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线性代数（10）
第一节&矩阵及其运算
一．数学概念
定义1.1&由&&个数&&排成m行n列的数表
称为m行n列的矩阵，简称&&矩阵，记作
二．原理，公式和法则
．矩阵的加法
．数乘矩阵
．矩阵与矩阵相乘
则&&其中&&，且
　运算符(假设运算都是可行的)：
　方阵的运算
注意：①矩阵乘法一般不满足交换律。
矩阵的转置
这里&&为A的转置矩阵。
方阵的行列式
设A为n阶方阵，&&为A的行列式。
公式　设&&为复矩阵，&&表示为&&的共轭复数，则&&为方阵的共轭矩阵。
运算律(设A,B为复矩阵，&&为复数，且运算都是可行的)：
三.　重点，难点分析
本节的重点就是矩阵的各运算及其运算律。它是矩阵运算的基础，其难点是矩阵的乘法，着重掌握矩阵的运算规律。
四.　典型例题
例1.　已知
解：将(1),(2)等式两边相加得　&
第二节　逆矩阵
一.　数学概念
定义2.1　设A为n阶方阵，若存在一个n阶方阵B使&&，则称矩阵A是可逆的，并把矩阵称为A的逆矩阵。
　可逆矩阵又称为非奇异矩阵。
　不可逆矩阵又称为奇异矩阵。
二.　原理，公式和法则
定理2.1方阵A可逆的充分必要条件是&&,且&&，其中
为A的伴随矩阵。
推论　若AB＝E(或BA=E)则B＝A-1。
性质　逆矩阵是唯一的。
① 若A可逆，则A-1亦可逆，且&&。
② 若A可逆，数&&,则λA可逆，且&&。
③ 若A,B为同阶矩阵且均可逆，则AB亦可逆，且&
④ 若A可逆，则AT亦可逆，且&
三.　重点，难点分析
可逆矩阵的求逆既是本节的重点，也是本节的难点，它也是本章的重点。这是因为求逆矩阵它不仅可以解n个方程n个未知数方程组的求解，也可以解矩阵方程，而且在今后的学习中还要经常遇到求逆矩阵的计算。由关系式求逆和抽象矩阵的求逆对初学者来说是比较困难的。
四.　典型例题
例1.&设A为n阶方阵，若&&,试证A-E可逆，并求x。
证明　由&&，得&&，在此两端同加单位矩阵得
为4阶单位矩阵，且&&,求&&。
解：在&&的两边左乘(E+A)得，
例3.　设矩阵A的伴随矩阵
且&&,其中E为4阶单位矩阵，求B。
解：在&&左乘A＊，右乘A得
第三节　分块矩阵
一.　数学概念
分块矩阵：用若干条横线和竖线将矩阵A分成若干小块，每一小块称为矩阵的子块，以子块为元素的矩阵为分块矩阵。
二.　原理，公式，法则
分块矩阵的加法
设A，B为同型矩阵，分法相同，对应子块相加，即将&&矩阵A，B分块为
分块矩阵的数乘
设A为分块矩阵，&&为数，
分块矩阵的乘法
设&&，分块为
其中&&的列数分别等于&&的行数，那末
分块矩阵的转置
分块对角矩阵
都是方阵。
注&1.&以上分块矩阵运算律与矩阵的相应的运算律相同。
对分块对角矩阵有
三.&重点，难点分析
本节的重点是分块矩阵的按行分块或按列分块或分块成对角矩阵。这对讨论矩阵与向量组的关系;讨论线性方程组的解是非常有用的。难点是分块矩阵的乘法。熟练掌握分块矩阵的乘法和分块对角矩阵的各种运算是非常必要的。
四.典型例题
例2.&设矩阵
求A+B和AB
解：由A的特点，可将A分块为
按运算要求分块为
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线性代数2.3逆矩阵及其基本求法
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线性代数之逆矩阵
在之前的文章中已经介绍了一些关于矩阵的基本概念，本篇文章主要就求解逆矩阵进行进一步总结。
余子式(Minor)
我们先看例子来直观的理解什么是余子式(Minor，后边将都用英文Minor，中文的翻译较乱）。
minor example
这个例子（我们假设矩阵为A）中我们看到A[1,1]的minor就是将A[1,1]所在的行和列删除后剩下的矩阵的行列式，假设我们把A[1,1]的minor记作M[1,1], 在这个例子中就是
同样道理A[i, j]的minor就是去掉第i行和第j列剩下的矩阵的行列式。
Matrix of Minors
我们现在已经知道如何求解某个元素的minor了，现在将某个矩阵所有元素的minors求解出来，得出一个新的矩阵就叫matrix of minors，如下图所示就是我们示例中矩阵A的minor矩阵
minors of A
Matrix of Cofactors
首先要介绍Cofactor，我们把M[i,j]的cofactor记作C[i,j]，我们可以有如下公式:
通过这个计算公式，我们可以得到所有的M对应的C，这样也组成了一个矩阵，这就是matrix of cofactors，还以我们上边的例子来看下如何得到的matrix of cofactors，记作C
matrix of cofactors
当我们有了matrix of cofactors之后，我们就可以计算A的行列式了|A|，计算过程是用A的第一行的数值A[1,j]乘以相对应的cofactorC[1,j]，然后将结果相加
|A| = 1x(-3) + 2x6 + 3x(-3)=0
当|A|=0时，我们就称A为奇异矩阵，若|A|!=0，我们就称A为非奇异矩阵。奇异矩阵是没有逆矩阵的。最后我想说的是我本来想求逆矩阵的，不凑巧找了个奇异矩阵，饶恕我吧:(
伴随矩阵 Adjugate Matrix
伴随矩阵是将matrix of cofactors进行转置(transpose)之后得到的矩阵，我们称作A的伴随矩阵，记作adj(A)。所谓转置就是将[i,j]的值与[j,i]的值进行互换，具体到我们的例子如下：
adjugate matrix
注：这个例子不太明显，实际上交换了所有C[i,j]与C[j,i]的值，比如C[2,3]和C[3,2]
由于本篇文章的例子A是一个奇异矩阵，因此没有逆矩阵，但如果是非奇异矩阵，我们则可以按照之前的公式求得逆矩阵。
逆矩阵计算
求解逆矩阵除了上面的方法外，还可以用更加直观的方法进行求解，这就是初等变换，其原理就是根据A乘以A的逆等于单位矩阵I这个原理，感兴趣的同学可以看参考链接中的视频。}