初三数学_2016年中考数学试题及答案_初三数学试卷_中考数学压轴题_中考网
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91 相似三角形判定定理1 两角对应相等,两三角形相似（ASA） 92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 93 判定定理2 两边对应成
81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半 82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半 L=（a+b） 2 S
71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的 72定理2 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分 73逆定理 如果两个图形的对
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2015届九年级上数学月考试卷(含答案和解释)
作者：佚名 资料来源：网络 点击数： &&&
2015届九年级上数学月考试卷(含答案和解释)
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文章来源莲 山课件 w ww.5 Y
安徽省蚌埠市重点中学2015届九年级上学期月考数学试卷（12月份）
一．（本大题10小题，每小题3分，共30分）1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则sinA的值为（）&A．& &B．& &C．& &D．&
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的余弦值（）&&A．&扩大2倍&B．&缩小2倍&C．&扩大4倍&D．&不变
3．如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（）&&A．& &B．& &C．& &D．&
4．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若|sinA |+（cosB ）2=0，则∠C的度数是（）&A．&30°&B．&45°&C．&60°&D．&90°
5．如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1、S2，则（）&&A．&S1= S2&B．&S1= S2&C．&S1=S2&D．&S1= S2
6．如图，在Rt △ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点且AE：EB=4：1，EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于（）&&A．& &B．& &C．& &D．&
7．从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C处的俯角为45°，看到楼顶部点D处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD是（）&&A．&（6+6 ）米&B．&（6+3 ）米&C．&（6+2 ）米&D．&12米
8．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，连接BC、BD，下列结论中不一定正确的是（）&&A．&AE=BE&B．& = &C．&OE=DE&D．&∠DBC=90°
9．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（）&A．& cm&B．& cm&C．& cm或 cm&D．& cm或 cm
10．一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（）&&A．&10 海里/小时&B．&30海里/小时&C．&20 海里/小时&D．&30 海里/小时
二．题（共5小题，共20分）11．如图，已知A、B、C三点都在⊙O上，∠AOB=50°，∠ACB=°．&
12．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是．&
13．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，则直线y=x+ 与以O点为圆心， 为半径的圆的位置关系为．
14．规定：sin（x）=sinx，cos（x）=cosx，sin（x+y）=sinx•cosy+cosx•siny．据此判断下列等式成立的是（写出所有正确的序号）①cos（60°）= ；②sin75°= ；③sin2x=2sinx•cosx；④sin（xy）=sinx•cosycosx•siny．
15．射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心， cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值（单位：秒）&
三．解答题（共8小题，共70分）16．已知a是锐角，且sin（a+15°）= ，计算 4cosα（π3.14）0+tanα+ 的值．
17．如图，在山坡上植树，已知山坡的倾斜角α是20°，小明种植的两棵树间的坡面距离AB是6米，要求相邻两棵树间的水平距离AC在5.3～5.7米范围内，问小明种植的这两棵树是否符合这个要求？（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）&
18．如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E．（1）求证：△ADE∽△BCE；（2）如果AD2=AE•AC，求证：CD=CB．&
