（2012o扬州）如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA=2，OC=1，矩形对角线AC、OB相交于E，过点E的直线与边OA、BC分别相交于点G、H．（1）①直接写出点E的坐标：（1，）．②求证：AG=CH．（2）如图2，以O为圆心，OC为半径的圆弧交OA与D，若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F，求直线GH的函数关系式．（3）在（2）的结论下，梯形ABHG的内部有一点P，当⊙P与HG、GA、AB都相切时，求⊙P的半径．
（1）①解：E的坐标是：（1，），故答案为：（1，）；②证明：∵矩形OABC，∴CE=AE，BC∥OA，∴∠HCE=∠EAG，∵在△CHE和△AGE中，∴△CHE≌△AGE，∴AG=CH．（2）解：如图2，连接DE并延长DE交CB于M，连接AC，∵DO=OC=1=OA，∴D是OA的中点，∵BC∥OA，∴∠MCE=∠DAE，∵在△CME和△ADE中，∴△CME≌△ADE，∴CM=AD=2-1=1，∵BC∥OA，∠COD=90°，∴四边形CMDO是矩形，∴MD⊥OD，MD⊥CB，∴MD切⊙O于D，∵HG切⊙O于F，E（1，），∴可设CH=HF=x，FE=ED==MD，在Rt△MHE中，有MH2+ME2=HE2，即（1-x）2+（）2=（+x）2，解得x=，∴H（，1），OG=2-=，又∵G（，0），设直线GH的解析式是：y=kx+b，把G、H的坐标代入得：k+b=0，且1=k+b，解得：k=-，b=，∴直线GH的函数关系式为y=-x+．（3）解：如备用图3，连接BG，过P做PN⊥GA，垂足为N，∵在△OCH和△BAG中，∴△OCH≌△BAG，∴∠CHO=∠AGB，∵∠HCO=90°，∴HC切⊙O于C，HG切⊙O于F，∴OH平分∠CHF，∴∠CHO=∠FHO=∠BGA，∵四边形OCBA是矩形，∴BC∥OA，BC=OA，∵CH=AG（已证），∴BH=OG，BH∥OG，∴四边形BHOG是平行四边形，∴OH∥BG，∴∠OHE=∠BGE，∵∠CHO=∠FHO=∠BGA∴∠BGA=∠BGE，即BG平分∠FGA，∵⊙P与HG、GA、AB都相切，∴圆心P必在BG上（和∠HGA的两边都相切的圆的圆心在∠HGA的角平分线上，即在GB上），∴△GPN∽△GBA，∴，设半径为r，=，解得：r=，答：⊙P的半径是．（1）①根据矩形的性质和边长即可求出E的坐标；②推出CE=AE，BC∥OA，推出∠HCE=∠EAG，证出△CHE≌△AGE即可；（2）连接DE并延长DE交CB于M，求出DO=OC=OA，证△CME≌△ADE，求出CM=AD=1，推出四边形CMDO是矩形，求出MD切⊙O于D，设CH=HF=x，推出（1-x）2+（）2=（+x）2，求出H、G的坐标，设直线GH的解析式是y=kx+b，把G、H的坐标代入求出即可；（3）连接BG，证△OCH≌△BAG，求出∠CHO=∠AGB，证△HOE≌△GBE，求出∠OHE=∠BGE，得出BG平分∠FGA，推出圆心P必在BG上，过P做PN⊥GA，垂足为N，根据△GPN∽△GBA，得出，设半径为r，代入求出即可． 上传我的文档
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20. (2009山西省太原市)如图,是边上一点,.
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20. (2009山西省太原市)如图,是边上一点,.
