FFT与IFFT算法的C程序实现
快速傅立叶变换(FFT)是数字信号处理的基本算法，它可以明显的降低运算量，成为数字信号处理的基本工具和迅速发展的动力。
关键词：数字信号处理；FFT；DFT；DSP&
卷积是滤波网络对信号响应的术语，即用卷积积分来描述滤波网络对冲击函数信号的反应。若x(t)为信号，h(t)为响应，则卷积积分表示如下（2-1）所示：
&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&（2-1）
每一个卷积点是信号函数与反转和平移后的网络函数的乘积中的区域。
相关是用于小信号噪声检测的一种方法。如果有已知信号与一个噪声波形相关，用这个方法可以检测出来，有非零的结果表示发现了相关性，结果越明显，相关性越大。其在形式上与卷积积分相似，如下（2-2）所示：
　　 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（2-2）
自相关是用来描述一个信号与它自己的相关程度，其值为信号的PSD,即功率谱密度。
这可能是FFT最广泛的应用了，它使对波形的频率分量滤波变得十分简单。比如对采样信号进行FFT后，干掉不需要的频率分量，再进行FFT反变换，就得到滤波后的期望信号。
(4) 信号分析
比如电力监控系统的谐波分析，就需要对采样数据进行FFT运算，然后通过液晶屏或其它人机界面重新绘画出来，以方便技术人员掌握电力的质量。
傅立叶变换在目前的相关电子产品中用得非常广泛，可以说，它是描述函数的另一种语言。掌握傅立叶变换，学会在空域和频域中同时思考问题，很多时候可以让我们使用简单的方法来解决复杂的问题。
4.4 DSP的FFT算法的C程序实现
1、ICETEK-F2812-A的实验板的介绍
图4.3 ICETEK-F2812-A实验板
1．实验准备
(1)连接实验设备：
(2)准备信号源进行AD 输入。
①取出2 根实验箱附带的信号线
②用1 根信号线连接实验箱底板上信号源I模块(图4.4中单实线框中部分)的“波形输出”插座(图4.4中的3 或4)和“A/D 输入”模块(图4.4中虚线框中部分)的“ADCIN0”插座(图4.4 中的A)，注意插头要插牢、到底。这样，信号源I的输出波形即可送到ICETEK-F2812-A评估板的AD 输入通道0。
③用1 根信号线连接实验箱底板上信号源II模块(图4.4中双实线框中部分)的“波形输出”插座(图4.4 中的c或d)和“A/D 输入”模块的“ADCIN1”插座(图4.4中的B)，注意插头要插牢、到底。这样，信号源II的输出波形即可送到ICETEK-F2812-A评估板的AD 输入通道1。
图<span style="font-size:10.5
font-family:\02CE\ 实验设备
④设置信号源I： -调整拨动开关“频率选择”(图4.4 中的5)拨到“100Hz－1KHz”档(图4.4中10)。-将“频率微调”(图4.4 中的6)顺时针调到头(最大)。调整拨动开关“波形选择”(图4.4中的7)拨到“三角波”档(图4.4 中的11)。将“幅值微调”（图4.4中的8）顺时针调到头（最大）。
⑤设置信号源II： -调整拨动开关“频率选择”(图4.4 中的e)拨到“100Hz－1KHz”档（图4.4 中的j）。将“频率微调”（图4.4 中的f）顺时针调到头（最大）。-调整拨动开关“波形选择”（图4.4中的g）拨到“正弦波”档（图10-1
中的k）。-将“幅值微调”（图4.4 中的h）顺时针调到头（最大）。
⑥将两个信号源的电源开关(图4.4 中的2和b)拨到“开”的位置。
2．设置Code Composer Studio 2.21在硬件仿真（Emulator）方式下运行。
3．启动Code Composer Studio 2.21。选择菜单Debug→Reset
CPU。4．打开工程文件工程目录：C:\ICETEK-F2812-A-EDUlab\DSP281x_examples\Lab0305AD\ ADC.pjt。在项目浏览器中，双击adc.c，打开adc.c 文件，浏览该文件的内容，理解各语句作用。
5．编译、下载程序。
6．打开观察窗口选择菜单“View”、“ Graph”、“
Time/Frequency…”做如下设置，然后单击“OK”按钮；
选择菜单“View”、“
Graph”、“ Time/Frequency…”做如下设置(图4.4)，然后单击“OK”按钮；在弹出的图形窗口中单击鼠标右键，选择“Clear Display”。通过设置，我们打开了两个图形窗口观察两个通道模数转换的结果。
7． 设置信号源由于模数输入信号未经任何转换就进入DSP，所以必须保证输入的模拟信号的幅度在0-3V之间。必须用示波器检测信号范围，保证最小值0V最大值3 V，否则容易损坏DSP芯片的模数采集模块。
8．运行程序观察结果
单击“Debug”菜单，“Run”项，运行程序；
停止运行，观察“ADCIN0”“ ADCIN1”、窗口中的图形显示；
适当改变信号源，按F5 健再次运行，停止后观察图形窗口中的显示。注意：输入信号的频率不能大于10KHz，否则会引起混叠失真，而无法观察到波形，如果有兴趣，可以试着做一下，观察采样失真后的图形。
9．选择菜单File→workspace→save workspacs As…，输入文件名SY.wks 。
10．退出CCS
/*****************fft
programe*********************/
#include "typedef.h"
#include "math.h"
struct compx EE(struct compx b1,struct
&&& struct compx b3 ;
&&& b3.real=b1.real*b2.real-b1.imag*b2.