19．如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径．&
20．已知：如图，在△ABC中，AB=BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．（1）求证：AC与⊙O相切；（2）当BD=6，sinC= 时，求⊙O的半径．&
21．钓鱼岛自古就是中国的领土，中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测．一日，中国一艘海监船从A点沿正北方向巡航，其航线距钓鱼岛（设M，N为该岛的东西两端点）最近距离为12海里（即MC=12海里）．在A点测得岛屿的西端点M在点A的东北方向；航行4海里后到达B点，测得岛屿的东端点N在点B的北偏东60°方向，（其中N，M，C在同一条直线上），求钓鱼岛东西两端点MN之间的距离．&
22．学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sad A= ．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述对角的正对定义，解下列问题：（1）sad60°的值为（）A．&& B．1& C．& D．2（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是．（3）已知sinα= ，其中α为锐角，试求sadα的值．&
23．如图，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE= ，三点A、D、E 的坐标分别为A（3，0），D（1，0），E（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．&
安徽省蚌埠市重点中学2015届九年级上学期月考数学试卷（12月份）
一．（本大题10小题，每小题3分，共30分）1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则sinA的值为（）&A．& &B．& &C．& &D．&
考点：&锐角三角函数的定义；勾股定理． 分析：&首先画出图形，进而求出AB的长，再利用锐角三角函数求出即可．解答：&解：如图所示：∵∠C=90°，AC=12，BC=5，∴AB= = =13，则sinA= = ．故选：D．&点评：&此题主要考查了锐角三角函数关系以及勾股定理等知识，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键．
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的余弦值（）&&A．&扩大2倍&B．&缩小2倍&C．&扩大4倍&D．&不变
考点：&锐角三角函数的定义． 分析：&根据余弦为邻边比斜边，可得答案．解答：&解：在Rt△ABC中，∠C=90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的余弦值不变．故选：D．点评：&本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
3．如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（）&&A．& &B．& &C．& &D．&
考点：&锐角三角函数的定义；旋转的性质． 专题：&压轴题．分析：&过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的问题，转化为在Rt△BCD中求tanB．解答：&解：过C点作CD⊥AB，垂足为D．根据旋转性质可知，∠B′=∠B．在Rt△BCD中，tanB= = ，∴tanB′=tanB= ．故选B．&点评：&本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．
4．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若|sinA |+（cosB ）2=0，则∠C的度数是（）&A．&30°&B．&45°&C．&60°&D．&90°
考点：&特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理． 专题：&压轴题．分析 ：&根据绝对值及完全平方的非负性，可求出sinA、c osB的值，继而得出∠A、∠B的度数，利用三角形的内角和定理，可求出∠C的度数．解答：&解：∵∠A，∠B都是锐角，|sinA |+（cosB ）2=0，∴sinA= ，cosB= ，∴∠A=30°，∠B=60°，则∠C=180°30°60°=90°．故选D．点评：&本题考查了特殊角的三角函数值，三角形的内角和定理，属于基础题，一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容．
5．如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1、S2，则（）&&A．&S1= S2&B．&S1= S2&C．&S1=S2&D．&S1= S2
考点：&解直角三角形；三角形的面积． 专题：&．分析：&过A点作AG⊥BC于G，过D点作DH⊥EF于H．在Rt△ABG中，根据三角函数可求AG，在Rt△ABG中，根据三角函数可求DH，根据三角形面积公式可得S1，S2，依此即可作出选择．解答：&解：过A点作AG⊥BC于G，过D点作DH⊥EF于H．在Rt△ABG中，AG=AB•sin40°=5sin40°，∠DEH=180°140°=40°，在Rt△DHE中，DH=DE•sin40°=8sin40°，S1=8×5sin40°÷2=20sin40°，S2=5×8sin40°÷2=20sin40°．则S1=S2．故选：C．&点评：&本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，关键是作出高线构造直角三角形．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点且AE：EB=4：1，EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于（）&&A．& &B．& &C．& &D．&
