度很快]总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案（2）了解曲线的凹凸性便于作函数的图像。 例 5、作函数 y ? x 3 ? 9x 2 ? 48x ? 52 的图像？ 思考题 ： 1、画出 f ( x) ? x ? sin x 的图像，说明函数递增最快的点和递增最慢的点？ [参见教材 P76] 小 结 ：曲线的凹凸性表明函数的递增（或递减）的快慢程度，它是指一阶导 函数的单调性。 作 业 ：P77（A：1-2；B：1）总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案课堂练习（曲线的凹凸性）【A 组】 1、求下列曲线的凹凸区间及拐点： （1） f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 2x ? 1 1 （2） f ( x) ? x ? ( x ? 0) x 2、求曲线 y ? 3x 4 ? 4x 3 ? 1的单调和凹凸区间，极值与拐点？ 3、已知点（1，2）为曲线 y ? ax3 ? bx2 的拐点，求 a,b 的值？ 【B 组】x ?1 有三个拐点，且其在一条直线上。 x2 ?1 2、作下列函数的图像： （1） y ? ( x ? 1)(x ? 2) 2 （2） y ? 3x 4 ? 4 x 3 ? 11、证明曲线 f ( x) ?43221-3 -2 -1 -2 1 2 3-2-1 -112-4-6-2总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案第十六讲函数的最值教学目的：理解最值的概念，会求简单实际问题的最值。 重 难 点 ：求函数的最值 教学程序 ：最值的概念―&最值求法（比较法）―&两种特殊情况的最值―&实际 问题的最值（例子）――&数学建模介绍（最优化） 授课提要： 一、最值的定义（略） 说明：最值是一个全局概念，是针对整个区间而言的。 二、求连续函数 f(x)在[a,b]上最值的一般方法（比较法）。 例 1、求函数 y ? x 4 ? 2x 2 ? 5 在[-2，2]上的最值？ 三、两种特殊情况下求最值： (1)若 f(x)在区间[a,b]上连续、单调，则 f(a),f(b)一定是最值； (2)若 f(x)在某一区间上仅有唯一驻点，且该驻点是极值点，则此极值点 一定是最值点。 例 2、求 y ? e ? x 在[1，2]上和 R 上的最值？ 例 3、求 y ? x 3 ? x 在[0，2]上的最值？ 四、最值应用 在用导数研究实际问题的最值时，若所建立的函数在区间(a,b)内只有唯 一驻点，又根据具体问题的实际意义，可以判定(a,b)内必有最大（最小）值， 且唯一驻点就是最值点，勿需进行数学判定。 例 4、用边长为 48cm 的正方形铁皮作一个无盖铁盒，问在四周截去多大的四个 相同的小正方形后，才能使所作的铁盒容积最大？ 例 5、若长方形周长一定时，何时面积最大？ 说明：求实际问题的最值时，很重要一点是确定所建立函数关系的定义域。 例 6、设总成本和总收入由下式给出 C( x) ? 1.1x ? 300 ，R( x) ? ?0.003x 2 ? 5x ， 其中 0 ? x ? 1000 ，求获得最大利润的产量 x? 五、最优化问题及数学建模（p71，例 15）2总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案求出某些量的最大和最小对于许多实际问题都很重要，如求时间最短、利润 最大、成本最低等。相应地，大学生数学建模竞赛题几乎都是优化问题，或必须 用优化思想、方法去分析解决问题。 例 7、乐山大佛通高 71 米，若乘船观赏大佛的游人眼睛在大佛脚底水平线下 1 米，为得到观赏大佛的最佳视角（应使视角最大），这时游人离大佛（中心线） 有多远的水平距离？[8.5 米] 思考题 ： 画图说明闭区间上连续函数 f ( x) 的极值与最值之间的关系。[局部与整体] 小 结 ：函数的最值指函数的区间特性。对于某个区间，它是绝对的，对于不同 的区间，它是相对的；体现了“绝对性”与“相对性”的辨证统一。 作 业 ：P82（A：1-3）；P78（最优化问题）。总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案课堂练习（函数的最值）【A 组】 1、求下列最值：16 2 (2) f ( x) ? x ? x , x ? [1,3] 2、某企业生产每批某产品 x 单位的总成本 c( x) ? 