&&& b3.imag=b1.real*b2.imag+b1.imag*b2.
&&& return(b3);
void FFT(struct compx*xin,int N)
&&& int f,m,nv2,nm1,i,k,j=1,
&&& /*int f,m,nv2,nm1,i,k,j=N/2,l;*/
&&& struct compx v,w,
&&& nv2=N/2 ;
&&& for(m=1;(f=f/2)!=1;m++)
&&&&&&&nm1=N-1 ;
&&& &&& /*变址运算*/
for(i=1;i&=nm1;i++)
&&&&&&& if(i&j)
&&&&&&&&&&& t=xin[j];
&&&&&&&&&&& xin[j]=xin[i];
&&&&&&&&&&& xin[i]=
&&&&&&& k=nv2 ;
&&&&&&& while(k&j)
&&&&&&&&&&& j=j-
&&&&&&&&&&& k=k/2 ;
&&&&&&& j=j+
&&&&&&& int le,lei,
&&&&&&& for(l=1;l&=m;l++)
&&&&&&&&&&& le=pow(2,l);
&&&&&&&&&&& // 这里用的是L而不是1//
&&&&&&&&&&& lei=le/2 ;
&&&&&&&&&&& pi=3.14159 ;
&&&&&&&&&&& v.real=1.0 ;
&&&&&&&&&&& v.imag=0.0 ;
&&&&&&&&&&& w.real=cos(pi/lei);
&&&&&&&&&&& w.imag=-sin(pi/lei);
&&&&&&&&&&& for(j=1;j&=j++)
&&&&&&&&&&& {
&&&&&&&&&&&&&&& /*double p=pow(2,m-l)*j;
&&&&&&&&&&&&&&&&& double ps=2*pi/N*p;
&&&&&&&&&&&&&&&&& w.real=cos(ps);
&&&&&&&&&&&&&&&&& w.imag=-sin(ps);*/
&&&&&&&&&&&&&&& for(i=j;i&=N;i=i+le)
&&&&&&&&&&&&&&& {
&&&&&&&&&&&&&&&&&&& /*& w.real=cos(ps);
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& w.imag=-sin(ps);*/
&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ip=i+
&&&&&&&&&&&&&&&&&&& t=EE(xin[ip],v);
&&&&&&&&&&&&&&&&&&& xin[ip].real=xin[i].real-t.
&&&&&&&&&&&&&&&&&&& xin[ip].imag=xin[i].imag-t.
&&&&&&&&&&&&&&&&&&& xin[i].real=xin[i].real+t.
&&&&&&&&&&&&&&&&&&& xin[i].imag=xin[i].imag+t.