考点：&锐角三角函数的定义． 分析：&tan∠CFB的值就是直角△BCF中，BC与CF的比值，设BC=x，则BC与CF就可以用x表示出来．就可以求解．解答：&解：根据题意：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∵EF⊥AC，∴EF∥BC，∴ ∵AE：EB=4：1，∴ =5，∴ = ，设AB=2x，则BC=x，AC= x．∴在Rt△CFB中有CF= x，BC=x．则tan∠CFB= = ．故选：C．点评：&本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．
7．从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C处的俯角为45°，看到楼顶部点D处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD是（）&&A．&（6+6 ）米&B．&（6+3 ）米&C．&（6+2 ）米&D．&12米
考点：&解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 专题：&几何图形问题．分析：&在Rt△ABC求出CB，在Rt△ABD中求出BD ，继而可求出CD．解答：&解：在Rt△ACB中，∠CAB=45°，AB⊥DC，AB=6米，∴BC=6米，在Rt△ABD中，∵tan∠BAD= ，∴BD=AB•tan∠BAD=6 米，∴DC=CB+BD=6+6 （米）．故选：A．点评：&本题考查仰角俯角的定义，要求学生能借助仰角俯角构造直角三角形并解直角三角形，难度一般．
8．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，连接BC、BD，下列结论中不一定正确的是（）&&A．&AE=BE&B．& = &C．&OE=DE&D．&∠DBC=90°考点：&垂径定理；圆周角定理． 分析：&根据垂径定理及圆周角定理对各选项进行逐一分析即可．解答：&解：∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，∴AE=BE， = ，故A、B正确；∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC=90°，故D正确．故选C．点评：&本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
9．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（）&A．& cm&B．& cm&C．& cm或 cm&D．& cm或 cm
考点：&垂径定理；勾股定理． 专题：&分类讨论．分析：&先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．解答：&解：连接AC，AO，∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM= AB= ×8=4cm，OD=OC=5cm，当C点位置如图1所示时，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，∴OM= = =3cm，∴CM=OC+OM=5+3=8cm，∴AC= = =4 cm；当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=53=2cm，在Rt△AMC中，AC= = =2 cm．故选：C．&点评：&本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
10．一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（）&&A．&10 海里/小时&B．&30海里/小时&C．&20 海里/小时&D．&30 海里/小时
考点：&解直角三角形的应用-方向角问题． 分析：&易得△ABC是直角三角形，利用三角函数的知识即可求得答案．解答：&解：∵∠CAB=10°+20°=30°，∠CBA=80°20°=60°，∴∠C=90°，∵AB=20海里，∴AC=AB•cos30°=10 （海里），∴救援船航行的速度为：10 ÷ =30 （海里/小时）．故选D．点评：&本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，根据方位角的定义得到图中方位角的度数是前提条件．
二．题（共5小题，共20分）11．如图，已知A、B、C三点都在⊙O上，∠AOB=50°，∠ACB=25°．&
考点：&圆周角定理． 专题：&．分析：&直接根据圆周角定理求解．解答：&解：∠ACB= ∠AOB= ×50°=25°．&故答案为：25．点评：&本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
12．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 ．&
