阅读理解题：一次数学兴趣小组的活动课上，师生有下面一段对话，请你阅读完后再解答下面问题：老师：同学们，今天我们来探索如下方程的解法：（x2-x）2-8（x2-x）+12=0．学生甲：老师，先去括号，再合并同类项，行吗？老师：这样，原方程可整理为x4-2x3-7x2+8x+12=0，次数变成了4次，用现有的知识无法解答．同学们再观察观察，看看这个方程有什么特点？学生乙：我发现方程中x2-x是整体出现的，最好不要去括号！老师：很好．如果我们把x2-x看成一个整体，用y来表示，那么原方程就变成y2-8y+12=0．全体同学：咦，这不是我们学过的一元二次方程吗？老师：大家真会观察和思考，太棒了！显然一元二次方程y2-8y+12=0的解是y1=6，y2=2，就有x2-x=6或x2-x=2．学生丙：对啦，再解这两个方程，可得原方程的根x1=3，x2=-2，x3=2，x4=-1，嗬，有这么多根啊．老师：同学们，通常我们把这种方法叫做换元法．在这里，使用它最大的妙处在于降低了原方程的次数，这是一种很重要的转化方法．全体同学：OK！换元法真神奇！现在，请你用换元法解下列分式方程(xx-1)2-5(xx-1)-6=0． - 跟谁学
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跟谁学学生版:genshuixue_student精品好课等你领在线咨询下载客户端关注微信公众号&&&分类：阅读理解题：一次数学兴趣小组的活动课上，师生有下面一段对话，请你阅读完后再解答下面问题：老师：同学们，今天我们来探索如下方程的解法：（x2-x）2-8（x2-x）+12=0．学生甲：老师，先去括号，再合并同类项，行吗？老师：这样，原方程可整理为x4-2x3-7x2+8x+12=0，次数变成了4次，用现有的知识无法解答．同学们再观察观察，看看这个方程有什么特点？学生乙：我发现方程中x2-x是整体出现的，最好不要去括号！老师：很好．如果我们把x2-x看成一个整体，用y来表示，那么原方程就变成y2-8y+12=0．全体同学：咦，这不是我们学过的一元二次方程吗？老师：大家真会观察和思考，太棒了！显然一元二次方程y2-8y+12=0的解是y1=6，y2=2，就有x2-x=6或x2-x=2．学生丙：对啦，再解这两个方程，可得原方程的根x1=3，x2=-2，x3=2，x4=-1，嗬，有这么多根啊．老师：同学们，通常我们把这种方法叫做换元法．在这里，使用它最大的妙处在于降低了原方程的次数，这是一种很重要的转化方法．全体同学：OK！换元法真神奇！现在，请你用换元法解下列分式方程(xx-1)2-5(xx-1)-6=0．阅读理解题：一次数学兴趣小组的活动课上，师生有下面一段对话，请你阅读完后再解答下面问题：老师：同学们，今天我们来探索如下方程的解法：（x2-x）2-8（x2-x）+12=0．学生甲：老师，先去括号，再合并同类项，行吗？老师：这样，原方程可整理为x4-2x3-7x2+8x+12=0，次数变成了4次，用现有的知识无法解答．同学们再观察观察，看看这个方程有什么特点？学生乙：我发现方程中x2-x是整体出现的，最好不要去括号！老师：很好．如果我们把x2-x看成一个整体，用y来表示，那么原方程就变成y2-8y+12=0．全体同学：咦，这不是我们学过的一元二次方程吗？老师：大家真会观察和思考，太棒了！显然一元二次方程y2-8y+12=0的解是y1=6，y2=2，就有x2-x=6或x2-x=2．学生丙：对啦，再解这两个方程，可得原方程的根x1=3，x2=-2，x3=2，x4=-1，嗬，有这么多根啊．老师：同学们，通常我们把这种方法叫做换元法．在这里，使用它最大的妙处在于降低了原方程的次数，这是一种很重要的转化方法．全体同学：OK！换元法真神奇！现在，请你用换元法解下列分式方程(xx-1)2-5(xx-1)-6=0．科目:最佳答案设y=xx-1，则原方程可变为y2-5y-6=0，解得y1=6，y2=-1，∴xx-1=6，xx-1=-1，解得x=12或65，经检验，都是原方程的根．∴原方程的解为x=12或65．解析
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2010年暑假初三数学第3讲学生版1知识点Ｃ要求一元二次方程了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数了解一元二次方程的根的意义能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围会由方程的根求方程中待定系数的值一元二次方程的解法理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据能选择恰当的方法解一元二次方程会用方程的根的判别式判别方程根的情况能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围会用配方法对代数式做简单的变形会应用一元二次方程解决简单的实际问题一、一元二次方程的定义一元二次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式200axbxca????