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系数变量for循环，求多元一次方程组，运算太慢，怎么优.....
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本帖最后由 尧遥S 于
19:47 编辑
我在做一个弹簧力学模型的优化求解，大致是物体质量，质心坐标，弹簧的连接点坐标，弹簧的刚度系数最小值，最大值，步长，物体偏转角等参数由excel文件输入，弹簧的刚度系数为循环变量，求解多元一次方程组，输出满足物体偏转角限制的各组弹簧系数和对应的伸长量。
我的问题简单来说是循环嵌套的矩阵求解（我把解方程组转变为矩阵求解了）速度太慢，怎么优化算法？
我的算法如下：
function chengxu
s=xlsread('参数.xlsx');%读取参数.xlsx
xa=s(1);ya=s(17);%物质心坐标(xa,ya)
xb=s(2);yb=s(18);%板质心坐标(xb,yb)
x1=s(3);y1=s(19);%弹簧1连接点坐标(x1,y1)
x2=s(4);y2=s(20);%弹簧2连接点坐标(x2,y2)
x3=s(5);y3=s(21);%弹簧3连接点坐标(x3,y3)
x4=s(6);y4=s(22);%弹簧4连接点坐标(x4,y4)
x5=s(7);y5=s(23);%弹簧5连接点坐标(x5,y5)
x6=s(8);y6=s(24);%弹簧6连接点坐标(x6,y6)
x7=s(9);y7=s(25);%弹簧7连接点坐标(x7,y7)
x8=s(10);y8=s(26);%弹簧8连接点坐标(x8,y8)
x9=s(11);y9=s(27);%弹簧9连接点坐标(x9,y9)
Ga=s(49);%物重量
Gb=s(50);%板重量
min=s(13);step=s(14);max=s(15);%弹簧刚度范围及步长min:step:max
theta=s(16);%最大偏转角限制
for k1=min:step:max
& & for k2=min:step:max
& && &&&for k3=min:step:max
& && && && &for k4=min:step:max
& && && && && & for k5=min:step:max
& && && && && && &&&for k6=min:step:max
& && && && && && && && &for k7=min:step:max
& && && && && && && && && & for k8=min:step:max
& && && && && && && && && && &&&for k9=min:step:max
& && && && && && && && && && && && &%物：ΣFz=0,k1*z1+k2*z2+k3*z3+k4*z4+k5*z5=Ga
& && && && && && && && && && && && &%物：ΣMx(F)=0,k1*z1*(y1-ya)+(k2*z2+k3*z3)*(y2-ya)+(k4*z4+k5*z5)*(y5-ya)=0
& && && && && && && && && && && && &%物：ΣMy(F)=0,(k2*z2+k5*z5)*(x5-xa)+k1*z1*(x1-xa)+(k3*z3+k4*z4)*(x4-xa)=0
& && && && && && && && && && && && &%物：∵两条相交直线确定一个平面∴两条对角线各自中点的位置始终重合，即伸长量相等，1/2*(z2+z4)=1/2*(z3+z5)
& && && && && && && && && && && && &%物：∵两条相交直线确定一个平面∴两条对角线各自中点的位置始终重合，即伸长量相等，1/2*(1/2*(z3+z4)+z1)=1/2*(z2+z5)
& && && && && && && && && && && && &%板：ΣFz=0,k6*z6+k7*z7+k8*z8+k9*z9=k1*z1+k2*z2+k3*z3+k4*z4+k5*z5+Gb,即：k6*z6+k7*z7+k8*z8+k9*z9=Ga+Gb
& && && && && && && && && && && && &%板：ΣMx(F)=0,(k6*z6+k7*z7)*(y6-yb)+(k4*z4+k5*z5)*(y5-yb)+(k8*z8+k9*z9)*(y9-yb)+(k2*z2+k3*z3)*(y2-yb)+k1*z1*(y1-yb)=0
& && && && && && && && && && && && &%板：ΣMy(F)=0,(k6*z6+k9*z9)*(x6-xb)+(k3*z3+k4*z4)*(x3-xb)+(k7*z7+k8*z8)*(x7-xb)+k1*z1*(x1-xb)+(k2*z2+k5*z5)*(x2-xb)=0
& && && && && && && && && && && && &%板：∵两条相交直线确定一个平面∴两条对角线各自中点的位置始终重合，即伸长量相等，1/2*(z6+z8)=1/2*(z7+z9)
& && && && && && && && && && && && &%将以上九元一次方程组通过矩阵化简求解(系数矩阵为A，常数项为b，结果为R)