&&&&&&&&&&&&&&& }
&&&&&&&&&&&&&&& v=EE(v,w);
&&&&&&&&&&& }
/*****************main
programe********************/
#include&math.h&
#include&stdio.h&
#include&stdlib.h&
#include "typedef.h"
float result[257];
&struct compx s[257];
&int Num=256 ;
&const float pp=3.14159 ;
&&& int i=1 ;
for(;i&0x101;i++)
&&&&&&& s[i].real=sin(pp*i/32);
&&&&&&& s[i].imag=0 ;
FFT(s,Num);
for(i=1;i&0x101;i++)
result[i]=sqrt(pow(s[i].real,2)+pow(s[i].imag,2));
卷积是滤波网络对信号响应的术语，即用卷积积分来描述滤波网络对冲击函数信号的反应。若x(t)为信号，h(t)为响应，则卷积积分表示如下：
h(t)?x(t) = ∫x(τ)h(t-τ)dτ, 区间：-∽～+∽
每一个卷积点是信号函数与反转和平移后的网络函数的乘积中的区域。
相关是用于小信号噪声检测的一种方法。如果有已知信号与一个噪声波形相关，用这个方法可以检测出来，有非零的结果表示发现了相关性，结果越明显，相关性越大。其在形式上与卷积积分相似，如下：
　　 &&&&&&&&&&&&&z(t)
= ∫x(τ)h(t+τ)dt, 区间：-∽～+∽
自相关是用来描述一个信号与它自己的相关程度，其值为信号的PSD,即功率谱密度。
这可能是FFT最广泛的应用了，它使对波形的频率分量滤波变得十分简单。比如对采样信号进行FFT后，干掉不需要的频率分量，再进行FFT反变换，就得到滤波后的期望信号。
3.信号分析
比如电力监控系统的谐波分析，就需要对采样数据进行FFT运算，然后通过液晶屏或其它人机界面重新绘画出来，以方便技术人员掌握电力的质量。
傅立叶变换在目前的相关电子产品中用得非常广泛，可以说，它是描述函数的另一种语言。掌握傅立叶变换，学会在空域和频域中同时思考问题，很多时候可以让我们使用简单的方法来解决复杂的问题。
&&& 虽然很多人都知道FFT是什么，可以用来做什么，怎么去做，但是却不知道FFT之后的结果是什意思、如何决定要使用多少点来做FFT。
&&&一个模拟信号，经过ADC采样之后，就变成了数字信号。采样定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍，这些我就不在此罗嗦了。
&&& 采样得到的数字信号，就可以做FFT变换了。N个采样点，经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT运算，通常N取2的整数次方。
假设采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N。那么FFT之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率点。这个点的模值，就是该频率值下的
幅度特性。具体跟原始信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为A，那么FFT的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。 而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。第一个点表示直流分量（即0Hz），而最后一个点 N的再下一个点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1个点，可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示采样频率Fs，这中间被 N-1个点平均分成N等份，每个点的频率依次增加。例如某点n所表示的频率为：。由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为 Fs/N，如果采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。1024Hz的采样率采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样2秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。如果要提高频率分辨力，则必须增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和采样时间是倒数关系。假设FFT之后某点n用复数a+bi表示，那么这个复数的模就是，相位就是。根据以上的结果，就可以计算出n点（n≠1，且n&=N/2）对应的信号的表达式为：，即。对于n=1点的信号，是直流分量，幅度即为A1/N。由于FFT结果的对称性，通常我们只使用前半部分的结果，即小于采样频率一半的结果。
总结：假设采样频率为Fs，采样点数为N，做FFT之后，某一点n（n从1开始）表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N；该点的模值除以N/2就是对应该频率下的信号的幅度（对于直流信号是除以N）；该点的相位即是对应该频率下的信号的相位。相位的计算可用函数atan2(b,a)计算。atan2(b,a)是求坐标为(a,b)点的角度值，范围从-pi到pi。要精确到xHz，则需要采样长度为1/x秒的信号，并做FFT。要提高频率分辨率，就需要增加采样点数，这在一些实际的应用中是不现实的，需要在较短的时间内完成分析。解决这个问题的方法有频率细分法，比较简单的方法是采样比较短时间的信号，然后在后面补充一定数量的0，使其长度达到需要的点数，再做FFT，这在一定程度上能够提高频率分辨力。
具体的频率细分法可参考相关文献
(责任编辑：admin)
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通信（44）
我本身不是学通信专业的,相近专业&#43;刻苦最终能够让我理解通信理论方面的一些知识,对此我坚信不移.看了一些天的书,总结一下,现代通信中,傅里叶变换是很重要的组成部分.现代的通讯基本都是数字通信,这里面就要对数字信号处理有很多的了解,而在学信号处理之前,是要学习信号与系统的,看了书后才知道这件事情的,所以非专业的人学习的路往往是弯曲前行的,但这个弯曲的过程却会给人对知识的更深刻的了解.