，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．二、一元二次方程的判别式与公式法设一元二次方程为??200axbxca????，其根的判别式为24b??，12,⑴0???方程??200axbxca????有两个不相等的实数根21,242bbacxa????．⑵0???方程??200axbxca????有两个相等的实数根122a???．⑶0???方程??200axbxca????没有实数根．若a、b、c为有理数，且?为完全平方式，则方程的解为有理根知识点睛中考要求第三讲一元二次方程解法2010年暑假初三数学第3讲学生版1若?为完全平方式，同时24bb??是2a的整数倍，则方程的根为整数根．三、可化为一元二次方程的特殊方程①解方程的基本思想化分式方程为整式方程化高次方程为一次或二次方程化多元为一元化无理方程为有理方程总之最后转化为一元一次方程或一元二次方程．②解方程的基本方法解整式方程一般采用消元加减消元、代入消元、因式分解消元、换元法消元等，降次换元降次、因式分解降次、辅助式降次等等方法．解分式方程一般采用去分母、换元法、重组法、两边夹等方法．解无理方程一般采用两边平方、根式的定义、性质、换元、构造、三角函数等方法．1.灵活选择适当的方法解一元二次方程2.转化思想的渗透3.对根的判别式的理解一、一元二次方程的认识一元二次方程的定义只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程．⑴要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准①一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式．②一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．③一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．⑵任何一个关于x的一元二次方程经过整理都可以化为一般式20axbxc?????0a?．要特别注意对于关于x的方程20axbxc???，当0a?时，方程是一元二次方程当0a?且0b?时，方程是一元一次方程．⑶关于x的一元二次方程式20axbxc?????0a?的项与各项的系数．2二次项，其系数为a一次项，其系数为bc为常数项．重、难点例题精讲2010年暑假初三数学第3讲学生版1【例1】2008海淀期中统考请阅读下列材料问题已知方程230??，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解设所求方程的根为y，则2．所以22入已知方程，得23022???????化简，得22120??．故所求方程为22120??．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为换根法．请用阅读材料提供的换根法求新方程要求把所有方程化为一般形式⑴已知方程210??，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的3倍，则所求方程为⑵已知关于x的一元二次方程20axbxc???有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数⑶已知关于x的方程20xmxn???有两个实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的平方．【例2】三帆练习题m为何值时，关于x的方程2234mmxmxm????是一元二次方程．【巩固】已知方程2240xx????是关于x的一元二次方程，求a、b的值．【例3】2007年清华附中初三第一学期统练若2310aba???是关于x的一元二次方程，求a、b的值．【巩固】已知方程20ababxxab?????是关于x的一元二次方程，求a、b的值．2010年暑假初三数学第3讲学生版1【例4】2007年清华附中初三第一学期统练若一元二次方程mxmxm??????的常数项为零，则m的值为_________．二、一元二次方程的解法一元二次方程的解法⑴直接开平方法适用于解形如20xabb???的一元二次方程．⑵配方法解形如200axbxca????的一元二次方程，一般步骤是①二次项系数化1．②常数项右移．③配方两边同时加上一次项系数一半的平方．④化成2xmn??的形式．⑤若0n?，选用直接开平方法得出方程的解．⑶公式法一元二次方程200axbxca????的求根公式是242bbacxa????．运用公式法解一元二次方程的一般步骤是①把方程化为一般形式②确定a、b、c的值．③计算24b的值．④若240b，则代入公式求方程的根．