3 ? x ，得到的总收入(1) f ( x) ? x ? 2 x , x ?[0,4]R( x) ? 6x ? x 2 ，为提高经济效益，每批生产多少时，才能使总利润最大？ 3t *3、某项目的利润有两个方案可供选择，它们的关系分别为： L1 (t ) ? ， t ?1 t2 L2 (t ) ? ? 1 ，其中 t 为时间，问 t=1 时，哪个方案最优？[二阶导数] t ?1【B 组】 1、设 y=y(x)由方程 2 y 3 ? 2 y 2 ? 2 xy ? x 2 ? 1所确定，求 y=y(x)的驻点，并判别 其是否为极值点？ 2500 2、某公司在市场上推出一种产品时发现需求量由方程 x ? 2 确定，总收益 p R ? xp ，且生产 x 单位的成本为 C ? 0.5 x ? 500 ，求获得最大利润的单位价格 p？ 3、将 10 分成两个正数，使其平方和最小？ 4、试求内接于半径为 8 厘米的圆的周长最大的矩形的边长？ 数学认识实验： 函数的极值与最值几何直观 1、最值与极值：1 0.5-2-1 -0.5 -1122、从二阶导函数的图像讨论曲线的凹凸性：总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案课题六、函数及导函数的图像Y上页主页例七、已知某函数的二阶导函数图像如下，讨论原函数的凹凸 区间及拐点. 解：（如图） f ??( x) ? 0为0的点是0，1。 当 x ? (??,0)时，f ??( x) ? 0，即f ( x)为?; 当 x ? (0,1)时，f ??( x) ? 0，即f ( x)为?; 当 x ? (1， ? ?)时，f ??( x) ? 0，即f ( x)为?;40 30 20 10 -1.5 -1 -0.5 0.5 1Y1.52X故函数的凹区间为 (??,0), (1,??) 凸区间为 (0,1) ,拐点x=0,x=1. 其大致图像如右图21X -2 -1 -1 1 2总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案第十七讲微 分（一）教学目的：理解微分的概念，会求初等函数的微分。 重 难 点 ：微分的定义、微分的形式不变性 教学程序 ：问题引进―&微分定义―&可导与可微―&微分公式―&复合函数的 微分（形式不变性）―&求微分举例 授课提要： 一、微分定义 1、问题：一块正方形铁皮受温度变化的影响， 其边长由 x0 变化到 x0 ? ?x 时，其面积改变了多少？2 解： ?s ? ( x0 ? ?x) 2 ? x0 ? 2x0 ?x ? (?x) 2 当 ?x 较小时， ?s ? 2 x0 ?x 。x0?x2、定义：设函数 y=f(x)在 x0 点可导，则称 f ?( x0 )?x 为函数 f(x)在点 x0 的微 分，记 dy，即 dy ? f ?( x0 )?x ，一般地， dy ? f ?( x)?x 。 若令 y ? x ,则 dy ? dx ? ?x ,所以 dx ? ?x ,即 dy ? f ?( x)dx 。(dx 称为自变量的 微分) 说明：（1）函数的微分等于函数的导数乘上自变量的微分。 （2）说明微分、微商符号的含义。 例 1、设 y ? x 2 ,当 x ? 2, ?x ? 0.1 时，求 dy 和△y? 例 2、求下列函数的微分： (1) y ? ln sin x (2) x ? e y ? cos xy (3) f ( x) ? (1 ? x 2 ) 3 二、可微与可导之间的关系 定理：若函数 f(x)在某点可微，则函数在这点可导；反之，结论成立。 说明：此定理仅对一元函数成立。 例 3、讨论函数 y=|x-1|在 x=1 处的可微性？（可导性） 三、微分的几何意义 设 y=f(x)，则 dy 等于曲线在点（x,y）处的切线的纵坐标的增量。（作图） 四、微分基本公式 由 dy ? f ?( x)dx 和导数基本公式得到微分基本公式。（略） 五、复合函数的微分 设 y=f(u),u=g(x)复合而成函数 y=f[g(x)]，则 dy ? f ?(u) g ?( x)dx ? f ?(u)du 说明：不论 u 是中间变量还是自变量，微分的形式都可表示为: dy ? f ?(u)du （一阶微分的形式不变性）总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案例 4、填空 (1) d ?......? ? xdx (2) d ?...... ? ? cos2xdx (3) d ?......? ? e 2 x dx (4) d ?......? ?2(5) d ?......? ? e x dx2 ? ?....... ?dx (6) d ?ln(3x ? 