官方公共微信（1）证明：
∵四边形ABCO为矩形，且由折叠的性质可知△BCE≌△BDE，
∴∠BDE=∠BCE=90°，
∵∠BAD=90°，
∴∠EDO+∠BDA=∠BDA+∠DAB=90°，
∴∠EDO=∠DBA，且∠EOD=∠BAD=90°，
∴△ABD∽△ODE；
（2）证明：
∴设OD=4x，OE=3x，则DE=5x，
∴CE=DE=5x，
∴AB=OC=CE+OE=8x，
又∵△ABD∽△ODE，
∴BC=OA=10x，
在Rt△BCE中，由勾股定理可得BE2=BC2+CE2，即（5）2=（10x）2+（5x）2，解得x=1，
∴OE=3，OD=4，DA=6，AB=8，OA=10，
∴抛物线解析式为y=x2+x+3，
当x=10时，代入可得y=，
∴AF=，BF=ABAF=8=，
在Rt△AFD中，由勾股定理可得DF===，
又M为Rt△BDE斜边上的中点
∴MF为线段BD的垂直平分线，
∴MF⊥BD；
由（2）可知抛物线解析式为y=x2+x+3，设抛物线与x轴的两个交点为M、N，
令y=0，可得0=x2+x+3，解得x=4或x=12，
∴M（4，0），N（12，0），
过D作DG⊥BC于点G，如图所示，
则DG=DM=DN=8，
∴点M、N即为满足条件的Q点，
∴存在满足条件的Q点，其坐标为（4，0）或（12，0）．
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请输入姓名
请输入手机号本题难度：0.45&&题型：综合题
已知：如图，正方形OABC的边长为4单位上，OA边在x轴上，OC边在y轴上，点D是x轴上一点，坐标为（1，0），点E为OC的中点，连接BD、BE、DE．（1）点B的坐标为&&&&．（2）判断△BDE的形状，并证明你的结论；（3）点M为x轴上一个动点，当∠MBD=45°时，请你直接写出点M的坐标．
来源：学年江苏省扬州市邗江区八年级（上）期末数学试卷 | 【考点】一次函数综合题．
已知：如图，点O是平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（0，-4），点B为x轴上一动点，以线段AB为边作正方形ABCD（按逆时针方向标记），正方形ABCD随着点B的运动会出现三种不同图形．点E为y轴的正半轴与正方形ABCD某一边的交点，设点B的坐标为（t，0），线段OE的长度为m．（1）请分别填写图1、2、3中t的取值范围：图1（&&&&）&&图2（&&&&）&&图3（&&&&）；（2）当t=3时，点C的坐标为&&&&；（直接填写答案，不要写计算过程）（3）当t＞0时，求m与t之间的函数关系式；（4）是否存在t，使点M（-2，2）落在正方形ABCD的边上？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
已知：如图，正方形OABC的一个顶点为C（0，3）．写出点O、B的坐标．
已知：如图，正方形ABCD中，O是BD的中点，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G，连接OG．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）OG与BF有怎样的位置关系？证明你的结论．（3）若CE=1，求正方形ABCD的面积．
已知：如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F，OD到点E，使OF=2OA，OE=2OD，连结EF，将△FOE绕点O逆时针旋转α角得到△F′OE′（如图2）．（1）证明AE′=BF′；（2）当α=30°时，求证：△AOE′为直角三角形．
已知长直通电导线在其周围某点产生磁场的磁感应强度与该导线中的电流成正比，与该点到导线的距离成反比．图中a、b、c、d为四根与纸面垂直的长直导线，其横截面位于正方形的四个顶点上，导线中通有大小相同的电流，方向如图所示．则关于a、b、c、d长直通电导体棒在O点产生合磁场的方向可能是（　　）
A、由O点指向Oa方向B、由O点指向Ob方向C、由O点指向Oc方向D、由O点指向Od方向
解析与答案
（揭秘难题真相，上）
习题“已知：如图，正方形OABC的边长为4单位上，OA边在x轴上，OC边在y轴上，点D是x轴上一点，坐标为（1，0），点E为OC的中点，连接BD、BE、DE．（1）点B的坐标为．（2）判断△BDE的形状，并证明你的结论；（3）点M为x轴上一个动点，当∠MBD=45°时，请你直接写出点M的坐标．”的学库宝（/）教师分析与解答如下所示：
【分析】（1）利用正方形的性质得到BC=BA然后利用第一象限点的坐标特征写出B点坐标（2）先利用勾股定理分别计算出DE、BE、BD然后利用勾股定理的逆定理可证明△BDE为直角三角形（3）连结BO根据正方形的性质得BO=2OA=42∠BOA=45°分类讨论：当点M在点D右侧如图1先证明△MBD∽△MOB利用相似比可得到MB2=MOoMD=MA2+7MA+12而由勾股定理得到MB2=AB2+AM2所以MA2+7MA+12=AB2+AM2=42+AM2解方程得到AM=47则此时M点坐标为（3270）当点M在点D左侧如图2证明△DOB∽△DBM利用相似比可计算出DM从而可确定此时M点的坐标．
【解答】解：（1）∵正方形ABCO的边长为4∴BC=BA=4∴B点坐标为（44）故答案为（44）（2）△BDE为直角三角形．理由如下：∵D（10）点E为OC的中点∴OE=CE=2OD=1∴AD=3∴DE2=OD2+OE2=1+4=5BE2=CE2+BE2=4+16=20DB2=AD2+AB2=9+16=25∵5+20=25∴DE2+BE2=DB2∴△BDE为直角三角形∠BED=90°（3）连结BO∵正方形ABCO的边长为4∴BO=2OA=42∠BOA=45°当点M在点D右侧如图1∵∠MBD=∠BOM=45°∠DMB=∠OBM∴△MBD∽△MOB∴MB：MO=MD：MB即MB2=MOoMD∴MB2=（MA+4）（MA+3）=MA2+7MA+12而MB2=AB2+AM2∴MA2+7MA+12=AB2+AM2=42+AM2∴AM=47∴OM=4+47=327∴M点坐标为（3270）当点M在点D左侧如图2∵∠MBD=∠BOD=45°∠ODB=∠BDM∴△DOB∽△DBM∴OD：BD=BD：DM即1：5=5：DM∴DM=25∴MO=MD-OD=25-1=24∴M点坐标为（-240）综上所述M点的坐标为（-240）或（3270）．
【考点】一次函数综合题．
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知识点讲解
经过分析，习题“已知：如图，正方形OABC的边长为4单位上，OA边在x轴上，”主要考察你对
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
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