⑤若240b，则方程无解．⑷因式分解法适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式．常用解法直接开方法，配方法，公式法，因式分解法．在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法．⑴因式分解法适用于右边为0或可化为0，而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法．⑵公式法适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算24b的值．⑶直接开平方法用于缺少一次项以及形如2axb?或????20xabb??≥或??2axb????2cxd?的方程，能利用平方根的意义得到方程的解．⑷配方法配方法是解一元二次方程的基本方法，而公式是由配方法演绎得到的．把一元二次方程的一般形式20axbxc???a、b、c为常数，0a?转化为它的简单形式2?，这种转化方法就是配方，具体方法为2axbxc??bbbbacbaxxcaxaaaaa???????????????????????????．所以方程20axbxc???a、b、c为常数，0a?就转化为22424bac???????的形式，即222424bbacx???????，之后再用直接开平方法就可得到方程的解．2010年暑假初三数学第3讲学生版1【例5】解关于x的方程⑴????222332??⑵??????【巩固】开平方法解下列方程⑴251250x??⑵223185x??⑶吉林省长春市226952xxx????【例6】用配方法解方程⑴2009仙桃2420??⑵211063??⑶23123【巩固】配方法解方程⑴2250??⑵2510??⑶2243??【巩固】2007人大附中初三第一次月考试题用配方法解方程2420??【例7】用配方法解方程20axbxc???a、b、c为常数且0a?2010年暑假初三数学第3讲学生版1【巩固】用配方法解关于x的方程20xpxq???为已知常数【例8】用公式法解方程⑴25720??⑵22310??【巩固】公式法解下列方程⑴⑶2952【例9】用因式分解法解方程⑴2009年新疆????23430xxx????⑵222320xmxmmnn?????、n为常数【巩固】因式分解法解方程⑴21904x??⑵281030??⑶2633226xxx???【巩固】2007实验中学初三第一次月考试题解方程年暑假初三数学第3讲学生版1【例10】解法的灵活运用用适当方法解下列方程⑴6223xxxx????⑵yyyyy?????【例11】用多种方法解下列方程⑴223423??⑵2224??【巩固】⑴2007人大附中初三第一次月考试题解方程235210??⑵2007理工附中初三第一次月考试题解方程571??⑶2007实验中学初三第一次月考试题解方程xxxx?????【例12】⑴2242310???⑵2007人大附中初三第一次月考试题用配方法解方程2420??;⑶2007实验中学初三第一次月考试题用配方法解方程22810??．【巩固】⑴2007清华附中初三第一次月考试题解方程23525??⑵2007十一学校初三第一次月考试题解方程22136???2010年暑假初三数学第3讲学生版1【例13】⑴2007清华附中初三第一次月考试题解方程210??⑵2007三帆中学初三第一次月考试题解方程2554???⑶2007理工附中初三第一次月考试题解方程571??⑷2007实验中学初三第一次月考试题解方程xxxx?????⑸2008西城初三抽样试题解方程23220??【巩固】1.解方程???2.解关于x的方程??????2220xpqxpqpqpq??????．23260mxmxm????．2007三帆中学初三第一次月考试题560??．【例14】解方程42650??，这是一元四次方程，根据该方程的特点，它的通常解法是设2，那么42，于是原方程可化为2650??①，解这个方程得11y?，25y?．当1y?时，21x?，1x??当5y?时，25x??．故原方程有四个根11x?，21x??，35x?，45x??．⑴填空由原方程得到①的过程中，利用法达到降次的目的，体现了的数学思想⑵解方程????2224120xxxx?????．【例15】解方程xxxx?????2010年暑假初三数学第3讲学生版1【巩固】解方程xxxxx???????．【巩固】1998年五羊杯初三试题方程180xxxxxxxx???????????全部相异实根是．【例16】解方程xxxx?????．【巩固】解方程xxxx?????【例17】解关于x的方程2222111axxaxax??????【巩固】解关于x的方程212130mxmxm??????．2010年暑假初三数学第3讲学生版01【习题1】⑴2007十一学校初三第一次月考试题解方程22136??⑵2007实验中学初三第一次月考试题解方程????⑶2007清华附中初三第一次月考试题解方程210??