2)? ? ?........?d (3x ? 2) ? ?........?dx 例 5、求下列函数的微分： (1) y ? 3x 2 ? cos2x ? ln 2x ? 3 (2) y ? cos x ? 2e 2 x (3) y ? (2 x ? 1) 5 x 例 6、求函数 y ? 在 x=0 和 x=1 处的微分？ 1? x2 思考题 ： 1、回答下列问题： (1)f(x)在点 x0 的微分是否是一个函数？ [是] (2)f(x)在(a,b)上可微，f(x)的微分随哪些变量变化？ [ x, dx, f ?( x) ] (3)du 与△u 是否相等？ [u 为中间变量时不相等] 2、可导与可微有何关系？其几何意义分别表示什么？有何区别？[等价] 3、 f ?x ? 在一点可微，可导，连续间有何关系？ 小 结 ：微分的本质：函数增量的线性主部，是函数局部线性化的依据。 作 业 ：P87（A：1-3）1 dx x2总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案课堂练习（微分一）【A 组】 1、填空1 dx (3) d ?...... ? ? e 2 x?1dx (4) d ?......? ? 12 dx x x 2x 2 (5) d ?...... ? ? e d (2x) ? ?.......?dx (6) d cos x ? ?........?d (cosx) ? ?........?dx 2、当 x 从 0 变到 0.01 时，求函数 y=ex 的近似值？ 3、求下列函数的微分 1 ? sin 2 x 2 2 (1) y ? 3x ( x ? cos x) (2) y ? (3) y ? (2 x ? 1) 3 cos x ?y ?y , lim , dy 分别表示什么含义？ 4、当自变量 x 有改变量△x 时，问△y, ?x ?x ?0 ?x(1) d ?......? ? axdx (2) d ?......? ???【B 组】 1、作两个图，分别表示 dy ? ?y 和 dy ? ?y ？ 2、设 f(x)可微，求 y ? f (e x )e f ( x) 的微分？ 3、设 y ? ln sin x ，则 dy ?d x=dx 。数学认识实验： 函数微分量与增量的图像比较 1、微分量与增量：yy ? f ( x)f ( x ? ?x)Qmsec ??y ?xmtan ??yPdy dxdy?x ? dxf ( x)xx ? ?xx2、微分思想：“以直代曲”的几何意义。总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案在上图中，在 x 的附近，可以用切线 PT 代替曲线 PQ，即 f ( x) ? f ?( x)?x 3、用多项式近似函数（泰勒公式）：（ y ? sin x ） 近似多项式：（在 x=0 处展开） 1 1 1 5 1 1 2 1 y ? x, y ? x ? x 3 , y ? x ? x 3 ? x , y ? x ? x3 ? x ? x7 6 6 120 6 120 504042-6-4-2246-2-4总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案第十八讲微 分（二）教学目的：熟悉凑微分式，了解微分的简单应用。 重 难 点 ：凑微分式，微分的应用 教学程序 ：凑微分式（填空）―&微分的应用―&近似计算―&例子 授课提要： 一、凑微分式 例 1、填空：?d (2x ? 1) (1) dx ? ?........(2) xdx ? ?........ ?d ( x 2 )(4) cos xdx ? ?........ ?d (sin x) (6)1 ?d (arctan x) dx ? ?........ 1? x21 ?d (ln x) dx ? ?........ x 1 ?d ( 1 ) (5) 2 dx ? ?........ x x(3)(7) sec2 xdx ? ?........ ?d (tanx)二、微分应用 1、利用微分求导数（微分的形式不变性） 对于隐函数的求导，我们可以在方程的两边求微分，通过求微商而求出导数。 例 2、求由方程 x 2 ? xy ? e y ? 1 所确定的隐函数的导数？ 