& && && && && && && && && && && && &A=[k1 k2 k3 k4 0 0 0 0 0;k1*(y1-ya) k2*(y2-ya) k3*(y2-ya) k4*(y5-ya) k5*(y5-ya) 0 0 0 0;k1*(x1-xa) k2*(x5-xa) k3*(x4-xa) k4*(x4-xa) k5*(x5-xa) 0 0 0 0;0 1 -1 1 -1 0 0 0 0;1 -1 0.5 0.5 -1 0 0 0 0;0 0 0 0 0 k6 k7 k8 k9;k1*(y1-yb) k2*(y2-yb) k3*(y2-yb) k4*(y5-yb) k5*(y5-yb) k6*(y6-yb) k7*(y6-yb) k8*(y9-yb) k9*(y9-yb);k1*(x1-xb) k2*(x2-xb) k3*(x3-xb) k4*(x3-xb) k5*(x2-xb) k6*(x6-xb) k7*(x7-xb) k8*(x7-xb) k9*(x6-xb);0 0 0 0 0 1 -1 1 -1];
& && && && && && && && && && && && &b=[Ga;0;0;0;0;Ga+Gb;0;0;0];
& && && && && && && && && && && && &R=A\b;
& && && && && && && && && && && && &z1=R(1);z2=R(2);z3=R(3);z4=R(4);z5=R(5);z6=R(6);z7=R(7);z8=R(8);z9=R(9);%R=[z1 z2 z3 z4 z5 z6 z7 z8 z9]'
& && && && && && && && && && && && &thetax=atand(abs((1/2*(z8+z9)+z5)-(1/2*(z6+z7)+z2))/abs(y5-y2));%此时物x轴方向的偏转角thetax
& && && && && && && && && && && && &thetay=atand(abs((1/2*(z7+z8)+1/2*(z3+z4))-(1/2*(z6+z9)+z1))/abs(x3-x1));%此时物y轴方向的偏转角thetay
& && && && && && && && && && && && &if (thetax&=theta)&&(thetay&theta)%偏转角限制
& && && && && && && && && && && && && & fprintf('k1=%g,k2=%g,k3=%g,k4=%g,k5=%g,k6=%g,k7=%g,k8=%g,k9=%g\n',k1,k2,k3,k4,k5,k6,k7,k8,k9)%输出满足条件的各弹簧刚度
& && && && && && && && && && && && && & fprintf('z1=%g,z2=%g,z3=%g,z4=%g,z5=%g,z6=%g,z7=%g,z8=%g,z9=%g\n',z1,z2,z3,z4,z5,z6,z7,z8,z9)%输出此时的各弹簧伸长量
& && && && && && && && && && && && && & fprintf('thetax=%g,thetay=%g\n\n',thetax,thetay)%输出此时的x轴方向和y轴方向的偏转角
& && && && && && && && && && && && &end
& && && && && && && && && && &&&end
& && && && && && && && && & end
& && && && && && && && &end
& && && && && && &&&end
& && && && && & end
& && && && &end
& && &&&end
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论坛优秀回答者
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很难讲，只能你自己根据你的模型来优化，首先优化的是算法本身
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很难讲，只能你自己根据你的模型来优化，首先优化的是算法本身
简单来说模型就是一个固定平面下通过四根弹簧悬挂一块有质量的隔板，隔板下再用五根弹簧悬挂一个机器。其中弹簧接触点坐标，隔板和机器的质心坐标及重量都由excel输入。弹簧的系数由excel输入最小值，步长，最大值（形成一个循环嵌套）。再解由力学分析得的九元一次方程式组。最后把满足优化条件（机器的偏转角小于excel中预设的值）的弹簧系数和对应的弹簧伸长量一组一组地输出。我在网上查询到的说法是for循环很慢的缘故，那该怎么优化算法？解这样的系数为循环变量的多元方程组还有什么办法？我用的是矩阵求解法。网上有说用向量法替代for循环，但我这个具体该怎么操作呢？
论坛优秀回答者
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简单来说模型就是一个固定平面下通过四根弹簧悬挂一块有质量的隔板，隔板下再用五根弹簧悬挂一个机器。其 ...