考点：&三角形的外接圆与外心． 专题：&网格型．分析：&根据题意得出△ABC的外接圆的圆心位置，进而利用勾股定理得出能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径．解答：&解：如图所示：点O为△ABC外接圆圆心，则AO为外接圆半径，故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是： ．故答案为： ．&点评：&此题主要考查了三角形的外接圆与外心，得出外接圆圆心位置是解题关键．
13．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，则直线y=x+ 与以O点为圆心， 为 半径的圆的位置关系为相交．
考点：&直线与圆的位置关系；一次函数的性质． 分析：& 先求出直线与坐标轴的交点，根据勾股定理求出AB的长，过点O作OD⊥AB于点D，再根据三角形的面积公式即可得出结论．解答：&解：如图所示，∵令x=0，则y= ；令y=0，则x= ，∴A（ ，0），B（0， ），∴AB= =2．过点O作OD⊥AB于点D，则OD= = =1．∵1＜ ，∴直线与圆相交．故答案为：相交．&点评：&本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知直线与圆相交的条件是解答此题的关键．
14．规定：sin（x）=sinx，cos（x）=cosx，sin（x+y）=sinx•cosy+cosx•siny ．据此判断下列等式成立的是②③④（写出所有正确的序号）①cos（60°）= ；②sin75°= ；③sin2x=2sinx•cosx；④sin（xy）=sinx•cosycosx•siny．
考点：&锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值． 专题：&新定义．分析：&根据已知中的定义以及特殊角的三角函数值即可判断．解答：&解：①cos（60°）=cos60°= ，命题错误；②sin75°=sin（30°+45°）=sin30°•cos45°+cos30°•sin45°= × + × = + = ，命题正确；③sin2x=sinx•cosx+cosx•sinx=2sinx•cosx，命题正确；④sin（xy）=sinx•cos（y）+cosx•sin（y）=sinx•cosycosx•siny，命题正确．故答案为：②③④．点评：&本题考查锐角三角函数以及特殊角的三角函数值，正确理解三角函数的定义是关键．
15．射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心， cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值t=2或3≤t≤7或t=8（单位：秒）&
考点：&切线的性质；等边三角形的性质． 专题：&压轴题；分类讨论．分析：&求出AB=AC=BC=4cm，MN= AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°，分为三种情况：画出图形，结合图形求出即可；解答：&解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=AM+MB=4cm，∠A=∠C=∠B=60°，∵QN∥AC，AM=BM．∴N为BC中点，∴MN= AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°，分为三种情况：①如图1，&当⊙P切AB于M′时，连接PM′，则PM′= cm，∠PM′M=90°，∵∠PMM′=∠BMN=60°，∴M′M=1cm，PM=2MM′=2cm，∴QP=4cm2cm=2cm，即t=2；
②如图2，当⊙P于AC切于A点时，连接PA，则∠CAP=∠APM=90°，∠PMA=∠BMN=60°，AP= cm，∴PM=1cm，∴QP=4cm1cm=3cm，即t=3，当⊙P于AC切于C点时，连接P′C，则∠CP′N=∠ACP′=90°，∠P′NC=∠BNM=60°，CP′= cm，∴P′N=1cm，∴QP=4cm+2cm+1cm=7cm，即当3≤t≤7时，⊙P和AC边相切；
③如图3，&当⊙P切BC于N′时，连接PN′则PN′= cm，∠PN′N=90°，∵∠PNN′=∠BNM=60°，∴N′N=1cm，PN=2NN′=2cm，∴QP=4cm+2cm+2cm=8cm，即t=8；注意：由于对称性可知，当P点运动到AB右侧时也存在⊙P切AB，此时PM也是为2，即P点为N点，同理可得P点在M点时，⊙P切BC．这两点都在第二种情况运动时间内．故答案为：t=2或3≤t≤7或t=8．&点评：&本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，切线的性质的应用，主要考查学生综合运用定理进行计算的能力，注意要进行分类讨论啊．
三．解答题（共8小题，共70分）16．已知a是锐角，且sin（a+15°）= ，计算 4cosα（π3.14）0+tanα+ 的值．
考点：&特殊角的三角函数值；零指数幂；负整数指数幂． 专题：&计算题．分析：&根据特殊角的三角函数值得出α，然后利用二次根式、特殊角的三角函数值、零指数幂、负指数幂的性质进行化简，根据实数运算法则即可计算出结果．解答：&解：∵sin60°= ，∴α+15°=60°，∴α=45°，∴原式=2 4× 1+1+3=3．点评：&本题主要考查了二次根式、特殊角的三角函数值、零指数幂、负指数幂的性质及实数运算法则，难度适中．
17．如图，在山坡上植树，已知山坡的倾斜角α是20°，小明种植的两棵树间的坡面距离AB是6米，要求相邻两棵树间的水平距离AC在5.3～5.7米范围内，问小明种植的这两棵树是否符合这个要求？（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）&
考点：&解直角三角形的应用-坡度 坡角问题． 专题：&几何图形问题．分析：&在直角三角形中利用20°角和AB的长求得线段AC的长后看是否在5.35.7范围内即可．解答：&解：由题意得：Rt△ACB中，AB=6米，∠A=20°，∴AC=AB•cos∠A≈6×0.94=5.64，∴在5.3～5.7米范围内，故符合要求．点评：&本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是弄清题意，并整理出直角三角形．