⑷2007三帆中学初三第一次月考试题解方程2554???．【习题2】已知关于x的方程2221axaxx????是一元二次方程，求a的取值范围．【习题3】2007三帆中学初三第一次月考试题解方程23127x??【习题4】2007三帆中学初三第一次月考试题解方程23440??【习题5】解含有字母系数的方程解关于x的方程⑴22220xmxmn????⑵223421xaaxa????⑶2007海淀期中统考配方法解方程20xmxn???．家庭作业2010年暑假初三数学第3讲学生版11【习题6】解方程????????1234120xxxx?????．【备选1】⑴2007三帆中学初三第一次月考试题用配方法解方程2640??．⑵2007三帆中学初三第一次月考试题用配方法解方程22310??．【备选2】⑴2007理工附中初三第一次月考试题解方程24221xxx???⑵2007三帆中学初三第一次月考试题解方程23440??⑶解方程223260mxmxm????．【备选3】已知关于x的方程222xaax???是一元二次方程，求a的取值范围．【备选4】北大附中初三第一次月考试题解方程225603???．【备选5】解方程????．月测备选
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关&键&词： amp 46 一元 二次方程 解法 学生
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人人文库网网站版权所有 苏ICP备号-5一元一次方程的解法（基础）知识讲解
【学习目标】
1. 熟悉解一元一次方程的一般步骤，理解每步变形的依据；
2. 掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想；
3. 进一步熟练在列方程时确定等量关系.
【要点梳理】
要点一、解一元一次方程的一般步骤
变形名称 具体做法
在方程两边都乘以各分母的最小
公倍数 注意事项 (1)不要漏乘不含分母的项 (2)分子是一个整体的，去分母后
应加上括号 去分母
去括号 先去小括号，再去中括号，最后去(1)不要漏乘括号里的项
把含有未知数的项都移到方程的(2)不要弄错符号 (1)移项要变号
(2)不要丢项 移项 一边，其他项都移到方程的另一边
(记住移项要变号)
项 把方程化成ax＝b(a≠0)的形式 字母及其指数不变
系数化成在方程两边都除以未知数的系数
不要把分子、分母写颠倒 ba，得到方程的解x?． 1 a
要点诠释：
（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．
(2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.
（3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．
要点二、解特殊的一元一次方程
1.含绝对值的一元一次方程
解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义． 要点诠释：此类问题一般先把方程化为ax?b?c的形式，分类讨论：
(1)当c?0时，无解；（2）当c?0时，原方程化为：ax?b?0；（3）当c?0时，原方程可化为：ax?b?c或ax?b??c.
2.含字母的一元一次方程
此类方程一般先化为一元一次方程的最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论：
（1）当a≠0时，x?b；（2）当a＝0，b＝0时，x为任意有理数；（3）当a＝0，a
b≠0时，方程无解．
【典型例题】
类型一、解较简单的一元一次方程
1．解下列方程 3
(2)-5x+6+7x＝1+2x-3+8x 5
【答案与解析】
32 解：(1)移项，得?m?m??4．合并，得m??4．系数化为1，得m＝-10． 55
(2)移项，得-5x+7x-2x-8x＝1-3-6．合并，得-8x＝-8．系数化为1，得x＝1． 【点评】方法规律：解较简单的一元一次方程的一般步骤：
(1)移项：即通过移项把含有未知数的项放在等式的左边，把不含未知数的项(常数项)放在等式的右边．
(2)合并：即通过合并将方程化为ax＝b(a≠0)．
(3)系数化为1：即根据等式性质2：方程两边都除以未知数系数a，即得方程的解x?b． a
举一反三：
【变式】下列方程变形正确的是(
A．由2x-3＝-x-4，得2x+x＝-4-3
B．由x+3＝2-4x，得5x＝5
C．由?x?，得x＝-1 32
D．由3＝x-2，得-x＝-2-3
【答案】D．
类型二、去括号解一元一次方程
2．解方程：
【思路点拨】方程中含有括号，应先去括号再移项、合并、系数化为1，从而解出方程．
【答案与解析】（1）去括号得：4x?2?10x?7
移项合并得：?6x?5
解得：x?? 6?1?2?2x?1??10x?7?2?3?2?x?1??2?x?3?