想法太暴力了
你要加入一些限制条件，用那些优化算法去做
比如神经网络，模拟退火等等
你要在整个解空间里面去全部搜索，很尴尬
另外你要的是每一组满足条件的结果，这样也就意味着你得在整个解空间里面找了
很尴尬的问题
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想法太暴力了
你要加入一些限制条件，用那些优化算法去做
比如神经网络，模拟退火等等
是啊，我也知道这个太多，但老师要求的目标就是要得出每一组满足的解。这种情况的话，有没有啥办法让它算得快一点的？我现在需要的就是让它算得快点，那天0.1的步长算了十多个小时都没算完。。。网上说matlab的for循环很慢，建议用向量法，能用的话该怎么用？我不太懂他们说的向量法
论坛优秀回答者
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关注者： 307
是啊，我也知道这个太多，但老师要求的目标就是要得出每一组满足的解。这种情况的话，有没有啥办法让它算 ...
你的这很尴尬，无法用向量计算替换循环
如果写成向量数据量巨大
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你的这很尴尬，无法用向量计算替换循环
如果写成向量数据量巨大
哦，这样啊，那能简单说说向量计算是怎么个意思吗？我可以顺便学学嘛。如果可以的话，能用这个模型（只是单层的，就一个固定平面下用4根弹簧连接机器，也就是四元一次方程组，这样数据会少点）讲解吗？
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你的这很尴尬，无法用向量计算替换循环
如果写成向量数据量巨大
哦，这样啊，那能简单说说向量计算是怎么个意思吗？我可以顺便学学嘛。如果可以的话，能用这个模型（只是单层的，就一个固定平面下用4根弹簧连接机器，也就是四元一次方程组，这样数据会少点）讲解吗？
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MATLAB中文论坛微社区?k1+k3=0?；?k1+k2=0，?k+k=0?23；解得k1=k2=k3=0，所以α1+α2,α2+；7.已知α1,α2,L,αs的秩为r，证明：α1；αi1,αi2,L,αir线性表出就可以了；事实上，向量组αi1,αi2,L,αir,αj是；8.设α1,α2,L,αs的秩为r，αi1,αi；证由题设知αi1,αi2,L,αir与α1,α2；αi,α
?k1+k3=0??k1+k2=0， ?k+k=0?23解得k1=k2=k3=0，所以α1+α2,α2+α3,α3+α1线性无关。 7.已知α1,α2,L,αs的秩为r，证明：α1,α2,L,αs中任意r个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组. 证
设αi1,αi2,L,αir是α1,α2,L,αs中任意r个线性无关向量组，如果能够证明任意一个向量αj(j=1,2,L,s)都可由αi1,αi2,L,αir线性表出就可以了。 事实上，向量组αi1,αi2,L,αir,αj是线性相关的，否则原向量组的秩大于r，矛盾.这说明αj可由αi1,αi2,L,αir线性表出，再由αj的任意性，即证。 8.设α1,α2,L,αs的秩为r，αi1,αi2,L,αir是α1,α2,L,αs中的r个向量，使得α1,α2,L,αs中每个向量都可被它们线性表出，证明：αi1,αi2,L,αir是α1,α2,L,αs的一个极大线性无关组。 证
由题设知αi1,αi2,L,αir与α1,α2,L,αs等价，所以αi1,αi2,L,αir的秩与α1,α2,L,αs的秩相等，且等于r.又因为αi,αi,L,αi线性无关，故而αi,αi,L,αi是α1,α2,L,αs的一个极大线性无关组。 12r12r9.证明：一个向量组的任何一个线性无关组都可以扩充成一线性无关组。 证
将所给向量组用（Ⅰ）表示，它的一个线性无关向量组用（Ⅱ）表示。 若向量组（Ⅰ）中每一个向量都可由向量组（Ⅱ）线性表出，那么向量组（Ⅱ）就是向量组（Ⅰ）的极大线性无关组.，否则，向量组（Ⅰ）至少有一个向量α不能由向量组（Ⅱ）线性表出，此时将α添加到向量组（Ⅱ）中去，得到向量组（Ⅲ）且向量组（Ⅲ）是线性无关的。 进而，再检查向量组（Ⅰ）中向量是否皆可由向量组（Ⅲ）线性表出.若还不能，再把不能由向量组（Ⅲ）线性表出的向量添加到向量组（Ⅲ）中去，得到向量组（Ⅳ）。继续这样下去，因为向量组（Ⅰ）的秩有限，所以只需经过有限步后，即可得到向量组（Ⅰ）的一个极大线性无关组。 10.设向量组为 α1=(1,?1,2,4)，α2=(0,3,1,2)，α3=(3,0,7,14)，