18．如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E．（1）求证：△ADE∽△BCE；（2）如果AD2=AE•AC，求证：CD=CB．&
考点：&圆周角定理；相似三角形的判定与性质． 专题：&证明题．分析：&（1）由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠A=∠B，又由对顶角相等，可证得：△ADE∽△BCE；（2）由AD2=AE•AC，可得 ，又由∠A是公共角，可证得△ADE∽△ACD，又由AC是⊙O的直径，以求得AC⊥BD，由垂径定理即可证得CD=CB．解答：&证明：（1）如图，∵∠A与∠B是 对的圆周角，∴∠A=∠B，又∵∠1=∠2，∴△ADE∽△BCE；
（2）如图，∵AD2=AE•AC，∴ ，又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD，∴∠AED=∠ADC，又∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，&即∠AED=90°，∴直径AC⊥BD，∴ = ，∴CD=CB．&&点评：&此题考查了圆周角定理、垂径定理一相似三角形的判定与性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．
19．如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径．&
考点：&垂径定理的应用；勾股定理；相似三角形的应用． 分析：&根据已知得出旗杆高度，进而得出GM=MH，再利用勾股定理求出半径即可．解答：&解：∵小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，∴8米高旗杆DE的影子为：12m，∵测得EG的长为3米，HF的长为1米，∴GH=1231=8（m），∴GM=MH=4m．如图，设小桥的圆心为O，连接OM、OG．设小桥所在圆的半径为r，∵MN=2m，∴OM=（r2）m．在Rt△OGM中，由勾股定理得：∴OG2=OM2+42，∴r2=（r2）2+16，解得：r=5，答：小桥所在圆的半径为5m．&点评：&此题主要考查了垂径定理以及勾股定理的应用，根据已知得出关于r的等式是解题关键．
20．已知：如图，在△ABC中，AB=BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．（1）求证：AC与⊙O相切；（2）当BD=6，sinC= 时，求⊙O的半径．&
考点：&切线的判定与性质；等腰三角形的性质；解直角三角形． 专题：&几何综合题；压轴题．分析：&（1）连接OE，根据等腰三角形性质求出BD⊥AC，推出∠ABE=∠DBE和∠OBE=∠OEB，得出∠OEB=∠DBE，推出OE∥BD，得出OE⊥AC，根据切线的判定定理推出即可；（2）根据sinC= 求出AB=BC=10，设⊙O 的半径为r，则AO=10r，得出sinA=sinC= ，根据OE⊥AC，得出sinA= = = ，即可求出半径．解答：&（1）证明：连接OE，∵AB=BC且D是AC中点，∴BD⊥AC，∵BE平分∠ABD，∴∠ABE=∠DBE，∵OB=OE∴∠OBE=∠OEB，∴∠OEB=∠DBE，∴OE∥BD，∵BD⊥AC，∴OE⊥AC，∵OE为⊙O半径，∴AC与⊙O相切．
（2）解：∵BD=6，sinC= ，BD⊥AC，∴BC=10，∴AB=BC=10，设⊙O 的半径为r，则AO=10r，∵AB=BC，∴∠C=∠A，∴sinA=sinC= ，∵AC与⊙O相切于点E，∴OE⊥AC，∴sinA= = = ，∴r= ，答：⊙O的半径是 ．&点评：&本题考查了平行线的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，解直角三角形，切线的性质和判定的应用，解（1）小题的关键是求出OE∥BD，解（2）小题的关键是得出关于r的方程，题型较好，难度适中，用了方程思想．21．钓鱼岛自古就是中国的领土，中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测．一日，中国一艘海监船从A点沿正北方向巡航，其航线距钓鱼岛（设M，N为该岛的东西两端点）最近距离为12海里（即MC=12海里）．在A点测得岛屿的西端点M在点A的东北方向；航行4海里后到达B点，测得岛屿的东端点N在点B的北偏东60°方向，（其中N，M，C在同一条直线上），求钓鱼岛东西两端点MN之间的距离．&
考点：&解直角三角形的应用-方向角问题． 专题：&压轴题．分析：&在直角△ACM，∠CAM=45°，则△ACM是等腰直角三角形，即可求得AC的长，则BC可以求得，然后在直角△BCN中，利用三角函数求得AN，根据MN=CNCM即可求解．解答：&解：在直角△ACM，∠CAM=45度，则△ACM是等腰直角三角形，则AC=CM=12（海里），∴BC=ACAB=124=8（海里），直角△BCN中，CN=BC•tan∠CBN= BC=8 （海里），∴MN=CNCM=8 12（海里）．答：钓鱼岛东西两端点MN之间的距离是（8 12）海里．点评：&本题考查了三角函数，正确求得BC的长度是关键．
22．学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sad A= ．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述对角的正对定义，解下列问题：（1）sad60°的值为（）A．&& B．1& C．& D．2（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对 值sadA的取值范围是0＜sadA＜2．（3）已知sinα= ，其中α为锐角，试求sadα的值．&
