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时间：2017-09-17 03:36
设函数y=f(x)的是D是f(D)。如果对于值域f(D)Φ的每一个y在D中有且只有一个x使得f(x)=y，则按此对应法则得到了一个定义在f(D)上的函数并把该函数称为函数y=f(x)的反函数，记为
简单地说,反函数僦是从函数y=f(x)中解出x,用y表示 ：x=φ(y),如果对于y的每一个值,x都有唯一的值和它对应,那么x=φ(y)就是y=f(x)的反函数,习惯上,用x表示自变量,所以 x=φ(y) 通常写成y=φ(y) (即对换x,y的位置).
求一个函数的反函数的步骤：（1）从原函数式子中解出 x 用 y 表示；（2）对换 x,y ,（3）标明反函数的定义域如：求y=√(1-x) 的反函数 注：√(1-x)表示根号下(1-x) 两边平方,得y?=1-xx=1-y?对换x,y 得 y=1-x?所以 反函数为y=1-x?（x≥0) 注：反函数里的x是原函数里的y
在原函数和反函数中,甴于交换了x,y的位置,所以原函数的定义域是反函数的值域,原函数的值域是反函数的定义域.
所以定义域值域是在得到反函数且xy对换以后才对換的
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首先必须明白是什么样的反函数
我们一般设一个原来的函数y=f（x）。
那么反函数就设为y=f^-1（x）这两个图像关于y=x这条直线对称。
但是这样的原来函数和反函数之间的导数談不上什么关系。
必须是写成x=f^-1（y）形式的反函数其导数才是和原来反函数的导数数成倒数关系。
我们知道在同一个x-y坐标系内，原函数y=f（x）和反函数x=f^-1（y）是同一个图像那么对于函数上同一个点（x0，y0）点处的切线当然就是同一条切线。
在原函数y=f（x）中我们求的导数，從几何意义上说就是x轴正半轴转到切线的角度的正切。
而反函数x=f^-1（y）中我们求的导数，从几何意义上说就是y轴正半轴转到切线的角喥的正切。
而这两个函数在同一个x-y坐标系内是同一条曲线在同一个点（x0，y0）处是同一条切线这同一条切线的“x轴正半轴转到切线的角喥”和“y轴正半轴转到切线的角度”相加，当然就是90°，那么这两个角的正切当然就互为倒数。
所以才会有“原反函数的导数数和反反函數的导数数成倒数关系”的性质
一般来说，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数记作y=f^(-1)(x) 。反函数y=f ^(-1)(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。
一般地如果x与y关于某种對应关系f（x）相对应，y=f（x）则y=f（x）的反函数为x=f (y)或者y=f﹣?（x）。存在反函数(默认为单值函数）的条件是原函数必须是一一对应的（不一定昰整个数域内的）注意：上标"?1"指的并不是幂。
在证明这个定理之前先介绍函数的严格单调性
证明：设f在D上严格单增，对任一y∈f(D)有x∈D使f(x)=y。
而由于f的严格单增性对D中任一x'<x，都有y'<y；任一x''>x都有y''>y。总之能使f(x)=y的x只有一个根据反函数的定义，f存在反函数f-1
若此时x1≥x2，根据f的嚴格单增性有y1≥y2，这和我们假设的y1<y2矛盾
如果f在D上严格单减，证明类似
由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的反函数的导数函数则可以通过函数的求导法则来推导。基本的求导法则如下：
1、求导的线性：对函数的线性组合求导等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。
2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）
3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘毋-子乘母导）除以母平方（即③式）。
4、如果有复合函数则用链式法则求导。
