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09-1509-1509-1509-15
03-1004-1203-2403-11
◇本站云标签谁能解释一下什么是通量和散度？
谁能解释一下什么是通量和散度？
08-11-03 &
通量与散度 定义： 1 设P, Q, R 是在某空间区域上定义的函数，令，则是依赖于自变量的动变矢量，称为定义在上的向量函数，或称为上的向量场． 2 又设为中的有向曲面，是上点处的单位法矢量，则 称为向量场（或向量函数）通过曲面向指定侧的通量（或流量） 3 称 为向量场（或向量函数）的散度．
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通量与散度 定义： 1 设P, Q, R 是在某空间区域上定义的函数，令，则是依赖于自变量的动变矢量，称为定义在上的向量函数，或称为上的向量场． 2 又设为中的有向曲面，是上点处的单位法矢量，则 称为向量场（或向量函数）通过曲面向指定侧的通量（或流量） 3 称 为向量场（或向量函数）的散度．
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通量与散度 定义： 1 设P, Q, R 是在某空间区域上定义的函数，令，则是依赖于自变量的动变矢量，称为定义在上的向量函数，或称为上的向量场． 2 又设为中的有向曲面，是上点处的单位法矢量，则 称为向量场（或向量函数）通过曲面向指定侧的通量（或流量） 3 称 为向量场（或向量函数）的散度．
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通量定义：矢量 沿某一有向曲面
的面积分为
的通量，即
。 散度定义：定义：在矢量场
中，围绕 P 点做一闭合面，所围体积为
，若垂直穿过闭合面的通量与之比的极限存在，则该极限称为矢量场
在 P 点的散度，即 。
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旋度是中的一个，可以表示三维向量场对某一点附近的微元造成的旋转程度。 这个向量提供了向量场在这一点的旋转性质。旋度向量的方向表示向量场在这一点附近旋转度最大的的旋转轴，它和向量旋转的方向满足。旋度向量的大小则是绕着这个旋转轴旋转的环量与旋转路径围成的面元的面积之比。举例来说，假设一台滚筒洗衣机运行的时候，从前方看来，内部的水流是逆时针旋转，那么中心水流速度向量场的旋度就是朝前方向外的向量。
定义向量场的旋度，首先要引入（或称为旋涡量）的概念。给定一个三维空间中的向量场
以及一个简单闭合有向(平面)曲线
沿着曲线的环量就是沿着路径的闭合曲线积分：
其中曲线上的线元
，方向是曲线的切线方向，其正方向规定为使得闭合曲线所包围的面积在它的左侧。举例来说，假如在河岸边看到河中有逆时针旋转的漩涡，那么在漩涡范围内，水流围绕涡心旋转，所以水流速度沿着逆时针围绕漩涡的闭合曲线积分一定大于零，即是说环量大于零。这说明漩涡中的水流流速场在漩涡范围内是转圈旋转的。
环量和一样，是描述向量场的重要参数。某个区域中的环量不等于零，说明这个区域中的向量场表现出环绕某一点或某一区域旋转的特性。旋度则是局部地描述这一特性的方法。为了描述一个向量场在一点附近的环量，将闭合曲线收小，使它包围的面元
的面积趋于零。向量场沿着
的环量和面元的比值在趋于零时候的极限值：
就是的环量面密度（或称为环量强度）。显然，随着面积取的方向不同，得到的环量面密度也有大有小。如果要表现一点附近向量场的旋转程度，则应该表现出其最大可能值以及其所在面积的方向。而向量场的旋度是一个向量。它在一个方向上的投影的大小表示了在这个方向上的环量面密度的大小。也就是说，在一点的旋度记为
所在平面的法向量。)
如果用Nabla算子表示的话，向量场的旋度记作：
从定义中可以看出，旋度是向量场的一种，就如同密度、浓度、温度一样，它对应的广延性质是向量场沿一个闭合曲线的环量。如果一个向量场中处处的旋度都是零，则称这个场为无旋场。[1]
旋度坐标系中表示
在不同的坐标系下，向量场的旋度有不同的表达方式。[2]
旋度直角坐标系
在三维直角坐标系
中，设向量场为：
轴方向上的单位向量，场的分量
具有一阶连续， 那么在各个坐标上的投影分别为：
的向量叫做向量场
的旋度，也就是：