（2）去括号得：3?2x?2?2x?6
移项合并得：?4x??7 解得：x?7 4
【点评】去括号时，要注意括号前面的符号，括号前面是“+”号，不变号；括号前面是“-”，各项均变号．
举一反三：
【变式】（四川乐山）解方程： 5(x-5)+2x＝-4．
【答案】解： 去括号得：5x-25+2x＝-4
移项合并得：
解得： x＝3．
类型三、解含分母的一元一次方程
3．解方程：
【答案与解析】 4x?34x?34x?3???1． 623
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可化为一元二次方程的分式方程
一、教学目标 1．使学生掌握的解法，能用去分母的方法或换元的方法求此类方程的解，并会验根. 2．通过本节课的教学，向学生渗透“转化”的数学思想方法； 3．通过本节的教学，继续向学生渗透事物是相互联系及相互转化的辨证唯物主义观点. 二、重点?难点?疑点及解决办法 1．教学重点：的解法． 2．教学难点：解分式方程，学生不容易理解为什么必须进行检验． 3．教学疑点：学生容易忽视对分式方程的解进行检验通过对分式方程的解的剖析，进一步使学生认识解分式方程必须进行检验的重要性． 4．解决办法：（l）分式方程的解法顺序是：先特殊、后一般，即能用换元法的方程应尽量用换元法解．（2）无论用去分母法解，还是换元法解分式方程，都必须进行验根，验根是解分式方程必不可少的一个重要步骤．（3）方程的增根具备两个特点，①它是由分式方程所转化成的整式方程的根②它能使原分式方程的公分母为0. 三、教学步骤 （一）教学过程 1．复习提问 （1）什么叫做分式方程？解可化为一元一次方程的分式方程的方法与步骤是什么？ （2）解可化为一元一次方程的分式方程为什么要检验？检验的方法是什么？ （3）解方程，并由此方程说明解方程过程中产生增根的原因. 通过（1）、（2）、（3）的准备，可直接点出本节的内容：的解法相同. 在教师点出本节内容的处理方法与以前所学的知识完全类同后，让全体学生对照前面复习过的分式方程的解，来进一步加深对“类比”法的理解，以便学生全面地参与到教学活动中去，全面提高教学质量. 在前面的基础上，为了加深学生对新知识的理解，教师与学生共同分析解决例题，以提高学生分析问题和解决问题的能力. 2．例题讲解 例1& 解方程. 分析& 对于此方程的解法，不是教师讲如何如何解，而是让学生对已有知识的回忆，使用原来的方法，去通过试的手段来解决，在学生叙述过程中，发现问题并及时纠正. 解：两边都乘以，得 去括号，得 整理，得 解这个方程，得 检验：把代入，所以是原方程的根. ∴& 原方程的根是. 虽然，此种类型的方程在初二上学期已学习过，但由于相隔时间比较长，所以有一些学 生容易犯的类型错误应加以强调，如在第一步中．需强调方程两边同时乘以最简公分母．另 外，在把分式方程转化为整式方程后，所得的一元二次方程有两个相等的实数根，由于是解 分式方程，所以在下结论时，应强调取一即可，这一点，教师应给以强调． 例2& 解方程 分析：解此方程的关键是如何将分式方程转化为整式方程，而转化为整式方程的关键是 正确地确定出方程中各分母的最简公分母，由于此方程中的分母并非均按的降幂排列，所 以将方程的分母作一转化，化为按字母终X进行降暴排列，并对可进行分解的分母进行分解，从而确定出最简公分母． 解：方程两边都乘以，约去分母，得 整理后，得 解这个方程，得 检验：把代入，它不等于0，所以是原方程的根，把 代入它等于0，所以是增根． ∴&& 原方程的根是 师生共同解决例1、例2后，教师引导学生与已学过的知识进行比较． &&第 1 2 页 &文章地址：/jiaoan/jiunianjishuxuejiaoan/.htm下页更精彩1
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