高等数学中两个重要的求极限公式
【撰文/明月】
上周末儿子回来，顺手翻了翻他的高数课本，正好翻到极限部分，感到很亲切，想当初自己对这部分还很感兴趣呢，也比较善于运用这两个公式，就随手做两个题吧：
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大学数学如何求极限
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摘　要：极限是数学中极其重要的概念之一.极限的思想是人们认识数学世界解决数学问题的重要武器。为了提高解题速度，解决求极限的问题，有不少学者曾探讨了计算极限的方法。本文就高中范围计算极限，讨论了如何利用矛盾的特征进行求解，并且通过实例来阐述相关方法。
关键词：数列；极限；矛盾；抓大头
Discussion on teaching method of sequence limit in senior high schoolSummary: the limit is one of the extremely important concept in mathematics. limit mathematical solving mathematical problems in the world of thought is the awareness of the important weapons. In order to increase the speed of solving problems, solve the problem of the limit, many scholars had explored a method of calculating the limits. High school computing limits the scope of this article, discussed how the solution using contradictory characteristics, and examples to explain related methods.
Keywords: limit of sequence of contradictions draw lots Limit thought was one of the important thinking of the many fields of science. So in the context of existing knowledge in high school, how to improve the speed of solving problems, and reach the right result is important. We know that the limit is the basis for derivative knowledge, for learning an important role in the definition of the derivative of. Is also a necessary preparation for learning advanced mathematics content in the future. Below by way of example, and I to talk about some method of sequence limit teaching experience. With a view to members in addressing the limit can be applied flexibly, increase the speed of solving problems.
极限思想是许多科学领域的重要思想之一。那么在高中现有知识的范围内，如何提高解题速度，并得出正确结果就很重要了。我们知道，极限是导数知识的基础，对于学习导数的定义具有重要的作用。也是以后学习高等数学内容的必要准备。下面通过例题的方式及本人的教学经验来谈谈数列极限的一些求法。以期大家在解决极限问题时能灵活运用，提高解题速度。
方法一：& 当n无限增大时，公式中的分子、分母同时无限增大，而极限的运算法则此时不能直接使用，为此，可将分子、分母同时除以n的最高次即n2然后方法二：利用矛盾的特征。此题属于型，分子上时，起主要作用的是2n2而分母上却是3,故可以采用抓矛盾的主要方面来解决此题，为了记忆方便，其方法我给命名为“抓大头”。
（1）方法一：分子分母同时除以绝对值最大的那个数的最高次，然后利用。方法二：抓主要矛盾，显然分子上起主要作用的是3n,分母上是3n-1,因此可以利用 “抓大头”解决。
解法二：（抓大头）&
当|q|＞1或q＝-1时，不存在，当|q|＜1时极限为零，当q＝1时，1．
事实上，此题运用“抓大头”速度更快。解答如下：
解：（抓大头）
说明& 对求有关三角函数式的极限，要注意对角的范围的讨论．本题当α的范围确定后，方知sinnα与cosnα的大小，才能确定用tanα还是cotα来确定极限．
&(4)分式中的分子、分母同除以3n可得
说明& 注意逆向思维方法的使用．
解：（抓大头）此题属于型，分两种情况进行讨论，
1）分母上起主要作用的是，分子上为。此时不合题意。
2） &，此时，
综合上述，-4&a&2.
例4& 求下列极限
(2)已知等比数列｛an｝的公比q＞1，且a1＝b(b≠0)
分析& 本题数列给出的都是无穷项的形式，因此要先求出数列的前n项和的解析式，然后再求极限．求解析式的方法一般应用数列求和的方法．
(2)∵等比数列｛an｝的公比q＞1且a1=b
说明& 应用平方差公式变成连乘积的形式，用约分变形求得原数列
例5& 已知数列｛an｝｛bn｝都是正数组成的等比数列，公比分别为p、q其中p＞q且P≠1，q≠1设Cn=an＋bn，Sn为数列｛Cn｝
以要注意分类讨论．
解& ∵数列｛an｝｛bn｝是等比数列且an＞0，bn＞0，p≠1，q≠1
分析& 求无穷数列各项和的实质就是求数列的极限．
以和的极限等于极限的和为依据可把原题转化为两个无穷等比数列的和．
从上述所举的例子可以看出，在解决数列极限时，我们必须分清楚所给极限式子是什么类型，比如，不能盲目使用抓大头思想解决极限问题。分清楚类型后，若能在满足条件的情况下灵活运用抓大头思想和常用的求极限公式，则能快捷、准确的计算出数列极限。
参考文献：
①刘玉琏. 数学分析讲义& 北京: 高等教育出版社, 1997.
②同济大学数学教研室& &高等数学（第四版） 北京：高等教育出版社, 1996.
③陈纪修，数学分析& 北京：高等教育出版社1993
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