例 3、求由方程 x ? e y ? cos xy 所确定的隐函数的导数？ 2、近似公式 由微分的定义知，当 | ?x | 较小时，有 ?y ? dy ，于是有 近似公式： ?y ? f ?( x0 )?x；f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )?x 例 4、求近似值： sin 290 ？ 例 5、球壳外径为 20 厘米，厚度为 2 毫米，求球壳体积的近似值？ 在上面公式中，取 x0 ? 0, ?x ? x，于是：f ( x) ? f (0) ? f ?(0) x. 例 6、当 x 较小时，证明下列公式： (1) e x ? 1 ? x (2) ln(1 ? x) ? x *3、泰勒公式（选讲） 设函数 f(x)在 x=0 点有直到 n+1 阶的连续导数，则 1 1 1 f ( x) ? f (0) ? f ?(0) x ? f ??(0) x 2 ? ... ? f ( n ) (0) x n ? f ( n?1) (? ) x n?1 (0 ? ? ? x) 2! n! (n ? 1)!总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案e x ?1 ? x3 例 7、用泰勒公式求极限： lim ? [1/2] x ?0 sin 6 x 3 x6 ? o( x 6 ) 提示： e x ? 1 ? x 3 ? 2 探究题 ：某一反馈放大电路，设其开环电路的放大倍数为 A ，闭环电路的放大倍数为 A 4 ，当 A ? 10 时，由于受环境温度变化的影 A f ，它们二者的函数关系为： A f ? 1 ? 0.01 A 响， A 变化了 10%，求 A f 的变化是多少？ A f 的相对变化量又是多少？3小 结 ：掌握微分的应用――近似计算，熟练“凑微分”式子。 作 业 ：P87（A：5；B：2-3）总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案课堂练习（微分二）【A 组】 1、填空 (1) dx ? ?........ ?d (ax ? b) (4) d ?......? ? axdx (2) 2xdx ? ?........ ?d ( x 2 ) (3) e x dx ? ?........ ?d (e ? x ) 1 (6) d ?......? ? x 2 dx(5) d ?...... ? ? e 2 x?1dx2、求 3 1.02 ， tan 440 的近似值？ 3、证明近似公式： x (1) sin x ? x (2) n 1 ? x ? 1 ? n 4、正方体铁箱外沿为 1 米，铁皮厚为 2 毫米，求装进液体体积的近似值？ 【B 组】 1、设函数在[0，1]上可微，对[0，1]上的任意 x 有 0&f(x)&1，且 f ?( x) ? 1， 试证在（0，1）内有且只有一个 x 使 f(x)=x. ? x ? f ?(t ) 2、设 ? ，其中 f(t)是二次可微函数，且 f ??(t ) ? 0 ，求 y 关于 x 的 ? y ? t f ( t ) ? f ( t ) ? 二阶微分？e x sin x ? x( x ? 1) 1 (极限为 ) ？ 3 x ?0 3 x 2 3 x x ? o( x 2 ), sin x ? x ? ? o( x 3 ) 提示： e x ? 1 ? x ? 2 6 y 4、求隐函数： e ? y sin x ? e 在点(0,1)的微分？3、用泰勒公式求极限： lim总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案第十九讲 习题课（导数的应用、微分）教学目的：系统化本单元内容，掌握基本概念与方法。 一、基本概念 拉格郎日定理、单调性、极值、最值、微分 二、基本法则 1、拉格郎日定理 2、洛比达法则（求极限的方法） 3、极值存在的充分条件 4、单调性的判别法 5、最值的求法 6、微分的应用 三、典型例题 1、求下列极限： loga (1 ? x) sin ax k lim(1 ? ) x lim (1) lim (2) (3) x ?0 x ?? x ?0 x x x 2、证明： arctanb ? arctana ? b ? a 。 3、证明： x ? ln(x ? 1)(x ? 0) 。 4、设 f(x)在定义域内可导，若 f(x)为偶函数，则 f'(x)为奇函数。 5、证明：方程 x 3 ? 3x ? 1 ? 