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2012年高中数学竞赛平面几何问题的解答及其它
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2012平面几何讲义，非常全面，非常有用！内容包括托勒密定理，等角共轭点，调和点列，阿波罗尼斯圆，陪位中线，塞瓦定理，梅内劳斯定理，布列安桑定理，帕斯卡定理……
审核人：数学卢军
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Planar Geometric Problems about Harmonic Progression of Points
(本讲适合高中)
调和点列是射影几何学的重要内容,它在平面几何中也有着广泛的应用.
重庆市合川太和中学,401555
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与调和点列有关的平面几何问题
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(本讲适合高中)调和点列是射影几何学的重要内容,它在平面几何中也有着广泛的应用.1知识简介1.1调和点列的定义定义对于线段AB的内分点C和外分点D满足ACCB=DADB,则称点C、D调和分割线段AB或者A、B,C、D是调和点列.1.2调和点列的基本性质与判定性质对于线段AB的内分点C和外分点D满足C、D调和分割线段AB,M是线段AB的中点,则有以下结论成立:(1)点A、B调和分割线段CD;(2)A1C+A1D=A2B;(3)AB·CD=2AD·BC;(4)CA·CB=CM·CD;(5)DA·DB=DM·DC;(6)MA2=MB2=MC·MD.判定1对于线段AB的内分点C和外分点D,M是线段AB的中点,则满足下列条件之一均可判定点C、D调和分割线段AB.(1)点A、B调和分割线段CD;(2)A1C+A1D=A2B;(3)AB·CD=2AD·BC;(4)DA·DB=DM·DC;判定2对于线段AB的内分点C和外分点D,M是线段AB的中...&
(本文共5页)
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文献[1]给出平均不等式链:a2+b2槡2≥a2+b≥槡ab≥12a+1b(1)的多种几何模型,笔者就平均不等式链的几何模型的本质作一深入研究,供参考.1平均不等式的几何意义对于不等式链(1)中的平均不等式,通常称:E=a2+b2槡2为均方平均,主要是通过“勾股定理”获得其结构式;M=a2+b为算数平均,主要通过“线段作和”获得其结构式;G=槡ab为几何平均,主要通过“圆幂定理”获得其结构式;H=12a+1b为调和平均,但怎样构造成为人们研究的问题.文献[2]给出了调和点列的定义:对于一直线上排列的4个点A,B,C,D构成的有向线段,若满足:?A→C·?B→D?A→D·?B→C=-1,则称点C和点D调和分割点A和点B,记为(AB,CD)=-1.并给出调和点列的作图方法:如图1,当点C在AB的延长线上时,过点C作以AB为直径的⊙O的切线CP切圆于点P,过点P作直径AB的垂线交AB于点D.于是点D是点C对于A,B的调和共轭点.图1图...&
(本文共3页)
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1调和点列的定义对于一直线上排列的4点A,B,C,D构成的有向线段满足:AACD··BBDC=-1,则称点C和D调和分割点A和B.记(AB,CD)=-1.它的一个特例,就是中学几何三角形中一个角的内角和外角平分线与对边的交点,将三角形对边的2个顶点调和分割.引例如图1,AB为圆O的直径,C为直径延长线上一点,从点C向圆引切线CP.证明:点P在AB上的垂直射影D及点C是对于点A,B的调和共轭点.证明由CP是⊙O的切线,得∠1=∠PAB,∠4=∠PBA.又AB是直径,PD⊥AB,得△APB∽△ADP∽△PDB,所以∠2=∠PAB=∠1,∠3=∠PBA=∠4,即PA,PB分别为△CPD内角∠CPD和外角∠EPD的角平分线,于是(AB,CD)=-1,故点D是点C对于点A,B的调和共轭点.2调和点列的作图由引例的证法,可得出求直线AB上点C的调和共轭点D的作图方法.如图1,当点C在AB的延长线上时,(1)过点C作以AB为直径的⊙O的切线C...&
(本文共2页)
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如果线段AB被两点C、D按同一比例内分和外分,即ACCB=ADDB,则称点列A、C、B、D为调和点列[1].当然,也可称两点A、B调和分割线段CD.若直线外任一点P作射线PA、PB、PC、PD,如图1,则称这四条射线为调和线束.反过来,任一直线与调和线束相交所截的四个点均为调和点列.从上式可以看出,如果C为AB的中点,则点D趋于无穷远,表明PD与AB平行,如图2.这样,我们得到调和点列的一个特殊性质:如果PA、PB、PC、PD为调和线束,且PD平行于AB,则PC必平分AB.反过来,如果PC平分AB,而且PD平行于AB,则PA、PB、PC、PD为调和线束.下面着重讨论如何将上述调和点列的特殊性质与调和点列的其他性质、极线极点的相关性质相结合[1-3],证明平面几何中一些三线共点和线段相等问题.图1图2例1证明:三角形的三条中线交于一点.证明设△ABC的两条中线BE和CF交于点M,过点A作BC的平行线AG交BE的延长线于G,连接AM...&
(本文共3页)
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调和点列的证明在几何中颇为多见。本文提出了调和点列及其性质和判定。讨论了调和点列的若干判定方法。1、定义、定理先给出一个定义及几个定理。定义。若线段AB被点C内分成的两条线段之比等于点D外分AB所成的两条线段之比，则称共线点A、B、C、D为调和点列。由定义知，也即。可见，B内分（或外分）CD所成的两条线段之比也等于A外分（或内分）CD所成的两条线段之比。性质定理1：如果四点A、B、C、D是调和点列，且点O是AB中点，则证明：如图考虑到上面的证明每步可逆，于是有下面的结论。判定定理l：共线五点A、B、C、D、（），若（比一（）沙一（L·（D，则A、B、C、I＞是调和点列。性质定理同样，性质定理2的逆命题也是真的，所以有：。1．＿＿，。、，，。＊＿。＿＿＿＿。，。。、T、r、一。r、。／、＿＿。。T－t且＊2＿互1判定定理2：对于关线有序点儿C、B、D或＊A（、B否满足一六十六一元或六一六二”“”””“““““””””‘”“‘””“...&
(本文共5页)
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筝形定理和蝴蝶定理是平面几何中两个优美的定理.关于这两个定理的研究论文较多[’一’l，主要是从射影几何的观点来研究其相关性[’一’】.本文利用正弦定理先给出调和点列的角元表示和几个关于调和点列的常用结论，再利用这些结论给出筝形定理和蝴蝶定理的两个新证法，最后对这两个定理的相关性进行研究.调和点列的角元表示如图l，若共线四点B、E、C、D满足召刀·EC二召召·C刀，则称B、E、C、D为调和点列.沙:\盏6;EC图1利用正弦定理可证明: sin62·sin(口.+62+83)=sins:·sin 83幸今EC·BD二BE·CD.易知，若B、E、C、D为调和点列，则J、K、I刀和p、口、R、S也必为调和点列·2两个常见图形中的调和点列(l)关于完全四边形中的调和点列.如图2，利用塞瓦定理和梅涅劳斯定理，易知B、E、C、D为调和点列.EC所以，J、H、I、D，F、K、G、D，A、F、J、B，A、K、H、E，A、C、I、C也分别为调和点列...&
(本文共3页)
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