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复数的三角形式·教案示例目的要求1．掌握复数的三角形式、模、辐角和辐角主值等概念；2．能正确、熟练地进行复数代数形式与三角形式的互化．内容分析1．在已学过复数的代数形式的情况下，学习其三角形式，一方面可以多角度、全方位地认识复数；另一方面，有了复数的三角形式，使得复数的乘法、除法运算有了第二种形式，进而可以简单地进行乘方、开方运算．本小节是这一大节内容的基础与关键．2．本小节的重点是复数三角形式的有关概念——模、辐角和辐角主值、复数代数形式与三角形式的互化．3．与代数形式中有序实数对(a，b)确定复数a＋bi一样，复数的三角形式实质上是用一个有序实数对(r，θ)来确定一个复数r(cosθ＋isinθ)．此式即为三角形式．要准确地掌握它，必须注意其下述三个特征：①模r≥0；②z的实部是rcosθ，虚部是rsinθ；③它们分别是同一个角θ的余弦与正弦，cosθ与isinθ之间用加号连接．4．由定义可知，一个复数的辐角Argz有无穷多个，而辐角主值argz是其中[0，2π)内的值，有且只有一个．因此，辐角与辐角主值的关系是Argz＝argz＋2kπ(k∈Z)．几类特殊复数的辐角主值，一定要在理解的基础上记熟．即当a为正实数时，有0的辐角是任意的．5．从三角形式看，两个非零复数相等的充分必要条件是模相等，且辐角相差2π的整&/PGN0232B.TXT/PGN&数倍(或辐角主值相等)．6．复数两种形式的互化．(1)将三角形式化为代数形式，只要注意到前述三角形式的特征②，可以得到实部a＝rcosθ，虚部b＝rsinθ，再将复数写成代数形式a＋bi．由于这种转化较容易掌握，教科书中没有安排例题，只在练习中安排了一题，而且辐角是特殊角，教学中必须增加习题．(2)将代数形式化为三角形式，其步骤是：二、求辐角θ；三、将复数写成三角形式r(cosθ＋isinθ)．其中辐角不一定要取主值，它的求法主要有以下两种：＋kπ，k∈Z)，以及复数相对应的点在哪一象限，由“已知三角函数值求角”的知识可得．②利用描点作图、数形结合，还可以结合平面几何知识．另外还要注意一些含有正弦、余弦或正切的代数形式，将它们转化为三角形式时要利用同角三角函数关系式或三角诱导公式，如：r＞0时，有z＝r(cosθ－isinθ)＝r[cos(－θ)＋isin(－θ)]z＝－r(cosθ＋isinθ)＝r[cos(π＋θ)＋isin(π＋θ)]z＝r(－cosθ＋isinθ)＝r[cos(π－θ)＋isin(π－θ)]将复数的代数形式化为三角形式是本小节和本大节的难点，教学时要让学生充分地理解三角形式的三大特征，熟练掌握辐角的求法，否则会给学习后续内容带来困难，所以一定要让学生多做些基本的练习，切实掌握基本方法．教学过程1．复习引入(1)复数z＝a＋bi由一个有序实数对(a，b)唯一确定．(2)复数z与复平面内的点Z、平面向量的对应关系．2．提出问题(作出下图)复数z＝a＋bi除了由向量在两坐标轴方向上的投影a、b来确定外，是否可以由其他元素来确定？根据学生的回答，利用平面向量有关知识，分析出可以由复数的模即向量的模和复平面内以x轴的非负半轴为始边、向量所在射线为终边的角θ唯一确定．若学生回答中角θ是“锐角∠AOZ”或“向量与x轴(正常轴)的夹角”，则要改变点Z所在象限，指出它们的不完善性，从而避免学生对辐角产生误解．3．导入、讲解新课(1)复数辐角的定义．如前所述讲解定义任一非零复数的辐角都有无限多个值，这些值相差2π的整数倍．(可对学生提问，学生根据三角函数知识作出回答)(2)复数辐角主值的定义提出问题一：任一非零复数的辐角适合于0≤θ＜2π的有几个？得出辐角主值的定义及其符号argz．提出问题二：两个非零复数相等的充分必要条件是它们的模与辐角分别相等吗？是它们的模与辐角主值分别相等吗？由复数辐角和辐角主值的定义，得出结论：两个非零复数相等的充分必要条件是它们的模相等，辐角主值相等(或辐角相差2π的整数倍)．(3)复数0的辐角复数z＝0与复平面的原点O、零向量对应．由于零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的，其辐角主值是[0，2π)内任意的角．(4)复数的三角形式提出问题：有序实数对(r，θ)唯一确定一个复数，如何用r和θ表示出所确定的这个复数？&/PGN0234A.TXT/PGN&由前述图象，得出复数的实部a＝rcosθ，虚部b＝rsinθ，所以该复数为rcosθ＋irsinθ，即r(cosθ＋isinθ)．此形式就叫做复数的三角形式．讲解复数三角形式的三个特征．判断下列各式是不是复数的三角形式：4．两种形式的互化方法及应用举例(1)三角形式化为代数形式．(2)代数形式化为三角形式．讲解其三个步骤及辐角求法．(3)讲评例1、例2和例3．讲完例2
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复数三角形式的乘法
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你可能喜欢复数的三角形式及乘除运算；一、主要内容:；复数的三角形式，模与辐角的概念及几何意义，用三角；二、学习要求:；1．熟练进行复数的代数形式与三角形式的互化，会求；2．深刻理解复数三角形式的结构特征，熟练运用有关；3．能够利用复数模及辐角主值的几何意义求它们的范；4．利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算，并能根；5．注意多种解题方法的灵活运用，体会数形结合、分；三
复数的三角形式及乘除运算
一、主要内容:
复数的三角形式，模与辐角的概念及几何意义，用三角形式进行复数乘除运算及几何意义.