0 在 (??,??) 内有 3 个实数根。 6、求函数 y ? x 3 ? 3x 的单调区间？ 1 7、求 f ( x) ? x 2 ? 2 的极值？ x 8、求曲线 f ( x) ? 3x 4 ? 4x 3 ? 1 的单调区间与极值，凹凸区间与拐点？ 9、容积为 16π 立方分米的圆柱形罐头盒，怎样设计才能使用料最省？ 10、设函数在[0，1]上可导，对[0，1]上的任意 x 有 0&f(x)&1，且 f ?( x) ? 1， 试证在（0，1）内有且只有一个 x 使 f(x)=x 11、填空 (1) dx ? ?........ ?d (ax ? b) (2) 2xdx ? ?........ ?d ( x 2 ) (3) e x dx ? ?........?d (e ? x )1 d ?......? ? 2 dx 2 x ?1 (4) d ?......? ? axdx (5) d ?...... (6) ? ? e dx x 12、证明近似公式：（当|x|较小时） (1) sin x ? x (2) e x ? 1 ? x （3） ln(1 ? x) ? x 13、求下列函数的微分： x2 ?1 2 x ?1 (1) y ? e (2) y ? (3) y ? x 2 e 2 x x ?1总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案14、已知 x 2 ? sin y ? ye x ? 1, y ? f ( x) ，求 dy ？ sin 6 x ? xf ( x) 6 ? f ( x) ? 0, 求 lim ?(36) 15、设 lim 3 x ?0 x ?0 x x2 (6 x ) 3 ? o( x 3 ) 提示： sin 6 x ? 6 x ? 6 四、提示与提高 1、洛比达法则求极限的注意事项 （1）只有满足定理条件时，才能使用。 x x ? sin x 例 1、求极限 lim ？（不满足条件） ， lim 2 x ?? x x ? 1 x?? （2）用一次法则后，若算式比较繁琐应进行化简；若算式中有非未定式， 应将其分离出来，并算出结果。 x ? arcsin x 例 2、求极限 lim ？ x ?0 tan 3 x 2、证明不等式的方法（拉格郎日定理、函数的单调性） 在使用函数单调性证明不等式中，若 f ?( x) 的符号不能明显确定，则 需进一步确定 f ?( x) 的单调性（即 f ??( x) 在某一部分区间上的符号。 tan x x ? 例 3、证明当 0 ? x1 ? x2 ? 时， 2 ? 2 2 tan x1 x1 3、求实际问题的最值时：（1）分析问题，建立目标函数，并确定定义域； （2）求解极值问题。 例 4、用长 200 的线构成一个正方形和一个圆形，问如何分配才能使其构成 的图形面积之和最小？总学时 64 学时（XRG） 同济大学《高等数学》授课教案第二十讲 不定积分的概念、直接积分法教学目的：理解不定积分的概念，掌握基本积分公式及运算法则。 重 难 点 ：不定积分的概念、基本积分公式 教学程序 ：积分问题（微分的逆问题）―&原函数―&不定积分―&性质―&基本积 分公式―&直接积分法―&例子。 授课提要： 一、不定积分的概念 1、积分←→微分（互逆问题）如：已知 f ?( x) ? 2 x ，求 f(x)? 2、原函数定义：（略） 例 1、 f ( x) ? cos x ，求 F(x)？ 说明：一个函数的原函数不唯一，各原函数之间相差一个常数。 3、原函数存在定理：（闭区间上的连续函数一定有原函数） 结论：初等函数在其定义区间上一定有原函数。 4、不定积分：原函数的全体。记： ? f ( x)dx ? F ( x) ? C (说明符号意义) 说明：（1）由定义知，求不定积分就是求原函数再加上任意常数即可； （2）积分号“ ? ”是一种运算符号，它表示对已知函数求其全部原函数．所以 在不定积分的结果中不能漏写 C． 例 2、求不定积分： 1 (1) ? xdx ； (2) ? dx ； (3) ? e x dx x 二、不定积分的性质（体现了微分与积分在运算上的互逆性） (1) ( ? f ( x)dx )? ? f ( x) (2) ? F ?( x )dx ? F ( x) ? C 例 3、判断正误：(1) ? F ?( x)dx ? F ( x) ； (3) d ? xf ( x 2 )dx ?xf ( x 2 ) }
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