&&& 尤其是随着通讯技术的发展,更多的数学被运用到通讯中,这种数学知识的运用使得本来需要用复杂的硬件来实现的功能最终被软件轻松化解,这样带来的好处就是在产品的设计中硬件的比例会变小,成本也就自然会降低.4G时代的通讯协议中大量的运用了通讯数学方面的计算,而FFT在4G通讯中变得越来越重要,如果对FFT不了解或者不理解的话,想从事4G相关产品的研究与开发会变得很艰难.
&&& 在学校傅里叶变换的时候,多种傅里叶变换让我经常把他们弄混,搞得我晕头转向.向一位学通信的同事询问一些知识,后来发现,哥们总是不往点上说,也就是说那些最关键,最容易混淆的东西,他都不愿意说出来.但这并不能阻碍我,因为我是不怕这种情况的,我就是在这种环境下成长起来的,只要我想学的东西,我从来没被难倒过,克服了太多的困难让我对自己很有信心.后来总结了一通才发现,其实那东西只要知道了要领,最终会绕过很多弯路的.
&&& 在通讯中,我们的傅里叶变换时间上是一种在时域上的周期离散信号到频域上的周期离散信号之间的变换,这样才是数字通信,如果变换中有连续的模拟量,那也就不是数字通信了.因此,在学习的使用一定要注意到这一点.有了这个方向,你就该知道应该记住什么,应该学习哪种傅里叶变换了.
学了东西几天不看就要忘记,前几天看的,现在又开始变得模糊了,看来学的东西还是要经常复习才是.& 前一篇讲我们在数字通讯中用来进行计算的傅里叶变换一般是指时域和频域上都是周期性的离散信号来讲的.这里我们要明确一下周期信号,非周期信号,连续信号,离散信号到底是什么样的信号,明确这一点对理解DFT比较有好处.
&& 首先,我们先知道一个惯例,在通讯中,时域上的变量一般使用小写字母来表示,而频域上的变量一般使用大写字母来表示.
&&& 连续信号,应该不用再说明了吧,也就是说时域上的连续信号是指幅度在时域上随时间连续变化的信号,用x(t)的形式来表达,同理频域上的连续信号就是指幅度在频域上随频率连续变化的信号,一般用类&#20284;X(jw)之类的形式来表达.而非连续信号不言而喻就是指有间断的信号,不连续的信号,离散的信号,在数字通信中一般指类&#20284;脉冲之类的信号.
&&& 接下来就是周期信号和非周期信号. 连续的周期信号是很好理解的啦,例如正弦波,锯齿波等等.但对于离散的信号,就要注意一下啦.离散信号的情况下,周期信号一般指等间隔的脉冲.而单个的脉冲或者没有周期性的脉冲都属于非周期信号.
&&& 我们在学习信号与系统的时候,针对傅里叶变换,书中会讲各种情况下的变化,让人很糊涂,记忆也很难记忆,搞一搞就晕头转向了.知道了上面几种信号后,我们就可以很容易记忆各种情况下的傅里叶变换了.下次再继续讲给大家.
前面讲了傅里叶变换中的几种信号类型,理解这些类型对于我们理解傅里叶变换很重要.那么,每种类型其变换虽然道理可以互通,但实际的方法或者说公式都不是一样的,
&&& 大家要注意另外一件事情,傅里叶正变换是只时域--&频域的变换,而傅里叶反变换是指频域--&时域的变换.这个方向大家一定不要弄混了.
&&& 1.连续的非周期的时间信号的傅里叶变换和反变换:
&&& 从上面的变换中我们可以看出,对于非周期的连续时间信号的傅里叶变换,其频域也是非周期的连续的频率函数.
&&& 2.连续的周期的时间信号的傅里叶变换和反变换:
从这对公式中我们可以看出,时间上是连续的,但频域上是离散的量.正变换就是我们所说的傅里叶级数.
&&& 3.离散的非周期的时间信号的傅里叶变换和反变换:
&从正变换的公式中可以看出,时间上离散非周期的信号,在频域上是周期的连续的信号.当然,在公式中我们并不能明显的看出频域上的周期性.但实际情况是这样的.