二、学习要求:
1．熟练进行复数的代数形式与三角形式的互化，会求复数的模、辐角及辐角主值.
2．深刻理解复数三角形式的结构特征，熟练运用有关三角公式化复数为三角形式.
3．能够利用复数模及辐角主值的几何意义求它们的范围（最值）.
4．利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算，并能根据乘除运算的几何意义解决相关问题.
5．注意多种解题方法的灵活运用，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法.
复数的代数形式向三角形式的转换，复数模及复数乘除运算几何意义的综合运用.
四、学习建议:
1．复数的三角形式是彻底解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁，相比之下，代数形式在这些方面显得有点力不从心，因此，做好代数形式向三角形式的转化是非常有必要的.
前面已经学习过了复数的另两种表示.一是代数表示，即Z=a+bi(a,b∈R).二是几何表示，复数Z既可以用复平面上的点Z(a,b)表示，也可以用复平面上的向量来表示.现在需要学习复数的三角表示.既用复数Z的模和辐角来表示，设其模为r，辐角为θ，则Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0).
既然这三种方式都可以表示同一个复数，它们之间一定有内在的联系并能够进行互化.
代数形式r=三角形式
Z=a+bi(a,b∈
R) Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0)
复数三角形式的结构特征是:模非负，角相同，余弦前，加号连.否则不是三角形式.三角形式中θ应是复数Z的一个辐角，不一定是辐角主值.
例1．下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式:
(1) Z1=-2(cosθ+isinθ)
(2) Z2=cosθ-isinθ
(3) Z3=-sinθ+icosθ
(4) Z4=-sinθ-icosθ
(5) Z5=cos60°+isin30°
分析:由三角形式的结构特征，确定判断的依据和变形的方向.变形时，可按照如下步骤进行:首先确定复数Z对应点所在象限（此处可假定θ为锐角），其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角.此步骤可简称为“定点→定名→定角”.这样，使变形的方向更具操作性，能有效提高解决此类问题的正确率.
解:（1）由“模非负”知，不是三角形式，需做变换:Z1=Z(-cosθ-isinθ)
复平面上Z1(-2cosθ,-2sinθ)在第三象限（假定θ为锐角），余弦“-cosθ”已在前，不需再变换三角函数名称，因此可用诱导公式“π+θ”将θ变换到第三象限.∴Z1=Z(-cosθ-isinθ)=2[cos(π+θ)+isin(π+θ)]
（2）由“加号连”知，不是三角形式
复平面上点Z2(cosθ,-sinθ)在第四象限（假定θ为锐角），不需改变三角函数名称，可用诱导公式 “2π-θ”或“-θ”将θ变换到第四象限.
∴ Z2=cosθ-isinθ=cos(-θ)+isin(-θ)或Z2=cosθ-isinθ=cos(2π-θ)+isin(2π-θ)
考虑到复数辐角的不唯一性，复数的三角形式也不唯一.
（3）由“余弦前”知，不是三角形式
复平面上点Z3(-sinθ,cosθ)在第二象限（假定θ为锐角），需改变三角函数名称，可用诱导公式
+θ”将θ变换到第二象限.