旋度的表达式可以用也记号形式表示：
需要注意的是这里的行列式记号只有形式上的意义，因为真正的行列式中的系数应该是数而不是这样的向量。这种表示方法只是便于记忆旋度在直角坐标系中的表达式。但是如果套用了这个行列数算出来的就是一个向量了。就是说这在数学中是不规范的写法，但拓展开来用在物理上就套公式就可以了。
旋度圆柱坐标系
圆柱坐标系中，假设物体位置的矢径为
，定义其径向单位矢量
、横向单位矢量
和纵向单位矢量
，那么向量场可以表示成：
的旋度就是：
旋度的表达式可以用也记号形式表示（即的行列式形式）：
旋度球坐标系
中，假设物体的位置用球坐标表示为
，定义它的基矢：
，则向量场
可以表示成：
的旋度就是：
旋度的表达式可以用也记号形式表示（即的行列式形式）：
下面是两个简单的例子，用以说明旋度的直观意义。第一个例子是向量场
(如图1）：
直观上，可以看出向量场是表示一个向顺时针方向旋转的趋势。
假如在图中放一个点，它会被向量场“推动”，沿顺时针方向绕圈运动。根据右手定则，旋度的方向应该是朝向页面内。按照右手系坐标的方向，旋度的方向是
轴的负方向。
经过计算可以得出，向量场的旋度为
和直观的推断相符合。
以上的计算表明，对于该矢量场，旋度是一个恒定的量，也就是说，每一点上旋转的程度都是一样的。
旋度图象为图2：
第二个例子是向量场
(如右图3）：
向量场的作用是向下，越是靠近两侧，向下的趋势越显著。假想这个向量场是一个力场，一块薄板水平放在图的右边，那么由于更靠右的地方受到向下的力更大，薄板会顺时针转动。类似地，如果将薄板水平放在图的左边，则会逆时针转动。所以的旋转作用是右侧顺时针、左侧逆时针，而且越偏离中心，作用越大。按照右手定则，旋度应该是右侧朝
轴负方向（指向页面内），左侧朝
轴正方向（指向页面外）。实际的计算可以得到：
轴负方向，
轴正方向，和直观推断相符合。
旋度场量乘积的旋度
以下的性质[3]
都可以从常见的求导法则推出。最重要的是，旋度是一个，也就是说：
是向量场，
是标量函数，
是向量场，则它们的乘积的旋度为：
设有两个向量场
，则它们的的旋度为：
一个标量场
的场是无旋场，也就是说它的旋度处处为零：
一个向量场
的旋度场是无源场，也就是说它的处处为零：
的旋度场的旋度场则是：
旋度斯托克斯(Stokes)公式
为分段光滑的空间有向闭曲线，
为边界的分片光滑的有向曲面，
的侧符合右手规则，函数
（连同边界
）上具有一阶连续，则有
用旋度表示，就是：
这个公式是一般的斯托克斯公式（在n=2时）的特例，在欧氏3维空间上的的旋度的曲面积分和向量场在曲面边界上的线积分之间建立了联系。具体就是，向量场
在某个曲面的封闭边界线上的闭合路径积分，等于
的旋度场在这个曲面上的积分。[4]
作为向量分析的基础概念，旋度同样源自对上的微积分研究。在介绍四元数的运算时，将一个四元数
称为“标量部分”，将
称为“向量部分”。他引入了四元数的偏微分算子
算子）后，计算对一个四元数之向量部分
在1873年的论文中将其中的“标量部分”：
称为“聚集度”（Convergence），而将“向量部分”：
称为“旋度”（Curl）或“变度”（Version）。他在写给泰特的信中解释了他起名“旋度”前的想法。他最初想将这一部分称为“扭曲度”（Twist），但可能会被理解为“旋扭”（screw）或“螺旋”（helix）；而他想表达的概念是类似“转”（turn）或“变动”（version）。他曾想用“拧动”（Twirl）一词，但又认为它太过“活泼”（racy），对于数学家来说动感过于强烈，所以最后使用了“旋度”。海维赛德在1883年发表的论文：《电学与磁学中的若干关系》（Some Electrostatic and Magnetic Relations）中讨论了
算子对一个四元数
的作用效果。他认为有必要将
的三个部分分开，将
的向量部分分成散度部分
和旋度部分
旋度旋度的物理意义
设想将闭合曲线缩小到其内某一点附近，那么以闭合曲线L为界的面积也将逐渐减小.一般说来，这两者的比值有一极限值，即记作单位面积平均环流的极限。它与闭合曲线的形状无关，但显然依赖于以闭合曲线为界的面积法线方向且通常L的正方向与规定要构成。旋度的重要性在于，可用通过研究表征矢量在某点附近各方向上环流强弱的程度,进而得到其单位面积平均的极限的大小程度。磁场是有旋场，静电场是无旋场。
钟顺时. 《电磁场基础》. 清华大学出版社有限公司. 2006. ISBN 6.