α4=(1,?1,2,0)，α5=(2,1,5,6)。 1） 证明：α1,α2线性无关。 2） 把α1,α2扩充成一极大线性无关组。 证
1）由于α1,α2的对应分量不成比例，因而α1,α2线性无关。 2）因为α3=3α1+α2，且由 k1α1+k2α2+k4α4=0， 可解得 k1=k2=k4=0， 所以α1,α2,α4线性无关。 再令 k1α1+k2α2+k4α4+k5α5=0， 代入已知向量后，由于相应的齐次线性方程组的系数行列式为0，因而该齐次线性方程组存在非零解，即α1,α2,α4,α5线性相关，所以α5可由α1,α2,α4线性表出。 这意味着α1,α2,α4就是原向量组的一个极大线性无关组。
此题也可将α1,α2,α4,α5排成5×4的矩阵，再通过列初等变换化为行阶梯形或行最简形，然后得到相应结论。 11.用消元法求下列向量组的极大线性无关组与秩： 1)α1=(6,4,?1,2),α2=(1,0,2,3,?4)， α3=(1,4,?9,?16,22),α4=(7,1,0,?1,3)α3=(3,0,7,14),α5=(2,1,5,6)α2=(0,3,1,2)α4=(1,?1,2,0) 2?023?4?? 4?9?1622???13?1041?12)α1=(1,?1,2,4),?α1??6?α??12解
1）设A=??=??α3??1?????α4???7对矩阵A作行初等变换，可得 ?0?1A→??0??04?11?1926??0?10234??→?4?11?1926??0??1?14???4?23?， 4569?98??1?14?2231?000所以α1,α2,α3,α4的秩为3，且α2,α3,α4即为所求极大线性无关组。 3） 同理可得α1,α2,α4为所求极大线性无关组，且向量组的秩为3。 12.证明：如果向量组（Ⅰ）可以由向量组（Ⅱ）线性表出，那么（Ⅰ） 的秩不超过（Ⅱ）的秩。 证
由题设，向量组（Ⅰ）的极大线性无关组也可由向量组（Ⅱ）的极大线性无关组线性表出，即证向量组（Ⅰ）的秩不超过向量组（Ⅱ）的秩。 13.设α1,α2,L,αn是一组维向量，已知单位向量ε1,ε2,L,εn可被它们线性表出，证明：α1,α2,L,αn线性无关。 证
设α1,α2,L,αn的秩为r≤n，而ε1,ε2,L,εn的秩为n。 由题设及上题结果知 n≤r， 从而r=n，故α1,α2,L,αn线性无关。 14.设α1,α2,L,αn是一组n维向量，证明：α1,α2,L,αn线性无关的充分必要条件是任一n维向量都可被它们线性表出。 证
必要性.设α1,α2,L,αn线性无关，但是n+1个n维向量α1,α2,L,αn,β必线性相关，于是对任意n维向量β，它必可由α1,α2,L,αn线性表出。 充分性 任意n维向量可由α1,α2,L,αn线性表出，特别单位向量ε1,ε2,L,εn可由α1,α2,L,αn线性表出，于是由上题结果，即证α1,α2,L,αn线性无关。 15.证明：方程组 ?a11x1+a12x2+L+a1nxn=b1?ax+ax+L+ax=b? ?LLLLLLLLLL???an1x1+an2x2+L+annxn=bn对任何b1,b2,L,bn都有解的充分必要条件是系数行列式aij≠0。 证
充分性.由克拉默来姆法则即证。 下证必要性.记 αi=(α1i,α2i,L,αni)(i=1,2,L,n)， β=(b1,b2,L,bn)则原方程组可表示为 β=x1α1+x2α2+L+xnαn， 由题设知，任意向量β都可由线性α1,α2,L,αn表出，因此由上题结果可知α1,α2,L,αn线 性无关。 进而，下述线性关系 k1α2+k2α2+L+knαn=0， 仅有惟一零解，故必须有A=aij≠0，即证。 16.已知α1,α2,L,αr与α1,α2,L,αr,αr+1,L,αs有相同的秩，证明： 与α1,α2,L,αr,αr+1,L,αs等价。 证
由于α1,α2,L,αr与α1,α2,L,αr,αr+1,L,αs有相同的秩，因此它们的极大线性无关组所含向量个数必定相等.这样α1,α2,L,αr的极大线性无关组也必为α1,α2,L,αr,αr+1,L,αs的极大线性无关组，从而它们有相同的极大线性无关组。 另一方面，因为它们分别与极大线性无关组等价，所以它们一定等价。 17.设β1=α2+α3+L+αr,β2=α1+α3+L+αr,L, βr=α1+α2+L+αr?1， 证明：β1,β2,L,βr与α1,α2,L,αr具有相同的秩。 证
只要证明两向量组等价即可.由题设，知β1,β2,L,βr可由α1,α2,L,αr线性表出。 现在把这些等式统统加起来，可得 1(β1+β2+L+βr)=α1+α2+L+αr， r?1于是 αi=1111β1+β2+L+(?1)βi+L+βr， r?1r?1r?1r?1(i=1,2,L,r) 即证α1,α2,L,αr也可由β1,β2,L,βr线性表出，从而向量组β1,β2,L,βr与α1,α2,L,αr等价。 18.计算下列矩阵的秩： ?011?12??1?1?02?2?20??2?2?