∴Z3(-sinθ,cosθ)=cos(+θ)+isin(+θ)
同理（4）Z4=-sinθ-icosθ=cos(π-θ)+isin(π-θ)
（5）Z5=cos60°+isin30°
=+i=(1+i)=?(cos+isin)=(cos+isin)
小结:对这类与三角形式很相似的式子，如何将之变换为三角形式，对于初学者来讲是个难点.有了“定点→定名→定角”这样一个可操作的步骤，应能够很好地解决此类问题.
例2．求复数Z=1+cosθ+isinθ(π&θ&2π)的模与辐角主值.
分析:式子中多3个“1”，只有将“1”消去，才能更接近三角形式，因此可利用三角公式消“1”.
解:Z=1+cosθ+isinθ=1+(2cos2-1)+2i?sincos=2cos(cos+isin)........(1)
∵ π&θ&2π ∴
&&π, ∴cos&0
∴(1)式右端=-2cos (-cos
-isin)=-2cos[cos(π+)]+isin(π+)]
∴ r=-2cos, ArgZ=π++2kπ(k∈Z)
π&π+&2π， ∴argZ=π+.
小结:（1）式右端从形式上看似乎就是三角形式.不少同学认为r=2cos, argZ=或ArgZ=
错误之处在于他们没有去考虑θ角范围，因此一定要用“模非负，角相同，余弦前，加号连”来判断是否为三角形式.看了这道例题，你一定能解决如Z1=1-cosθ+isinθ(π&θ&2π) ，Z2=1+cosθ-isinθ(π&θ&2π)等类似问题.
例3．将Z=(π&θ&3π)化为三角形式，并求其辐角主值.
分析:三角形中只有正余弦，因此首先想到“化切为弦”.下一步当然是要分母实数化，再向三角形式转化.
====cos2θ+isin2θ
π&θ&3π, ∴&2θ&6π,
∴π&2θ-4π&2π，∴ argZ=2θ-4π
小结:掌握三角变形是解决这类问题的根本.但在此之前的解题方向一定要明确，即要分析式子结构.比较其与三角形式的异同，从而决定变形的方向，采用正确的方法.要求学生做好每道例题后的反思，并能由此及彼，举一反三，达到熟练解决一类问题的目的，如1-itgθ, tgθ+i, i-ctgθ等.
2．复数Z的模|Z|的几何意义是:复平面上点Z到原点距离，复数模|Z1-Z2|的几何意义是:复平面上两点Z1，Z2之间距离.辐角几何意义是:以x轴正半轴为角始边，以向量所在射线为终边的角记为ArgZ.在[0，2π)范围内的辐角称辐角主值，记为argZ.
要求学生不仅要理解以上所说各几何意义，还要运用几何意义去解决相关问题.
例4．若Z∈c，|Z-2|≤1，求｜Ｚ｜的最大，最小值和argZ范围.
解:法一，数形结合
由|Z-2|≤1，知Ｚ的轨迹为复平面上以（2，0）为圆心，1为半径的圆面（包括圆周），
|Z|表示圆面上任一点到原点的距离.
显然1≤|Z|≤3, ∴|Z|max=3, |Z|min=1,
另设圆的两条切线为OA，OB，A，B为切点，由|CA|=1，|OC|=2知
∠AOC=∠BOC=，∴argZ∈[0,]∪[π,2π)
法二:用代数形式求解|Z|的最大，最小值，设Z=x+yi(x,y∈R)
则由|Z-2|≤1得(x-2)2+y2≤1,
∵ (x-2)2+y2≤1, ∴(x-2)2≤1, ∴-1≤x-2≤1, ∴1≤x≤3,
∴ 1≤4x-3≤9, ∴1≤|Z|≤3.
小结:在一题多解的基础上，分析比较各种方法的异同，如何做好方法的选择.各种方法的本质和优势，通过分析与比较都一目了然.
例5．复数Z满足arg(Z+3)=π,求|z+6|+|z-3i|最小值.
分析:由两个复数模的和取最小值，联想到一个点到两个定点距离和的最小
值，将之转化为几何问题来解决应比较简便.
解法一:由arg(Z+3)=π,知Z+3的轨迹是一条射线OA，∠xOA=π,而
|Z+6|+|Z-3i|=|(z+3)-(-3)|+|(Z+3)-(3+3i)|
将B(-3,0)与C(3,3)连结，BC连线与OA交点为D，取Z+3为D点，表示复数时，
|Z+6|+|Z-3i|=|BD|+|DC|=|BC|=3, ∴ 所求最小值=3.