&&& 4.离散的周期的时间信号的傅里叶变换和反变换:
我们可以看出,时间上离散的周期信号,在频域上也是离散和周期的信号.这种情况就是我们通讯中用来进行运算的DFT.
&&& 其实,傅里叶变换也就这四种情况,那么从这四种情况中我们可以概括出他们的规律,即:
&&&&&&& 非周期&---&连续
&&&&&&&&&&周期&---&离散
&&& 这个规律对于时域和频域上的信号是对称的.打个比方说吧,如果时域上是非周期的,则频域上的信号肯定是连续的,如果时域上的信号时周期的,则频域上的信号肯定是离散的.反之亦然.
傅里叶变换在不同信号形式下有不同的变换方法,前一篇我讲了几种信号形式的傅里叶变换和它们之间的关系.反正我不太关心前三种形式的傅里叶变换.数字信号处理其实主要就是处理最后一种形式,即在时域和频域上都是离散的周期信号的傅里叶变换,通讯中用于运算也是通过这种形式的傅里叶变换进行的.让我们在复习一下:
前面的一个公式是把时域信号转换为频域上的信号,就是我们常说的离散信号的傅里叶变换,即DFT,后面的一个公式就是把频域信号转换为时域上的信号,就是我们常说的离散信号的反傅里叶变换,即IDFT.
&&& 在通讯过程中,我们的很多实际信号大多是模拟信号,例如音乐,歌声.模拟信号要在计算机中进行处理就必须先转换为计算机可以使用的数字信号.拿声音来说吧,声音的频率从几十HZ到20KHZ,我们要把模拟信号变成数字信号就要先对模拟信号进行采样.根据采样定理,要想在采样后能够复原以前的模拟信号,采样率必须大于信号最高频率的2倍.现在的声卡一般采用44KHZ的采样率,44KHZ&20KHZ*2,其实就是这个意思.
&&& 模拟信号经过采样之后形成了一串数,在计算机中就使用数组来存储,也就是上面公式中的x(n),n就是n个采样点.那么经过转换后,X(k)则是用来存储不同频率点上的幅&#20540;.k相当于频域上的采样次数.
&&& 我们拿DFT公式来说明一下,X(k)用来存储变换后的不同频率上的幅&#20540;.频率点k可以从0开始一直取下去,但每个频率点的间隔即频率的分辨率Ferr则是由采样率SRate和时域上所取的采样点数N来决定的,即有下列的关系:
&&& Ferr=SRate/N
&&& 举例来讲,如果采样率是44KHZ,即1秒钟采样了44K个采样点,在实际应用中,假如我们只取了其中的连续的22K个采样点进行分析,那么这时N==22000,那么X(k)存储的分别是的频率为0HZ,2HZ,4HZ,8HZ.....点上的幅&#20540;,也就是说,这是X(k)的频率的分辨率为44KHZ/22K=2HZ.
接着上一讲的讲述,我们可以通过DFT和IDFT的公式,把时域上的采样的数据转换成频域上的数据,也可以把频域上的数据转换成时域上的数据.
&&& 但是,当我们计算的时候我们就会发现这样一个问题.当采样点太多,也就是说当N特别大的时候,那么要进行编号,其计算每一个另一个域上的点,其计算量都是非常大的.这样我们就需要一种快速的算法来进行变换,也就是我们说的快速傅里叶变换和快速傅里叶反变换FFT和IFFT.
&&& 我们把前面讲述的公式(1):
公式(1),可以通过欧拉公式进行展开:
那么公式(1)就可以表示成三角函数的形式,我们不必去考究其运算过程,最终我们会得到一个结论,要进行变换,进行DFT的运算,其加法和乘法的次数都近&#20284;与N的平方成正比,但N比较大的时候,例如N=1024是,需要100多万次的复数乘法运算,这样的计算让计算机的计算会变得很慢,这是我们在处理变换时所不希望的.