2）?1）??0?1?111??30???1101?1???03?1??????3）
4）?0?76341?????????4?1?1?5）?0??0??00110?0??0?。 ?0?1??01025210?4?20?? 6?11??001?014?025??136? ???解
1）秩为4；2）秩为3；3）秩为2；4）秩为3；5）秩为5。 19.讨论λ,a,b取什么值时，下列方程有解，并求解。 ?λx1+x2+x2=1?(λ+3)x1+x2+x2=λ??1）?x1+λx2+x3=λ
2）?λx1+(λ?1)x2+x3=2λ ?3(λ+1)x+λx+(λ+3)x=3?2xxxλλ++=123?3?12?ax1+x2+x2=4?
3）?x1+bx2+x3=3 ?x+2bx+x=423?1解
1）因为方程组的系数行列式 λ11D=1λ1=(λ?1)2(λ+2)， 11λ所以当λ=1时，原方程组与方程x1+x2+x2=1同解，故原方程组有无穷多解，且其解为 ?x1=1?k1?k2?， ?x2=k1?x=k2?3其中k1,k2为任意常数。 当λ=?2时，原方程组无解。 当λ≠1且λ≠?2时，原方程组有惟一解。且 λ+1?=?x?1λ+2?1?。 ?x2=λ+2??(λ+1)2?x3=λ=2?2）因为方程组的系数行列式 3+λ12D=λλ?11=λ2(λ?1)， 3λ+3λλ+3所以当λ=0时，原方程组的系数矩阵A与增广矩阵A的秩分别为2与3，所以无解。 当λ=1时，A的秩为2，A的秩为3，故原方程组也无解。 当λ≠0，且λ≠1时，方程组有唯一解 ?λ3+3λ2?15λ+9?x1=2λ(λ?1)??λ3?12λ+9?。 ?x2=2?λ(λ1)??4λ3?3λ2?12λ+9?x3=λ2(λ?1)??3) 因为方程组的系数行列式 11D=1b1=?b(a?1)， 12b1所以当D≠0时，即a≠1且b≠0时，方程组有惟一解，且为 a2b?1?=x?1b(a?1)?1?， =x?2b?1+2ab?4b?x=?3b(a?1)?当D=0时 1若b=0，这时系数矩阵A的秩为2，而它的增广矩阵A的秩为3，故原方程组无解。 o2若a=1，这时增广矩阵 o114??1114??1?→?0b?10?1? A=?1b13??????12b14????02b?100??所以当a=1,b≠1时，A的秩为3，A的秩为，原方程组无解。 21而当a=1,b=时，原方程组有无穷多个解，且其解为 2三亿文库包含各类专业文献、行业资料、应用写作文书、专业论文、幼儿教育、小学教育、文学作品欣赏、高等教育、高等代数第3章线性方程组82等内容。　
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分析：根据所给的新定义，看出要求的三个向量线性相关，得到关于向量的坐标和相关系数之间的关系式，根据这个关系式等于零向量，写出两个方程，把其中一个相关系数表示另外两个相关系数，求比值即可．解答：解：∵a1=(1，0)，a2=(1，-1)，a3=(2，2)线性相关，根据条件中所给的线性相关的定义得到k1a1+k2a2+k3a3=0，∴k1（1，0）+k2（1，-1）+k3（2，2）=（0，0），∴k1+k2+2k3=0，①-k2+2k3=0&&& ②由①②可得，k2=2k3，k1=-4k3∴k1：k2：k3=（-4k3）：（2k3）：k3=-4：2：1故答案为：-4：2：1点评：本题考查平面向量与线性相关的综合题目，本题解题的关键是理解新定义，能够利用新定义，本题是一个中档题目．
科目：高中数学
对于n个向量1，a2，a3…an，若存在n个不全为零的实数k1，k2，…kn，使得：1a1+k2a2+k3a3+…+knan=0成立，则称向量1，a2，a3…an是线性相关的．按此规定，能使向量1=(1，0)，a2=(1，-1)，a3=(2，2)是线性相关的实数为k1，k2，k3，则k1+4k3=．
科目：高中数学
来源：学习周报　数学　北师大课标高一版(必修4)　学年　第46期　总202期 北师大课标版
对于n个向量a1，a2，…，an，若存在n个不全为零的实数k1，k2，…，kn，使得k1a1＋k2a2＋…＋knan＝0成立，则称向量a1，a2，…，an是线性相关的．按此规定，能使向量a1＝(1，0)，a2＝(1，－1)，a3＝(2，2)是线性相关的实数k1，k2，k3的值分别可能为
科目：高中数学
来源：不详
题型：填空题