法二:由arg(Z+3)=π, 知Z+3的轨迹是射线OA，则Z轨迹应是平行于OA，
P(-6,0)和点Q(0,3)距离之和，连且过点（-3，0）的射线BM，
∴ |Z+6|+|Z-3i|就表示射线BM上点到点
结PQ与射线BM交于点N，取E为N点表示复数时，
|Z+6|+|Z-3i|=|PN|+|NQ|=|PQ|=3
∴所求最小值=3.
小结:两种方法的本质相同，都是将数学式子利用其几何意义转化成几何问题进行解决.如果纯粹用代数方法求解，难度会很大.对有关最值问题，尤其是模（距离）和辐角主值最值问题，用数形结合方法显然较为简便.
例6．已知|Z-2i|≤1,求arg(Z-4i)最大值.
解：∵|Z-2i|≤1,∴点Z轨迹是以（0，2）为圆心，1为半径的圆面，在其上任取一点Z，连Z与点（0，4）得一以（0，4）为起点，Z为终点的向量，将起点平移到原点，则θ为其对应的辐角主值，显然arg(Z-4i)最大值为π.
3．两个复数相乘，积的模等于模的积，辐角为两辐角之和，其几何意义是模的伸缩及
对应向量的旋转.
两个复数相除，商的模等于模的商（除数不为零），辐角为两辐角之差，其几何意义
由复数三角形式乘除运算的几何意义，可解决向量或图形的旋转问题，如等腰、等边
三角形、直角三角形，平行四边形顶点间的几何何关系利用复数的乘除运算来表示.
复数三角形式较之代数形式，在乘除运算中非常方便，可顺利解决多项相乘（乘方），相除及乘除混合运算.
例7．若与分别表示复数Z1=1+2i, Z2=7+i, 求∠Z2OZ1并判断ΔOZ1Z2的形状.
解:欲求∠Z2OZ1，可计算
∴∠Z2OZ1=
由余弦定理，设|OZ1|=k, |OZ2|=2k(k&0)|Z1Z2|2=k2+(2k)2-2k?2k?cos
=3k2 k)2=(2k)2，∴ΔOZ1Z2为有一锐角为60°的直角三角形.
小结:此题中利用除法几何意义来解决三角形中角的大小问题，十分方便.
例8．已知直线l过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，若点A(-1,0)和B(0,8)关于l的对称点都在C上，求直线l与抛物线C的方程.
解:如图，建立复平面x0y，设向量
x1+y1i, x2+y2i.
由对称性，|OA'|=|OA|=1, |OB'|=|OB|=8,
∴ x2+y2i=(x1+y1i)8i=-8y1+8x1i
、对应复数分别为
设抛物线方程为y2=2px(p&0)则有y12=2px1, y22=2px2,
, y12=p2, 又|OA'|=1，
∴()2+p2=1, ∴p=或-（舍）
∴抛物线方程为y2
=x，直线方程为:y=x.
小结:对于解析几何的许多问题，若能借助于复数的向量来表示，常常有意想不到的功效.尤其涉及到特殊位置，特殊关系的图形时，尤显其效.
五、易错点
1．并不是每一个复数都有唯一确定的辐角主值.如复数零的模为0，辐角主值不确定.
2．注意ArgZ与argZ的区别.ArgZ表示复数Z的辐角，而argZ表示复数Z的辐角主值.
ArgZ=argZ+2kπ(k∈Z),argZ∈[0,2π), 辐角主值是[0,2π)内的辐角，但辐角不一定是辐角主值.
3．复数三角形式的四个要求:模非负，角相同，余弦前，加号连，缺一不可.任何一个不满足，就不是三角形式.
4．注意复数三角形式的乘除运算中，向量旋转的方向.
1．写出下列复数的三角形式
(1) ai(a∈R)
(2) tgθ+i(
2．设Z=(-3&θ&π）
(3) -（sinθ-icosθ)
+3i)n, n∈N，当Z∈R时，n为何值？
三亿文库包含各类专业文献、中学教育、高等教育、生活休闲娱乐、幼儿教育、小学教育、12复数的三角形式及乘除运算等内容。　
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将复数z=√3-i表示三角形式
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z=√3-i=2(√3/2-i/2)=2(cos30°-sin30°i)
计算2(cos六分之五派+isin六分之五派)(－二分之一－二分之√3i)
计算2(cos六分之五派+isin六分之五派)(－二分之一－二分之√3i)
原式=2(-√3/2+i/2)(-1/2-√3i/2)=2(√3/2-i/2)(1/2+√3i/2)=(√3-i)(1+√3i)/2=(√3-i+3i-√3i^2)/2=(√3+2i+√3)/2=(2√3+2i)/2=√3+i
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