P.C.Matthews．VectorCalculus：世界图书出版公司，2008：106
P.C.Matthews．VectorCalculus：世界图书出版公司，2008：81
K.T. Tang. Mathematical Methods for Engineers and Scientists 2: Vector Analysis, Ordinary Differential Equations and Laplace Transforms. Springer，插图版. 2006. ISBN 1 （英文）.
Michael J. Crowe. A History of Vector Analysis: The Evolution of the Idea of a Vectorial System. Dover books on advanced mathematics, 2nd Edition. 1994. ISBN 5 （英文）.扫二维码下载作业帮
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散度和旋度的物理意义是什么?
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散度是描述矢量场中某一点是发散还是汇聚的,就是这一点的无限小体积元内是进来的矢量多还是出去的矢量多.旋度是描述矢量场中某一点所包含微元在场中的旋转程度.
可以再解释一下吗，还会不太明白
以速度矢量V为例，散度为表示的是流体的膨胀效应，若散度divV=0，则说明流体不可压缩。旋度为涡量场矢量即为速度旋度，表示流体微团的角变形效应，若速度旋度为0，则流体无旋。请参考Helmholtz速度分解定理。
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散度表征的是某点通量的密集程度，可以理解为场线的密集程度；旋度表征的是某点附近发现上的环流强弱程度。
扫描下载二维码关于梯度、散度与旋度的理解—S.Y.
关于梯度、散度与旋度的理解—S.Y.
关于梯度、散度与旋度的理解—S.Y.
Zhang?Songyang
Version.1.0.1
“本文使用Markdown+Latex在UTF-8下编写”
关于梯度散度与旋度的理解SY 梯度 实例一 实例二
散度 概念和理解 数学定义
旋度 先上图 再来俩栗子 栗子1 栗子2
这三个概念是矢量分析与场论中最基础的几个概念，本文就这几个概念的物理意义做一个简单的说明，内容不一定严谨，只是自己的理解。
梯度值是矢量
在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场，标量场中某一点的梯度，指向标量场增长最快的方向，梯度在这点的模值就是这个最大的变化率。
对于单变量的实值函数，如
y=x梯度就是导数，也就是对于一个线性函数，也就是线的斜率。
假设在一个密闭的房间里，各点的温度分布有一个标量场?中，即P(x,y,z)点的温度T=?(x,y,z) 。
假设温度不随时间改变，对于房间中的任一点，该点的梯度将会显示温度上升最快的方向，梯度的模值表示该方向上温度变热的速率。
考虑一座山，在(x,y)点，这座山的高度是H(x,y)。H在这一点的梯度也代表在这一点，坡度最陡的方向，同样，梯度的模值量化地告诉我们这个点到底有多陡。
梯度还可以告诉我们，一个数量在不是最快变化方向的其他方向的变化速度。再来看上述实例二，山的高度函数H的梯度，点乘一个单位向量，
表示山的表面在这个向量方向上的斜率，也被称为方向导数。
散度值是标量
概念和理解
散度是向量分析中的一个向量算子（不要纠结于什么叫做向量算子）。
将向量空间中的矢量场对应到一个标量场上，散度描述的向量场中的一点是汇聚点还是发源点。
也可以这样理解，在包含这一点的一个微小的体元中，向量是向外的多，还是向内的多，考虑空间中的静电场，空间中的电场强的电场强度是一个矢量场。在正电荷附近，电场线向外发射，所以正电荷处的散度为正，电荷越大，散度越大。负电荷附近，电场线向内发射，负电荷处的散度为负，电荷越大，散度越小。
首先引入什么是通量。考虑三维空间中的向量场A?&和一个简单的有向曲面∑，向量场A?&通过曲面∑的通量也就是曲面上每一点x上的场向量A(x)→在曲面上法向的分量的积分：
?A(∑)=∫∫∑A?&?n?&dS