考点：&锐角三角函数的定义；勾股定理． 专题：&综合题；型；新定义．分析：&（1）根据等腰三角形的性质，求出底角的度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对的定义解答；（2）求出0度和180度时等腰三角形底和腰的比即可；（3）作出直角△ABC，构造等腰三角形ACD，根据正对的定义解答．解答：&解：（1）根据正对定义，当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，则三角形为等边三角形，则sad60°= =1．故选B．
（2）当∠A接近0°时，sadα接近0，当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadα接近2．于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2．故答案为0＜sadA＜2．
（3）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，sin∠A= ．在AB上取点D，使AD=AC，作DH⊥AC，H为垂足，令BC=3k，AB=5k，&则AD=AC= =4k，又∵在△ADH中，∠AHD=90°，sin∠A= ．∴DH=ADsin∠A= k，AH= = k．则在△CDH中，CH=ACAH= k，CD= = k．于是在△ACD中，AD=AC=4k，CD= k．由正对的定义可得：sadA= = ，即sadα= ．&点评：&此题是一道新定义的题目，考查了正对这一新内容，要熟悉三角函数的定义，可进行类比解答．
23．如图，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE= ，三点A、D、E 的坐标分别为A（3，0），D（1，0），E（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形 与△ABE相似？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．&
考点：&二次函数综合题． 分析：&（1）已知A、D、E三点的坐标，利用待定系数法可确定抛物线的解析式，进而能得到顶点B的坐标．（2）过B作BM⊥y轴于M，由A、B、E三点坐标，可判断出△BME、△AOE都为等腰直角三角形，易证得∠BEA=90°，即△ABE是直角三角形，而AB是△ABE外接圆的直径，因此只需证明AB与CB垂直即可．BE、AE长易得，能求出tan∠BAE的值，结合tan∠CBE的值，可得到∠CBE=∠BAE，由此证得∠CBA=∠CBE+∠ABE=∠BAE+∠ABE=90°，此题得证．（3）△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE= ，即AE=3BE，若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，那么该三角形必须满足两个条件：①有一个角是直角、②两直角边满足1：3的比例关系；然后分情况进行求解即可．解答：&（1）解：由题意，设抛物线解析式为y=a（x3）（x+1）．将E（0，3）代入上式，解得：a=1．∴y=x2+2x+3．则点B（1，4）．
（2）证明：如图1，过点B作BM⊥y于点M，则M（0，4）．在Rt△AOE中，OA=OE=3，∴∠1=∠2=45°，AE= =3 在Rt△EMB中，EM=OMOE=1=BM，∴∠MEB=∠MBE=45°，BE= = ∴∠BEA=180°∠1∠MEB=90°．∴AB是△ABE外接圆的直径．在Rt△ABE中，tan∠BA E= = =tan∠CBE，∴∠BAE=∠CBE．在Rt△ABE中，∠BAE+∠3=90°，∴∠CBE+∠3=90°．∴∠CBA=90°，即CB⊥AB．∴CB是△ABE 外接圆的切线．
（3）解：Rt△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE= ，sin∠BAE= ，cos∠BAE= ；若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则△DEP必为直角三角形；①DE为斜边时，P1在x轴上，此时P1与O重合；由D（1，0）、E（0，3），得OD=1、OE=3，即tan∠DEO= =tan∠BAE，即∠DEO=∠BAE满足△DEO∽△BAE的条件，因此 O点是符合条件的P1点，坐标为（0，0）．②DE为短直角边时，P2在x轴上；若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则∠DEP2=∠AEB=90°，sin∠DP2E=sin∠BAE= ；而DE= = ，则DP2=DE÷sin∠DP2E= ÷ =10，OP2=DP2OD=9即：P2（9，0）；③DE为长直角边时，点P3在y轴上；若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则∠EDP3=∠AEB=90°，cos∠DEP3=cos∠BA E= ；则EP3=DE÷cos∠DEP3= ÷ = ，OP3=EP3OE= ；综上，得：P1（0，0），P2（9，0），P3（0， ）．&点评：&该题考查了二次函数的综合题，涉及到二次函数解析式的确定、切线的判定、相似三角形的判定、图形面积的解法等重点知识，综合性强，难度系数较大．此题的难点在于第三小题，它需要分情况进行讨论，容易出现漏解的情况．在 解答动点类的函数问题时，一定不要遗漏对应的自变量取值范围． 文章来源莲 山课件 w ww.5 Y
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