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量子理论中的波包塌缩：概率论中的母函数、特征函数以及它们的塌缩
投稿时间： 10:42
投稿人：刘涤修
【字号：】
量子力学的测量问题的核心，是诠释测量时&波包是怎样塌缩的&。为解决量子力学的测量问题，我们开拓了一种新的随机理论泛函随机理论：(1)引入了描写随机变量的算符及其本征值与本征函数，(2)定义了描写随机试验及随机过程的留函数，(3)区分了两类不同的随机变量；重新审查并简化了量子力学的公理体系，并指出：留函数塌缩是对随机变量进行测量时留函数的普遍性质，而波函数是用留函数描写微观系统的特例，因而顺利地解决了波函数塌缩问题。&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
在本文中，我们讨论概率论中的母函数与特征函数，以及母函数与特征函数的塌缩。在随后的文章中，将讨论描写随机试验及随机过程的留函数，以及留函数的塌缩；并最终讨论波函数的塌缩。
19世纪拉普拉斯为了把随机试验的性质概括在一个表达式中,引入了母函数。若随机变量X为非负整数，且它的分布律为：
0,&&&&&&1&&&& 2&&& 3&&& &
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (1)
po&,& p1&&&& p2&&p3&&&
其中pk为X取k的概率，则定义X的母函数为：
G(s)=&Spks&&k&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &(2)
其中S是一变量。(上式中&S表示对所有项相加,以后都是如此，不再标出)
后人又发展了拉普拉斯的思想，取消随机变量X取值的上述限制，引入了随机变量的特征函数。今就X具有离散谱的情况阐明之。若X的分布律为：
x1&&&& x2&&&&&&xk &&&&&&&&&&& &&&&
p1&&&& p2& &&& pk& &&&&&&& &(3)
我们定义X&的&特&征函数为：
&P(&)=&exp{i&xk }pk&&&&&&&&&&&&&&&&& (4)
其中&为实变量,此特征函数的意义是:X的值或者是x1，其概率为p1；或者为x2，其概率为p2&。下述问题在概率论著作中没有受到足够的重视，然而对于物理学是非常重要的：若观察者观测到随机试验中X的某个具体值时，此随机变量的分布律和特征函数是否改变？我们认为对于此观察者而言，他描写的这一随机试验的分布律及特征函数都应随着他的知识的增加而改变。例如，当观察者观察到X的值为x1时,则由(3)式表示的分布律立即变为：&&&&
x1&&& x&2&&&& && xk&&& &
1&&&&&&0&& &&&&&&& 0&&& &
其特征函数立即变为：
&1(&)=exp(i&x1)&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (5)
特征函&数&由&P(&)改变为&1&(&)称为特征函数的塌缩。母函数亦有类似情况,称为母函数的塌缩。
一般而言，特征函数没有纯客观地描写随机试验出现的客观结果，它包含着观察者的知识因素，当观察者的知识改变时，它也随之改变。其实，纯粹自然界没有概率；概率的概念是人类思维的产物，人类的思维因素进入概率论的数学表达式是科学的进步。
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