dS是积分的面积元，n?&是∑在点(x,y,z)处的单位法向量。如果曲面是封闭，比如球面，往往约定法向量从里朝外，所以这个时候的通量就是描述曲面上场向量向外的程度。
通量描述的一定区域（上述的∑）中的向量场的方向趋势。
散度则是一种局部描述，也就是说，从散度在某一点值，我们能够看出向量场在一点附近，到底是发散还是收敛。
散度实际上是向量场的一种强度性质，如同浓度，密度，温度一样，它对应的广延性质（抄来的，我也不造啥是广延性质）是一个封闭区域表面的通量，所以说，散度是通量的体密度。
物理上，散度的意义是场的有源性：
某一点或者某个区域的散度大于零，表示向量场在这一点或这个区域内有新的通量产生。 小于零则表示向量场在这一点或区域内，有通量堙灭。
上述两种情况中，这样的点或者说区域，被称为向量场的正源和负源。
假设将太空中的各个点的热辐射强度向量看成一个向量场，那么，某个辐射源（比如太阳，嗯，要内心充满阳光）周边的热辐射强度向量都指向外，说明太阳是不断产生新的热辐射的源头，其散度是大于零的。
散度等于零的区域成为无源场（或者叫做管型场，只是wiki上写的-&_-&
-&_-&）。流体力学（我没学过流体力学，貌似航概讲过&-_&-）中，散度为零流体成为不可压缩流体，也就是说，此流体中不会有一部分凭空消失或突然产生，每个微小的时间间隔中流入一个微小体元的流体总量，都等于在此间隔内流出次体元的总量
一架农业飞机翼尖激起的气流。烟雾成顺时针或逆时针方向运动，对应的旋度在飞机前行的方向上。
一个矢量场的旋度是一个矢量。
一句话，旋度用来表示向量场的旋转程度。
旋度是向量分析中的向量算子，表示三维的向量场对空间中某一点的微元（别告诉我你不知道什么是微元）造成的旋转程度。
向量场的每一点的旋度都是一个向量，称之为旋度向量。
首先引入什么是环量
不扯数学定义，简而言之：环量是流体的速度沿着一条闭曲线的路径积分，量纲是长度2时间
举例来说，假如在河岸边看到河中有逆时针旋转的漩涡，那么在漩涡范围内，水流围绕涡心旋转，所以水流速度v沿着逆时针围绕漩涡的闭合曲线积分一定大于零，即是说环量大于零。
环量和通量一样，都用来描述一个向量场，通量是用来描述一定区域内向量场的方向趋势，环量则用来描述向量场绕着某一个点或者区域旋转的特性。
与上面讲的通量与散度的关系类似，理解环量与旋度的也可以借鉴上面的思路。
旋度就是局部表述这一特性的方法，在计算向量场某一点环量的时候，选择包含这一点的一个微小的面元，向量场沿着这个面元边界的积分就是环量。
再考虑让面元收小，面积趋于零。
计算环量与面元面积的比值的极限
这个极限值叫做向量场的环量面密度，也叫做环量强度。
环量面密度的大小，也即是向量场的旋度在面元法方向上的投影
再来俩栗子
瞪大眼睛，看清这个向量场
F1→(x,y,z)=yx?&-xy?&是顺时针转的，如果放一个point在这个场里，它会被向量场“推动”，沿着顺时针转圈圈。
根据右手定则，旋度的方向朝向屏幕内侧，横轴为x轴，纵轴为y轴，所以旋度的方向使-z轴方向。
通过书上旋度公式，计算可以得出上述向量场F1→的旋度值是：-2z?&，跟咱们刚刚推导结果相符合。
同时上述结果也说明对于这个向量场,每一点上的旋转程度是一样的。
这个向量场的旋度的图像就是酱紫：
看看这个向量场：
F2→(x,y,z)=-x2y?&
无图无真相，看图
这个向量场的作用是向下，越靠近两边，向下的趋势就越明显。
假设这是一个力场，一个书本水平的放在图的右边→_→，由于更靠右的地方受到的力更大，书本就会顺时针转动
要是将书本放在左边，书本肯定逆时针转动
所以这个场的旋转作用就是
右边顺时针 左边逆时针
右手比划一下，旋度应该
右边是-z轴 左边是z轴
套个公式算一算，结果是：
和我们的判断正好符合。
（我真机智→_→）
看看结果长啥样
（留个坑，等总结好了在写→_→）
以上是参考
《矢量分析和场论》–谢树艺
《Electromagnetic Field Theory Fundamentals》(Second Edition)
以及Wiki中文
结合自己的浅薄理解，做的一个小小的总结，算是学习笔记吧。
感谢关注 Ithao123精品文库频道，是专门为互联网人打造的学习交流平台，全面满足互联网人工作与学习需求，更多互联网资讯尽在 IThao123!
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