参考知识库
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& & 对于绝大多数数据采集系统而言，其采集对象一般都为大信号，即有用信号的幅值远远大于噪声，然而在一些特殊的场合，采集到的信号往往很微弱，并且常常被随机噪声所淹没。这种情况下，仅仅采用放大器和滤渡器无法有效的检测出微弱有用信号。本系统硬件电路针对溶解氧输出的微弱低频电流信号，利用仪表放大器有效抑制共模噪声，通过ARM处理器的数字相关算法优化，保证采集系统的精度要求。 & & 由于确定信号在不同时刻取值具有很强的相关性，而噪声一般都是随机信号，不同时刻其相关性较差。相关检测技术就是基于信号与噪声统计学的特点，充分利用它们的相关性，从而实现微弱信号的提取和降噪的目的。针对被淹没在噪声中的信号，采用数字相关检测算法可以排除噪声。 & & 本系统采用三星(Sam Sung)公司的ARM7微控制器芯片S3C4510B，这是整个系统的核心，由它控制数据的采集和处理。该模块由以下3个功能： & & 1)起动AD，控制数据的存储和传输； & & 2)实现数据处理的算法； & & 3)负责与上位机进行通讯。 & & S3C4510B芯片是高性价比的16／32位RS微控制器，非常适合低功耗的场合。本系统采用S3C4510B作为处理器，通过外部中断读取ADC数据，并实现基于数字相关的算法。
1 基于数字相关检测的算法 & & 微弱信号检测的主要目的就是从被噪声淹没的信号中提取有用信号。目前常用的检测方法有频域信号相干检测、时域信号积累平均、离散信号计数技术、并行检测方法。其中频域信号信号相干检测是常用的一种方法。 & & 传统的相干检测方法是将信号通过前置低通之后，再通过锁定模拟放大器(LIA)和参考通道信号完成相关运算。利用信号和噪声不相关的特点，采用互相关检测原理来实现淹没在噪声背景下的微弱信号的提取。虽然LIA速度快，但也存在温度漂移、噪声、价格昂贵、体积较大等一些缺点、不适合小型化集成系统。如果把相关运算转换成功率谱计算，就完全可以利用数字相关运算来代替LIA，从而克服模拟锁定放大器的缺点。根据维纳-辛钦定理，功率信号的自相关函数和其功率谱是一对傅里叶变换，因此可将LIA中的相关运算转换为功率谱计算，采用软件来实现相关运算，就可以用数学电路代替模拟模拟锁定放大器。 1．1 检测原理 & & 设被测信号x(n)由有用信号s(n)和噪声&(n)组成： & & x(n)=s(n)+&(n)& & & (1) & & x(n)的自相关函数为： & & Rxx(m)=Rss(m)+Rs&(m)+R&&(m)& & & (2) & & 式中Rss(m)&&s(n)的自相关函数；Rs&&&s(n)与&(n)的互相关函数；R&s(m)&&&(n)与s(n)的互相关函数；R&&(m)&&&(n)的自相关函数。 & & 由于噪声服从正态分布且不含分量，因此Rs&=0，R&s=0，并随着m的增大R&&(m)趋于0，所以Rxx(m)&Rs(m)，故而Rxx(m)可简记为R(m)。 & &
& & 根据维纳-辛钦定理，功率信号的自相关函数和其功率谱是一对傅里叶变换，因此可用快速傅里叶变换(FFT)来计算自相关函数。然而在实际中x(n)只有N个观察值，故求出的Rs(m)是自相关的一个估计值。用FFT计算自相关时，x(n)须补N-1个零，使其长度为2N-1。因此自功率谱为：
& & 式中当n=2N-1时的离散傅里叶变换(DFT)。 & & 功率谱估计算法实现数字相关运算的重点是离散傅里叶变换(DFT)。DFT有其快速的算法FFT。对于IFFT，由于经过AD采集的数据为实信号，因此可采用快逮有效的实数FET算法。
2 系统硬件设计 2．1 系统组成 & & 微弱信号采集系统的总体框图如图1所示，系统以S3C4510B为核心，主要包含前置调理电路和采集电路两大部分，主要由模拟信号检测、滤波放大、数据采集处理、信号通信传输电路组成。
2．2 前置调理电路设计 & & 前置调理电路主要有仪表放大器、二阶低通组成。 & & 数据采集系统中，若采集的信号为微弱信号，必须用放大器放大。然而通用放大器不适合放大微弱信号，因此选择仪表放大器作为放大电路。仪表放大器为差分放大结构，因此有很强的抑制共模噪声的能力，同时有很高的和很低的输出，而且具有增益高且稳定，失调和温漂小等优点，所以仪表放大器非常适合放大微弱信号。 & & 另外，为了使输出电压在高频段能够快速下降，提高低通滤波器滤除噪声的能力，这里选用了二阶低通滤波器。前置调理电路原理如图2所示。