若对于n个向量a1，a2，…，an，若存在n个不全为零的实数k1，k2，…，kn，使得k1a1+k2a2+…+knan=0，则称a1，a2，…，an为“线性相关”，k1，k2，…，kn分别为a1，a2，…，an的“相关系数”．依此规定，若a1=(1，0)，a2=(1，-1)，a3=(2，2)线性相关，a1，a2，a3的相关系数分别为k1，k2，k3，则k1：k2：k3=______．
科目：高中数学
来源：广东模拟
题型：填空题
对于n个向量a1，a2，a3…an，若存在n个不全为零的实数k1，k2，…kn，使得：k1a1+k2a2+k3a3+…+knan=0成立，则称向量a1，a2，a3…an是线性相关的．按此规定，能使向量a1=(1，0)，a2=(1，-1)，a3=(2，2)是线性相关的实数为k1，k2，k3，则k1+4k3=______．
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＞＞＞已知数列{an}为等差数列，且公差d≠0，其中恰为等比数列，若k1=1，..
已知数列{an}为等差数列，且公差d≠0，其中恰为等比数列，若k1=1，k2=5，k3=17，求k1+k2+…+kn．
题型：解答题难度：中档来源：同步题
解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则由题意，得，解得a1=2d，，∴，即，∴，即，∴。
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据魔方格专家权威分析，试题“已知数列{an}为等差数列，且公差d≠0，其中恰为等比数列，若k1=1，..”主要考查你对&&等差数列的定义及性质，等比数列的定义及性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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等差数列的定义及性质等比数列的定义及性质
等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。 等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列； （2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和； （3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap； （5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。（6）（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即 （8）&仍为等差数列，公差为
&对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．&②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有 还有 ③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d&0时，数列为递增数列；当d&0时，数列为递减数列；④ 是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。 等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有 （1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2； （2）若m，n∈N*，则am=anqm-n； （3）若公比为q，则｛｝是以为公比的等比数列； （4）下标成等差数列的项构成等比数列； （5）1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列； 2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列； 3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列； 4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列； 5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
等差数列和等比数列的比较：
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
发现相似题
与“已知数列{an}为等差数列，且公差d≠0，其中恰为等比数列，若k1=1，..”考查相似的试题有：
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