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生活中很多东西之间都依靠信号的传播，信号的传播都是看不见的，但是它以波的形式存在着，这类信号会产生功率，单位频带的信号功率就被称之为功率谱。它可以显示在一定的区域中信号功率随着频率变化的分布情况。而频谱也是相似的一种信号变化曲线，在科学的领域里，功率谱和频谱有着一定的联系，但是它们之间还是不一样的，是有区别的。功率谱的密度在物理学中，信号通常是波的形式表示，例如电磁波、随机振动或者声波。当波的功率频谱密度乘以一个适当的系数后将得到每单位频率波携带的功率，这被称为信号的功率谱密度(power&spectral&density,&PSD);不要和&spectral&power&distribution(SPD)&混淆。功率谱密度的单位通常用每赫兹的瓦特数(W/Hz)表示，后者使用波长而不是频率，即每纳米的瓦特数(W/nm)来表示。功率谱相关释义:功率谱密度谱是一种概率统计方法，是对随机变量均方值的量度。一般用于随机振动分析，连续瞬态响应只能通过概率分布函数进行描述，即出现某水平响应所对应的概率。功率谱密度的定义是单位频带内的“功率”(均方值)功率谱密度是结构在随机动态载荷激励下响应的统计结果，是一条功率谱密度值—频率值的关系曲线，其中功率谱密度可以是位移功率谱密度、速度功率谱密度、加速度功率谱密度、力功率谱密度等形式。数学上，功率谱密度值—频率值的关系曲线下的面积就是均方值，当均值为零时均方值等于方差，即响应标准偏差的平方值。尽管并非一定要为信号或者它的变量赋予一定的物理量纲，下面的讨论中假设信号在时域内变化。上面能量谱密度的定义要求信号的傅里叶变换必须存在，也就是说信号平方可积或者平方可加。一个经常更加有用的替换表示是功率谱密度(PSD)，它定义了信号或者时间序列的功率如何随频率分布。这里功率可能是实际物理上的功率，或者更经常便于表示抽象的信号被定义为信号数值的平方，也就是当信号的负载为1欧姆(ohm)时的实际功率。此瞬时功率(平均功率的中间值)可表示为：由于平均值不为零的信号不是平方可积的，所以在这种情况下就没有傅里叶变换。幸运的是维纳-辛钦定理(Wiener-Khinchin&theorem)提供了一个简单的替换方法，如果信号可以看作是平稳随机过程，那么功率谱密度就是信号自相关函数的傅里叶变换。功率谱和频谱的区别1、计算功率谱的计算需要信号先做自相关，然后再进行FFT运算。频谱的计算则是将信号直接进行FFT就行了。2、方式功率谱是对信号研究，不过它是从能量的方面来对信号研究的。而频谱也是用来形容信号的,只是的表示方式变了，从时域转变成了频域表示,也就是说一种信号的表示方式不同而已。功率谱与频谱和的区别归根结底就是信号、功率、能量三者之间的关联。3、定义功率谱的定义是在有限信号的情况下，单位频带范围内信号功率的变换状况，功率随频率而变化，从而表现成为功率谱，它是专对功率能量的可用有限信号进行分析所表现的能量。它含有频谱的一些幅度信息，不过相位信息被舍弃掉了。相比之下，频谱极为不严格，主要是体现信号的平均变换，要求的只是一段时间平均量。所以经常说在频谱信号不同的情况下，它的功率谱很可能是一样的。4、性质功率谱虽然过程是随机的，但由于统计的是平均概念，就相当于平稳的随机过程，这个过程的功率谱则是一个确定性的函数。而频谱的样本进行Fourier变换，尽管过程也是随机的，但是对于这个随机变化过程来说，频谱形成的是随机的频域序列，函数不确定。5、要求功率谱和频谱的功率极其幅度的概念也是有差别，并且它们的存在性要求也是不同的。功率谱的存在性要求变化收敛，而频谱的存在性只要求了是否收敛。功率谱和频谱有相同的地方，并且有着联系，可这些区别才是决定它们两个用处的重要之处。功率谱和频谱虽然都是对信号的研究，但是研究的方向不同，角度也不相同，并且它们的性质存在不同之处，功率谱的随机性更差一点，比较严谨，有确定的函数支撑;而频谱的要求更少一些，随机性颇强，导致了它的信号变化，不过这也是它的研究价值所在。
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